不定積分的概念和性質PPT教學課件

1、( )F x函函數(shù)數(shù) ( )Fx 導導函函數(shù)數(shù) ( )f x已已知知 ( ) ( )( )F xFxf x求求 使使得得微微分分法法積積分分法法第1頁/共24頁第2頁/共24頁例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).定義定義：或或dxxfxdF)()( ，一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 ,IxI 如如果果在在區(qū)區(qū)間間 上上，對對都都( )( ),Fxf x有有( )( ) F xf xI那那么么函函數(shù)數(shù)就就稱稱為為在在區(qū)區(qū)間間 上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)。第3頁/共2

2、4頁原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間 I上上連連續(xù)續(xù)， 簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）C那那么么在在區(qū)區(qū)間間I上上存存在在可可導導函函數(shù)數(shù))(xF， 使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . . (2) 若不唯一, 它們之間有什么聯(lián)系？第4頁/共24頁關于原函數(shù)的說明：關于原函數(shù)的說明：（1）若 ，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若 和 都是 的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則CxGxF )()(（ 為

3、任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）C第5頁/共24頁任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在區(qū)間在區(qū)間I上上， CxFdxxf )()(被積表達式積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I上上的的 不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .第6頁/共24頁例例1 1 求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx第7頁/共24頁例例3 3 設

4、曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為. 12 xy第8頁/共24頁函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知( )( ),f x dxf x （）,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結論： 微分運算與求不定積分的運算是的.先積分后

5、微分，兩者作用抵消；先微分，后積分，兩者結果相差一常數(shù)。第9頁/共24頁二、 基本積分表不定積分是求微分運算的逆運算. .也就是說, ,d ( )( )dF xf xx 如如果果， ( )d( )f xxF xC 則則。于是由基本微分公式直接得到下列基本積分公式: :第10頁/共24頁基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln|;dxxCx 說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx第11頁/共24頁 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcs

6、inCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx ( arccot)x ( arccos )x 第12頁/共24頁 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 第13頁/共24頁例例4 4 求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx Cxdxx 11 第14頁/共24頁(1) ( )( )f xg x dx ( )( );f x dxg

7、x dx 證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、 不定積分的性質第15頁/共24頁(2)( )kf x dx ( ).kf x dx （k是常數(shù)，是常數(shù)，)0 k 例例5 5 求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 第16頁/共24頁例例6 6 求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1

8、112arctanln|.xxC第17頁/共24頁例例7 7 求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 第18頁/共24頁例例8 8 求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明：說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.第19頁/共24頁例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處處的切線斜率為的切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交點為軸的交點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為. 6costan xxy第20頁/共24頁基本積分表(1)不定積分的性質 原函數(shù)的概念：)()(xf