場論第二章25

1、第五節(jié)第五節(jié) 幾種重要的矢量場幾種重要的矢量場1 1、有勢場、有勢場2 2、管形場、管形場3 3、調(diào)和場、調(diào)和場一、有勢場一、有勢場1 1、有勢場的定義、有勢場的定義2 2、有勢場的判定、有勢場的判定3 3、勢函數(shù)的求法、勢函數(shù)的求法三維空間里單連域與復(fù)連域的概念三維空間里單連域與復(fù)連域的概念（1）如果在一個空間區(qū)域）如果在一個空間區(qū)域G內(nèi)的任何一條內(nèi)的任何一條簡單閉曲線簡單閉曲線l,都可以作出一個以都可以作出一個以l為邊界且全為邊界且全部位于區(qū)域部位于區(qū)域G內(nèi)的曲面內(nèi)的曲面S,則稱此區(qū)域則稱此區(qū)域G為為線單線單連域連域;否則稱為否則稱為線復(fù)連域線復(fù)連域.例如空心球體是線單例如空心球體是線單連

2、域連域,而環(huán)面體則是線復(fù)連域而環(huán)面體則是線復(fù)連域.(見下圖見下圖)空心球體環(huán)面體 （2）如果在一個空間區(qū)域如果在一個空間區(qū)域G內(nèi)的任一簡內(nèi)的任一簡單單閉曲面閉曲面S所包圍的全部點所包圍的全部點,都在區(qū)域都在區(qū)域G內(nèi)內(nèi)(即即S內(nèi)內(nèi)沒有洞沒有洞),則稱此區(qū)域則稱此區(qū)域G為為面單連域面單連域;否則稱為否則稱為面面復(fù)連域復(fù)連域. 有許多空間區(qū)域既是線單連域有許多空間區(qū)域既是線單連域,同時又是同時又是例如環(huán)面體是面單連域例如環(huán)面體是面單連域,而空心球體則而空心球體則是面復(fù)連域是面復(fù)連域.面單連域面單連域.例如實心的球體、橢球體、圓柱體、例如實心的球體、橢球體、圓柱體、平行六面體等平行六面體等,都既是線單

3、連域都既是線單連域,又是面單連域又是面單連域. 設(shè)有矢量場設(shè)有矢量場若存在單值函數(shù)若存在單值函數(shù)()u M滿足滿足gradAu 則稱此矢量場為則稱此矢量場為有勢場有勢場；,令 vu 并稱并稱v為這個為這個場的場的勢函數(shù)勢函數(shù).(),A M gradAv 1.1.有勢場的定義有勢場的定義A 矢矢量量與勢函數(shù)與勢函數(shù)v之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是：說明：說明： （1）有勢場是一個梯度場；）有勢場是一個梯度場；（2）有勢場的勢函數(shù)有無窮多個）有勢場的勢函數(shù)有無窮多個,它們之間它們之間()A M 若若為有勢場為有勢場,它滿足它滿足gradAv A 只相差一個常數(shù)只相差一個常數(shù).則存在勢函數(shù)則存在勢函數(shù)v,

4、grad()vC gradv 對于任意常數(shù)對于任意常數(shù)C，所以所以v+C也是有勢場也是有勢場()A M 的的勢函數(shù)勢函數(shù),因此因此有勢場有勢場()A M 的勢函數(shù)有無窮多個的勢函數(shù)有無窮多個.12()vvA M 又又若若和和均均為為的的勢勢函函數(shù)數(shù)，則則有有12gradgradvv 或或12grad()0vv 所以所以12,()vvCC 為為任任意意常常數(shù)數(shù)即在有勢場中的任何兩個勢函數(shù)之間即在有勢場中的任何兩個勢函數(shù)之間,只相差只相差一個常數(shù)一個常數(shù).()v MC 若已知有勢場若已知有勢場 的一個勢函數(shù)的一個勢函數(shù) ，()A M ()v M則場的所有勢函數(shù)的全體可以表示為則場的所有勢函數(shù)的全體

5、可以表示為(C為任意常數(shù)為任意常數(shù))2. 有勢場的判定有勢場的判定充要條件是充要條件是 為無旋場為無旋場.定理定理1.在線單連域內(nèi)在線單連域內(nèi),矢量場矢量場 為有勢場的為有勢場的A A 證證設(shè)設(shè)( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k 必要性必要性如果如果 為有勢場，為有勢場，A 則存在函數(shù)則存在函數(shù)( , , )u x y z滿足滿足grad ,Au 即即,xPu ,yQu zRu ijkxyzPQR rotA xyzijkxyzuuu i () zyyzuu j () xzzxuu k () yxxyuu 即即 為無旋場為無旋場.A

