推理與證明簡介PPT演示文稿

1、1普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書推理與證明推理與證明 簡簡 介介人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 李龍才李龍才 2一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo)二、內(nèi)容結(jié)構(gòu)二、內(nèi)容結(jié)構(gòu)三、編寫特點三、編寫特點四、需要注意的問題四、需要注意的問題3一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo)1.1.了解合情推理和演繹推理的含義。了解合情推理和演繹推理的含義。2.2.能正確地運(yùn)用合情推理和演繹推理進(jìn)能正確地運(yùn)用合情推理和演繹推理進(jìn)行簡單的推理。行簡單的推理。3.3.了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。與差別。44.4.了解直接證明的兩種基本方法了解直接證明的兩種基本

2、方法分分析法和綜合法的思考過程、特點。析法和綜合法的思考過程、特點。 5.5.了解間接證明的一種基本方法了解間接證明的一種基本方法反反證法的思考過程、特點。證法的思考過程、特點。 6.6.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。5 二、內(nèi)容結(jié)構(gòu)二、內(nèi)容結(jié)構(gòu) “推理與證明推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式推理人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式推理一般包括合情推理和演繹推理在本章中，學(xué)一般包括合情推理和演繹推理在本章中，學(xué)生將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體

3、會合情生將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明的基本方體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法法, ,包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。6推推 理理（5/35/3課時）課時）合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演

4、繹推理演繹推理（必然性推理）（必然性推理）歸納歸納（部分到整體、（部分到整體、特殊到一般）特殊到一般）類比類比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段論三段論（一般到特殊）（一般到特殊）7證證 明明（4/34/3課時）課時）直接證明直接證明間接證明間接證明綜合法綜合法分析法分析法反證法反證法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法（2課時）課時）8以已學(xué)知識為載體，講推理和證明方法。以已學(xué)知識為載體，講推理和證明方法。證明方法（除數(shù)學(xué)歸納法外）是學(xué)生在以前證明方法（除數(shù)學(xué)歸納法外）是學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中遇到過的，但對它們的特點和內(nèi)涵的學(xué)習(xí)中遇到過的，但對它們的特點和內(nèi)涵不很明確，被動地、不自覺地使用。不很明確，被動地、不自

5、覺地使用。 任務(wù)：明確化、顯性化，主動地、自覺地使用任務(wù)：明確化、顯性化，主動地、自覺地使用 通過具體例子（已學(xué)的內(nèi)容）總結(jié)各種證明通過具體例子（已學(xué)的內(nèi)容）總結(jié)各種證明方法的思考過程和特點、明確它們的內(nèi)涵，方法的思考過程和特點、明確它們的內(nèi)涵，通過應(yīng)用進(jìn)行強(qiáng)化。通過應(yīng)用進(jìn)行強(qiáng)化。 1. 結(jié)合實例理解推理（引入、應(yīng)用）結(jié)合實例理解推理（引入、應(yīng)用） 緊密結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，緊密結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，以具體的例子為載體，理解合情推理和演繹以具體的例子為載體，理解合情推理和演繹推理，避免空泛地講推理。推理，避免空泛地講推理。三、編寫特點三、編寫特點9歸納推理歸納推理歌

6、德巴赫猜想的提出過程：歌德巴赫猜想的提出過程： 3710，31720，131730， 1037，20317，301317偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)63+3，83+5，105+5，125+7，147+7， 165+11， 1 00029+971， 一個偶數(shù)（大于一個偶數(shù)（大于6）總可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和；）總可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和； 沒有發(fā)現(xiàn)反例沒有發(fā)現(xiàn)反例 。10歌德巴赫猜想：歌德巴赫猜想：任何一個不小于任何一個不小于6 6的偶數(shù)都等于兩個奇的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和。質(zhì)數(shù)之和。 總結(jié)特點：總結(jié)特點： 這種由某類事物的部分對象具有某些特這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事

7、物也具有這些特征的推理，征，推出該類事物也具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，通或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，通常稱為常稱為歸納推理歸納推理（簡稱歸納）簡言之，歸（簡稱歸納）簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理理11歸納推理的一般步驟：歸納推理的一般步驟： 對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納 整理；整理； 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 檢驗猜想。檢驗猜想。 12 歸納推理舉例歸納推理舉例1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3

8、+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，13 類比推理類比推理14 總結(jié)特點：總結(jié)特點： 這種由兩類對象具有某些類似特征，和這種由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為一類對象也具有這些特征的推理稱為類類比推理比推理（簡稱類比）簡言之，類比推（簡稱類比）簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理理是由特殊到特殊的推理15類比推理的一般步驟：類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對用一類對象的已知特征去

