科學計算與數學建模課件

1、1科學計算與數學建模中南大學數學科學與計算技術學院中南大學數學科學與計算技術學院2 求未知函數近似表達式的插值法求未知函數近似表達式的插值法2 求插值多項式的求插值多項式的Lagrange法法3 求插值多項式的求插值多項式的Newton法法45 求插值多項式的改進算法求插值多項式的改進算法6 求函數近似表達式的擬合法求函數近似表達式的擬合法1 城市供水量的預測問題城市供水量的預測問題第第2章章 城市供水量的預測模型城市供水量的預測模型 插值與擬合算法插值與擬合算法7 城市供水量預測的簡單方法城市供水量預測的簡單方法 32.1 城市供水量的預測問題城市供水量的預測問題2.1.1 2.1.1 實際

2、問題與背景實際問題與背景 為了節(jié)約能源和水源，某供水公司需要根據日供水量記錄為了節(jié)約能源和水源，某供水公司需要根據日供水量記錄估計未來一時間段（未來一天或一周）的用水量，以便安排估計未來一時間段（未來一天或一周）的用水量，以便安排未來（該時間段）的生產調度計劃?，F有某城市未來（該時間段）的生產調度計劃?，F有某城市7 7年用水量的年用水量的歷史記錄，記錄中給出了日期、每日用水量（噸歷史記錄，記錄中給出了日期、每日用水量（噸/ /日）。如何日）。如何充分地利用這些數據建立數學模型，預測充分地利用這些數據建立數學模型，預測20072007年年1 1月份城市的月份城市的用水量，以制定相應的供水計劃和生

3、產調度計劃。用水量，以制定相應的供水計劃和生產調度計劃。表表2.1.12.1.1 某城市某城市7 7年日常用水量歷史記錄（萬噸年日常用水量歷史記錄（萬噸/ /日）日）日期日期2000010120000101200001022000010220061230200612302006123120061231日用水量日用水量122.1790122.1790128.2410128.2410150.40168150.40168148.2064148.20644表表2.1.22.1.2 2000-20062000-2006年年1 1月城市的總用水量（萬噸月城市的總用水量（萬噸/ /日）日）年份年份20002

4、000200120012002200220032003200420042005200520062006用水量用水量4032403241414186418602540254429642969866986643744374852852443544352344234445054505427442744517451769936993利用這些數據，可以采用時間序列、灰色預測等方法建立數利用這些數據，可以采用時間序列、灰色預測等方法建立數學模型來預測學模型來預測20072007年年1 1月份該城市的用水量。如果能建立該城市月份該城市的用水量。如果能建立該城市的日用水量隨時間變化的函數關系，則用該函數來進行

5、預測非常的日用水量隨時間變化的函數關系，則用該函數來進行預測非常方便。但是這一函數關系的解析表達式是沒辦法求出來的，那么方便。但是這一函數關系的解析表達式是沒辦法求出來的，那么能否根據歷史數據求出該函數的近似函數呢？根據未知函數的已能否根據歷史數據求出該函數的近似函數呢？根據未知函數的已有數據信息求出其近似函數的常用方法有插值法和數據擬合。本有數據信息求出其近似函數的常用方法有插值法和數據擬合。本章將介紹章將介紹插值法插值法和和數據擬合數據擬合，并用這兩種方法給出該城市供水量，并用這兩種方法給出該城市供水量進行預測。進行預測。52.2 求未知函數近似表達式的插值法求未知函數近似表達式的插值法2

6、.2.1 2.2.1 求函數近似表達式的必要性求函數近似表達式的必要性 一般地，在某個實際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數一般地，在某個實際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達式，只能通在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達式，只能通過實驗和觀測得到該函數在有限個點上的函數值（即一張函數過實驗和觀測得到該函數在有限個點上的函數值（即一張函數表）。顯然，要利用這張函數表來分析函數的性態(tài)，甚至直接表）。顯然，要利用這張函數表來分析函數的性態(tài)，甚至直接求出其它一些點上的函數值是非常困難的。在有些情況下，雖求出其它一些點上的函數值是非常困難的。在有些情況下

7、，雖然可以寫出函數的解析表達式，但由于結構相當復雜，使用起然可以寫出函數的解析表達式，但由于結構相當復雜，使用起來很不方便。面對這些情況，總希望根據所得函數表（或結構來很不方便。面對這些情況，總希望根據所得函數表（或結構復雜的解析表達式），構造某個簡單函數作為的近似。插值法復雜的解析表達式），構造某個簡單函數作為的近似。插值法是解決此類問題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，是解決此類問題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應用于生產實際和科學研究中，而且也是進它不僅直接廣泛地應用于生產實際和科學研究中，而且也是進一步學習數值計算方法的基礎。一步學習數值計算方法的基

8、礎。6定義定義2.2.1 設函數設函數 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在 個不個不同的點同的點 上分別取值上分別取值 ，在一個，在一個性質優(yōu)良、便于計算的函數類性質優(yōu)良、便于計算的函數類 中，求一簡單函數中，求一簡單函數 ，使，使 (2.2.1) 而在其它點而在其它點 上作為上作為 的近似。稱區(qū)間的近似。稱區(qū)間 為插值區(qū)為插值區(qū)間，點間，點 為插值節(jié)點，稱（為插值節(jié)點，稱（2.2.1）為）為 的插值條件，的插值條件，稱函數類稱函數類 為插值函數類，稱為插值函數類，稱 為函數在節(jié)點為函數在節(jié)點 處處的插值函數。求插值函數的插值函數。求插值函數 的方法稱為插值法。插值函數的方法稱為插值法。插