6、 函數(shù)函數(shù)P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)函數(shù)u具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).rot0,A 充分性充分性 設(shè)設(shè) 為無旋場為無旋場，A 即在場中處處有即在場中處處有rot0,A 對于場中的任何封閉曲線對于場中的任何封閉曲線l,則則lA dl (rot)SAdS 0 因此曲線積分因此曲線積分 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān).0M MA dl 0000(,)M x y z( , , )M x y z其積分值只其積分值只與起點與起點和終點和終點 有關(guān)有關(guān).000( , , )(,)x y zxy zPdxQdyRdz ( , , )u x y z 記記下面證明這個下面證明這個u(x,

7、y,z)滿足滿足grad ,Au 只要證明只要證明,xPu ,yQu zRu (, , )( , , )uu xx y zu x y z 000(, , )(,)xx y zxyzPdxQdyRdz 000( , , )(,)x y zxyzPdxQdyRdz 000( , , )(,)x y zxyzPdxQdyRdz (, , )( , , )xx y zx y zPdxQdyRdz 000( , , )(,)x y zxyzPdxQdyRdz (, , )( , , )xx y zx y zPdxQdyRdz (, , )( , , )( , , )xx y zx y zP x y z

8、dx (, , )P xx y zx ( , , )xxxP x y z dx (, , )uP xx y zx ( , , )uP x y zx 同理可證同理可證( , , ),uQ x y zy ( , , )uR x y zz 此性質(zhì)表明：此性質(zhì)表明：A dlPdxQdyRdz uuudxdydzxyz 即表達(dá)式即表達(dá)式A dlPdxQdyRdz 是函數(shù)是函數(shù)u的全微的全微du 分分,也稱函數(shù)也稱函數(shù)u為表達(dá)式為表達(dá)式A dlPdxQdyRdz 的的原函數(shù)原函數(shù).一般地一般地,稱具有曲線積分稱具有曲線積分 與路徑與路徑無關(guān)性質(zhì)的矢量場為無關(guān)性質(zhì)的矢量場為保守場保守場.在線單連域內(nèi)在線單連

9、域內(nèi),以下四個命題彼此等價：以下四個命題彼此等價：1) 場有勢場有勢(梯度場梯度場); 2) 場無旋；場無旋；3) 場保守；場保守；4)表達(dá)式表達(dá)式 是某個函數(shù)的是某個函數(shù)的全微分全微分.A dlPdxQdyRdz 0M MA dl 3.勢函數(shù)的求法勢函數(shù)的求法0000(,),Mxyz000( , , )(,)( , , )x y zxy zu x y zPdxQdyRdz 以任一路徑從點以任一路徑從點0000(,)Mxyz到點到點( , , )M x y z積分積分,求出函數(shù)求出函數(shù)u后，后， 再令再令v =-u就會得到勢函數(shù)就會得到勢函數(shù).一般為了簡便一般為了簡便,常選取平行于坐標(biāo)軸的折線

10、來常選取平行于坐標(biāo)軸的折線來作為積分路徑作為積分路徑.在場中選定一點在場中選定一點 用公式用公式000( , , )(,)( , , )x y zxy zu x y zPdxQdyRdz 選取積分路徑：選取積分路徑：00( ,)R x y z 則則00( ,)xoxP x y z dx 0( , , )zzR x y z dz 0000(,)M x y z ( , , )M x y z0( , ,)S x y z 00( , ,)yyQ x y z dy 例例1. 證明矢量場證明矢量場22 222(cos )2Axyz ix zy jx yzk 為有勢場，并求其勢函數(shù)為有勢場，并求其勢函數(shù).

11、解：由解：由2222222242sin2422yzxzxyzDAxzyx zxyzx zx y 0AA得rot， 故 為有勢場。由上面的公式可求出由上面的公式可求出 220002sin2cos0yzxyyzdzxydydxuxyz于是得勢函數(shù)于是得勢函數(shù) 22sinyzxyuv而全體勢函數(shù)為而全體勢函數(shù)為 cyzxyv22sin例例1. 證明矢量場證明矢量場22 222(cos )2Axyz ix zy jx yzk 為有勢場，并求其勢函數(shù)為有勢場，并求其勢函數(shù). 例例2. 用不定積分法求例用不定積分法求例1中矢量場的勢中矢量場的勢函數(shù)函數(shù).例例3. 若若( , , )( , , )( , ,

12、 )A P x y z iQ x y z jR x y z k 為保守場，則存在函數(shù)為保守場，則存在函數(shù) ()u M 使使()( )( )BABAA dlu Mu Bu A 例例4. 證明證明3232223Axyz ix z jx yz k 為保守場，并計算曲線積分為保守場，并計算曲線積分 ,其中ABA dl (2,3,1).B(1,4,1),A解：顯然解：顯然 dzyzxdyzxdxxyzl dAyzxd223233232)(所以所以 231248BAABA dlx yz3323222222226203636yzxzxyzDAxzx zxyzx zx yz 0AA得rot， 故 為保守場。2

