第五講：事件的獨(dú)立性

1、)()()/(apabpabp)()()/(bpabpbap)/()()/()()(bapbpabpapabp乘法公式乘法公式一個(gè)事件發(fā)生的條件下一個(gè)事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的概率等于這另一事件發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率除兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率除以已經(jīng)發(fā)生的事件的概率以已經(jīng)發(fā)生的事件的概率兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于其中一個(gè)事的概率等于其中一個(gè)事件發(fā)生的概率乘以這個(gè)件發(fā)生的概率乘以這個(gè)事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的概率定義定義(p9)(p9)：已知事件：已知事件b b發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件a a發(fā)生的概發(fā)生的概率，稱

2、為率，稱為a a對對b b的條件概率，記作的條件概率，記作p(a/p(a/b)b)一、條件概率與乘法公式一、條件概率與乘法公式)./()/()/()()(12121312121nnnaaaapaaapaapapaaap推廣：niiiabpapbp1)|()()( 二、全概率公式與二、全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式)|(bapm),.,1( ,)|()()|()(1nmabpapabpapniiimm 如果如果事件事件a a1 1，a a2 2，a an n 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，則構(gòu)成一個(gè)完備事件組，則對任何一個(gè)事件對任何一個(gè)事件b b，有，有某一事件某一事件b在隨機(jī)試驗(yàn)中發(fā)生的概率在隨機(jī)試驗(yàn)

3、中發(fā)生的概率受不同因素的影響，事件受不同因素的影響，事件b在在所有所有不同不同因素情況下發(fā)生的概率有所不同且已知，因素情況下發(fā)生的概率有所不同且已知，而隨機(jī)試驗(yàn)中各因素發(fā)生的概率也已知，而隨機(jī)試驗(yàn)中各因素發(fā)生的概率也已知， （1）若要求在這一隨機(jī)試驗(yàn)中事件）若要求在這一隨機(jī)試驗(yàn)中事件b發(fā)生的概率就用全概率公式。發(fā)生的概率就用全概率公式。 （2）若進(jìn)行了試驗(yàn)結(jié)果事件）若進(jìn)行了試驗(yàn)結(jié)果事件b發(fā)生了，發(fā)生了，則要判斷各因素引起的可能性大小，就則要判斷各因素引起的可能性大小，就用貝葉斯公式。用貝葉斯公式。要求： （1 1）掌握條件概率和乘法）掌握條件概率和乘法公式的應(yīng)用。公式的應(yīng)用。 (2)(2)明確

4、全概率公式和貝葉明確全概率公式和貝葉斯公式適用題型斯公式適用題型 (3)(3)掌握全概率公式和貝葉掌握全概率公式和貝葉斯公式的運(yùn)用方法。斯公式的運(yùn)用方法。一、事件的獨(dú)立性一、事件的獨(dú)立性(p14) 定義定義( (p14p14) )：若若事件事件a a的發(fā)生不影響事件的發(fā)生不影響事件b b發(fā)生的概率，即發(fā)生的概率，即p(b)p(b)p(b|a)p(b|a)，則稱事件，則稱事件b b對對a a獨(dú)立獨(dú)立。 兩個(gè)事件互不相容是指在兩個(gè)事件互不相容是指在同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件在中的兩個(gè)事件在同一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生同一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生 兩個(gè)事件若相互獨(dú)立是指這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性大

5、小兩個(gè)事件若相互獨(dú)立是指這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性大小互不影響，但可能同時(shí)發(fā)生?；ゲ挥绊?，但可能同時(shí)發(fā)生。abba互不相容，即：與若0)()()/(bpabpbap則： 第五講事件的獨(dú)立性第五講事件的獨(dú)立性 事件獨(dú)立的性質(zhì)事件獨(dú)立的性質(zhì)(p15)，與ba，與ba都是相互獨(dú)立的與bap(b)p(b)p(b|a)p(b|a)，則稱事件，則稱事件b b對對a a獨(dú)立獨(dú)立。(重要公式重要公式)性質(zhì)性質(zhì)1:若事件若事件b對對a獨(dú)立，則獨(dú)立，則a對對b獨(dú)立獨(dú)立性質(zhì)性質(zhì)3:若事件若事件a、b獨(dú)立，則獨(dú)立，則)/(bap)()/()(bpabpap)()()()(apbpbpap)/()()(abpapabp)(