9、值函數 類類 的取法不同，所求得的插值函數的取法不同，所求得的插值函數 逼近逼近 的效果就的效果就不同，它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數多項式、不同，它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數多項式、三角多項式和有理函數等。當選用代數多項式作為插值函數時，三角多項式和有理函數等。當選用代數多項式作為插值函數時，相應的插值問題就稱為多項式插值。相應的插值問題就稱為多項式插值。( )yf x,a b1n 01,naxxxb01,nyyy( )P x 0,1,iiP xy inixx( )f x , a b01,x xx( )f x( )P x01,nxxx( )P x( )P x( )fx7

10、 在多項式插值中，求一次數不超過在多項式插值中，求一次數不超過 的代數多項式的代數多項式 (2.2.2)(2.2.2) 使使 ( (2.2.3)2.2.3) 其中其中 為實數。滿足插值條件為實數。滿足插值條件(2.2.3)(2.2.3)的多項式的多項式(2.2.2)(2.2.2)，稱，稱為函數為函數 的的 次插值值多項式。次插值值多項式。 次插值多項式次插值多項式 的幾何意義：過曲線的幾何意義：過曲線 上的上的 個點個點 作一條作一條 次代數曲線次代數曲線 作為曲線作為曲線 的近似，的近似，如圖如圖2.2.12.2.1所示。所示。n 01nnnP xaaxa x 0,1,niiPxy in01

11、,naaa( )f xnn nP x( )yf x1n ( , )(0,1, )iix y inn( )nyP x( )yf x圖圖2.2.12.2.182.2.22.2.2插值多項式存在唯一性與求插值多項式的解方程組方法插值多項式存在唯一性與求插值多項式的解方程組方法 由插值條件（由插值條件（2.2.32.2.3）知，）知， 的系數的系數 滿足線滿足線性方程組性方程組 nP x 由線性代數知，線性方程組的系數行列式是由線性代數知，線性方程組的系數行列式是 階范德階范德蒙（蒙（VandermondeVandermonde）行列式，且）行列式，且0,1,ia in010000111101nnnn

12、nnnnnaa xa xyaa xa xyaa xa xy （2.2.42.2.4）1n 200021111102111nnniijijnnnnxxxxxxVxxxxx9 因因 是區(qū)間是區(qū)間 上的不同點，上式右端上的不同點，上式右端乘積中的每一個因子乘積中的每一個因子 ，于是系數行列式不等于，于是系數行列式不等于0 0，即方程組（即方程組（2.2.42.2.4）的解存在且唯一。從而得出下面的結論：）的解存在且唯一。從而得出下面的結論：定理定理2.2.12.2.1 若節(jié)點若節(jié)點 互不相同，則滿足插值條件互不相同，則滿足插值條件（2.2.32.2.3）的次插值多項式（）的次插值多項式（2.2.22

13、.2.2）存在且唯一。）存在且唯一。0,1,nx xx,a b0ijx x 0, 1,nx xx10 在上一節(jié)里，不僅指出了插值多項式的存在唯一在上一節(jié)里，不僅指出了插值多項式的存在唯一性，而且也提供了它的一種求法，即通過解線性方程性，而且也提供了它的一種求法，即通過解線性方程組（組（2.2.42.2.4）來確定其系數）來確定其系數 。但是，當未知數個數。但是，當未知數個數多時，這種做法的計算工作量大，不便于實際應用，多時，這種做法的計算工作量大，不便于實際應用，LagrangeLagrange插值法就是一種簡便的求法。插值法就是一種簡便的求法。2.3 求插值多項式的求插值多項式的Lagran

14、ge法法ia112.3.1 Lagrange2.3.1 Lagrange插值基函數插值基函數 先考慮一下簡單的插值問題：對節(jié)點先考慮一下簡單的插值問題：對節(jié)點 中任意一點中任意一點 做一做一 次多項式次多項式 使它在該點上取值為使它在該點上取值為1,1,而在其余點而在其余點 上取值為零上取值為零, , 即即 （2.3.12.3.1） 表明表明 個點個點 都是都是 次多項式次多項式 的零點，故可設的零點，故可設 其中其中 為待定系數，由條件為待定系數，由條件 可得可得 0,1,ix in0kxknn( )klx0,1,1,1,ix ikkn 1()0kiiklxikn0,1,1,1,ix ikk

15、n n( )kl x0111( )()()()()()kkkknlxAxxxxxxxxxxkA( ) 1kl x 0111()()()()kkkkkkknAxxxxxxxx12 對應于每一節(jié)點對應于每一節(jié)點 都能求出一個滿足都能求出一個滿足插值條件（插值條件（2.3.12.3.1）的）的 次插值多項式（次插值多項式（2.3.22.3.2），這樣，），這樣，由（由（2.3.22.3.2）式可以求出）式可以求出 個個 次插插多項式次插插多項式 。容易看出，這組多項式僅與節(jié)點的。容易看出，這組多項式僅與節(jié)點的取法有關，稱它們?yōu)樵谌》ㄓ嘘P，稱它們?yōu)樵?個節(jié)點上的個節(jié)點上的 次基本插值多項次基本插值多項