13、 2、管形場、管形場設(shè)有矢量場設(shè)有矢量場 ,A若其散度處處為零，若其散度處處為零，div0,A 即即 管形場之所以得名管形場之所以得名, ,是因為它具有如是因為它具有如下性質(zhì)下性質(zhì). . 則稱此矢量場為則稱此矢量場為管形場管形場. .換言之換言之, ,管形場就是無源場管形場就是無源場. . 定義：定義：A 設(shè)設(shè)管管形形場場 所所在在的的空空間間區(qū)區(qū)域域定理定理2.2.為一面單連域，在場中任取一個矢量管為一面單連域，在場中任取一個矢量管. . 1n 2,nA 與與都都朝朝向向 所所指指的的一一側(cè)側(cè) 則則有有12SSSdASdA假設(shè)假設(shè)12SS與與是是它它的的任任意意兩個橫斷面兩個橫斷面,其法矢其

14、法矢1S2S3SAA1n2n 12SS 與與證：證：3S之之間間的的一一段段矢矢量量管管面面所所組組成成的的一一個個封封閉閉由于管形場的散度為零由于管形場的散度為零, ,且場所在區(qū)且場所在區(qū)域是面單連域域是面單連域, ,則由奧氏公式有則由奧氏公式有設(shè)設(shè)S為由二斷面為由二斷面 以及此二斷面以及此二斷面曲面曲面. .SA dS 1230nnnSSSA dSA dSA dS 或或nAASn 其其中中表表示示 在在閉閉曲曲面面 的的外外向向法法矢矢 的的方方向向上上3S所所以以在在管管面面0.nA 上上有有的的投投影影. .divAdV 0 即即0nSA dS A 注意到場中矢量注意到場中矢量 是與矢

15、量線相切的是與矢量線相切的, 從而也就與矢量管的管面相切從而也就與矢量管的管面相切,因此上式成為因此上式成為11nSA dS 1212nnSSA dSA dS 12SSA dSA dS 或或即即120nnSSA dSA dS 22nSA dS 0 1S2S3SAA1n2n 定理定理2 2告訴我們，管形場中穿過同一矢量告訴我們，管形場中穿過同一矢量管的所有橫斷面的通量都相等管的所有橫斷面的通量都相等, ,即為一常數(shù)即為一常數(shù), , 稱其為此矢量管的稱其為此矢量管的強度強度. . 比如在無源的流速場中比如在無源的流速場中, ,定理定理2 2表明表明, ,流流入某個矢量管的流量和從管內(nèi)流出的流量入某

16、個矢量管的流量和從管內(nèi)流出的流量是相等的是相等的. .因此流體在矢量管內(nèi)流動因此流體在矢量管內(nèi)流動, ,就好就好像在真正的管子里流動一樣像在真正的管子里流動一樣, ,管形場因此而管形場因此而得名得名. .A 在在面面單單連連域域內(nèi)內(nèi)矢矢量量場場 為為管管定理定理3.形形場場的的充充要要條條件件是是：它它為為另另一一個個矢矢量量場場.B 的的旋旋度度場場證：證：rot ,AB 運運算算的的基基本本公公式式有有 div rot0,B div0,A 即即.A 所所以以矢矢量量場場 為為管管形形場場充分性充分性則由旋度則由旋度設(shè)設(shè)APiQ jRk 設(shè)設(shè)為為管管形形場場, ,div0A 即即有有，BUi

17、V jWk rotBA 滿滿足足ijkPiQ jRkxyzUVW 即即 必要性必要性 現(xiàn)在來證明存在矢量場現(xiàn)在來證明存在矢量場,.WVPyzUWQzxVURxy rotBABA 滿滿足足的的矢矢量量 稱稱為為矢矢量量的的矢勢量矢勢量,其其存存在在是是肯肯定定的的, ,也也就就是是滿滿足足0000( , ,)( , , )( , , )()yzyzzzUR x y z dyQ x y z dzVP x y z dzWC C 為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為坐坐標(biāo)標(biāo)的的矢矢量量，就就是是上上式式的的矢矢勢勢量量. .0.PQRxyz 可可自自己己證證明明, , 注注意意條條件件例例如如以以例例5 驗證矢量

18、場驗證矢量場(23 )(3)(2 )Azy ixy jzx k 為管形場為管形場,并求場的一個矢勢量并求場的一個矢勢量.解：因為解：因為div0110,A 故故 為管形場。為管形場。 A ?。ㄈ。▁0，y0 ，z0）=（0，0，0），則），則 002332yzUxdyxy dzxzyzxy 20233zVzy dzyzz 1W 2323Bxzyzxy iyzzjk (23 )(3)(2 )rotBzy ixy jzx kA 令令則則3 3、調(diào)和場、調(diào)和場div0AA 如如果果在在矢矢量量場場 中中恒恒有有rot0A 與與，則則稱稱此此矢矢量量場場為為定義：定義：.調(diào)調(diào)和和場場是是指指既既無無源