6、)(bpap)()(bpabp?)(ap(p15)此時(shí)此時(shí) a a對對b b是否是否獨(dú)立獨(dú)立？ba，ba是否獨(dú)立與那么獨(dú)立與若)/(abp?)(bp)()(apbap)()(apbap)()()(apabpap)()()()(apbpapap性質(zhì)性質(zhì)2:事件事件a與與 b相互獨(dú)立相互獨(dú)立p(ab)=p(a)p(b)(1bp)( bap)(bap)()(abpap)()()(bpapap)(1)(bpap)()(bpapba)()()()(abpbpapbap例例1：甲、乙兩人分別同時(shí)向同一固定目標(biāo)射擊，已知甲擊：甲、乙兩人分別同時(shí)向同一固定目標(biāo)射擊，已知甲擊中目標(biāo)中目標(biāo) 的概率為的概率為0.8

7、2，乙擊中目標(biāo)的概率為，乙擊中目標(biāo)的概率為0.60，求目標(biāo)被，求目標(biāo)被擊中的概率。擊中的概率。解：設(shè)解：設(shè)a=“甲擊中目標(biāo)甲擊中目標(biāo)”，b=“乙擊中目標(biāo)乙擊中目標(biāo)”，則，則p(a)=0.82p(a)=0.82，p(b)=0.60p(b)=0.60目標(biāo)被擊中即是事件目標(biāo)被擊中即是事件而)()()()(bpapbpap=0.82+0.60-0.82=0.82+0.60-0.820.60=0.9280.60=0.928故，目標(biāo)被擊中的概率為故，目標(biāo)被擊中的概率為0.928.)()()()(,)1 (21,21212121相互獨(dú)立，則稱事件，均滿足等式個(gè)事件個(gè)事件，若對于任意是，定義：設(shè)niiiiii

8、iiinaaaapapapaaapaaankknaaakkk.2121兩兩獨(dú)立，則稱事件的，個(gè)事件之間是相互獨(dú)立個(gè)事件，若其中任意兩是，定義：設(shè)nnaaanaaa;c、ba、 定義（定義（p14）：設(shè)）：設(shè)a、b、c是三個(gè)事件，如果滿足關(guān)系：是三個(gè)事件，如果滿足關(guān)系：p(ab)=p(a)p(b)，p(ac)=p(a)p(c)，p(bc)=p(b)p(c)，p(abc)=p(a)p(b)p(c)，則稱事件，則稱事件a、b、c為相互獨(dú)立的。為相互獨(dú)立的。記在記在p15獨(dú)立事件積的概率等于概率的積獨(dú)立事件積的概率等于概率的積;c、b、a性質(zhì)性質(zhì):若事件若事件a、b、c相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則;c、b

9、、a;、cb、a;、b、ca;、cba、a、b、 ；c均相互獨(dú)立均相互獨(dú)立 例例2 2：甲、乙、丙：甲、乙、丙3 3部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個(gè)工人照管，某時(shí)部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個(gè)工人照管，某時(shí)它們不需要工人照管的概率分別為它們不需要工人照管的概率分別為0.90.9、0.80.8、0.850.85。求某時(shí)有。求某時(shí)有機(jī)床需要工人照管的概率以及機(jī)床因無人照管而停工的概率。機(jī)床需要工人照管的概率以及機(jī)床因無人照管而停工的概率。abc解：設(shè)事件解：設(shè)事件a a、b b、c c分別表示在某時(shí)機(jī)床甲、乙、丙不需工人分別表示在某時(shí)機(jī)床甲、乙、丙不需工人照管。照管。依題意，依題意，a a、b b、c c相互獨(dú)立，

