上海市楊浦區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶}含解析

1、上海市楊浦區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶}（含解析）一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.設(shè)集合，集合，則_.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)交集定義計(jì)算【詳解】由題意故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題2.行列式_.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)行列式定義直接計(jì)算【詳解】故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查三階行列式的計(jì)算，掌握行列式計(jì)算公式即可屬于基礎(chǔ)題3.函數(shù)的最小正周期為_.【答案】【解析】【分析】用降冪公式化函數(shù)為一次的形式后可計(jì)算周期【詳解】，故周期.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期，考查余弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題4.已知復(fù)數(shù)滿

2、足，則_【答案】.【解析】【分析】在等式兩邊同時(shí)除以，再利用復(fù)數(shù)的除法法則可得出復(fù)數(shù).【詳解】，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵就是從等式中得出的表達(dá)式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算律得出結(jié)果.5.若是無(wú)窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，則的各項(xiàng)的和_.【答案】.【解析】【分析】直接由無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和的公式計(jì)算【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和，掌握無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和的公式是解題關(guān)鍵6.在3名男生、4名女生中隨機(jī)選出2名學(xué)生參加某次活動(dòng)，則選出的學(xué)生恰為一男一女的概率為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合的知識(shí)求出從7人中任取2人的方法數(shù)，同時(shí)計(jì)算出選出的學(xué)生恰為一男一女的方

3、法數(shù)，然后可計(jì)算出概率【詳解】由題意.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出所有基本事件個(gè)數(shù)7.實(shí)數(shù)滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)的最大值為_.【答案】2【解析】【分析】作出可行域，作出目標(biāo)對(duì)應(yīng)的直線，平移此直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖四邊形內(nèi)部（含邊界），聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，作直線，平移直線，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)取得最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線8.已知曲線的參數(shù)方程為，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），則和的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為_.【答案】【解析】【分析】把兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心到直線的

4、距離，根據(jù)勾股定理計(jì)算弦長(zhǎng)【詳解】消去參數(shù)得兩曲線的普通方程為：，曲線是圓，圓心為，半徑為，圓心到直線距離為，故兩交點(diǎn)之間距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查求直線與圓相交弦長(zhǎng)，求直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般不是直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，而是求出圓心到弦所在直線距離，用勾股定理（幾何方法）計(jì)算弦長(zhǎng)9.數(shù)列滿足對(duì)任意恒成立，則_.【答案】3031【解析】【分析】由已知再寫出，兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，求出后，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得【詳解】由，兩式相減得.而，.故答案為：3031【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的判斷，解題關(guān)鍵是由已知遞推式寫出相鄰式（用代

5、）后兩式相減10.設(shè)，若的二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)的系數(shù)之和為29525，則_.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理確定的二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)是奇數(shù)項(xiàng)，其系數(shù)與展開式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)相等，這樣可在的展開式中用賦值法求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和【詳解】，有理項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，即，也就是的奇數(shù)項(xiàng)，設(shè)，并記，則，故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查用賦值法求二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和，類比成的系數(shù)是解題關(guān)鍵11.設(shè)是同一平面上的三個(gè)兩兩不同的單位向量，若，則的值為_.【答案】【解析】【分析】利用可設(shè)，設(shè)的夾角為，則的夾角為，的夾角為或，利用得，建立方程關(guān)系求解即可.【詳解】，設(shè)，則，是同一平面上的三個(gè)兩兩不同的單

6、位向量，設(shè)的夾角為，則的夾角為，的夾角為或，解得，或（舍去）.所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積以及三角恒等變換求值，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題.12.已知拋物線和的焦點(diǎn)均為點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為和.設(shè)兩拋物線交于兩點(diǎn)，則直線的方程為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義寫出兩拋物線方程（平方），相減后可得兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，化簡(jiǎn)此方程（根據(jù)兩點(diǎn)在兩準(zhǔn)線的位置確定正負(fù)）可得直線方程【詳解】按拋物線定義有，兩方程相減即得，而位于的右側(cè)和的上側(cè)，故，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，考查兩曲線公共弦所在直線方程本題中掌握拋物線的定義和直線方程的定義是解題關(guān)鍵二、選擇題（本大題共4

7、題，每題5分，共20分）13.不等式的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解注意分母不為0【詳解】原不等式可化為，解得故選：b【點(diǎn)睛】本題考查解分式不等式，解題方法是轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意分式的分母不為014.設(shè)是復(fù)數(shù)，則“是虛數(shù)”是“是虛數(shù)”的（ ）a. 充分非必要條件b. 必要非充分條件c. 充要條件d. 既非充分也非必要條件【答案】b【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義及復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行判斷可取特例說(shuō)明一個(gè)命題為假【詳解】充分性：取，故是實(shí)數(shù)，故充分性不成立；必要性：假設(shè)實(shí)數(shù)，則也是實(shí)數(shù)，與是虛數(shù)矛盾，是虛數(shù)，故必要性成

8、立故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件判斷，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題15.設(shè)是橢圓的兩焦點(diǎn)，與是該橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，記.在動(dòng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)從沿橢圓向左上方運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，的大小變化情況為（ ）a. 逐漸變大b. 逐漸變小c. 先變大后變小d. 先變小后變大【答案】b【解析】【分析】設(shè)，然后由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出為的函數(shù)后，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論【詳解】設(shè)，由橢圓方程知，隨的減小而變小，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量數(shù)量積的的坐標(biāo)表示是解題基礎(chǔ)16.設(shè)是2020項(xiàng)的實(shí)數(shù)數(shù)列，中的每一項(xiàng)都不為零，中任意連續(xù)11項(xiàng)的乘積是定值