16、式或式或 次插值基函數。次插值基函數。011011()()()()( )()()()()kknkkkkkkknx xx xx xx xl xxxxxxxxx （2.3.22.3.2）0kxknn1nn01( ),( ),( )nlxlxlx1nnn132.3.2 Lagrange2.3.2 Lagrange（拉格朗日）插值多項式（拉格朗日）插值多項式 利用插值基函數立即可以寫出滿足插值條件（利用插值基函數立即可以寫出滿足插值條件（2.2.32.2.3）的）的 次插次插值多項式值多項式 （2.3.32.3.3） 事實上，由于每個插值基函數事實上，由于每個插值基函數 都是都是 次多項次多項式，故其

17、線性組合（式，故其線性組合（2.3.32.3.3）必是不高于）必是不高于 次的多項式，同時，根據次的多項式，同時，根據條件（條件（2.2.12.2.1）容易驗證多項式（）容易驗證多項式（2.3.32.3.3）在節(jié)點）在節(jié)點 處的值處的值 為為 ，因此，它就是待求的，因此，它就是待求的 次插值多項式次插值多項式 。形如。形如(2.3.3)(2.3.3)的插值多項式稱為拉格朗日插值多項式，記為的插值多項式稱為拉格朗日插值多項式，記為n0 01 1( )( )( )n ny lxy lxy lx( )(0,1, )klx knnnix0,1,iy in()niPxnnPx001 1()()()nny

18、 lxy lxy lx0110011()()()()()()()()nkknkkkkkkkknxxxxxxxxyxxxxxxxx（2.3.42.3.4） nL x 14 令，由（令，由（2.3.42.3.4）即得兩點插值公式）即得兩點插值公式 （2.3.52.3.5）即即 （2.3.62.3.6） 這是一個線性函數，用線性函數這是一個線性函數，用線性函數 近似代替近似代替函函數數 ，在幾何上就是通過曲線在幾何上就是通過曲線 上兩點上兩點 做一直線做一直線 近似代替曲線近似代替曲線 （見圖（見圖2.3.1)2.3.1)，故兩點插值又名線性插值。，故兩點插值又名線性插值。011010110( )x

19、xxxL xyyxxxx1010010( )()yyLxyxxxx1( )L x( )f x( )yf x0011( ,),( ,)x yx y1( )yL x( )yf x15 令令 ，由（由（2.3.42.3.4）又可得常用的三點插值公式：）又可得常用的三點插值公式： 這是一個二次函數這是一個二次函數 ，用二次函數近似代替函數，用二次函數近似代替函數 ，在幾，在幾何上就是通過曲線何上就是通過曲線 上的三點上的三點 作一拋物線作一拋物線 ，近似地代替曲線，近似地代替曲線 （圖（圖2.3.12.3.1），故稱為三點插），故稱為三點插值值( (二次插值二次插值) )。2n 12020120120

20、10210122021xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxx（2.3.72.3.7）圖圖2.3.12.3.12( )L x( )f x( )yf x001122(,),(,),(,)xyx yxy2( )yLx( )yf x16例例2.3.1 2.3.1 已知已知 分別用線性插值和拋物插值分別用線性插值和拋物插值求求 的值。的值。 解解 因為因為115115在在100100和和121121之間，故取節(jié)點之間，故取節(jié)點 ， ，相應地有相應地有 ， ，于是，由線性插值公式（，于是，由線性插值公式（2.3.52.3.5）可）可得得 故用線性插值求得的近似值為：故用線性插值求得的近

21、似值為：10010, 12111, 144121150100 x 1121x 010y 111y 1121100( )1011100 121121 100 xxL x圖圖2.3.22.3.21115 121115 100115(115)101110.714100 121121 100L17仿上，用拋物插值公式（仿上，用拋物插值公式（2.3.72.3.7）所求得的近似值為：）所求得的近似值為： 將所得結果與將所得結果與 的精確值的精確值 相比較，可以看出拋物相比較，可以看出拋物插值的精確度較好。為了便于上機計算，我們常將拉格朗日插值多項插值的精確度較好。為了便于上機計算，我們常將拉格朗日插值多項

22、式（式（2.3.42.3.4）改寫成公式（）改寫成公式（2.3.82.3.8）的對稱形式）的對稱形式2115 121 115 144115 100 115 1441151151011100 121 144 121121 100 121 144115 100 115 12112144 100 144 12110.732L11510.732800( )nnjnkkjkjjkxxLxyxx（2.3.82.3.8）18編程框圖如圖編程框圖如圖2.3.32.3.3，可用二重循環(huán)來完成，可用二重循環(huán)來完成 值的計算，先通過值的計算，先通過內循環(huán)，即先固定內循環(huán)，即先固定 ，令，令 從從0 0到到 累乘求得

