科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模課件

1、1科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院2 求未知函數(shù)近似表達(dá)式的插值法求未知函數(shù)近似表達(dá)式的插值法2 求插值多項(xiàng)式的求插值多項(xiàng)式的Lagrange法法3 求插值多項(xiàng)式的求插值多項(xiàng)式的Newton法法45 求插值多項(xiàng)式的改進(jìn)算法求插值多項(xiàng)式的改進(jìn)算法6 求函數(shù)近似表達(dá)式的擬合法求函數(shù)近似表達(dá)式的擬合法1 城市供水量的預(yù)測(cè)問(wèn)題城市供水量的預(yù)測(cè)問(wèn)題第第2章章 城市供水量的預(yù)測(cè)模型城市供水量的預(yù)測(cè)模型 插值與擬合算法插值與擬合算法7 城市供水量預(yù)測(cè)的簡(jiǎn)單方法城市供水量預(yù)測(cè)的簡(jiǎn)單方法 32.1 城市供水量的預(yù)測(cè)問(wèn)題城市供水量的預(yù)測(cè)問(wèn)題2.1.1 2.1.1 實(shí)際

2、問(wèn)題與背景實(shí)際問(wèn)題與背景 為了節(jié)約能源和水源，某供水公司需要根據(jù)日供水量記錄為了節(jié)約能源和水源，某供水公司需要根據(jù)日供水量記錄估計(jì)未來(lái)一時(shí)間段（未來(lái)一天或一周）的用水量，以便安排估計(jì)未來(lái)一時(shí)間段（未來(lái)一天或一周）的用水量，以便安排未來(lái)（該時(shí)間段）的生產(chǎn)調(diào)度計(jì)劃?，F(xiàn)有某城市未來(lái)（該時(shí)間段）的生產(chǎn)調(diào)度計(jì)劃?，F(xiàn)有某城市7 7年用水量的年用水量的歷史記錄，記錄中給出了日期、每日用水量（噸歷史記錄，記錄中給出了日期、每日用水量（噸/ /日）。如何日）。如何充分地利用這些數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)充分地利用這些數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)20072007年年1 1月份城市的月份城市的用水量，以制定相應(yīng)的供水計(jì)劃和生

3、產(chǎn)調(diào)度計(jì)劃。用水量，以制定相應(yīng)的供水計(jì)劃和生產(chǎn)調(diào)度計(jì)劃。表表2.1.12.1.1 某城市某城市7 7年日常用水量歷史記錄（萬(wàn)噸年日常用水量歷史記錄（萬(wàn)噸/ /日）日）日期日期2000010120000101200001022000010220061230200612302006123120061231日用水量日用水量122.1790122.1790128.2410128.2410150.40168150.40168148.2064148.20644表表2.1.22.1.2 2000-20062000-2006年年1 1月城市的總用水量（萬(wàn)噸月城市的總用水量（萬(wàn)噸/ /日）日）年份年份20002

4、000200120012002200220032003200420042005200520062006用水量用水量4032403241414186418602540254429642969866986643744374852852443544352344234445054505427442744517451769936993利用這些數(shù)據(jù)，可以采用時(shí)間序列、灰色預(yù)測(cè)等方法建立數(shù)利用這些數(shù)據(jù)，可以采用時(shí)間序列、灰色預(yù)測(cè)等方法建立數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)20072007年年1 1月份該城市的用水量。如果能建立該城市月份該城市的用水量。如果能建立該城市的日用水量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，則用該函數(shù)來(lái)進(jìn)行

5、預(yù)測(cè)非常的日用水量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，則用該函數(shù)來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)非常方便。但是這一函數(shù)關(guān)系的解析表達(dá)式是沒(méi)辦法求出來(lái)的，那么方便。但是這一函數(shù)關(guān)系的解析表達(dá)式是沒(méi)辦法求出來(lái)的，那么能否根據(jù)歷史數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的近似函數(shù)呢？根據(jù)未知函數(shù)的已能否根據(jù)歷史數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的近似函數(shù)呢？根據(jù)未知函數(shù)的已有數(shù)據(jù)信息求出其近似函數(shù)的常用方法有插值法和數(shù)據(jù)擬合。本有數(shù)據(jù)信息求出其近似函數(shù)的常用方法有插值法和數(shù)據(jù)擬合。本章將介紹章將介紹插值法插值法和和數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合，并用這兩種方法給出該城市供水量，并用這兩種方法給出該城市供水量進(jìn)行預(yù)測(cè)。進(jìn)行預(yù)測(cè)。52.2 求未知函數(shù)近似表達(dá)式的插值法求未知函數(shù)近似表達(dá)式的插值法2

6、.2.1 2.2.1 求函數(shù)近似表達(dá)式的必要性求函數(shù)近似表達(dá)式的必要性 一般地，在某個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù)一般地，在某個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù)在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達(dá)式，只能通在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達(dá)式，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到該函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到該函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來(lái)分析函數(shù)的性態(tài)，甚至直接表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來(lái)分析函數(shù)的性態(tài)，甚至直接求出其它一些點(diǎn)上的函數(shù)值是非常困難的。在有些情況下，雖求出其它一些點(diǎn)上的函數(shù)值是非常困難的。在有些情況下

7、，雖然可以寫(xiě)出函數(shù)的解析表達(dá)式，但由于結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使用起然可以寫(xiě)出函數(shù)的解析表達(dá)式，但由于結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使用起來(lái)很不方便。面對(duì)這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)來(lái)很不方便。面對(duì)這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)作為的近似。插值法復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)作為的近似。插值法是解決此類問(wèn)題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，是解決此類問(wèn)題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)。一步學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的基