10、且相互獨(dú)立，且p(a)=0.9p(a)=0.9，p(b)=0.8,p(c)=0.85p(b)=0.8,p(c)=0.85。(1)(1)某時(shí)有機(jī)床需要工人照管：某時(shí)有機(jī)床需要工人照管：)()()(1)(1cpbpapabcp(2)(2)某時(shí)有機(jī)床因無人照管而停工：某時(shí)有機(jī)床因無人照管而停工：cbacbacbacba) (p cba )()()()()()()(cbapcapcbpbapcpbpap388. 015. 02 . 01 . 015. 01 . 015. 02 . 02 . 01 . 015. 02 . 01 . 0) (p) (pcbacbacbacbacabcbabca059.0c

11、bcaba).()()()()()()()(abcpbcpacpabpcpbpapcbap)()()()()()()()(cbcabapcbcapcbbapcabapcbpcapbapcbcabap15. 01 . 02 . 01 . 0cba)(2cbap 二、獨(dú)立試驗(yàn)概型二、獨(dú)立試驗(yàn)概型（貝努利概型）貝努利概型）(p16)(p16)若試驗(yàn)共進(jìn)行若試驗(yàn)共進(jìn)行n n次，即稱為次，即稱為n n重貝努里重貝努里(bernoulli)(bernoulli)試驗(yàn)試驗(yàn)。pappap1)(,)(如：投如：投n n次硬幣次硬幣（2 2）每次試驗(yàn)的結(jié)果與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，即在每）每次試驗(yàn)的結(jié)果與其它各次試

12、驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，即在每次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件a a發(fā)生的概率不變發(fā)生的概率不變具有下述特征的試驗(yàn)稱為具有下述特征的試驗(yàn)稱為貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn)：進(jìn)行進(jìn)行n n次試驗(yàn)，若任何一次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的可能性都不受其次試驗(yàn)，若任何一次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的可能性都不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果的影響，則稱這它各次試驗(yàn)結(jié)果的影響，則稱這n n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。概率論中，把在相同條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為概率論中，把在相同條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為獨(dú)立試獨(dú)立試驗(yàn)系列概型驗(yàn)系列概型。（1 1）每次試驗(yàn)中某事件）每次試驗(yàn)中某事件a a或者發(fā)生或者不發(fā)生；或者發(fā)生或者不發(fā)生； 定理定理：( (p

13、16p16) ) 設(shè)一次試驗(yàn)中事件設(shè)一次試驗(yàn)中事件a a發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為pap)(則則n重貝努里試驗(yàn)中，事件重貝努里試驗(yàn)中，事件a恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率為：次的概率為：發(fā)生次試驗(yàn)事件表示第aiaiqpappapii1)(,)(則次恰好發(fā)生表示事件次假設(shè)試驗(yàn)2,3) 1 (abb則種情況有即23cbqp2為：每種情況發(fā)生的概率均qpcbp223)(故2a1a3a2a1a3a1a3a2a)(321aaap)()()(321apapapqp2 定理定理：( (p16p16) ) 設(shè)一次試驗(yàn)中事件設(shè)一次試驗(yàn)中事件a a發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為knkknnqpckp)(pap)()(1app

14、q其中其中則則n重貝努里試驗(yàn)中，事件重貝努里試驗(yàn)中，事件a恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率為：次的概率為：發(fā)生次試驗(yàn)事件表示第aiaiqpappapii1)(,)(則次恰好發(fā)生表示事件次假設(shè)試驗(yàn)3,5)2(abb則種情況有即35cb23qp為：每種情況發(fā)生的概率均2335)(qpcbp故4a5a1a3a2a3a2a5a1a4a3a5a1a2a4a2a3a1a4a5a1a3a4a2a5a2a4a1a3a5a1a3a2a4a5a1a2a3a4a5a1a3a5a2a4a1a3a2a4a5a)(54321aaaaap)()()()()(54321apapapapap23qp10210)()(kkpbp 例例

15、3 3：一條自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品的一級品率為：一條自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品的一級品率為0.60.6，現(xiàn)檢查現(xiàn)檢查1010件，求至少有兩件一級品的概率。件，求至少有兩件一級品的概率。解：設(shè)解：設(shè)a a“檢查一件是一級品檢查一件是一級品”， 所以：所以：) 1 () 0(11010pp998. 04 . 06 . 04 . 06 . 019110100010cc同學(xué)們可自己計(jì)算下：恰有同學(xué)們可自己計(jì)算下：恰有4件或恰有件或恰有5件一級品的概率件一級品的概率010101073310822104 . 06 . 04 . 06 . 04 . 06 . 0ccc現(xiàn)檢查了現(xiàn)檢查了1010件，件，b=“b=“至少有兩

