高二數(shù)學(32復數(shù)代數(shù)形式的四則運算(4課時))

1、3.2 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算復數(shù)代數(shù)形式的四則運算3.2.1 3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加、減復數(shù)代數(shù)形式的加、減 運算及其幾何意義運算及其幾何意義復習鞏固復習鞏固 1. 1.復數(shù)的代數(shù)形式是什么？在什么復數(shù)的代數(shù)形式是什么？在什么條件下，復數(shù)條件下，復數(shù)z z為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？ 代數(shù)形式：代數(shù)形式：z zabi i（a，bRR）. .當當b b0 0時時z z為實數(shù)；為實數(shù)；當當b b00時，時，z z為虛數(shù)；為虛數(shù)；當當a0 0且且b b00時，時，z z為純虛數(shù)為純虛數(shù). . 2. 2.復數(shù)復數(shù)z zabi i（a，bRR）對應復）對應復平面內的點平面

2、內的點Z Z的坐標是什么？復數(shù)的坐標是什么？復數(shù)z z可以可以用復平面內哪個向量來表示？用復平面內哪個向量來表示？對應點對應點Z Z（a，b），）， 用向量用向量 表示表示. . O Zuuu rx xy yO O(a，b)提出問題提出問題 3. 3.兩個實數(shù)可以進行加、減運算，兩個實數(shù)可以進行加、減運算，兩個向量也可以進行加、減運算，根兩個向量也可以進行加、減運算，根據(jù)類比推理，兩個復數(shù)也可以進行加、據(jù)類比推理，兩個復數(shù)也可以進行加、減運算，我們需要研究的問題是，復減運算，我們需要研究的問題是，復數(shù)的加、減運算法則是什么？數(shù)的加、減運算法則是什么？ 提出問題提出問題1 1、設向量、設向量m(

3、 (a，b) )，n( (c c，d) )則向則向量量mn的坐標是什么？的坐標是什么？ mn(ac，bd) 問題探究問題探究 2 2、設向量、設向量 ， 分別表示復數(shù)分別表示復數(shù)z z1 1，z z2 2，那么向量，那么向量 表示的復數(shù)應該表示的復數(shù)應該是什么？是什么？ 1O Zuuu r2O Zuuur12O ZO Z+uuu ruuurz z1 1z z2 2問題探究問題探究 3 3、設復數(shù)、設復數(shù)z z1 1abi i，z z2 2cdi i對對應的向量分別為應的向量分別為 ， ，那么向量，那么向量 ， 的坐標分別是什么？的坐標分別是什么？ 1O Zuuu r2O Zuuur12O ZO

4、 Z+uuu ruuur1O Zuuu r2O Zuuur(a，b)，(c，d)，(ac，bd). 12O ZO Z+uuu ruuur1O Zuuu r2O Zuuur問題探究問題探究4 4、設復數(shù)、設復數(shù)z z1 1abi i，z z2 2cdi i，則，則復數(shù)復數(shù)z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2( (ac) )( (bd)i. )i. 問題探究問題探究5 5、( (abi)i)( (cdi)i)( (ac) ) ( (bd)i)i就是復數(shù)的就是復數(shù)的加法法則加法法則，如何，如何用文字語言表述這個法則的數(shù)學意用文字語言表述這個法則的數(shù)學意義？義？兩個復

5、數(shù)的和仍是一個復數(shù)兩個復數(shù)的和仍是一個復數(shù). . 兩個復數(shù)的和的實部等于這兩個復數(shù)兩個復數(shù)的和的實部等于這兩個復數(shù)的實部之和，兩個復數(shù)的和的虛部等的實部之和，兩個復數(shù)的和的虛部等于這兩個復數(shù)的虛部之和于這兩個復數(shù)的虛部之和. .問題探究問題探究6 6、兩個實數(shù)的和仍是一個實數(shù)，兩個、兩個實數(shù)的和仍是一個實數(shù)，兩個復數(shù)的和仍是一個復數(shù)，兩個虛數(shù)的和復數(shù)的和仍是一個復數(shù)，兩個虛數(shù)的和仍是一個虛數(shù)嗎？仍是一個虛數(shù)嗎？不一定不一定. . 問題探究問題探究7 7、復數(shù)的加法法則滿足交換律和結、復數(shù)的加法法則滿足交換律和結合律嗎？合律嗎？ z z1 1z z2 2z z2 2z z1 1， (z(z1 1