8、礎(chǔ)。6定義定義2.2.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在 個(gè)不個(gè)不同的點(diǎn)同的點(diǎn) 上分別取值上分別取值 ，在一個(gè)，在一個(gè)性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)類性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)類 中，求一簡(jiǎn)單函數(shù)中，求一簡(jiǎn)單函數(shù) ，使，使 (2.2.1) 而在其它點(diǎn)而在其它點(diǎn) 上作為上作為 的近似。稱區(qū)間的近似。稱區(qū)間 為插值區(qū)為插值區(qū)間，點(diǎn)間，點(diǎn) 為插值節(jié)點(diǎn)，稱（為插值節(jié)點(diǎn)，稱（2.2.1）為）為 的插值條件，的插值條件，稱函數(shù)類稱函數(shù)類 為插值函數(shù)類，稱為插值函數(shù)類，稱 為函數(shù)在節(jié)點(diǎn)為函數(shù)在節(jié)點(diǎn) 處處的插值函數(shù)。求插值函數(shù)的插值函數(shù)。求插值函數(shù) 的方法稱為插值法。插值函數(shù)的方法稱為插值法。插

9、值函數(shù) 類類 的取法不同，所求得的插值函數(shù)的取法不同，所求得的插值函數(shù) 逼近逼近 的效果就的效果就不同，它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數(shù)多項(xiàng)式、不同，它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式和有理函數(shù)等。當(dāng)選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)時(shí)，三角多項(xiàng)式和有理函數(shù)等。當(dāng)選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值問(wèn)題就稱為多項(xiàng)式插值。相應(yīng)的插值問(wèn)題就稱為多項(xiàng)式插值。( )yf x,a b1n 01,naxxxb01,nyyy( )P x 0,1,iiP xy inixx( )f x , a b01,x xx( )f x( )P x01,nxxx( )P x( )P x( )fx7

10、 在多項(xiàng)式插值中，求一次數(shù)不超過(guò)在多項(xiàng)式插值中，求一次數(shù)不超過(guò) 的代數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)多項(xiàng)式 (2.2.2)(2.2.2) 使使 ( (2.2.3)2.2.3) 其中其中 為實(shí)數(shù)。滿足插值條件為實(shí)數(shù)。滿足插值條件(2.2.3)(2.2.3)的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式(2.2.2)(2.2.2)，稱，稱為函數(shù)為函數(shù) 的的 次插值值多項(xiàng)式。次插值值多項(xiàng)式。 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 的幾何意義：過(guò)曲線的幾何意義：過(guò)曲線 上的上的 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 作一條作一條 次代數(shù)曲線次代數(shù)曲線 作為曲線作為曲線 的近似，的近似，如圖如圖2.2.12.2.1所示。所示。n 01nnnP xaaxa x 0,1,niiPxy in01

11、,naaa( )f xnn nP x( )yf x1n ( , )(0,1, )iix y inn( )nyP x( )yf x圖圖2.2.12.2.182.2.22.2.2插值多項(xiàng)式存在唯一性與求插值多項(xiàng)式的解方程組方法插值多項(xiàng)式存在唯一性與求插值多項(xiàng)式的解方程組方法 由插值條件（由插值條件（2.2.32.2.3）知，）知， 的系數(shù)的系數(shù) 滿足線滿足線性方程組性方程組 nP x 由線性代數(shù)知，線性方程組的系數(shù)行列式是由線性代數(shù)知，線性方程組的系數(shù)行列式是 階范德階范德蒙（蒙（VandermondeVandermonde）行列式，且）行列式，且0,1,ia in010000111101nnnn

12、nnnnnaa xa xyaa xa xyaa xa xy （2.2.42.2.4）1n 200021111102111nnniijijnnnnxxxxxxVxxxxx9 因因 是區(qū)間是區(qū)間 上的不同點(diǎn)，上式右端上的不同點(diǎn)，上式右端乘積中的每一個(gè)因子乘積中的每一個(gè)因子 ，于是系數(shù)行列式不等于，于是系數(shù)行列式不等于0 0，即方程組（即方程組（2.2.42.2.4）的解存在且唯一。從而得出下面的結(jié)論：）的解存在且唯一。從而得出下面的結(jié)論：定理定理2.2.12.2.1 若節(jié)點(diǎn)若節(jié)點(diǎn) 互不相同，則滿足插值條件互不相同，則滿足插值條件（2.2.32.2.3）的次插值多項(xiàng)式（）的次插值多項(xiàng)式（2.2.22

13、.2.2）存在且唯一。）存在且唯一。0,1,nx xx,a b0ijx x 0, 1,nx xx10 在上一節(jié)里，不僅指出了插值多項(xiàng)式的存在唯一在上一節(jié)里，不僅指出了插值多項(xiàng)式的存在唯一性，而且也提供了它的一種求法，即通過(guò)解線性方程性，而且也提供了它的一種求法，即通過(guò)解線性方程組（組（2.2.42.2.4）來(lái)確定其系數(shù)）來(lái)確定其系數(shù) 。但是，當(dāng)未知數(shù)個(gè)數(shù)。但是，當(dāng)未知數(shù)個(gè)數(shù)多時(shí)，這種做法的計(jì)算工作量大，不便于實(shí)際應(yīng)用，多時(shí)，這種做法的計(jì)算工作量大，不便于實(shí)際應(yīng)用，LagrangeLagrange插值法就是一種簡(jiǎn)便的求法。插值法就是一種簡(jiǎn)便的求法。2.3 求插值多項(xiàng)式的求插值多項(xiàng)式的Lagran

14、ge法法ia112.3.1 Lagrange2.3.1 Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù) 先考慮一下簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題：對(duì)節(jié)點(diǎn)先考慮一下簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題：對(duì)節(jié)點(diǎn) 中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn) 做一做一 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 使它在該點(diǎn)上取值為使它在該點(diǎn)上取值為1,1,而在其余點(diǎn)而在其余點(diǎn) 上取值為零上取值為零, , 即即 （2.3.12.3.1） 表明表明 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 都是都是 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 的零點(diǎn)，故可設(shè)的零點(diǎn)，故可設(shè) 其中其中 為待定系數(shù)，由條件為待定系數(shù)，由條件 可得可得 0,1,ix in0kxknn( )klx0,1,1,1,ix ikkn 1()0kiiklxikn0,1,1,1,ix ikk