23、累乘求得 然后再通過外循環(huán)，即令然后再通過外循環(huán)，即令 從從0 0到到 ，累加得出插值結果，累加得出插值結果圖圖2.3.32.3.30( )njkjkjjkxxlxxx( )nL xkj()n jkkn( )nLx19 2.3.3 2.3.3 插值余項插值余項 在插值區(qū)間在插值區(qū)間 上用插值多項式上用插值多項式 近似代替近似代替 ，除了在插值節(jié)點除了在插值節(jié)點 上沒有誤差以外，在其他點上一般有存在誤差的。上沒有誤差以外，在其他點上一般有存在誤差的。若記若記 則則 就是用就是用 近似代替近似代替 時所產生的截斷誤差，稱為插值時所產生的截斷誤差，稱為插值多項式多項式 的余項。的余項。 關于誤差有如

24、下定理關于誤差有如下定理2.3.12.3.1中的估計式。中的估計式。 定理定理2.3.12.3.1 設設 在區(qū)間在區(qū)間 上有直到上有直到 階導數階導數, , 為區(qū)間為區(qū)間 上上 個互異的節(jié)點，個互異的節(jié)點， 為滿足條件為滿足條件: : 的的 次插值多項式，則對于任何次插值多項式，則對于任何 有有 , a b()nPx()fxix( )( )( )nnR xf xP x( )nR x( )nP x( )f x( )nPx( )f x , a b1n 01,nxxx , a b1n( )nPx( )( )(0,1, )niiP xf x inn,xa b(1 )1()()()(1) !nnnfRx

25、xn（2.3.92.3.9）20其中其中 且依賴于且依賴于證明證明 由插值條件由插值條件 知知 ，即插，即插值節(jié)點都是值節(jié)點都是 的零點的零點, ,故可設故可設 (2.3.10)(2.3.10)其中其中 為待定函數。下面求為待定函數。下面求 。對區(qū)間。對區(qū)間 上異于上異于 的任意一點的任意一點 作輔助函數：作輔助函數： 不難看出具有如下特點不難看出具有如下特點（1 1）（2 2）在）在 上有直到上有直到 階導數，且階導數，且10( )() ,(a,b)nniixxxx()()niiP xf x( )0(0,1, )niR xin( )nR x1()()()nnRxKxx( )K x()Kx ,

26、 a bixixx1( )( )( )( )( )nnF tf tP tK xt( )()0(0,1, )iF xF xin (2.3.11) (2.3.11)(1)(1)( )( )( )(1)!nnFtftK x n , a b1n （2.3.122.3.12）21等式（等式（2.3.112.3.11）表明）表明 在在 上至少有上至少有 個互異的個互異的零點，根據羅爾零點，根據羅爾(Rolle)(Rolle)定理，在定理，在 的兩個零點之間，的兩個零點之間， 至少有一個零點，因此，至少有一個零點，因此， 在在 內至少有內至少有 個互個互異的零點，對異的零點，對 再應用羅爾定理，推得再應用羅

27、爾定理，推得 在在 內至少有內至少有 個互異的零點。繼續(xù)上述討論，可推得個互異的零點。繼續(xù)上述討論，可推得 在在 內至少有一個零點，若記為內至少有一個零點，若記為 ，則則 ，于是由（，于是由（2.3.122.3.12）式得）式得將它代入將它代入(2.3.10)(2.3.10)即得（即得（2.3.92.3.9）。對于）。對于 ，（，（2.3.92.3.9）顯然成立。顯然成立。( )F t , a b2n( )F t( )F t( )F t( , )a b1n( )F t( )Ft(,)a bn(1)( )nFt( , )a b(1)( )0nF(1)()()(1)!0nfKxn(1 )()()(

28、1) !nfKxnixx22例例2.3.2 2.3.2 在例在例2.3.22.3.2中分別用線性插值和拋物插值計算了中分別用線性插值和拋物插值計算了 近似近似值，試估計它們的截斷誤差。值，試估計它們的截斷誤差。 解解 用線性插值求用線性插值求 的近似值，其截斷誤差由插值余項公式的近似值，其截斷誤差由插值余項公式（2.3.92.3.9）知）知 現在現在 ， ， ，故，故 115( )f xx123/201011( )( )( )21()(),8R xfxxxxxx x 0100 x 1121x 115x 3/21100,12131(115)(115100)(115121)max81156 100

29、.011258R23當用拋物插值求當用拋物插值求 的近似值時，其截斷誤差為的近似值時，其截斷誤差為 現在現在 ， ， 代入，即得代入，即得0100 x 1121x 115x521(115)(115100)(115121)(115144)100.001716R( )f xx2352012021( )( )( )3!1()()(),16Rxfxxxxxxxxx 24 2.3.4 2.3.4 插值誤差的事后估計法插值誤差的事后估計法 在許多情況下，要直接應用余項公式（在許多情況下，要直接應用余項公式（2.3.92.3.9）來估）來估計誤差是很困難的，下面將以線性插值為例，介紹另一種計誤差是很困難的，

30、下面將以線性插值為例，介紹另一種估計誤差的方法。估計誤差的方法。 設設 且且 為已知，若將用為已知，若將用 兩兩點做線性插值求得點做線性插值求得 的近似值為的近似值為 ，用，用 兩點作兩點作線性插值所求得線性插值所求得 的近似值記為的近似值記為 ，則由余項公式，則由余項公式（2.3.92.3.9）知：）知： 假設假設 在區(qū)間在區(qū)間 中變化不大，將上面兩式相除，中變化不大，將上面兩式相除，即得近似式即得近似式012xxxx( ) (0,1,2)if xi 01,xx( )yf x1y02,xx( )yf x2y110110122022021()()(),21()()(),2yyfxxxxxxyy