6、z z2 2) )z z3 3z z1 1(z(z2 2z z3 3).).問題探究問題探究8 8、規(guī)定：復數(shù)的減法是加法的逆運算，、規(guī)定：復數(shù)的減法是加法的逆運算，若復數(shù)若復數(shù)z zz z1 1z z2 2，則復數(shù)，則復數(shù)z z1 1等于什么？等于什么？ z z1 1z zz z2 2 9 9、設復數(shù)、設復數(shù)z z1 1abi i，z z2 2cdi i，z zxyi i，代人，代人z z1 1z zz z2 2，由復數(shù)相等的，由復數(shù)相等的充要條件得充要條件得x，y分別等于什么？分別等于什么？ xac，ybd.問題探究問題探究1010、根據(jù)上述分析，設復數(shù)、根據(jù)上述分析，設復數(shù)z z1 1a

7、bi i，z z2 2cdi i，則，則z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2(ac)(bd)i i問題探究問題探究復數(shù)的復數(shù)的減法法則：減法法則： 2 2、兩個復數(shù)的差仍是一個復數(shù)兩個復數(shù)的差仍是一個復數(shù). . 兩個復數(shù)的差的實部等于這兩個復兩個復數(shù)的差的實部等于這兩個復數(shù)的實部之差，兩個復數(shù)的差的虛部等數(shù)的實部之差，兩個復數(shù)的差的虛部等于這兩個復數(shù)的虛部之差于這兩個復數(shù)的虛部之差. . 形成結論形成結論1 1、( (abi)i)-( (cdi)i)( (a-c)+()+(b-d)i)i1 1、設復數(shù)、設復數(shù)z z1 1abi i，z z2 2cdi i對應的

8、對應的向量分別為向量分別為 ， ，則復數(shù)，則復數(shù)z z1 1z z2 2對應對應的向量是什么？的向量是什么？|z|z1 1z z2 2| |的幾何意義是的幾何意義是什么？什么？1O Zuuu r2O Zuuur1221O ZO ZZ Z-=uuuruuuruuuu r復數(shù)復數(shù)z z1 1，z z2 2對應復平對應復平面內的點之間的距離面內的點之間的距離. .x xy yO OZ1Z2問題探究問題探究2 2、設、設a，b，r r為實常數(shù)，且為實常數(shù)，且r r0 0，則，則滿足滿足|z|z( (abi)|i)|r r的復數(shù)的復數(shù)z z對應復對應復平面上的點的軌跡是什么？平面上的點的軌跡是什么？ 以

9、點以點( (a，b) )為圓心，為圓心，r r為半徑的圓為半徑的圓. .x xy yO Or rZ ZZ Z0 0問題探究問題探究3 3、滿足、滿足|z|z( (abi)|i)|z|z( (cdi)|i)|的的復數(shù)復數(shù)z z對應復平面上的點的軌跡是什么？對應復平面上的點的軌跡是什么？ x xy yO OZ Z2 2Z Z1 1Z Z點點( (a，b) )與點與點( (c，d) )的連線段的垂直平的連線段的垂直平分線分線. . 問題探究問題探究4 4、設、設a為非零實數(shù)，則滿足為非零實數(shù)，則滿足|z|za| |z|za| |，|z|zai|i|z|zai|i|的復數(shù)的復數(shù)z z分別具有什么特征？