15、n n( )kl x0111( )()()()()()kkkknlxAxxxxxxxxxxkA( ) 1kl x 0111()()()()kkkkkkknAxxxxxxxx12 對(duì)應(yīng)于每一節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于每一節(jié)點(diǎn) 都能求出一個(gè)滿足都能求出一個(gè)滿足插值條件（插值條件（2.3.12.3.1）的）的 次插值多項(xiàng)式（次插值多項(xiàng)式（2.3.22.3.2），這樣，），這樣，由（由（2.3.22.3.2）式可以求出）式可以求出 個(gè)個(gè) 次插插多項(xiàng)式次插插多項(xiàng)式 。容易看出，這組多項(xiàng)式僅與節(jié)點(diǎn)的。容易看出，這組多項(xiàng)式僅與節(jié)點(diǎn)的取法有關(guān)，稱它們?yōu)樵谌》ㄓ嘘P(guān)，稱它們?yōu)樵?個(gè)節(jié)點(diǎn)上的個(gè)節(jié)點(diǎn)上的 次基本插值多項(xiàng)次基本插值多項(xiàng)

16、式或式或 次插值基函數(shù)。次插值基函數(shù)。011011()()()()( )()()()()kknkkkkkkknx xx xx xx xl xxxxxxxxx （2.3.22.3.2）0kxknn1nn01( ),( ),( )nlxlxlx1nnn132.3.2 Lagrange2.3.2 Lagrange（拉格朗日）插值多項(xiàng)式（拉格朗日）插值多項(xiàng)式 利用插值基函數(shù)立即可以寫(xiě)出滿足插值條件（利用插值基函數(shù)立即可以寫(xiě)出滿足插值條件（2.2.32.2.3）的）的 次插次插值多項(xiàng)式值多項(xiàng)式 （2.3.32.3.3） 事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù)事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù) 都是都是 次多項(xiàng)次多項(xiàng)式，故其

17、線性組合（式，故其線性組合（2.3.32.3.3）必是不高于）必是不高于 次的多項(xiàng)式，同時(shí)，根據(jù)次的多項(xiàng)式，同時(shí)，根據(jù)條件（條件（2.2.12.2.1）容易驗(yàn)證多項(xiàng)式（）容易驗(yàn)證多項(xiàng)式（2.3.32.3.3）在節(jié)點(diǎn)）在節(jié)點(diǎn) 處的值處的值 為為 ，因此，它就是待求的，因此，它就是待求的 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 。形如。形如(2.3.3)(2.3.3)的插值多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式，記為的插值多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式，記為n0 01 1( )( )( )n ny lxy lxy lx( )(0,1, )klx knnnix0,1,iy in()niPxnnPx001 1()()()nny

18、 lxy lxy lx0110011()()()()()()()()nkknkkkkkkkknxxxxxxxxyxxxxxxxx（2.3.42.3.4） nL x 14 令，由（令，由（2.3.42.3.4）即得兩點(diǎn)插值公式）即得兩點(diǎn)插值公式 （2.3.52.3.5）即即 （2.3.62.3.6） 這是一個(gè)線性函數(shù)，用線性函數(shù)這是一個(gè)線性函數(shù)，用線性函數(shù) 近似代替近似代替函函數(shù)數(shù) ，在幾何上就是通過(guò)曲線在幾何上就是通過(guò)曲線 上兩點(diǎn)上兩點(diǎn) 做一直線做一直線 近似代替曲線近似代替曲線 （見(jiàn)圖（見(jiàn)圖2.3.1)2.3.1)，故兩點(diǎn)插值又名線性插值。，故兩點(diǎn)插值又名線性插值。011010110( )x

19、xxxL xyyxxxx1010010( )()yyLxyxxxx1( )L x( )f x( )yf x0011( ,),( ,)x yx y1( )yL x( )yf x15 令令 ，由（由（2.3.42.3.4）又可得常用的三點(diǎn)插值公式：）又可得常用的三點(diǎn)插值公式： 這是一個(gè)二次函數(shù)這是一個(gè)二次函數(shù) ，用二次函數(shù)近似代替函數(shù)，用二次函數(shù)近似代替函數(shù) ，在幾，在幾何上就是通過(guò)曲線何上就是通過(guò)曲線 上的三點(diǎn)上的三點(diǎn) 作一拋物線作一拋物線 ，近似地代替曲線，近似地代替曲線 （圖（圖2.3.12.3.1），故稱為三點(diǎn)插），故稱為三點(diǎn)插值值( (二次插值二次插值) )。2n 12020120120

20、10210122021xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxx（2.3.72.3.7）圖圖2.3.12.3.12( )L x( )f x( )yf x001122(,),(,),(,)xyx yxy2( )yLx( )yf x16例例2.3.1 2.3.1 已知已知 分別用線性插值和拋物插值分別用線性插值和拋物插值求求 的值。的值。 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?15115在在100100和和121121之間，故取節(jié)點(diǎn)之間，故取節(jié)點(diǎn) ， ，相應(yīng)地有相應(yīng)地有 ， ，于是，由線性插值公式（，于是，由線性插值公式（2.3.52.3.5）可）可得得 故用線性插值求得的近似值為：故用線性插值求得的近

21、似值為：10010, 12111, 144121150100 x 1121x 010y 111y 1121100( )1011100 121121 100 xxL x圖圖2.3.22.3.21115 121115 100115(115)101110.714100 121121 100L17仿上，用拋物插值公式（仿上，用拋物插值公式（2.3.72.3.7）所求得的近似值為：）所求得的近似值為： 將所得結(jié)果與將所得結(jié)果與 的精確值的精確值 相比較，可以看出拋物相比較，可以看出拋物插值的精確度較好。為了便于上機(jī)計(jì)算，我們常將拉格朗日插值多項(xiàng)插值的精確度較好。為了便于上機(jī)計(jì)算，我們常將拉格朗日插值多項(xiàng)

22、式（式（2.3.42.3.4）改寫(xiě)成公式（）改寫(xiě)成公式（2.3.82.3.8）的對(duì)稱形式）的對(duì)稱形式2115 121 115 144115 100 115 1441151151011100 121 144 121121 100 121 144115 100 115 12112144 100 144 12110.732L11510.732800( )nnjnkkjkjjkxxLxyxx（2.3.82.3.8）18編程框圖如圖編程框圖如圖2.3.32.3.3，可用二重循環(huán)來(lái)完成，可用二重循環(huán)來(lái)完成 值的計(jì)算，先通過(guò)值的計(jì)算，先通過(guò)內(nèi)循環(huán)，即先固定內(nèi)循環(huán)，即先固定 ，令，令 從從0 0到到 累乘求得

