角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

1、4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)傅里葉生平傅里葉生平 1768年生于法國年生于法國 1807年提出年提出“任何周任何周期信號都可用正弦函期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示數(shù)級數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一個給出收斂條件個給出收斂條件 拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表 1822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的分析理論熱的分析理論” 一書中一書中4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)傅立葉的兩個最主要的貢獻傅立葉的兩個最主要的貢獻 “周期信號都可表示為諧波關系的正弦周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和信號的加權和”傅里葉的第一個傅里葉的第一個主要論點主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權非周期信

2、號都可用正弦信號的加權積分表示積分表示”傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期信號與傅立葉級數(shù)周期信號與傅立葉級數(shù) 周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)：數(shù)： 三角函數(shù)式的三角函數(shù)式的 傅立里葉級數(shù)傅立里葉級數(shù) cosncosn 1 1t,sinnt,sinn 1 1tt 復指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù)復指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù) e e j n j n 1 1t t 4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)112t)sincos()(1110tnbtnaatfnnn直流分量基波分

3、量n =1 諧波分量n11n4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)100).(110tttdttfta100.cos).(211tttndttntftadttntftbtttn.sin).(210011直流直流系數(shù)系數(shù)余弦分量余弦分量系數(shù)系數(shù)正弦分量正弦分量系數(shù)系數(shù)4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)狄利赫利條件：狄利赫利條件： 在一個周期內只有有限個間斷點；在一個周期內只有有限個間斷點；在一個周期內有有限個極值點；在一個周期內有有限個極值點；在一個周期內函數(shù)絕對可積，即在一個周期內函數(shù)絕對可積，即 一般周期信號都滿足這些條件一般周期信號都滿足這些條件. dttfttt. )(1004.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)三角函

4、數(shù)是正交函數(shù)三角函數(shù)是正交函數(shù)0.sin.cos11100dttmtnttt)()(0sinsin001211nmnmtdtmtntttt)()(0coscos001211nmnmtdtmtntttt4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期信號的另一種三角函數(shù)正交集表示周期信號的另一種三角函數(shù)正交集表示)cos()(110nnntncctf)sin()(110nnntnddtf4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)幾種系數(shù)之間的關系幾種系數(shù)之間的關系nnnnndcasincos000dca22nnnnbadcnnnbatgnnnabtgnnnnndcbcossin4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù) 周期信號的頻譜ttjnn

5、ntjnnnnnndtetftfceftftncctf11)(22)()cos()(110周期信號頻譜：周期信號頻譜的周期信號頻譜的數(shù)學表達式4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)信號的頻譜:振幅譜,相位譜.f(t)tt解:0na02nbsin2sin2202020tdtnetdtnetbtttnn2(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)為0)例例1 1：計算下圖傅立葉級數(shù)和頻譜計算下圖傅立葉級數(shù)和頻譜4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)tnnetfn0.5,3,1sin12)()2(2100220dteedteetftjtttjntn)1(1 2)cos1 (10nnjenjnet2jene(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)時為0)4.2傅

6、立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)單邊譜和雙邊譜nc0n003e2nf0n00)0(2;,11nfcnnffnnnnn單邊幅度頻譜的奇函數(shù)是相位譜的偶函數(shù)是雙邊幅度頻譜4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)1單邊頻譜 若周期信號 的傅里葉展開式為：)(tf110)cos()(nnntncctf 則對應的幅度頻譜 和相位頻譜 稱為單邊頻譜ncnnc1n015110124n1n01511021 （a）單邊幅度頻譜 （b）單邊相位頻譜周期信號的單邊頻譜4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)2 2雙邊頻譜雙邊頻譜 若 周期信號的傅里葉展開式為： )(tfntjnneftf1)(njnttjnnefdtetftf01)(1nf1n015110

7、1511012442雙邊幅度譜4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期復指數(shù)信號的頻譜圖的特點 引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學推導； fn 一般是復函數(shù)， 當 fn 是實函數(shù)時，可用fn的正負表示0和相位， 幅度譜和相位譜合一。4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù) 周期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移， 11n)(n11n0c1c2cc cn n4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，即頻譜具有離散性。頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有諧波性。頻譜的各條譜線的高度，即各次諧波的振幅總是隨著諧

8、波次數(shù)的增大而逐漸減??；當諧波次數(shù)無限增大時，諧波分量的振幅也就無限趨小，即頻譜具有收斂性。離散性諧波性收斂性周期信號頻譜特點周期信號頻譜特點4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)二、周期信號的復指數(shù)級數(shù)二、周期信號的復指數(shù)級數(shù) 由前知由前知 由歐拉公式由歐拉公式 其中其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenftf1)()(1)(21)(1nnjbanf)(21)(1nnjbanf0)0(af引入了負頻率4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)nfnf)(11001)(11ttttjnndtetftf0000adcf)(21nnjnnjb

9、aeffn)(21nnjnnjbaeffn兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關系兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關系4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關系兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關系22212121nnnnnnbadcffnnncffnnnaffnnnbffj)(nnnnnnffbadc422224.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期復指數(shù)信號的頻譜圖周期復指數(shù)信號的頻譜圖 nnfnf1111n1n1n000-4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期復指數(shù)信號頻譜圖的特點周期復指數(shù)信號頻譜圖的特點l引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學推導；數(shù)學推導；lcn 是實函數(shù)，是實函數(shù)，fn