10、分別具有什么特征？若若|z|za| |z|za| |，則，則z z為純虛數(shù)或零；為純虛數(shù)或零； 若若|z|zai| |z|zai| |，則，則z z為實數(shù)為實數(shù).問題探究問題探究例例1 1 計算計算(5(56i)6i)( (2 2i)i)(3(34i). 4i). 11i 11i 例例2 2 如圖，在矩形如圖，在矩形OABCOABC中，中，|OA|OA|2|OC|2|OC|點點A A對應的復數(shù)為對應的復數(shù)為 ，求點，求點B B和向量和向量 對應的復數(shù)對應的復數(shù). .3i+A Cuuu rx xy yO OC CB BA A13(3)(1)22i-+13(3)(1)22i-+-典例講評典例講評題

11、型一復數(shù)的加減運算【例 2】 (1)z123i，z212i.求 z1z2，z1z2.(2)計算：1312i(2i)4332i.(3)計算：(12i)(23i)(34i)(45i)(20082 009i)(2 0092 010i)思路探索 掌握復數(shù)的加減運算法則，正確計算即可 (1)復數(shù)加減運算的方法方法一：復數(shù)的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減方法二：把i看作一個字母，類比多項式加減中的合并同類項(2)加法法則的合理性：當b0，d0時，與實數(shù)加法法則一致加法交換律和結合律在復數(shù)集中仍成立符合向量加法的平行四邊形法則(3)復數(shù)的加減法可以推廣到若干個復數(shù)，進行連加連減或混合運算【變式1】 計算

12、：(1)(35i)(34i)；(2)(32i)(45i)；(3)(56i)(22i)(33i)解(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)2(5)i77i.(3)(56i)(22i)(33i)(523)6(2)3i11i.研一研研一研問題探究、課堂更高效問題探究、課堂更高效本課時欄目開關本課時欄目開關研一研研一研問題探究、課堂更高效問題探究、課堂更高效本課時欄目開關本課時欄目開關研一研研一研問題探究、課堂更高效問題探究、課堂更高效本課時欄目開關本課時欄目開關 (1)根據(jù)復數(shù)的兩種幾何意義知：復數(shù)的加減運算可以轉化為點的坐標運算或向量運算(2)復數(shù)及其加

13、減運算的幾何意義為數(shù)形結合思想在復數(shù)中的應用提供了可能解(1)z1z2(53i)(4i)(54)(31)i12i(如圖)(2)z1z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.(如圖)題型三復數(shù)加減法幾何意義的綜合應用【例3】 已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值 利用復數(shù)加減法的幾何意義，以及數(shù)形結合的思想解題規(guī)范解答 法一設wz34i，zw34i，z1iw45i.又|z1i|1，|w45i|1.(6分)【變式 3】 已知復數(shù) z 滿足|z22i|1，求|z32i|的最大值與最小值研一研研一研問題探究、課堂更高效問題探究、課堂更高效例 4已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1

14、z2|.本課時欄目開關本課時欄目開關研一研研一研問題探究、課堂更高效問題探究、課堂更高效本課時欄目開關本課時欄目開關研一研研一研問題探究、課堂更高效問題探究、課堂更高效本課時欄目開關本課時欄目開關研一研研一研問題探究、課堂更高效問題探究、課堂更高效本課時欄目開關本課時欄目開關方法技巧數(shù)形結合思想在復數(shù)中的應用 數(shù)與形是數(shù)學中兩個最古老、也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化數(shù)形結合，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法本章中有關復數(shù)的幾何意義包括三個方面：復數(shù)的表示(點和向量)、復數(shù)的模的幾何意義及復數(shù)運算的幾何意義復數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結合這一重要的數(shù)學思想