23、累乘求得 然后再通過(guò)外循環(huán)，即令然后再通過(guò)外循環(huán)，即令 從從0 0到到 ，累加得出插值結(jié)果，累加得出插值結(jié)果圖圖2.3.32.3.30( )njkjkjjkxxlxxx( )nL xkj()n jkkn( )nLx19 2.3.3 2.3.3 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) 在插值區(qū)間在插值區(qū)間 上用插值多項(xiàng)式上用插值多項(xiàng)式 近似代替近似代替 ，除了在插值節(jié)點(diǎn)除了在插值節(jié)點(diǎn) 上沒(méi)有誤差以外，在其他點(diǎn)上一般有存在誤差的。上沒(méi)有誤差以外，在其他點(diǎn)上一般有存在誤差的。若記若記 則則 就是用就是用 近似代替近似代替 時(shí)所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差，稱為插值時(shí)所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差，稱為插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式 的余項(xiàng)。的余項(xiàng)。 關(guān)于誤差有如

24、下定理關(guān)于誤差有如下定理2.3.12.3.1中的估計(jì)式。中的估計(jì)式。 定理定理2.3.12.3.1 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上有直到上有直到 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), , 為區(qū)間為區(qū)間 上上 個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)，個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)， 為滿足條件為滿足條件: : 的的 次插值多項(xiàng)式，則對(duì)于任何次插值多項(xiàng)式，則對(duì)于任何 有有 , a b()nPx()fxix( )( )( )nnR xf xP x( )nR x( )nP x( )f x( )nPx( )f x , a b1n 01,nxxx , a b1n( )nPx( )( )(0,1, )niiP xf x inn,xa b(1 )1()()()(1) !nnnfRx

25、xn（2.3.92.3.9）20其中其中 且依賴于且依賴于證明證明 由插值條件由插值條件 知知 ，即插，即插值節(jié)點(diǎn)都是值節(jié)點(diǎn)都是 的零點(diǎn)的零點(diǎn), ,故可設(shè)故可設(shè) (2.3.10)(2.3.10)其中其中 為待定函數(shù)。下面求為待定函數(shù)。下面求 。對(duì)區(qū)間。對(duì)區(qū)間 上異于上異于 的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn) 作輔助函數(shù)：作輔助函數(shù)： 不難看出具有如下特點(diǎn)不難看出具有如下特點(diǎn)（1 1）（2 2）在）在 上有直到上有直到 階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且10( )() ,(a,b)nniixxxx()()niiP xf x( )0(0,1, )niR xin( )nR x1()()()nnRxKxx( )K x()Kx ,

26、 a bixixx1( )( )( )( )( )nnF tf tP tK xt( )()0(0,1, )iF xF xin (2.3.11) (2.3.11)(1)(1)( )( )( )(1)!nnFtftK x n , a b1n （2.3.122.3.12）21等式（等式（2.3.112.3.11）表明）表明 在在 上至少有上至少有 個(gè)互異的個(gè)互異的零點(diǎn)，根據(jù)羅爾零點(diǎn)，根據(jù)羅爾(Rolle)(Rolle)定理，在定理，在 的兩個(gè)零點(diǎn)之間，的兩個(gè)零點(diǎn)之間， 至少有一個(gè)零點(diǎn)，因此，至少有一個(gè)零點(diǎn)，因此， 在在 內(nèi)至少有內(nèi)至少有 個(gè)互個(gè)互異的零點(diǎn)，對(duì)異的零點(diǎn)，對(duì) 再應(yīng)用羅爾定理，推得再應(yīng)用羅

27、爾定理，推得 在在 內(nèi)至少有內(nèi)至少有 個(gè)互異的零點(diǎn)。繼續(xù)上述討論，可推得個(gè)互異的零點(diǎn)。繼續(xù)上述討論，可推得 在在 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，若記為內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，若記為 ，則則 ，于是由（，于是由（2.3.122.3.12）式得）式得將它代入將它代入(2.3.10)(2.3.10)即得（即得（2.3.92.3.9）。對(duì)于）。對(duì)于 ，（，（2.3.92.3.9）顯然成立。顯然成立。( )F t , a b2n( )F t( )F t( )F t( , )a b1n( )F t( )Ft(,)a bn(1)( )nFt( , )a b(1)( )0nF(1)()()(1)!0nfKxn(1 )()()(

28、1) !nfKxnixx22例例2.3.2 2.3.2 在例在例2.3.22.3.2中分別用線性插值和拋物插值計(jì)算了中分別用線性插值和拋物插值計(jì)算了 近似近似值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。 解解 用線性插值求用線性插值求 的近似值，其截?cái)嗾`差由插值余項(xiàng)公式的近似值，其截?cái)嗾`差由插值余項(xiàng)公式（2.3.92.3.9）知）知 現(xiàn)在現(xiàn)在 ， ， ，故，故 115( )f xx123/201011( )( )( )21()(),8R xfxxxxxx x 0100 x 1121x 115x 3/21100,12131(115)(115100)(115121)max81156 100

29、.011258R23當(dāng)用拋物插值求當(dāng)用拋物插值求 的近似值時(shí)，其截?cái)嗾`差為的近似值時(shí)，其截?cái)嗾`差為 現(xiàn)在現(xiàn)在 ， ， 代入，即得代入，即得0100 x 1121x 115x521(115)(115100)(115121)(115144)100.001716R( )f xx2352012021( )( )( )3!1()()(),16Rxfxxxxxxxxx 24 2.3.4 2.3.4 插值誤差的事后估計(jì)法插值誤差的事后估計(jì)法 在許多情況下，要直接應(yīng)用余項(xiàng)公式（在許多情況下，要直接應(yīng)用余項(xiàng)公式（2.3.92.3.9）來(lái)估）來(lái)估計(jì)誤差是很困難的，下面將以線性插值為例，介紹另一種計(jì)誤差是很困難的，