10、 一般是復函數(shù)，一般是復函數(shù)， fn =(1/2)cn;l每個分量幅度分在對稱的頻率分量上；每個分量幅度分在對稱的頻率分量上；l 當當 fn 是實函數(shù)時，可用是實函數(shù)時，可用fn 的正負表示的正負表示0和和相位，相位， 幅度譜和相位譜合一；幅度譜和相位譜合一；4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)三、周期信號的功率特性三、周期信號的功率特性 p為周期信號的平均功率為周期信號的平均功率 符合帕斯瓦爾定理符合帕斯瓦爾定理100).(1)(212tttdttfttfp12nnfp4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)四、對稱信號的傅里葉級數(shù)四、對稱信號的傅里葉級數(shù) 四種對稱：四種對稱： 偶函數(shù)偶函數(shù) ：f (t )=f (

11、-t) 奇函數(shù)奇函數(shù) ：f (t )= - f (-t) 半周期重疊對稱：半周期重疊對稱：f(t)=f(t t/2) 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) ：半周期鏡像對稱：半周期鏡像對稱f(t)=-f(t t/2) 任意周期函數(shù)有：任意周期函數(shù)有： )sincos()(11101tnbtnaatfnnn偶函數(shù)項偶函數(shù)項 奇函數(shù)項奇函數(shù)項4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期偶函數(shù)只含直流和周期偶函數(shù)只含直流和 其中其中a是實數(shù)是實數(shù) bn=0 fn是實數(shù)是實數(shù)tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(211tttndttntfta2nnnafftjnnenftf1)()(14.2傅立葉級數(shù)傅立葉

12、級數(shù)例例2:周期三角函數(shù)是偶函數(shù)周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos2513cos91(cos42)(1112ttteetfef(t)t1/2-t1/2t4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期奇函數(shù)只含正弦項周期奇函數(shù)只含正弦項tnbtfnn11sin)(1011.sin).(2tndttntftb000naafn為虛數(shù)jbffnnn24.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)例例3：周期鋸齒波是奇函數(shù)周期鋸齒波是奇函數(shù).)3sin312sin21(sin)(111tttetfe/2-e/2t1/2-t1/2f(t)t04.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)半周期重疊對稱半周期重疊對稱l 半周期對稱半周期對稱l平移半個周期與原波形完

13、全重合平移半個周期與原波形完全重合l 波形不變波形不變)2()(ttftf4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)半周期重疊對稱波形半周期重疊對稱波形 實際周期為實際周期為t/2，實際角頻率為，實際角頻率為2 0，基波，基波和諧波頻率均為和諧波頻率均為 0的偶數(shù)倍，只有偶次諧的偶數(shù)倍，只有偶次諧波分量。波分量。0t/2-t/2a4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)半周期重疊對稱的傅氏級數(shù)半周期重疊對稱的傅氏級數(shù), 3 , 1 0, 4 , 2,cos)(4200nntdtntftatn, 3 , 1 0, 4 , 2,sin)(4200nntdtntftbtn4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) ：)2()(1

14、ttftfl沿時間軸移半個周期；沿時間軸移半個周期；l沿時間軸反轉重合；沿時間軸反轉重合；l 波形不變；波形不變；l半周期對稱半周期對稱4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) 的波形的波形：f(t)t1/2-t1/20t4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)奇諧函數(shù)的傅立葉級數(shù)奇諧函數(shù)的傅立葉級數(shù) 奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0dtttftat.cos)(4201111dtttftbt.sin)(4201111a20 , b202nnnjbaf4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)例例4：利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率分量分量周期偶函數(shù)，奇諧函

15、周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次數(shù)，只含基波和奇次諧波的余弦分量諧波的余弦分量周期奇函數(shù)，奇諧函周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量次諧波的正弦分量4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)含有直流分量和正弦分含有直流分量和正弦分量量只含有正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余含有直流分量和余弦分量弦分量4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)五、傅里葉有限級數(shù)五、傅里葉有限級數(shù)如果完全逼近，則如果完全逼近，則 n= ;實際中，實際中，n=n, n是有限整數(shù)。是有限整數(shù)。如果如果 n愈接近愈接近 n ，則，則 其均方誤差愈小其均方誤差愈小若用若用2n1項逼近，則項逼近，則)sincos

16、()(1110tbtaatsnnnnn4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)和均方誤差 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 均方誤差均方誤差)()()(tstftnn)(21)()(222022nnnnbaatfte4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)例例5: 對稱方波對稱方波, 是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)是偶函數(shù)且奇諧函數(shù) 只有奇次諧波的余弦項。只有奇次諧波的余弦項。2sin2nnean)5cos3cos(cos)(15113112ttttfee/2-e/2t1/4-t1/4t4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)對稱方波有限項的傅里葉級數(shù)對稱方波有限項的傅里葉級數(shù) n=1 n=2 n=32105.0ee )3cos31(c

17、os2112ttes2202. 0ee )(cos212tes)5cos513cos31(cos21113tttes2301. 0ee -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.814.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)有限項的有限項的n越大，誤差越小例如越大，誤差越小例如: n=11)11cos1115cos513cos31(cos211119ttttes-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.814.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)

18、由以上可見由以上可見： n越大，越接近方波越大，越接近方波 快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿；快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿； 慢變信號，低頻分量，主要影響頂部；慢變信號，低頻分量，主要影響頂部； 任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，波形將會失真波形將會失真 有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生)(limtfsnn4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)典型周期信號的傅立葉級數(shù)典型周期信號的傅立葉級數(shù)周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波脈沖信號周期半波脈沖信號周期全波脈沖信號周期全波脈沖信號4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)1. 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號22)2(0)2()(1ttetf4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)ntjnneftf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnteeejntedteetfjnjntjnn)(1tnsa4.2傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)2.周期矩形脈沖的傅立葉級數(shù)周期矩形脈沖的傅立葉級數(shù))cos()2(te )cos()(2te )2(te )(11111111111111tnnsaetntnsateensae