15、方法，即通過幾何圖形來研究代數(shù)問題【示例】 復平面內點 A，B，C 對應的復數(shù)分別為 i,1,42i，由ABCD 按逆時針順序作ABCD，則|BD|等于()A5B. 13C. 15D. 17 1. 1.復數(shù)的加、減運算法則表明，若干復數(shù)的加、減運算法則表明，若干個復數(shù)的代數(shù)和仍是一個復數(shù)，復數(shù)的個復數(shù)的代數(shù)和仍是一個復數(shù)，復數(shù)的和差運算可轉化為復數(shù)的實部、虛部的和差運算可轉化為復數(shù)的實部、虛部的和差運算和差運算. . 2. 2.在幾何背景下求點或向量對應的復在幾何背景下求點或向量對應的復數(shù)，即求點或向量的坐標，有關復數(shù)模數(shù)，即求點或向量的坐標，有關復數(shù)模的問題，根據(jù)其幾何意義，有時可轉化的問題

16、，根據(jù)其幾何意義，有時可轉化為距離問題處理為距離問題處理. .課堂小結課堂小結 3. 3. 在實際應用中，既可以將復數(shù)在實際應用中，既可以將復數(shù)的運算轉化為向量運算，也可以將向的運算轉化為向量運算，也可以將向量的運算轉化為復數(shù)運算，二者對立量的運算轉化為復數(shù)運算，二者對立統(tǒng)一統(tǒng)一. .課堂小結課堂小結P P109109練習：練習：1 1，2.2. P P112112習題習題3.2A3.2A組：組：2 2，3.3.布置作業(yè)布置作業(yè)3.2 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算復數(shù)代數(shù)形式的四則運算3.2.2 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 1. 1.設復數(shù)設復數(shù)z z1 1ab

17、i i，z z2 2cdi i，則，則 z z1 1z z2 2，z z1 1z z2 2分別等于什么？分別等于什么？ z z1 1z z2 2( (ac) )( (bd)i. )i. z z1 1z z2 2(ac)(bd)i i 2. 2.設設z z1 1，z z2 2為復數(shù)，則為復數(shù)，則|z|z1 1z z2 2| |的幾何的幾何意義是什么？意義是什么？復數(shù)復數(shù)z z1 1，z z2 2對應復平面內的點之間的對應復平面內的點之間的距離距離. .復習鞏固復習鞏固 1 1、設、設a，b，c，dRR， 則則( (ab)()(cd) )怎樣展開？怎樣展開？ ( (ab)()(cd) )acadb

18、cbd問題探究問題探究1 1、設復數(shù)、設復數(shù)z z1 1abi i，z z2 2cdi i，其中其中a，b，c，dRR，則，則 z z1 1z z2 2( (abi)(i)(cdi)i)，按照上述運，按照上述運算法則將其展開，算法則將其展開，z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2( (acbd) )( (adbc)i.)i.形成結論形成結論 2 2、( (abi)i)2 2a2 2b2 22 2abi.i.1 1、復數(shù)的乘法是否滿足交換律、復數(shù)的乘法是否滿足交換律、結合律和對加法的分配律？結合律和對加法的分配律？ z z1 1z z2 2z z2 2z z1 1

19、， (z(z1 1z z2 2) )z z3 3z z1 1(z(z2 2z z3 3) )， z z1 1(z(z2 2z z3 3) )z z1 1z z2 2z z1 1z z3 3. . 問題探究問題探究2 2、對于復數(shù)、對于復數(shù)z z1 1，z z2 2，|z|z1 1z z2 2| |與與|z|z1 1| |z|z2 2| |相等嗎？相等嗎？ |z |z1 1z z2 2| |z|z1 1| |z|z2 2| | 問題探究問題探究實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)數(shù)叫做互為共軛復數(shù). . 3 3、在實數(shù)中，、在實數(shù)中， 與與 互稱為有