30、下面將以線性插值為例，介紹另一種估計(jì)誤差的方法。估計(jì)誤差的方法。 設(shè)設(shè) 且且 為已知，若將用為已知，若將用 兩兩點(diǎn)做線性插值求得點(diǎn)做線性插值求得 的近似值為的近似值為 ，用，用 兩點(diǎn)作兩點(diǎn)作線性插值所求得線性插值所求得 的近似值記為的近似值記為 ，則由余項(xiàng)公式，則由余項(xiàng)公式（2.3.92.3.9）知：）知： 假設(shè)假設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 中變化不大，將上面兩式相除，中變化不大，將上面兩式相除，即得近似式即得近似式012xxxx( ) (0,1,2)if xi 01,xx( )yf x1y02,xx( )yf x2y110110122022021()()(),21()()(),2yyfxxxxxxyy

31、fxxxxxx( )f x02,xx25 即即 近似式（近似式（2.3.132.3.13）表明，可以通過(guò)兩個(gè)結(jié)果的偏差）表明，可以通過(guò)兩個(gè)結(jié)果的偏差 來(lái)估計(jì)插值，這種直接利用計(jì)算結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的方法，來(lái)估計(jì)插值，這種直接利用計(jì)算結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的方法，稱為事后估計(jì)法。稱為事后估計(jì)法。1122yyxxyyxx112121()xxyyyyxx（2.3.132.3.13）21yy26 在例在例2.3.12.3.1中，用中，用 做節(jié)點(diǎn)，算得的做節(jié)點(diǎn)，算得的 近似近似值為值為 ，同樣，用，同樣，用 做節(jié)點(diǎn)，可算得做節(jié)點(diǎn)，可算得 的另一近似值的另一近似值 。 通過(guò)（通過(guò)（2.3.132.3.13）可以估計(jì)出

32、插值）可以估計(jì)出插值 的誤差為：的誤差為：01100,121xx115110.714y 02100,144xx115210.682y1115121115(10.68210.714)0.00835144121y1y272.4 求插值多項(xiàng)式的求插值多項(xiàng)式的Newton法法 由線性代數(shù)可知，任何一個(gè)不高于由線性代數(shù)可知，任何一個(gè)不高于 次的多項(xiàng)式，都可表示成函數(shù)次的多項(xiàng)式，都可表示成函數(shù) 的線性組的線性組合，即可將滿足插值條件合，即可將滿足插值條件 的的 次多項(xiàng)式寫(xiě)成次多項(xiàng)式寫(xiě)成形式形式 其中其中 為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為牛頓為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為牛頓NewtonNewto

33、n插值多項(xiàng)式，我們把它記成插值多項(xiàng)式，我們把它記成 , ,即即 因此，牛頓插值多項(xiàng)式因此，牛頓插值多項(xiàng)式 是插值多項(xiàng)式是插值多項(xiàng)式 的另一種表的另一種表示形式示形式, ,與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，不僅克服了與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算機(jī)工作必須重新開(kāi)始時(shí)整個(gè)計(jì)算機(jī)工作必須重新開(kāi)始”見(jiàn)例見(jiàn)例2.3.12.3.1的缺點(diǎn)，而且可以的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù)。同時(shí)，在牛頓插值多項(xiàng)式中用到的差分與差除法運(yùn)算次數(shù)。同時(shí)，在牛頓插值多項(xiàng)式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其它方面有著密切的關(guān)系商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其它方面有著密切的關(guān)系.

34、 .n0010111,()(),()()()nxxxxxxxxxxxx()(0,1,)iiP xyinn010201011()()()()()()nnaa xxaxxxxaxxxxxx0,1,ka kn( )nNx 01021011nonnN xaa x xa x xx xa x xx xx x nNx（2.4.1）nPx282.4.1 2.4.1 向前差分與向前差分與NewtonNewton（牛頓）向前插值公式（牛頓）向前插值公式 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 為為已知，其中已知，其中 是正常數(shù)，稱為步長(zhǎng)，稱兩個(gè)相鄰點(diǎn)是正常數(shù)，稱為步長(zhǎng)，稱兩個(gè)相鄰點(diǎn) 和和 處函數(shù)

35、處函數(shù)值之差值之差 為函數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處以處以 為步長(zhǎng)的一階向前差分為步長(zhǎng)的一階向前差分簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱一階差分稱一階差分，記，記 ，即，即 于是，函數(shù)于是，函數(shù) 在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為 又稱一階差分的差分又稱一階差分的差分 為二階差分。為二階差分。一般地，定義函數(shù)一般地，定義函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的 階差分為：階差分為： 為了便于計(jì)算與應(yīng)用，通常采用表格形式計(jì)算差分，如表為了便于計(jì)算與應(yīng)用，通常采用表格形式計(jì)算差分，如表2.4.12.4.1所示。所示。( )f x00,1,kxxkh kn kkf xyhkx1kx1kkyy( )f xkxhky1kkkyyy( )

36、f x01012111,nnnyyyyyyyyy21kkkkyyyy ( )f xkxm111mmmkkkyyy 29 在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn) 情況下，可以利用情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項(xiàng)式差分表示牛頓插值多項(xiàng)式2.4.12.4.1 的系數(shù)，并將所得公的系數(shù)，并將所得公式加以簡(jiǎn)化。事實(shí)上，由插值條件式加以簡(jiǎn)化。事實(shí)上，由插值條件 即可得即可得 。 kxkyky2ky3ky4ky0 x2x3x4x1x0y1y2y3y4y0y1y2y3y20y21y22y30y31yiy 表2.4.10(0 ,1,)kxxk h kn00nNxy00ay30 再由插值條件再由插值條件 可得：可得： 由插值條

37、件由插值條件 可得：可得： 一般地，由插值條件一般地，由插值條件 可得可得: : 于是，滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為：于是，滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為： 11nNxy100110yyyaxxh0202202100222021222!yxxyyyyyyhaxxxxhhh(1,2,)!kokkyaknkh22nNxynkkNxy 2000000101122!nnnnyyyN xyx xx xx xx xx xx xhhn h31 令令 并注意到并注意到 則可簡(jiǎn)化為則可簡(jiǎn)化為 這個(gè)用向前差分表示的插值多項(xiàng)式，稱為牛頓向前插這個(gè)用向前差分表示的插值多項(xiàng)式，稱為牛頓向前插值公式，簡(jiǎn)稱前插公式。它適用于計(jì)算