9、推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；象的特征，從而得出一個猜想； 檢驗猜想。檢驗猜想。 16 類比推理舉例類比推理舉例17直角三角形直角三角形3個面兩兩垂直的四面體個面兩兩垂直的四面體c903個邊的長度個邊的長度a，b，c 2條直角邊條直角邊a，b和和1條斜邊條斜邊cpdfpdeedf90 4個面的面積個面的面積s1，s2，s3和和s 3個個“直角面直角面” s1，s2，s3和和1個個“斜面斜面” s類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想給出空間中四面體性質(zhì)的猜想18 演繹推理舉例演繹推理舉例19證明函數(shù)證明函數(shù) f(x)=x22x 在

10、在(，1上上是增函數(shù)是增函數(shù) 分析：分析：證明本例所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的證明本例所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義，即函數(shù)定義，即函數(shù)yf(x)滿足在給定區(qū)間內(nèi)任取滿足在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個值自變量的兩個值x1，x2，若，若x1x2，則有，則有f(x1)f(x2) 小前提是小前提是f(x)=x22x，x(，1滿滿足增函數(shù)的定義，這是證明本例的關(guān)鍵足增函數(shù)的定義，這是證明本例的關(guān)鍵202.2.糾正典型錯誤，進(jìn)一步理解推理糾正典型錯誤，進(jìn)一步理解推理 合情推理的結(jié)論不一定正確合情推理的結(jié)論不一定正確費馬猜想：費馬猜想：任何形如任何形如 （nnn* *）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)反例：反例： 22

11、n（初步體驗證明的必要性）（初步體驗證明的必要性）21“平面內(nèi)，兩組對邊分別相等的四邊形是平平面內(nèi)，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形行四邊形” ； “平面內(nèi)，同時垂直于一條直線的兩條直線平面內(nèi)，同時垂直于一條直線的兩條直線互相平行互相平行” “空間中，兩組對邊分別相等的四邊形是平空間中，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形行四邊形”；“空間中，同時垂直于一條直線的兩條直線空間中，同時垂直于一條直線的兩條直線互相平行互相平行”類比類比22 演繹推理的形式正確，大前提錯誤，演繹推理的形式正確，大前提錯誤，結(jié)論也是錯誤的結(jié)論也是錯誤的233.3.結(jié)合實例講結(jié)合實例講“證明證明” 通過熟悉的例子總

12、結(jié)各種證明方法的特點、明通過熟悉的例子總結(jié)各種證明方法的特點、明確它們的內(nèi)涵，并應(yīng)用于數(shù)學(xué)證明，使學(xué)生真確它們的內(nèi)涵，并應(yīng)用于數(shù)學(xué)證明，使學(xué)生真正作到正作到“說理有據(jù)說理有據(jù)”： 回憶遇到過的某類證明方法的特點回憶遇到過的某類證明方法的特點 通過證明典型且簡單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題，通過證明典型且簡單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題，體驗證明方法的特點體驗證明方法的特點 總結(jié)特點，給出證明方法的定義總結(jié)特點，給出證明方法的定義 證明的流程框圖（提煉特點）證明的流程框圖（提煉特點） 證明數(shù)學(xué)命題證明數(shù)學(xué)命題（強(qiáng)化、自覺使用）（強(qiáng)化、自覺使用）24 綜合法綜合法（1 1）回憶、描述）回憶、描述 在數(shù)學(xué)證明中，我

13、們經(jīng)常從已知條件和某些學(xué)過在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些學(xué)過的定義、定理、公理等出發(fā)，通過推理推導(dǎo)出所的定義、定理、公理等出發(fā)，通過推理推導(dǎo)出所要的結(jié)論要的結(jié)論（2 2）舉例）舉例體驗特點體驗特點25（3）總結(jié)特點 一般地，利用已知條件和某些已經(jīng)一般地，利用已知條件和某些已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理等，經(jīng)過一系學(xué)過的定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理、論證，最后推導(dǎo)出所要證明列的推理、論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合綜合法法 。26（4 4）證明數(shù)學(xué)命題）證明數(shù)學(xué)命題（強(qiáng)化、自覺使用）（強(qiáng)化、自覺使用）27 分析法分析法（1 1）回憶