20、理化因式，在復數(shù)中，互稱為有理化因式，在復數(shù)中，abi i 與與abi i互稱為互稱為共軛復數(shù)共軛復數(shù)，一般地，共，一般地，共 軛復數(shù)的定義是什么？軛復數(shù)的定義是什么？ 23+23-問題探究問題探究 4 4、復數(shù)、復數(shù)z z的共軛復數(shù)記作的共軛復數(shù)記作 ，虛部不，虛部不為零的兩個共軛復數(shù)也叫做為零的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)共軛虛數(shù)，那么那么z z與與 在復平面內所對應的點的位置在復平面內所對應的點的位置關系如何？關系如何？ 等于什么？等于什么？z zzz22| | | |z zzz =x xy yO OZ Zz 關于實軸對稱關于實軸對稱 問題探究問題探究5 5、若復數(shù)、若復數(shù)z z1 1z

21、z2 2z z，則稱復數(shù)，則稱復數(shù)z z為復為復數(shù)數(shù)z z1 1除以除以z z2 2所得的商，即所得的商，即z zz z1 1z z2 2. . 一般地，設復數(shù)一般地，設復數(shù)z z1 1abi i，z z2 2cdi i（cdi0i0），如何求），如何求z z1 1z z2 2？ 2222()()()()abiabi cdiacbdbcadicdicdi cdicdcd+-+-=+-+問題探究問題探究 6 6、就是復數(shù)的就是復數(shù)的除法法則除法法則，并且兩個復數(shù)相，并且兩個復數(shù)相除（除數(shù)不為除（除數(shù)不為0 0），所得的商還是一個），所得的商還是一個 復數(shù)復數(shù) 2222()()acbdbcadab

22、icdiicdcd+-+=+問題探究問題探究 7 7、怎樣理解、怎樣理解 ？1122|zzzz=問題探究問題探究例例1 1 設設z z(1(12i)2i)(3(34i)4i)(1(1i)i)2 2求求 . .z4255zi= -+例例2 2 設復數(shù)設復數(shù) ，若，若z z為純虛為純虛數(shù)，求實數(shù)數(shù)，求實數(shù)m的值的值. .333m izi+=+m3 3 典例講評典例講評題型一：復數(shù)的混合運算題型一：復數(shù)的混合運算例例1 1 計算：計算： 15834(1)12iiii-+-+17173i3i 例例2 2 設復數(shù)設復數(shù)z z1 1i i，求，求 的值的值. .32(46)3zziz+-1 1i i題型二

23、：復數(shù)的變式運算題型二：復數(shù)的變式運算 例例3 3 已知復數(shù)已知復數(shù)z z滿足滿足 ，求求 的值的值. .10ziz+-=2211zzzz-+i i 例例4 4 已知復數(shù)已知復數(shù)z z滿足滿足 ，求求 的值的值. .110zz+=4(1)zz+1 1題型三：求滿足某條件的復數(shù)值題型三：求滿足某條件的復數(shù)值 例例5 5 已知復數(shù)已知復數(shù)z z滿足滿足 為純虛數(shù)，為純虛數(shù)， 且且 ，求，求z z的值的值. .1izz+| 4| |ziz-=53iizor=- 例例6 6 已知復數(shù)已知復數(shù)z z滿足滿足 ，求，求z z的值的值. .21(21)zizi-=+-533iz=-題型三：求滿足某條件的復數(shù)值題型三：求滿足某條件的復數(shù)值 例例7 7 已知復數(shù)已知復數(shù)z z滿足滿足|z|z2|2|2 2，且，且 ，求，求z z的值的值. .4zRz+z z4 4或或 . .13zi=題型三：求滿足某條件的復數(shù)值題型三：求滿足某條件的復數(shù)值題型四：求復數(shù)式中的實參數(shù)值題型四：求復數(shù)式中的實參數(shù)值 例例8 8 已知復數(shù)已知復數(shù)z z1 1i i，若，若 ，求實數(shù)，求實數(shù)a，b的值的值. .2211zazbizz+=-+a1 1，b2 2. 題型四：求復數(shù)式中的實參數(shù)值題型四：求復數(shù)式中的實參數(shù)值 例