38、表頭值公式，簡(jiǎn)稱前插公式。它適用于計(jì)算表頭 附近的函附近的函數(shù)值。數(shù)值。 由插值余項(xiàng)公式（由插值余項(xiàng)公式（2.3.92.3.9），可得前插公式的余項(xiàng)為：），可得前插公式的余項(xiàng)為：0(0)xxth t0kxxkh2000001112!nnt tt ttnNxthyt yyyn （2.4.22.4.2）0 x 11001,(,)1 !nnnnt ttnRxthhfxxn （2.4.32.4.3）32例例2.4.1 2.4.1 從給定的正弦函數(shù)表從給定的正弦函數(shù)表表表2.4.22.4.2左邊兩列左邊兩列出發(fā)計(jì)出發(fā)計(jì)算算 , ,并估計(jì)截?cái)嗾`差。并估計(jì)截?cái)嗾`差。sin(0.12)表表2.4.22.4.2

39、xs in xy2y3y0.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.0019933解解 因?yàn)橐驗(yàn)?.120.12介于介于0.10.1與與0.20.2之間，故取之間，故取 ，此時(shí)，此時(shí) 為求為求 構(gòu)造差分表構(gòu)造差分表2.4.22.4.2，表中長(zhǎng)方形，表中長(zhǎng)方形框中各數(shù)依次為框中各數(shù)依次為 在在 處的函數(shù)值和各階差分。處的函數(shù)值和各階差分。若用線性插值求

40、若用線性插值求 的近似值，則由前插公式（的近似值，則由前插公式（2.4.22.4.2）立即可得立即可得 用二次插值得：用二次插值得：00.1x 00.120.10.20.1xxth23000,yyysin x00.1x sin(0.12)1sin(0.12)(0.12)0.099830.20.099840.11960N21sin(0.12)(0.12)0.2 (0.2 1)0.099830.2 0.09884( 0.00199)2(0.12)0.000160.11976NN 34 用三次插值得：用三次插值得： 因因 與與 很接近，且由差分表很接近，且由差分表2.4.22.4.2可以看出，三可以

41、看出，三階差分接近于常數(shù)（即階差分接近于常數(shù)（即 接近于零），故取接近于零），故取 作為作為 的近似值，此時(shí)由余項(xiàng)公式（的近似值，此時(shí)由余項(xiàng)公式（2.4.32.4.3）可知其截）可知其截?cái)嗾`差為：斷誤差為：32sin(0.12)(0.12)0.2 (0.2 1) (0.22)(0.12)( 0.00096)60.11971NN 430.2 (0.2 1) (0.22) (0.23)(0.12)(0.1)sin(0.4)0.00000224R3(0.12)N2(0.12)N40y3(0.12)0.11971Nsin(0.12)352.4.2 2.4.2 向后差分與向后差分與NewtonNewto

42、n（牛頓）向后插值公式（牛頓）向后插值公式 在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn) 下，除了向前差分外，還下，除了向前差分外，還可引入向后差分和中心差分，其定義和記號(hào)分別如下：可引入向后差分和中心差分，其定義和記號(hào)分別如下： 在點(diǎn)在點(diǎn) 處以處以 為步長(zhǎng)的一階向后差分和為步長(zhǎng)的一階向后差分和 階向后差分分別為：階向后差分分別為： 在點(diǎn)在點(diǎn) 處以處以 為步長(zhǎng)的一階中心差分和為步長(zhǎng)的一階中心差分和 階中心差分分別為：階中心差分分別為：0(0,1, )kxxkh kn( )y f xkxhm1111(2,3, )kkkmmmkkkyyyyyymkxhm1122111122(2,3,)kkkmmmkkkyyyyyym36

43、 其中其中 ，各階向后差分與中，各階向后差分與中心差分的計(jì)算，可通過(guò)構(gòu)造向后差分表與中心差分表來(lái)完成（參見(jiàn)表心差分的計(jì)算，可通過(guò)構(gòu)造向后差分表與中心差分表來(lái)完成（參見(jiàn)表2.4.22.4.2）。）。 利用向后差分，可簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式（利用向后差分，可簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式（2.4.12.4.1），導(dǎo)出與牛頓前），導(dǎo)出與牛頓前插公式（插公式（2.4.22.4.2）類似的公式，即：）類似的公式，即： 若將節(jié)點(diǎn)的排列次序看作若將節(jié)點(diǎn)的排列次序看作 ，那么，那么?2.4.1)2.4.1)可寫(xiě)成：可寫(xiě)成： 根據(jù)插值條件根據(jù)插值條件 得到一個(gè)用向后差分表示的得到一個(gè)用向后差分表示的插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式：11

44、22,22kkkkhhyfxyfx10,nnxxx 012111nnnnnnnN xbb x xb x xx xb x xx xx x (,1,1,0)niiNxy in n 37 其中其中t0t0，插值多項(xiàng)式，插值多項(xiàng)式(2.4.4)(2.4.4)稱為牛頓向后插值公式，稱為牛頓向后插值公式，簡(jiǎn)稱后插公式。它適用于計(jì)算表尾簡(jiǎn)稱后插公式。它適用于計(jì)算表尾 附近的函數(shù)值。由插值附近的函數(shù)值。由插值余項(xiàng)公式（余項(xiàng)公式（2.3.92.3.9），可寫(xiě)出后插公式的余項(xiàng)為：），可寫(xiě)出后插公式的余項(xiàng)為： 例例2.4.2 2.4.2 已知函數(shù)表同例已知函數(shù)表同例2.4.12.4.1，計(jì)算，計(jì)算 ，并估，并估算其

45、截?cái)嗾`差。算其截?cái)嗾`差。 21112!nnnnnnnt tt ttnNxthyt yyyn （2.4.42.4.4）nx 1101(,)1 !nnnnnt ttnRxthhfxxn（2.4.52.4.5）sin(0.58)38 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?.580.58位于表尾位于表尾 附近，故用后插公式附近，故用后插公式（2.4.42.4.4）計(jì)算）計(jì)算 的近似值。的近似值。 一般的，為了計(jì)算函數(shù)在一般的，為了計(jì)算函數(shù)在 處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，對(duì)同一函數(shù)表來(lái)說(shuō)，構(gòu)造出來(lái)的向后差分

