聯(lián)立方程模型的估計

1、第五節(jié) 聯(lián)立方程模型的估計 聯(lián)立方程偏倚 恰好識別模型的估計 過度識別模型的估計聯(lián)立方程模型的估計方法分為兩大類：單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法。單方程估計方法即對模型中的結(jié)構(gòu)方程逐個進行估計，估計過程中主要考慮每一個方程所包含的信息，而不涉及模型系統(tǒng)中各方程之間的相互關(guān)系，所以也叫有限信息估計法。常用的單方程估計方法有：間接最小二乘法（ils）、工具變量法（iv）和二階段最小二乘法（2sls）、有限信息極大似然法（liml）等。 系統(tǒng)估計方法是對整個模型中的所有結(jié)構(gòu)方程同時進行估計，同時得到模型中所有結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計量。由于在估計過程中考慮了模型的整體結(jié)構(gòu)，利用了模型系統(tǒng)的全部信息，所以又稱為完

2、全信息估計法。常用的系統(tǒng)估計方法有：三階段最小二乘法（3sls）、完全信息極大似然法（fiml）等。一、聯(lián)立方程偏倚在聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)方程中，可能有內(nèi)生變量作為解釋變量，因為它與隨機誤差項相關(guān)，方程存在隨機解釋變量問題，使用最小二乘法得到的參數(shù)估計量是有偏的，這種偏倚稱為聯(lián)立方程偏倚。二、恰好識別模型的估計1.間接最小二乘法原理：聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)方程不能直接使用最小二乘法的主要原因，就是方程的解釋變量中含有與隨機誤差項相關(guān)的內(nèi)生變量。但簡化式模型不存在這個問題，所以可以先用最小二乘法估計出簡化式參數(shù)，然后通過參數(shù)關(guān)系體系得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)，這種方法稱為間接最小二乘法(indirect leas

3、t square，簡稱ils）。步驟：（1）寫出結(jié)構(gòu)模型對應(yīng)的簡化模型；（2）對簡化模型的每個簡化方程應(yīng)用最小二乘法求出簡化參數(shù)的估計值；（3）利用簡化參數(shù)的估計值和參數(shù)關(guān)系式解出被估計結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值。注意：間接最小二乘法適用于被估計的結(jié)構(gòu)方程是恰好識別的，因為只有這樣才能從參數(shù)關(guān)系式中得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的唯一一組估計量。得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)的間接最小二乘估計量的統(tǒng)計性質(zhì)為：小樣本是有偏的，大樣本下是一致的。2.工具變量法聯(lián)立方程模型在估計時存在的主要問題是隨機解釋變量問題，所以可以用工具變量法來解決。通過選擇合適的預(yù)定變量作為內(nèi)生解釋變量的工具變量，以便減弱解釋變量與隨機誤差項的相關(guān)性，從而可

4、以估計出模型中的未知參數(shù)。其步驟為：（1）選擇適當(dāng)?shù)念A(yù)定變量作為工具變量； （2）在正規(guī)方程組中用工具變量替代相應(yīng)的內(nèi)生變量，解方程組即可得結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計量。工具變量法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。如果是過度識別的結(jié)構(gòu)方程，工具變量不是唯一的。工具變量法估計量小樣本下是有偏的，大樣本下是一致的。例7 對于聯(lián)立方程模型111223212132 12tttttttttya xa xa yuyb xb yu要求用工具變量法估計此模型。12123tttttyyxxx內(nèi)生變量：、外生變量：、第一步，先用階條件判斷，兩個方程都滿足階條件。第二步，再用秩條件判斷。（1）寫出模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣：12123 tt

5、tttyyxxx312211 - - - 0-b 1 0 0 -baaa（2）寫出第一個方程的被斥變量結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣：1-b（）（3）其秩等于1，所以判斷第一個可以識別。第三步，結(jié)合階條件，判斷第一個方程恰好識別。用同樣的方法判斷第二個方程過度識別。用工具變量法對模型進行參數(shù)估計。對第一個方程，內(nèi)生變量y2t 作為解釋變量，由第二個方程可知，y2t與外生變量x3t相關(guān)，因此選x3t作為y2t的工具變量。在求解未知參數(shù)的正規(guī)方程組中，用x3t代替y2t得：111122322111223231112232()0()0()0tttttttttttttttxya xa xa yxya xa xa yxy

6、a xa xa y123 .aaa解這個方程組，就得到 、 、對第二個方程，內(nèi)生變量y1t 作為解釋變量，由第一個方程可知，y1t與外生變量x1t、x2t均相關(guān)，因此可選x1t或x2t作為y1t的工具變量。12.bb解這兩個方程組，就可以得到 、 的兩組估計量在求解未知參數(shù)的正規(guī)方程組中，用x1t或x2t代替y1t得：12132 132132 1()0()0ttttttttxyb xb yxyb xb y或22132 132132 1()0()0ttttttttxyb xb yxyb xb y三、過度識別模型的估計兩階段最小二乘法具體步驟為：（1）利用ols估計結(jié)構(gòu)方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量

7、的簡化式方程；（2）利用估計出的簡化式方程計算內(nèi)生變量的點估計值；（3）把這些點估計值代入到待估計方程中，分別替代對應(yīng)的內(nèi)生解釋變量；（4）對替換后的新方程再利用ols進行估計，由此得到的參數(shù)估計值就是最終的2sls估計值。例8 接上節(jié)例7，對模型進行參數(shù)估計。第一個方程，應(yīng)用間接最小二乘法估計參數(shù)。第一步，由結(jié)構(gòu)模型得到簡化模型。3 112112313 23 23 21122331111ttttttttta baayxxxva ba ba bc xc xc xv1 2221212323 23 23 24152632111tttttttttaba bbyxxxva ba ba bc xc xc

8、 xv參數(shù)關(guān)系式為：3 1121233 23 23 2, , 111a baaccca ba ba b1 22214563 23 23 2, , 111aba bbccca ba ba b126126 ,.c ccc cc第二步，對簡化方程分別應(yīng)用最小二乘法，得到簡化參數(shù)的估計值第三步，由參數(shù)關(guān)系式求出33113 4223 56, , caaca caca cc所以33113 4223 56 , , caaca caca cc第二個方程，應(yīng)用兩階段最小二乘法估計參數(shù)。該方程中，內(nèi)生變量y1t 作為解釋變量。第一步，對y1t 的簡化方程11122331tttttyc xc xc xv1.ty應(yīng)用最小二乘法，得到1ty第二步，將代入第二個方程，得：2132 12ttttyb xb yu1212.bbbb對該方程應(yīng)用最小二乘法得到參數(shù) 、 的估計量 、二階段最小二乘法的估