16、件一級品至少有兩件一級品”則每次檢查時(shí)則每次檢查時(shí)p p（a a）0.60.6；=“a=“a至少發(fā)生至少發(fā)生2 2次次”。8221010997. 0003. 0)2(cp 例例4 4：一大批產(chǎn)品中次品率為：一大批產(chǎn)品中次品率為0.0030.003，現(xiàn)檢查，現(xiàn)檢查1010件，求件，求抽到兩件次品的概率。抽到兩件次品的概率。解：設(shè)解：設(shè)a a“檢查一件是次品檢查一件是次品”， 所以所求概率為：所以所求概率為：嚴(yán)格意義上，第一次抽取時(shí)事件嚴(yán)格意義上，第一次抽取時(shí)事件a a發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是0.0030.003，但從第二次直至第十次抽取時(shí)，事件但從第二次直至第十次抽取時(shí)，事件a a發(fā)生的概率就不

17、發(fā)生的概率就不是是0.0030.003，而且各不相同，即是說十次抽檢不是獨(dú)立的。，而且各不相同，即是說十次抽檢不是獨(dú)立的。但由于產(chǎn)品是一大批（較多），抽取次數(shù)（但由于產(chǎn)品是一大批（較多），抽取次數(shù)（1010次）對整次）對整體產(chǎn)品結(jié)構(gòu)影響不大，因此，通常將每次抽取看作是獨(dú)體產(chǎn)品結(jié)構(gòu)影響不大，因此，通常將每次抽取看作是獨(dú)立的。立的。例例5：某機(jī)構(gòu)有一個(gè)：某機(jī)構(gòu)有一個(gè)9人組成的顧問小組，若每個(gè)顧問貢獻(xiàn)人組成的顧問小組，若每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的百分比是正確意見的百分比是0.7，現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)對某事可行與否個(gè)別征，現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)對某事可行與否個(gè)別征求各位顧問意見，并按多數(shù)人意見作出決策，求作出正確決求各位顧問意

18、見，并按多數(shù)人意見作出決策，求作出正確決策的概率。策的概率。“作出正確決策”設(shè)b解：解：又由于是按多數(shù)人意見作出決策，則要作出正確決策即又由于是按多數(shù)人意見作出決策，則要作出正確決策即是要是要9個(gè)顧問中至少個(gè)顧問中至少5人貢獻(xiàn)正確意見。人貢獻(xiàn)正確意見。iiici993 . 07 . 09率為：個(gè)人作出正確意見的概人中有則由獨(dú)立試驗(yàn)概型知：iiiicbp99953 .07 .0)(故由于是個(gè)別征求各位顧問的意見，每位顧問提供意由于是個(gè)別征求各位顧問的意見，每位顧問提供意見是相互獨(dú)立的，這就相當(dāng)于做了見是相互獨(dú)立的，這就相當(dāng)于做了9次試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)，而每次獲得正確意見的概率均為次獲得正確意見的概

19、率均為0.7。本次課要求：本次課要求： 明確事件的獨(dú)立性、獨(dú)明確事件的獨(dú)立性、獨(dú)立試驗(yàn)概型及其概率的立試驗(yàn)概型及其概率的計(jì)算。計(jì)算。一、復(fù)習(xí)課堂所授內(nèi)容及教材p1417 二、練習(xí)五教材p17 t2 t5 三、預(yù)習(xí)教材p21p27課后作業(yè)本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：（1）事件與運(yùn)算關(guān)系式的含義和關(guān)系；）事件與運(yùn)算關(guān)系式的含義和關(guān)系；（2）掌握古典概率的計(jì)算；）掌握古典概率的計(jì)算； （3）學(xué)會(huì)概率的幾個(gè)重要公式如）學(xué)會(huì)概率的幾個(gè)重要公式如:加法公式、乘法公式、對立事件的概率加法公式、乘法公式、對立事件的概率關(guān)系公式、全概率公式、獨(dú)立概型概率關(guān)系公式、全概率公式、獨(dú)立概型概率計(jì)算公式等的運(yùn)用。計(jì)算公式等的運(yùn)