46、表與向前差分表對(duì)同一函數(shù)表來(lái)說(shuō)，構(gòu)造出來(lái)的向后差分表與向前差分表在數(shù)據(jù)上完全相同。因此，表（在數(shù)據(jù)上完全相同。因此，表（2.4.22.4.2）用）用“”“”線標(biāo)線標(biāo)出的各數(shù)依次給出了出的各數(shù)依次給出了 在在 處的函數(shù)值和向后差處的函數(shù)值和向后差分值。因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計(jì)分值。因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計(jì)算，且算，且 于是由向后差分公式（于是由向后差分公式（2.4.42.4.4）得：）得：50.6x sin(0.58)5xsin x50.6x 50.58 0.60.20.1xxth39 因?yàn)樵谡麄€(gè)計(jì)算中，只用到四個(gè)點(diǎn)因?yàn)樵谡麄€(gè)計(jì)算中，只用到四個(gè)點(diǎn) 上的函數(shù)

47、值，固由余項(xiàng)公式（上的函數(shù)值，固由余項(xiàng)公式（2.4.52.4.5）知其截?cái)嗾`差為：）知其截?cái)嗾`差為：3( 0.2) ( 0.2 1)sin(0.58)(0.58)0.56464( 0.2) 0.08521( 0.00480)2( 0.2) ( 0.2 1) ( 0.22)( 0.00091)60.54802N 0.6,0.5,0.4,0.3x 30.2 ( 0.2 1) ( 0.22) ( 0.23)4(0.58)(0.1)sin(0.6)0.00000224R 402.4.3 2.4.3 差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)非等距分布時(shí)，就不能引入差分來(lái)簡(jiǎn)化牛頓當(dāng)插值

48、節(jié)點(diǎn)非等距分布時(shí)，就不能引入差分來(lái)簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式，此時(shí)可用差商這個(gè)新概念來(lái)解決。插值多項(xiàng)式，此時(shí)可用差商這個(gè)新概念來(lái)解決。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在一串互異的點(diǎn)在一串互異的點(diǎn) 上的值依上的值依次為次為 我們稱函數(shù)值之差我們稱函數(shù)值之差 與自變量之差與自變量之差 的比值的比值 為函數(shù)為函數(shù) 關(guān)于關(guān)于 點(diǎn)的一階差商，記作點(diǎn)的一階差商，記作( )f x012,iiixxx012()( )()iiif xf xf x 、10()()iif xf x10iixx1010()()iiiifxfxxx( )fx10,iixx01,iif xx41例例2.4.3 2.4.3 稱一階差商的差商稱一階差商的差商 為函

49、數(shù)為函數(shù) 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的二階差商（簡(jiǎn)稱二階差商），的二階差商（簡(jiǎn)稱二階差商），記作記作 ， 例例2.4.4 2.4.4 一般地，可通過(guò)函數(shù)一般地，可通過(guò)函數(shù) 的的 階差商定義的階差商定義的 階差商階差商如下：如下： 差商計(jì)算也可采用表格形式（稱為差商表），如表差商計(jì)算也可采用表格形式（稱為差商表），如表2.4.32.4.3所示：所示：102101121021()()()(),fxfxfxfxf xxf xxxxxx120120,iiiiiifxxfxxxx( )f x012iiixxx、 、012,iiifxxx120101220,fxxfxxfxxxxx( )f x1m m101010,m

50、mmmiiiiiiiiif xxf xxf xxxxx42 二階差商二階差商 kx()kf x 一階差商一階差商0 x1x2x3x0()f x1( )f x2()f x3()f x01,f x x12 ,f x x23,f x x012,f x x x123 ,f x x x0123,f x x x x表表2.4.32.4.3 三階差商三階差商差商具有下列重要性質(zhì)（證明略）：差商具有下列重要性質(zhì)（證明略）：43（1 1）函數(shù)）函數(shù) 的的 階差商階差商 可由函數(shù)值可由函數(shù)值 的線性組合表示，且的線性組合表示，且（2 2）差商具有對(duì)稱性，即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序，不影響差商的值。例如）差商具有對(duì)稱性，

51、即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序，不影響差商的值。例如（）當(dāng)（）當(dāng) 在包含節(jié)點(diǎn)在包含節(jié)點(diǎn) 的某個(gè)區(qū)間上存在時(shí)，在的某個(gè)區(qū)間上存在時(shí)，在 之間必有一點(diǎn)之間必有一點(diǎn) ，使，使（4 4）在等距節(jié)點(diǎn)）在等距節(jié)點(diǎn) 情況下，可同時(shí)引入情況下，可同時(shí)引入 階差分與差商，且有下面關(guān)系：階差分與差商，且有下面關(guān)系：( )f x01,mf xxxm 01mf xf xf x、 010011,()()()()mimiiiiiiimf xf x xxxxxxxxxx012102120,.f xx xf x xxf x xx mfx0,1,jixjm01,miiixxx 10,!immiiff xxxm，00,1,kxxkh kn

52、mmn44引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項(xiàng)式（引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項(xiàng)式（2.4.12.4.1）的系）的系數(shù)。事實(shí)上，從插值條件出發(fā)，可以像確定前插公式中的系數(shù)那樣，數(shù)。事實(shí)上，從插值條件出發(fā)，可以像確定前插公式中的系數(shù)那樣，逐步地確定（逐步地確定（2.4.12.4.1）中的系數(shù)）中的系數(shù) 故滿足插值條件故滿足插值條件 的的 次插值多項(xiàng)式為：次插值多項(xiàng)式為： （2.4.62.4.6）（2.4.62.4.6）稱為牛頓基本插值多項(xiàng)式，常用來(lái)計(jì)算非等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。）稱為牛頓基本插值多項(xiàng)式，常用來(lái)計(jì)算非等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。0011,!,!mmmmnnnnmmyfxx