31、fxxxxxx( )f x02,xx25 即即 近似式（近似式（2.3.132.3.13）表明，可以通過兩個結果的偏差）表明，可以通過兩個結果的偏差 來估計插值，這種直接利用計算結果來估計誤差的方法，來估計插值，這種直接利用計算結果來估計誤差的方法，稱為事后估計法。稱為事后估計法。1122yyxxyyxx112121()xxyyyyxx（2.3.132.3.13）21yy26 在例在例2.3.12.3.1中，用中，用 做節(jié)點，算得的做節(jié)點，算得的 近似近似值為值為 ，同樣，用，同樣，用 做節(jié)點，可算得做節(jié)點，可算得 的另一近似值的另一近似值 。 通過（通過（2.3.132.3.13）可以估計出

32、插值）可以估計出插值 的誤差為：的誤差為：01100,121xx115110.714y 02100,144xx115210.682y1115121115(10.68210.714)0.00835144121y1y272.4 求插值多項式的求插值多項式的Newton法法 由線性代數可知，任何一個不高于由線性代數可知，任何一個不高于 次的多項式，都可表示成函數次的多項式，都可表示成函數 的線性組的線性組合，即可將滿足插值條件合，即可將滿足插值條件 的的 次多項式寫成次多項式寫成形式形式 其中其中 為待定系數。這種形式的插值多項式稱為牛頓為待定系數。這種形式的插值多項式稱為牛頓NewtonNewto

33、n插值多項式，我們把它記成插值多項式，我們把它記成 , ,即即 因此，牛頓插值多項式因此，牛頓插值多項式 是插值多項式是插值多項式 的另一種表的另一種表示形式示形式, ,與拉格朗日插值多項式相比較，不僅克服了與拉格朗日插值多項式相比較，不僅克服了“增加一個節(jié)點增加一個節(jié)點時整個計算機工作必須重新開始時整個計算機工作必須重新開始”見例見例2.3.12.3.1的缺點，而且可以的缺點，而且可以節(jié)省乘節(jié)省乘除法運算次數。同時，在牛頓插值多項式中用到的差分與差除法運算次數。同時，在牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念，又與數值計算的其它方面有著密切的關系商等概念，又與數值計算的其它方面有著密切的關系.

34、 .n0010111,()(),()()()nxxxxxxxxxxxx()(0,1,)iiP xyinn010201011()()()()()()nnaa xxaxxxxaxxxxxx0,1,ka kn( )nNx 01021011nonnN xaa x xa x xx xa x xx xx x nNx（2.4.1）nPx282.4.1 2.4.1 向前差分與向前差分與NewtonNewton（牛頓）向前插值公式（牛頓）向前插值公式 設函數設函數 在等距節(jié)點在等距節(jié)點 處的函數值處的函數值 為為已知，其中已知，其中 是正常數，稱為步長，稱兩個相鄰點是正常數，稱為步長，稱兩個相鄰點 和和 處函數

35、處函數值之差值之差 為函數為函數 在點在點 處以處以 為步長的一階向前差分為步長的一階向前差分簡簡稱一階差分稱一階差分，記，記 ，即，即 于是，函數于是，函數 在各節(jié)點處的一階差分依次為在各節(jié)點處的一階差分依次為 又稱一階差分的差分又稱一階差分的差分 為二階差分。為二階差分。一般地，定義函數一般地，定義函數 在點在點 處的處的 階差分為：階差分為： 為了便于計算與應用，通常采用表格形式計算差分，如表為了便于計算與應用，通常采用表格形式計算差分，如表2.4.12.4.1所示。所示。( )f x00,1,kxxkh kn kkf xyhkx1kx1kkyy( )f xkxhky1kkkyyy( )

36、f x01012111,nnnyyyyyyyyy21kkkkyyyy ( )f xkxm111mmmkkkyyy 29 在等距節(jié)點在等距節(jié)點 情況下，可以利用情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項式差分表示牛頓插值多項式2.4.12.4.1 的系數，并將所得公的系數，并將所得公式加以簡化。事實上，由插值條件式加以簡化。事實上，由插值條件 即可得即可得 。 kxkyky2ky3ky4ky0 x2x3x4x1x0y1y2y3y4y0y1y2y3y20y21y22y30y31yiy 表2.4.10(0 ,1,)kxxk h kn00nNxy00ay30 再由插值條件再由插值條件 可得：可得： 由插值條

37、件由插值條件 可得：可得： 一般地，由插值條件一般地，由插值條件 可得可得: : 于是，滿足插值條件的插值多項式為：于是，滿足插值條件的插值多項式為： 11nNxy100110yyyaxxh0202202100222021222!yxxyyyyyyhaxxxxhhh(1,2,)!kokkyaknkh22nNxynkkNxy 2000000101122!nnnnyyyN xyx xx xx xx xx xx xhhn h31 令令 并注意到并注意到 則可簡化為則可簡化為 這個用向前差分表示的插值多項式，稱為牛頓向前插這個用向前差分表示的插值多項式，稱為牛頓向前插值公式，簡稱前插公式。它適用于計算