20、用。 第第1章章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率人們在觀察自然界和社會(huì)現(xiàn)象時(shí)，常常發(fā)現(xiàn)三類不同的現(xiàn)象：人們在觀察自然界和社會(huì)現(xiàn)象時(shí)，常常發(fā)現(xiàn)三類不同的現(xiàn)象： 一類是在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）一類是在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）或必然不或必然不發(fā)生的現(xiàn)象（不可能現(xiàn)象）統(tǒng)稱為發(fā)生的現(xiàn)象（不可能現(xiàn)象）統(tǒng)稱為確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象。 （不用試驗(yàn)，預(yù)先知道結(jié)果）（不用試驗(yàn)，預(yù)先知道結(jié)果） 另一類是事物本身的含義不確定的現(xiàn)象，另一類是事物本身的含義不確定的現(xiàn)象，這類現(xiàn)象稱這類現(xiàn)象稱為為模糊現(xiàn)象模糊現(xiàn)象。 很重要的一類很重要的一類：在一定條件下有多種結(jié)果，在試驗(yàn)或觀在一定條件下有多種結(jié)果

21、，在試驗(yàn)或觀察前無法預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果。察前無法預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果。這類現(xiàn)象稱為這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象（偶然偶然現(xiàn)象現(xiàn)象）。）。 （試驗(yàn)前后都難知道準(zhǔn)確結(jié)果）（試驗(yàn)前后都難知道準(zhǔn)確結(jié)果）（試驗(yàn)前不能確定結(jié)果，但試驗(yàn)后就知道準(zhǔn)確結(jié)果）（試驗(yàn)前不能確定結(jié)果，但試驗(yàn)后就知道準(zhǔn)確結(jié)果）一、隨機(jī)事件一、隨機(jī)事件 為了掌握隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，常需對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量的觀為了掌握隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，常需對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量的觀察或試驗(yàn)。察或試驗(yàn)。（1 1）可重復(fù)性：可重復(fù)性：在相同條件下能重復(fù)進(jìn)行；在相同條件下能重復(fù)進(jìn)行；（2 2）可觀察性：可觀察性：試驗(yàn)（或觀察）的所有可能結(jié)果是已知的并且試驗(yàn)（或觀察）的所有可

22、能結(jié)果是已知的并且不止一個(gè)；不止一個(gè)； （3 3）不確定性：不確定性：每次試驗(yàn)出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在每每次試驗(yàn)出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在每次試驗(yàn)之前，不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。次試驗(yàn)之前，不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。 稱滿足下述條件的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。稱滿足下述條件的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)（基本事件基本事件）隨機(jī)試驗(yàn)中每一個(gè)最基本的隨機(jī)試驗(yàn)中每一個(gè)最基本的可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，也稱基本事件，記為可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，也稱基本事件，記為。樣本空間樣本空間（必然事件必然事件）隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱為該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，記為構(gòu)成的集合稱為該隨機(jī)試驗(yàn)

23、的樣本空間，記為（有的書上（有的書上也記為也記為s）。）。在觀察隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，人們常常關(guān)心某些特定的結(jié)果，這些在觀察隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，人們常常關(guān)心某些特定的結(jié)果，這些結(jié)果在每次試驗(yàn)時(shí)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果在每次試驗(yàn)時(shí)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性。中卻具有某種規(guī)律性。 稱這類特定結(jié)果為稱這類特定結(jié)果為隨機(jī)事件隨機(jī)事件（簡稱事件簡稱事件） 事件一般用大寫字母事件一般用大寫字母a、b、c、表示。表示。（隨機(jī)事件就是由某些特定的基本事件組成的集合）（隨機(jī)事件就是由某些特定的基本事件組成的集合）復(fù)合事件復(fù)合事件由一個(gè)以上基本事件構(gòu)成的事件。由一個(gè)以上基本事件構(gòu)成的