53、xmhyfxxxmh0001(), (1,2, )kkaf xaf x xxkn0,1,niiNxy in 00100120101011,()()()nnnNxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxxn45例例2.4.5 2.4.5 試用牛頓基本差值多項(xiàng)式按例試用牛頓基本差值多項(xiàng)式按例1 1要求重新計(jì)算的近要求重新計(jì)算的近似值。似值。解解 先構(gòu)造差商表先構(gòu)造差商表 由上表可以看出牛頓基本插值多項(xiàng)式（由上表可以看出牛頓基本插值多項(xiàng)式（2.4.62.4.6）中各系數(shù)）中各系數(shù)依次為：依次為：0()10fx01,0.047619f x x 012 , ,0.000094f

54、x x x 46 故用線性插值所得的近似值為：故用線性插值所得的近似值為： 用拋物插值所求得的近似值為：用拋物插值所求得的近似值為： 所得結(jié)果與例所得結(jié)果與例2.4.12.4.1一致。比較例一致。比較例2.4.12.4.1和例和例2.4.52.4.5的計(jì)算過(guò)程可的計(jì)算過(guò)程可以看出，與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，牛頓差值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是明以看出，與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，牛頓差值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是明顯的。顯的。 由差值多項(xiàng)式的存在唯一性定理知，滿足同一組差值條件的拉格由差值多項(xiàng)式的存在唯一性定理知，滿足同一組差值條件的拉格朗日多項(xiàng)式（朗日多項(xiàng)式（2.3.42.3.4）與牛頓基本差值多項(xiàng)式（）與牛頓基本

55、差值多項(xiàng)式（2.4.62.4.6）是同一多項(xiàng)式。）是同一多項(xiàng)式。因此，余項(xiàng)公式（因此，余項(xiàng)公式（2.3.92.3.9）也適用于牛頓插值。但是在實(shí)際計(jì)算中，）也適用于牛頓插值。但是在實(shí)際計(jì)算中，有時(shí)也用差商表示的余項(xiàng)公式：有時(shí)也用差商表示的余項(xiàng)公式： （2.4.72.4.7） 來(lái)估計(jì)截?cái)嗾`差（證明略）來(lái)估計(jì)截?cái)嗾`差（證明略） 注意注意 上式中的上式中的 階差商階差商 與與 的值有關(guān)，故不能的值有關(guān)，故不能準(zhǔn)確地計(jì)算出準(zhǔn)確地計(jì)算出 的精確值，只能對(duì)它做一種估計(jì)。的精確值，只能對(duì)它做一種估計(jì)。1115(115)10 0.047619 (115 100)10.7143N21115(115)(115)

56、( 0.000094) (115 100) (115 121) 10.7228NN 011( ),( )nnnRxf xxxxx1n 01,mf x xx( )f x01,mf x xx47例例2.4.6 2.4.6 當(dāng)四階差商變化不大時(shí)，可用當(dāng)四階差商變化不大時(shí)，可用近似代替近似代替01234 , ,f x x x x x0123, f x x x x x482.5 求插值多項(xiàng)式的改進(jìn)算法求插值多項(xiàng)式的改進(jìn)算法2.5.1 2.5.1 分段低次插值分段低次插值例例2.3.22.3.2、例、例2.4.12.4.1表明適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可表明適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)

57、果的準(zhǔn)確程度。但是決不可由此得出結(jié)論，能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。但是決不可由此得出結(jié)論，認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。例例2.5.1 2.5.1 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)先以先以 為節(jié)點(diǎn)作五次插值多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)作五次插值多項(xiàng)式 ，再以再以 為節(jié)點(diǎn)作十次插值多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)作十次插值多項(xiàng)式 ，并將曲線并將曲線21( )( 11)125f xxx 21(0,1,5)5ixi i 11(0,1,10)5ixi i 5( )P x10( )Px51021( ),( ),( )( 1,1)125f xyP xyPx xx 49描繪在同一坐標(biāo)系中。如圖描繪在同一坐標(biāo)系中。如圖2.5.12.5.

58、1所示：所示：50 雖然在局部范圍中，例如在雖然在局部范圍中，例如在 區(qū)間中，區(qū)間中， 比比 較好地逼近較好地逼近 , ,但從整體上看，但從整體上看， 并非處處都比并非處處都比 較好較好地逼近，尤其是在地逼近，尤其是在 區(qū)間的端點(diǎn)附近。進(jìn)一步的分析表明，當(dāng)區(qū)間的端點(diǎn)附近。進(jìn)一步的分析表明，當(dāng) 增大時(shí)，該函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)下的高次插值多項(xiàng)式增大時(shí)，該函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)下的高次插值多項(xiàng)式 ，在，在 兩兩端會(huì)發(fā)生激烈的振蕩。這種現(xiàn)象稱為龍格（端會(huì)發(fā)生激烈的振蕩。這種現(xiàn)象稱為龍格（Runge)Runge)現(xiàn)象。這表明，在現(xiàn)象。這表明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近的效果可能不理想。大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近的效

59、果可能不理想。 另一方面，插值誤差除來(lái)自截?cái)嗾`差外，還來(lái)自初始數(shù)據(jù)的誤差另一方面，插值誤差除來(lái)自截?cái)嗾`差外，還來(lái)自初始數(shù)據(jù)的誤差和計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差。插值次數(shù)越高，計(jì)算工作越大，積累誤差和計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差。插值次數(shù)越高，計(jì)算工作越大，積累誤差也可能越大。也可能越大。 因此，在實(shí)際計(jì)算中，常用分段低次插值進(jìn)行計(jì)算，即把整個(gè)插因此，在實(shí)際計(jì)算中，常用分段低次插值進(jìn)行計(jì)算，即把整個(gè)插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值。值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值。 0.2,0.210( )Px5( )P x( )f x10( )Px5( )P x1,1n1,151( )yf

60、x例例2.5.2 2.5.2 當(dāng)給定當(dāng)給定 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 上的函數(shù)值上的函數(shù)值 后，若要計(jì)算點(diǎn)后，若要計(jì)算點(diǎn) 處函數(shù)值處函數(shù)值 的近似值，可先選取兩個(gè)的近似值，可先選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 使使 ，然后在小區(qū)間上作線性插值，即得，然后在小區(qū)間上作線性插值，即得 這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2.5.22.5.2所示。故分段線性插值又稱折線插值所示。故分段線性插值又稱折線插值. . 1n 01nxxx01nyyy1,iixxx( )f x1,iixx1,iixxx11111 ( )( )iiiiiiiixxxx