9、.存在滿足條件的數(shù)列，使得其中恰有365個(gè)1；不存在滿足條件的數(shù)列，使得其中恰有550個(gè)1.命題的真假情況為（ ）a. 和都是真命題b. 是真命題，是假命題c. 是真命題，是假命題d. 和都是假命題【答案】d【解析】【分析】先確定數(shù)列是周期數(shù)列，然后根據(jù)一個(gè)周期中出現(xiàn)的1的個(gè)數(shù)，判斷數(shù)列中可能出現(xiàn)的1的個(gè)數(shù)（與365,550接近的可能個(gè)數(shù)），得出結(jié)論【詳解】設(shè)；則，也就是，即是以11為周期的數(shù)列.而.若一個(gè)周期內(nèi)有1個(gè)1，則1的個(gè)數(shù)有183或184個(gè).若一個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)1，則1的個(gè)數(shù)有366或367或368個(gè).若一個(gè)周期內(nèi)有3個(gè)1，則1的個(gè)數(shù)有549或550或551或552個(gè).故選：d【點(diǎn)睛】

10、本題考查數(shù)列的周期性，解題方法是確定出數(shù)列的周期，然后分類討論1出現(xiàn)的次數(shù)的可能（與365,550接近的可能個(gè)數(shù)）三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17.如圖，線段和是以為頂點(diǎn)的圓錐的底面的兩條互相垂直的半徑，點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，已知.（1）求該圓錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圓錐性質(zhì)知，然后計(jì)算出高后可得體積；（2）以為軸正半軸，為軸正半軸，為軸正半軸.建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示得異面直線所成的角【詳解】（1）由題可得，故體積.（2）以為軸正半軸，為軸正半軸，為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)異

11、面直線與所成角為，則，故所成角為.【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的體積，考查用空間向量法求異面直線所成的角掌握?qǐng)A錐的性質(zhì)是解題關(guān)鍵18.已知三角形中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且.（1）若，求；（2）設(shè)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，求三角形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得；（2）由余弦定理求得中線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而求得三角形的第三邊長(zhǎng)，再由余弦定理求出一個(gè)角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得三角形面積【詳解】（1）由余弦定理可得.（2）由題意可得，又，即，由，.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，考查三角形面積，本題中涉及三角形路線問(wèn)題，根據(jù)余弦定理有結(jié)論成立（其中是中點(diǎn)）19.某地出

12、現(xiàn)了蟲害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列，表示第周的蟲害的嚴(yán)重程度，蟲害指數(shù)越大，嚴(yán)重程度越高，為了治理蟲害，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個(gè)策略之一：策略：環(huán)境整治，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足；策略：殺滅害蟲，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足；當(dāng)某周“蟲害指數(shù)”小于1時(shí)，危機(jī)就在這周解除.（1）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)，用哪一個(gè)策略將使第二周的蟲害嚴(yán)重程度更??？（2）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)，如果每周都采用最優(yōu)的策略，蟲害的危機(jī)最快在第幾周解除？【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）蟲害最快在第9周解除【解析】【分析】（1）根據(jù)兩種策略，分別計(jì)算第二周蟲害指數(shù)，比較它們的大小可得結(jié)

13、論；（2）由（1）可知，最優(yōu)策略為策略，得，湊配出數(shù)列是等比數(shù)列，求得通項(xiàng)，由可解得的最小值【詳解】（1）由題意可知，使用策略時(shí)，；使用策略時(shí)，令，即當(dāng)時(shí)，使用策略第二周嚴(yán)重程度更??；當(dāng)時(shí)，使用兩種策哈第二周嚴(yán)重程度一樣；當(dāng)時(shí)，使用策略第二周嚴(yán)重程度更小.（2）由（1）可知，最優(yōu)策略為策略，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，所以，即，令，可得，所以蟲害最快在第9周解除.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式掌握由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法是解題基礎(chǔ)20.已知雙曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該雙曲線交于兩點(diǎn).（1）若與軸垂直，且，求的值；（2）若，且的橫坐標(biāo)之和為，證明：

14、.（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）把代入雙曲線方程求得坐標(biāo)，由可求得；（2）設(shè)，設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由可求得，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出可得結(jié)論；（3）設(shè)方程為，且，由可用表示出，代入雙曲線方程得，同理.故是方程的兩根.由韋達(dá)定理可得結(jié)論【詳解】（1），.（2），設(shè)，顯然直線斜率存在，設(shè)方程為，并與聯(lián)立得，由得，此時(shí).（3）有題意可知直線斜率必存在，設(shè)方程為，且.由得，所以，又由于點(diǎn)在雙曲線上，故化簡(jiǎn)得，同理.故是方程的兩根.則為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線相交問(wèn)題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用在

15、直線與雙曲線相交時(shí)常常設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得出，然后代入其他條件求解21.已知，其中是實(shí)常數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若，求證：函數(shù)的零點(diǎn)有且僅有一個(gè)；（3）若，設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，若是公差的等差數(shù)列且均在函數(shù)的值域中，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）直接解不等式即可；（2）說(shuō)明函數(shù)是增函數(shù)，然后由，可得結(jié)論；（3）首先不等式變形：，即，而，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明是關(guān)于的減函數(shù)，即設(shè)，證明，利用反函數(shù)定義，設(shè)，由單調(diào)遞增可得之間的大小關(guān)系，得.作兩個(gè)差，并相減得，若，此式中分析左右兩邊出現(xiàn)矛盾，從而只能有，