24、事件。事件的發(fā)生事件的發(fā)生如果某次試驗(yàn)中事件如果某次試驗(yàn)中事件a包含的某個(gè)基本事件包含的某個(gè)基本事件出現(xiàn)了，則稱事件出現(xiàn)了，則稱事件a發(fā)生了。發(fā)生了。不可能事件不可能事件在一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的事件。記在一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的事件。記為為 。不含任何基本事件的事件。相當(dāng)于集合中的空集。不含任何基本事件的事件。相當(dāng)于集合中的空集。ab 或1 1、事件的包含關(guān)系、事件的包含關(guān)系: :若事件若事件a a發(fā)生必發(fā)生必然然導(dǎo)致導(dǎo)致事件事件b b發(fā)生發(fā)生，則稱，則稱事件事件a a包含于事件包含于事件b b，或事件，或事件b b包含事件包含事件a a，記為記為a a b b2 2、事件的相等：、事件的相

25、等：a ab b a a b b且且b b a.a. 3、事件的并、事件的并(和和)：“事件事件a a與事件與事件b b至少有一個(gè)至少有一個(gè)發(fā)生發(fā)生”這一事件稱為事件這一事件稱為事件a a與與b b的并（和）記作的并（和）記作a abbn個(gè)事件個(gè)事件a1, a2, an至少有一個(gè)發(fā)生，記作至少有一個(gè)發(fā)生，記作inia14、事件的、事件的交交(積積):“事件事件a a與與事件事件b b同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生”這一事這一事件稱為事件件稱為事件a a與與b b的交（積）的交（積），記作，記作 a ab bababn個(gè)事件個(gè)事件a1, a2, an同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作 a1a2an二、事件的關(guān)系與運(yùn)

26、算二、事件的關(guān)系與運(yùn)算 5、事件事件的的差差： “事件事件a a發(fā)生而發(fā)生而事件事件b b不發(fā)生不發(fā)生”這一事這一事件稱為事件件稱為事件a a與事件與事件b b的差，記為：的差，記為：a ab b ( (顯然：顯然：a ab ba aabab）6、互互斥斥(互不相容互不相容)事件：事件：若若在同一試驗(yàn)中事件在同一試驗(yàn)中事件a a與事與事件件b b不能同時(shí)發(fā)生，則稱事件不能同時(shí)發(fā)生，則稱事件a a與事件與事件b b為互不相容事為互不相容事件。記為件。記為abab 。7、互逆互逆(對立對立)事件事件：若事件若事件a a與事件與事件b b在在同一試驗(yàn)中不同一試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生能同時(shí)發(fā)

27、生，但必有一個(gè)發(fā)生 a a b b , , 且且abab 。則稱事件。則稱事件a a與事件與事件b b為互逆事件。為互逆事件。baba事件事件a a與事件與事件b b是是互逆事件互逆事件事件事件a a與事件與事件b b是是互斥事件互斥事件9、事件的運(yùn)算律、事件的運(yùn)算律1、交換律：、交換律：abba，abba2、結(jié)合律、結(jié)合律：(ab)ca(bc)， (ab)ca(bc)3、分配律、分配律：(ab)c(ac)(bc)， (ab)c(ac)(bc)4、對偶、對偶(de morgan)律律： .,kkkkkkkkaaaabaabbaba可推廣為一個(gè)完備事件組。則稱naaa,21naaa21且8、完備

28、事件組：、完備事件組：。就構(gòu)成一個(gè)完備事件組與事件事件aa為兩兩互不相容事件，若naaa,21 三、古典概率三、古典概率（1）試驗(yàn)的所有基本事件為有限個(gè)；）試驗(yàn)的所有基本事件為有限個(gè)；（2）每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等。）每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等。具有下列兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為具有下列兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典試驗(yàn)古典試驗(yàn)，相應(yīng)數(shù)學(xué)模型相應(yīng)數(shù)學(xué)模型稱為稱為古典概型古典概型。 概率（古典定義）概率（古典定義）：如果古典試驗(yàn)的所有基本事件數(shù)為：如果古典試驗(yàn)的所有基本事件數(shù)為n n個(gè)，個(gè)，而事件而事件a a中包含的基本事件數(shù)（有效基本事件數(shù)）為中包含的基本事件數(shù)（有效基本事件數(shù)）為m m個(gè)，則稱個(gè)，