38、表頭值公式，簡稱前插公式。它適用于計算表頭 附近的函附近的函數值。數值。 由插值余項公式（由插值余項公式（2.3.92.3.9），可得前插公式的余項為：），可得前插公式的余項為：0(0)xxth t0kxxkh2000001112!nnt tt ttnNxthyt yyyn （2.4.22.4.2）0 x 11001,(,)1 !nnnnt ttnRxthhfxxn （2.4.32.4.3）32例例2.4.1 2.4.1 從給定的正弦函數表從給定的正弦函數表表表2.4.22.4.2左邊兩列左邊兩列出發(fā)計出發(fā)計算算 , ,并估計截斷誤差。并估計截斷誤差。sin(0.12)表表2.4.22.4.2

39、xs in xy2y3y0.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.0019933解解 因為因為0.120.12介于介于0.10.1與與0.20.2之間，故取之間，故取 ，此時，此時 為求為求 構造差分表構造差分表2.4.22.4.2，表中長方形，表中長方形框中各數依次為框中各數依次為 在在 處的函數值和各階差分。處的函數值和各階差分。若用線性插值求

40、若用線性插值求 的近似值，則由前插公式（的近似值，則由前插公式（2.4.22.4.2）立即可得立即可得 用二次插值得：用二次插值得：00.1x 00.120.10.20.1xxth23000,yyysin x00.1x sin(0.12)1sin(0.12)(0.12)0.099830.20.099840.11960N21sin(0.12)(0.12)0.2 (0.2 1)0.099830.2 0.09884( 0.00199)2(0.12)0.000160.11976NN 34 用三次插值得：用三次插值得： 因因 與與 很接近，且由差分表很接近，且由差分表2.4.22.4.2可以看出，三可以

41、看出，三階差分接近于常數（即階差分接近于常數（即 接近于零），故取接近于零），故取 作為作為 的近似值，此時由余項公式（的近似值，此時由余項公式（2.4.32.4.3）可知其截）可知其截斷誤差為：斷誤差為：32sin(0.12)(0.12)0.2 (0.2 1) (0.22)(0.12)( 0.00096)60.11971NN 430.2 (0.2 1) (0.22) (0.23)(0.12)(0.1)sin(0.4)0.00000224R3(0.12)N2(0.12)N40y3(0.12)0.11971Nsin(0.12)352.4.2 2.4.2 向后差分與向后差分與NewtonNewto

42、n（牛頓）向后插值公式（牛頓）向后插值公式 在等距節(jié)點在等距節(jié)點 下，除了向前差分外，還下，除了向前差分外，還可引入向后差分和中心差分，其定義和記號分別如下：可引入向后差分和中心差分，其定義和記號分別如下： 在點在點 處以處以 為步長的一階向后差分和為步長的一階向后差分和 階向后差分分別為：階向后差分分別為： 在點在點 處以處以 為步長的一階中心差分和為步長的一階中心差分和 階中心差分分別為：階中心差分分別為：0(0,1, )kxxkh kn( )y f xkxhm1111(2,3, )kkkmmmkkkyyyyyymkxhm1122111122(2,3,)kkkmmmkkkyyyyyym36

43、 其中其中 ，各階向后差分與中，各階向后差分與中心差分的計算，可通過構造向后差分表與中心差分表來完成（參見表心差分的計算，可通過構造向后差分表與中心差分表來完成（參見表2.4.22.4.2）。）。 利用向后差分，可簡化牛頓插值多項式（利用向后差分，可簡化牛頓插值多項式（2.4.12.4.1），導出與牛頓前），導出與牛頓前插公式（插公式（2.4.22.4.2）類似的公式，即：）類似的公式，即： 若將節(jié)點的排列次序看作若將節(jié)點的排列次序看作 ，那么，那么?2.4.1)2.4.1)可寫成：可寫成： 根據插值條件根據插值條件 得到一個用向后差分表示的得到一個用向后差分表示的插值多項式：插值多項式：11

44、22,22kkkkhhyfxyfx10,nnxxx 012111nnnnnnnN xbb x xb x xx xb x xx xx x (,1,1,0)niiNxy in n 37 其中其中t0t0，插值多項式，插值多項式(2.4.4)(2.4.4)稱為牛頓向后插值公式，稱為牛頓向后插值公式，簡稱后插公式。它適用于計算表尾簡稱后插公式。它適用于計算表尾 附近的函數值。由插值附近的函數值。由插值余項公式（余項公式（2.3.92.3.9），可寫出后插公式的余項為：），可寫出后插公式的余項為： 例例2.4.2 2.4.2 已知函數表同例已知函數表同例2.4.12.4.1，計算，計算 ，并估，并估算其

45、截斷誤差。算其截斷誤差。 21112!nnnnnnnt tt ttnNxthyt yyyn （2.4.42.4.4）nx 1101(,)1 !nnnnnt ttnRxthhfxxn（2.4.52.4.5）sin(0.58)38 解解 因為因為0.580.58位于表尾位于表尾 附近，故用后插公式附近，故用后插公式（2.4.42.4.4）計算）計算 的近似值。的近似值。 一般的，為了計算函數在一般的，為了計算函數在 處的各階向后差分，應構處的各階向后差分，應構造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，對同一函數表來說，構造出來的向后差分

