04普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)理工北京卷附解答

1、2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（理工）（北京卷）一. 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 在函數(shù)中，最小正周期為的函數(shù)是（ ） a. b. c. d. 2. 當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限3. 雙曲線的漸近線方程是（ ） a. b. c. d. 4. 一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為（ ） a. b. c. d. 5. 在極坐標(biāo)系中，圓心在且過極點(diǎn)的圓的方程為（ ） a. b. c. d. 6. 已知，則下列不等關(guān)系中必定成

2、立的是（ ） a. b. c. d. 7. 已知三個(gè)不等式：（其中a，b，c，d均為實(shí)數(shù)），用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） a. 0b. 1c. 2d. 38. 兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm，4cm，3cm，把它們重疊在一起組成一個(gè)新長(zhǎng)方體，在這些新長(zhǎng)方體中，最長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)度是（ ） a. b. c. d. 9. 在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是（ ） a. b. c. d. 10. 期中考試以后，班長(zhǎng)算出了全班40個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為m，如果把m當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分

3、數(shù)，與原來的40個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這41個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為n，那么m:n為（ ） a. b. 1c. d. 2二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上11. 若為函數(shù)的反函數(shù)，則的值域是_12. 的值為_13. 據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長(zhǎng)率為b，2003年產(chǎn)生的垃圾量為a噸由此預(yù)測(cè)，該區(qū)下一年的垃圾量為_噸，2008年的垃圾量為_噸14. 若直線與圓沒有公共點(diǎn)，則m，n滿足的關(guān)系式為_；以（m，n）為點(diǎn)p的坐標(biāo)，過點(diǎn)p的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)有_個(gè)三. 解答題：本大題共6小題，共84分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15. （本小題滿分13分） 當(dāng)

4、時(shí)，解關(guān)于x的不等式16. （本小題滿分13分） 在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值17. （本小題滿分15分） 如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，sd垂直于底面abcd， （i）求證； （ii）求面asd與面bsc所成二面角的大小； （iii）設(shè)棱sa的中點(diǎn)為m，求異面直線dm與sb所成角的大小18. （本小題滿分15分） 已知點(diǎn)a（2，8），在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)f重合（如圖） （i）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)f的坐標(biāo)； （ii）求線段bc中點(diǎn)m的坐標(biāo)； （iii）求bc所在直線的方程19. （本小題滿分14分） 某廠生產(chǎn)某種零件，每

5、個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元（i）當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？（ii）設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為p元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；（iii）當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購1000個(gè)，利潤(rùn)又是多少元？（工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)實(shí)際出廠單價(jià)成本）20. （本小題滿分14分） 下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（

6、）（ ）（ ）（ ） 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)（i）寫出的值； （ii）寫出的計(jì)算公式；（iii）證明：正整數(shù)n在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（理工）（北京卷）參考解答一. 選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分50分 1. a 2. d 3. a 4. c 5. b 6. b 7. d 8. c 9. c 10. b二. 填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，滿分16分 11. 12. 1 13. 14. 2三. 解答題：本大題共6小題，共84分解答應(yīng)寫

7、出文字說明，證明過程或演算步驟15. 本小題主要考查不等式的解法、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力，滿分13分 解：由，原不等式可化為 這個(gè)不等式的解集是下面不等式組(1)及(2)的解集的并集： 或 解不等式組(1)得解集 解不等式組(2)得解集 所以原不等式的解集為16. 本小題主要考查解斜三角形等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力滿分13分 解：（i）成等比數(shù)列 又 在中，由余弦定理得 （ii）在中，由正弦定理得 17. 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力滿分15分 （i）證明：如圖1圖1 底面abc

8、d是正方形 底面abcd dc是sc在平面abcd上的射影 由三垂線定理得 （ii）解： 底面abcd，且abcd為正方形 可以把四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖2 面asd與面bsc所成的二面角就是面與面所成的二面角， 又 為所求二面角的平面角 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 即面asd與面bsc所成的二面角為圖2 圖3 （iii）解：如圖3 是等腰直角三角形 又m是斜邊sa的中點(diǎn) 面asd，sa是sb在面asd上的射影 由三垂線定理得 異面直線dm與sb所成的角為 圖418. 本小題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力滿分15分解：（i）由點(diǎn)a（2

9、，8）在拋物線上，有 解得 所以拋物線方程為，焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為（8，0）（ii）如圖，由f（8，0）是的重心，m是bc的中點(diǎn)，所以f是線段am的定比分點(diǎn)，且 設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為，則 解得 所以點(diǎn)m的坐標(biāo)為（iii）由于線段bc的中點(diǎn)m不在x軸上，所以bc所在的直線不垂直于x軸 設(shè)bc所成直線的方程為 由消x得 所以 由（ii）的結(jié)論得 解得 因此bc所在直線的方程為 即19. 本小題主要考查函數(shù)的基本知識(shí)，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力滿分14分解：（i）設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為個(gè)，則 因此，當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元（ii）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以（iii）設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為l元，則 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是6000元； 如果訂購1000個(gè)，利潤(rùn)是11000元20. 本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力滿分14分 解：（i） （ii）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列： 第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列： 第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此 （iii）必要性：若n在該等差數(shù)陣中，則存在正整