29、則稱m/nm/n 為事件為事件a a發(fā)生的概率，記為發(fā)生的概率，記為p p（a a）。）。 性質(zhì)性質(zhì)：（1）p（）1；（2）p（ ）0；（3）0p（a）1。 四、幾何概型四、幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)若隨機(jī)試驗(yàn)e的樣本空間的樣本空間可以用歐氏幾何中的某一有可以用歐氏幾何中的某一有界區(qū)域表示（區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都是一個(gè)樣本點(diǎn)），且其任一界區(qū)域表示（區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都是一個(gè)樣本點(diǎn)），且其任一基本事件的發(fā)生具有等可能性，則稱試驗(yàn)基本事件的發(fā)生具有等可能性，則稱試驗(yàn)e e為幾何型隨機(jī)試為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)（或幾何概型）驗(yàn)（或幾何概型）. . 幾何概率幾何概率：|)(|aapaaae發(fā)生的概率為則事件，的幾何度量大小為其事件

30、，的幾何度量大小為的樣本空間若幾何型隨機(jī)試驗(yàn) 定義定義：設(shè)：設(shè)e e是隨機(jī)試驗(yàn)，是隨機(jī)試驗(yàn)， 是它的樣本空間，是它的樣本空間，a a是其中的任是其中的任一事件，與一事件，與a a對應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù)對應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù)p(a)p(a)如果滿足：如果滿足： （2 2）完備性：）完備性：p p（）1 1 （1 1）非負(fù)性：）非負(fù)性： p p（a a）0 0 （3 3）可列可加性：）可列可加性： 121)(,iiiiapapaa互不相容，則有若 稱稱p(a)p(a)為事件為事件a a的概率的概率 五、概率公理與概率性質(zhì)五、概率公理與概率性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1： 0)(p概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)2： ,21兩兩互

31、不相容若naaaniiap1則niiap1)( (有限可加性）有限可加性） )(1)(apapba 若)()()()(abpbpapbap 性質(zhì)性質(zhì)3： )()()(apbpabp)()(apbp 性質(zhì)性質(zhì)4： a對任何事件1)(ap有 性質(zhì)性質(zhì)5： 性質(zhì)性質(zhì)6： ).()()()()()()()(abcpbcpacpabpcpbpapcbap 推廣：推廣： 不相容事件不相容事件和的概率等于概率的和和的概率等于概率的和 )()()(abpbpabp)()()/(apabpabp)()()/(bpabpbap)/()()/()()(bapbpabpapabp乘法公式乘法公式一個(gè)事件發(fā)生的條件下一

32、個(gè)事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的概率等于這另一事件發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率除兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率除以已經(jīng)發(fā)生的事件的概率以已經(jīng)發(fā)生的事件的概率兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于其中一個(gè)事的概率等于其中一個(gè)事件發(fā)生的概率乘以這個(gè)件發(fā)生的概率乘以這個(gè)事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的概率定義：已知事件定義：已知事件b b發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件a a發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，稱為稱為a a對對b b的條件概率，記作的條件概率，記作p(a/p(a/b)b)六、條件概率與乘法公式六、條件概率與乘法公式)./()/()/()()(12121

33、312121nnnaaaapaaapaapapaaap推廣：niiiabpapbp1)|()()( 七、全概率公式與七、全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式)|(bapm),.,1( ,)|()()|()(1nmabpapabpapniiimm 如果如果事件事件a a1 1，a a2 2，a an n 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，則構(gòu)成一個(gè)完備事件組，則對任何一個(gè)事件對任何一個(gè)事件b b，有，有某一事件某一事件b在隨機(jī)試驗(yàn)中發(fā)生的概率在隨機(jī)試驗(yàn)中發(fā)生的概率受不同因素的影響，事件受不同因素的影響，事件b在所有不同在所有不同因素情況下發(fā)生的概率有所不同且已知，因素情況下發(fā)生的概率有所不同且已知，而隨機(jī)試驗(yàn)中各因素發(fā)生的概率也已知，而隨機(jī)試驗(yàn)中各因素發(fā)生的概率也已知， （1）若要