46、表與向前差分表對同一函數表來說，構造出來的向后差分表與向前差分表在數據上完全相同。因此，表（在數據上完全相同。因此，表（2.4.22.4.2）用）用“”“”線標線標出的各數依次給出了出的各數依次給出了 在在 處的函數值和向后差處的函數值和向后差分值。因三階向后差分接近于常數，故用三次插值進行計分值。因三階向后差分接近于常數，故用三次插值進行計算，且算，且 于是由向后差分公式（于是由向后差分公式（2.4.42.4.4）得：）得：50.6x sin(0.58)5xsin x50.6x 50.58 0.60.20.1xxth39 因為在整個計算中，只用到四個點因為在整個計算中，只用到四個點 上的函數

47、值，固由余項公式（上的函數值，固由余項公式（2.4.52.4.5）知其截斷誤差為：）知其截斷誤差為：3( 0.2) ( 0.2 1)sin(0.58)(0.58)0.56464( 0.2) 0.08521( 0.00480)2( 0.2) ( 0.2 1) ( 0.22)( 0.00091)60.54802N 0.6,0.5,0.4,0.3x 30.2 ( 0.2 1) ( 0.22) ( 0.23)4(0.58)(0.1)sin(0.6)0.00000224R 402.4.3 2.4.3 差商與牛頓基本插值多項式差商與牛頓基本插值多項式 當插值節(jié)點非等距分布時，就不能引入差分來簡化牛頓當插值

48、節(jié)點非等距分布時，就不能引入差分來簡化牛頓插值多項式，此時可用差商這個新概念來解決。插值多項式，此時可用差商這個新概念來解決。 設函數設函數 在一串互異的點在一串互異的點 上的值依上的值依次為次為 我們稱函數值之差我們稱函數值之差 與自變量之差與自變量之差 的比值的比值 為函數為函數 關于關于 點的一階差商，記作點的一階差商，記作( )f x012,iiixxx012()( )()iiif xf xf x 、10()()iif xf x10iixx1010()()iiiifxfxxx( )fx10,iixx01,iif xx41例例2.4.3 2.4.3 稱一階差商的差商稱一階差商的差商 為函

49、數為函數 關于點關于點 的二階差商（簡稱二階差商），的二階差商（簡稱二階差商），記作記作 ， 例例2.4.4 2.4.4 一般地，可通過函數一般地，可通過函數 的的 階差商定義的階差商定義的 階差商階差商如下：如下： 差商計算也可采用表格形式（稱為差商表），如表差商計算也可采用表格形式（稱為差商表），如表2.4.32.4.3所示：所示：102101121021()()()(),fxfxfxfxf xxf xxxxxx120120,iiiiiifxxfxxxx( )f x012iiixxx、 、012,iiifxxx120101220,fxxfxxfxxxxx( )f x1m m101010,m

50、mmmiiiiiiiiif xxf xxf xxxxx42 二階差商二階差商 kx()kf x 一階差商一階差商0 x1x2x3x0()f x1( )f x2()f x3()f x01,f x x12 ,f x x23,f x x012,f x x x123 ,f x x x0123,f x x x x表表2.4.32.4.3 三階差商三階差商差商具有下列重要性質（證明略）：差商具有下列重要性質（證明略）：43（1 1）函數）函數 的的 階差商階差商 可由函數值可由函數值 的線性組合表示，且的線性組合表示，且（2 2）差商具有對稱性，即任意調換節(jié)點的次序，不影響差商的值。例如）差商具有對稱性，

51、即任意調換節(jié)點的次序，不影響差商的值。例如（）當（）當 在包含節(jié)點在包含節(jié)點 的某個區(qū)間上存在時，在的某個區(qū)間上存在時，在 之間必有一點之間必有一點 ，使，使（4 4）在等距節(jié)點）在等距節(jié)點 情況下，可同時引入情況下，可同時引入 階差分與差商，且有下面關系：階差分與差商，且有下面關系：( )f x01,mf xxxm 01mf xf xf x、 010011,()()()()mimiiiiiiimf xf x xxxxxxxxxx012102120,.f xx xf x xxf x xx mfx0,1,jixjm01,miiixxx 10,!immiiff xxxm，00,1,kxxkh kn

52、mmn44引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項式（引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項式（2.4.12.4.1）的系）的系數。事實上，從插值條件出發(fā)，可以像確定前插公式中的系數那樣，數。事實上，從插值條件出發(fā)，可以像確定前插公式中的系數那樣，逐步地確定（逐步地確定（2.4.12.4.1）中的系數）中的系數 故滿足插值條件故滿足插值條件 的的 次插值多項式為：次插值多項式為： （2.4.62.4.6）（2.4.62.4.6）稱為牛頓基本插值多項式，常用來計算非等距節(jié)點上的函數值。）稱為牛頓基本插值多項式，常用來計算非等距節(jié)點上的函數值。0011,!,!mmmmnnnnmmyfxx

53、xmhyfxxxmh0001(), (1,2, )kkaf xaf x xxkn0,1,niiNxy in 00100120101011,()()()nnnNxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxxn45例例2.4.5 2.4.5 試用牛頓基本差值多項式按例試用牛頓基本差值多項式按例1 1要求重新計算的近要求重新計算的近似值。似值。解解 先構造差商表先構造差商表 由上表可以看出牛頓基本插值多項式（由上表可以看出牛頓基本插值多項式（2.4.62.4.6）中各系數）中各系數依次為：依次為：0()10fx01,0.047619f x x 012 , ,0.000094f