14、、描述）回憶、描述 在數(shù)學(xué)證明中，我們還經(jīng)常從要證的結(jié)論出發(fā)，反在數(shù)學(xué)證明中，我們還經(jīng)常從要證的結(jié)論出發(fā)，反推回去，尋求保證結(jié)論成立的條件，知道找到一個推回去，尋求保證結(jié)論成立的條件，知道找到一個明顯成立的條件為止明顯成立的條件為止（2 2）舉例、體驗特點）舉例、體驗特點28（3）總結(jié)特點 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理顯成立的條件（已知條件、定理、定義、

15、公理等）為止，這種證明的方法叫做等）為止，這種證明的方法叫做分析法分析法 （4 4）證明數(shù)學(xué)命題）證明數(shù)學(xué)命題（強(qiáng)化、自覺使用）（強(qiáng)化、自覺使用）29 反證法反證法 反證法的特點：反證法的特點： 假設(shè)原結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得假設(shè)原結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立題成立 30 證明數(shù)學(xué)命題（強(qiáng)化、自覺使用）證明數(shù)學(xué)命題（強(qiáng)化、自覺使用） 應(yīng)用反證法的情形應(yīng)用反證法的情形： 直接證法難找到證明思路（例題）、需分成很直接證法難找到證明思路（例題）、需分成很多類進(jìn)行討論（引例）多類進(jìn)行討論（引例）31

16、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法，主數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法，主要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 特點：通過有限個步驟的推理，證明特點：通過有限個步驟的推理，證明n n取取無限多個正整數(shù)的情形無限多個正整數(shù)的情形 歸納出數(shù)學(xué)歸納法的原理歸納出數(shù)學(xué)歸納法的原理32 一個數(shù)學(xué)問題（說明需要探索新的證明方法）一個數(shù)學(xué)問題（說明需要探索新的證明方法） “對于數(shù)列對于數(shù)列a an n，已知，已知a a1 11 1，a an n+1+1 （n n1 1，2 2，），通過對），通過對n n = 1= 1，2, 3, 42, 3, 4前前4 4項項

17、的歸納，我們已經(jīng)猜想出其通項公式為的歸納，我們已經(jīng)猜想出其通項公式為a an n ” 逐一驗證是不可能的，需要尋求一種方法：通過有限逐一驗證是不可能的，需要尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明個步驟的推理，證明n n取所有正整數(shù)都成立取所有正整數(shù)都成立 “多米諾骨牌多米諾骨牌”全部倒下的原理全部倒下的原理 使使“多米諾骨牌多米諾骨牌”全部倒下的兩個條件：全部倒下的兩個條件： 第一塊骨牌倒下；第一塊骨牌倒下； 任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo) 致后一塊倒下致后一塊倒下 兩個條件的作用：兩個條件的作用： 條件條件：奠基；條件：奠基；條件：遞推關(guān)系：遞推關(guān)

18、系 1nnaa1n33利用利用“多米諾骨牌多米諾骨牌”原理證明這個數(shù)學(xué)猜原理證明這個數(shù)學(xué)猜想（經(jīng)歷利用合情推理提出猜想想（經(jīng)歷利用合情推理提出猜想 邏輯推理進(jìn)行證明）邏輯推理進(jìn)行證明）34數(shù)學(xué)歸納法的原理：數(shù)學(xué)歸納法的原理：（歸納奠基（歸納奠基）：命題對）：命題對n=n0成立成立(n0為使猜為使猜想成立的最小的正整數(shù)想成立的最小的正整數(shù))；（歸納遞推）：命題若對（歸納遞推）：命題若對n=k成立，則對成立，則對k1也成立（也成立（kn0）學(xué)生普遍存在的問題：學(xué)生普遍存在的問題： 為什么第二步能在假設(shè)下進(jìn)行證明？為什么第二步能在假設(shè)下進(jìn)行證明？ 第二步實際上是證明一個命題：第二步實際上是證明一個命題：“假設(shè)假設(shè)n=kn=k（knkn0 0）時命題成立，證明當(dāng)）時命題成立，證明當(dāng)n=kn=k1 1時命時命題也成立題也成立” ” 其本質(zhì)是證明一個遞推關(guān)系，歸納遞推的作用其本質(zhì)是證明一個遞推關(guān)系，歸納遞推的作用是從前往后傳遞是從前往后傳遞. . 35. .注意合情推理與邏輯推理的聯(lián)系注意合情推理與邏輯推理的聯(lián)系通過合情推理去探索、猜測結(jié)論，但合情推通過合情推理去探索、猜測結(jié)論，但合情推理所得結(jié)論的正確性需要演繹推理（包括數(shù)學(xué)理所得結(jié)論的正確性需要演繹推理（包括數(shù)學(xué)證明）