54、x x x 46 故用線性插值所得的近似值為：故用線性插值所得的近似值為： 用拋物插值所求得的近似值為：用拋物插值所求得的近似值為： 所得結果與例所得結果與例2.4.12.4.1一致。比較例一致。比較例2.4.12.4.1和例和例2.4.52.4.5的計算過程可的計算過程可以看出，與拉格朗日插值多項式相比較，牛頓差值多項式的優(yōu)點是明以看出，與拉格朗日插值多項式相比較，牛頓差值多項式的優(yōu)點是明顯的。顯的。 由差值多項式的存在唯一性定理知，滿足同一組差值條件的拉格由差值多項式的存在唯一性定理知，滿足同一組差值條件的拉格朗日多項式（朗日多項式（2.3.42.3.4）與牛頓基本差值多項式（）與牛頓基本

55、差值多項式（2.4.62.4.6）是同一多項式。）是同一多項式。因此，余項公式（因此，余項公式（2.3.92.3.9）也適用于牛頓插值。但是在實際計算中，）也適用于牛頓插值。但是在實際計算中，有時也用差商表示的余項公式：有時也用差商表示的余項公式： （2.4.72.4.7） 來估計截斷誤差（證明略）來估計截斷誤差（證明略） 注意注意 上式中的上式中的 階差商階差商 與與 的值有關，故不能的值有關，故不能準確地計算出準確地計算出 的精確值，只能對它做一種估計。的精確值，只能對它做一種估計。1115(115)10 0.047619 (115 100)10.7143N21115(115)(115)

56、( 0.000094) (115 100) (115 121) 10.7228NN 011( ),( )nnnRxf xxxxx1n 01,mf x xx( )f x01,mf x xx47例例2.4.6 2.4.6 當四階差商變化不大時，可用當四階差商變化不大時，可用近似代替近似代替01234 , ,f x x x x x0123, f x x x x x482.5 求插值多項式的改進算法求插值多項式的改進算法2.5.1 2.5.1 分段低次插值分段低次插值例例2.3.22.3.2、例、例2.4.12.4.1表明適當地提高插值多項式的次數，有可表明適當地提高插值多項式的次數，有可能提高計算結

57、果的準確程度。但是決不可由此得出結論，能提高計算結果的準確程度。但是決不可由此得出結論，認為插值多項式的次數越高越好。認為插值多項式的次數越高越好。例例2.5.1 2.5.1 對函數對函數先以先以 為節(jié)點作五次插值多項式為節(jié)點作五次插值多項式 ，再以再以 為節(jié)點作十次插值多項式為節(jié)點作十次插值多項式 ，并將曲線并將曲線21( )( 11)125f xxx 21(0,1,5)5ixi i 11(0,1,10)5ixi i 5( )P x10( )Px51021( ),( ),( )( 1,1)125f xyP xyPx xx 49描繪在同一坐標系中。如圖描繪在同一坐標系中。如圖2.5.12.5.

58、1所示：所示：50 雖然在局部范圍中，例如在雖然在局部范圍中，例如在 區(qū)間中，區(qū)間中， 比比 較好地逼近較好地逼近 , ,但從整體上看，但從整體上看， 并非處處都比并非處處都比 較好較好地逼近，尤其是在地逼近，尤其是在 區(qū)間的端點附近。進一步的分析表明，當區(qū)間的端點附近。進一步的分析表明，當 增大時，該函數在等距節(jié)點下的高次插值多項式增大時，該函數在等距節(jié)點下的高次插值多項式 ，在，在 兩兩端會發(fā)生激烈的振蕩。這種現象稱為龍格（端會發(fā)生激烈的振蕩。這種現象稱為龍格（Runge)Runge)現象。這表明，在現象。這表明，在大范圍內使用高次插值，逼近的效果可能不理想。大范圍內使用高次插值，逼近的效

59、果可能不理想。 另一方面，插值誤差除來自截斷誤差外，還來自初始數據的誤差另一方面，插值誤差除來自截斷誤差外，還來自初始數據的誤差和計算過程中的舍入誤差。插值次數越高，計算工作越大，積累誤差和計算過程中的舍入誤差。插值次數越高，計算工作越大，積累誤差也可能越大。也可能越大。 因此，在實際計算中，常用分段低次插值進行計算，即把整個插因此，在實際計算中，常用分段低次插值進行計算，即把整個插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上進行低次插值。值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上進行低次插值。 0.2,0.210( )Px5( )P x( )f x10( )Px5( )P x1,1n1,151( )yf

60、x例例2.5.2 2.5.2 當給定當給定 個點個點 上的函數值上的函數值 后，若要計算點后，若要計算點 處函數值處函數值 的近似值，可先選取兩個的近似值，可先選取兩個節(jié)點節(jié)點 使使 ，然后在小區(qū)間上作線性插值，即得，然后在小區(qū)間上作線性插值，即得 這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2.5.22.5.2所示。故分段線性插值又稱折線插值所示。故分段線性插值又稱折線插值. . 1n 01nxxx01nyyy1,iixxx( )f x1,iixx1,iixxx11111 ( )( )iiiiiiiixxxx