19、源又又無無旋旋的的矢矢量量場場q例例如如位位于于原原點點的的點點電電荷荷 所所產(chǎn)產(chǎn)生生的的靜靜電電場場中中, , 除除去去點點電電荷荷所所在在的的原原點點外外, , 由由第第三三節(jié)節(jié)的的3例例 有有3div04qDrDr ， 且且 調(diào)和場調(diào)和場.換言之換言之, ,5 由由習(xí)習(xí)題題 第第9 9題題有有D 所所以以, , 電電位位移移矢矢量量 在在除除去去原原點點外外的的區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)形形成成一一個個調(diào)調(diào)和和場場. .rot0AA 設(shè)設(shè)矢矢量量場場 為為調(diào)調(diào)和和場場, ,按按定定義義有有, ,（1）調(diào)和函數(shù)）調(diào)和函數(shù)grad ;uAu 因因此此存存在在函函數(shù)數(shù) 滿滿足足又又按按定定義義有有rot0

20、D , ,div0,A 于于是是有有div(grad )0.u 在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中, , 由由于于grad,uuuuijkxyz 因因此此得得到到2222220,uuuxyz 2222220,uuuxyz 這這是是一一個個二二階階偏偏微微分分方方程程, , 叫叫做做拉普拉拉普拉斯斯(Laplace)方程方程;有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)叫叫做做滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程且且調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù).按按定定義義調(diào)調(diào)和和場場也也是是有有勢勢場場，其其勢勢函函vu 數(shù)數(shù)顯顯然然也也是是調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù). .222222xyz 引引用用這這個個算算子子, , 拉拉普普拉拉 叫

21、叫做做拉拉普普拉拉斯斯算算子子, , 其其中中 可可 作作“拉拉普普laplacian拉拉遜遜( () )”.拉拉普普拉拉斯斯引引進進了了一一個個算算子子斯斯方方程程可可寫寫為為0u u 其其中中也也叫叫調(diào)和量調(diào)和量(或拉普拉斯式拉普拉斯式).讀讀（2 2）平面調(diào)和場）平面調(diào)和場 平面調(diào)和場是指既無源又無旋的平平面調(diào)和場是指既無源又無旋的平面矢量場面矢量場 . .1）其旋度其旋度為為( , )( , )AP x y iQ x y j設(shè)設(shè)有有平平面面調(diào)調(diào)和和場場rot0,( , )( , )0ijkQPAkxyzxyP x yQ x y 即即0QPxy grad ,vAv 故故存存在在勢勢函函數(shù)

22、數(shù) 滿滿足足即即有有,vvPQxy :v其其中中勢勢函函數(shù)數(shù) 可可用用如如下下的的積積分分求求出出000( , )( ,)( , )xyxyv x yP x y dxQ x y dy 2 2）其散度為）其散度為div0,A 即即0PQxy 0PQxy ,aQiPj 根根據(jù)據(jù)此此式式作作矢矢量量場場則則其其旋旋度度()rot0,PQakxy ,au 因因此此矢矢量量場場 為為有有勢勢場場 故故存存在在函函數(shù)數(shù)grad ,au 滿滿足足即即有有,uuQPxy uA 函函數(shù)數(shù) 稱稱為為平平面面調(diào)調(diào)和和場場 的的力函數(shù)力函數(shù).可用如下積分求出：可用如下積分求出：000( , )( ,)( , )xyx

23、yu x yQ x y dxP x y dy 3）比較剛才得到的表達(dá)式）比較剛才得到的表達(dá)式,vvPQxy ,uuQPxy 之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式.,uvuvxyyx uv這這就就是是平平面面調(diào)調(diào)和和場場的的力力函函數(shù)數(shù) 和和勢勢函函數(shù)數(shù)可得可得uv還還可可以以證證明明力力函函數(shù)數(shù) 和和勢勢函函數(shù)數(shù) 均均為為滿滿足足,uv二二維維拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù) 又又 和和滿滿足足,uvuvxyyx uv稱稱 和和 為為共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)， 并稱上式為并稱上式為共軛共軛調(diào)和條件調(diào)和條件.uv應(yīng)應(yīng)用用這這個個條條件件, , 可可以以從從 和和 的的一個求出另一個來一個求出另一個來.例例7 7 已知調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù) 323,uyx y 求其共軛調(diào)和函數(shù)求其共軛調(diào)和函數(shù) . v解：解：因為因為 6yxvuxy 2( 6)3( )vxy dyxyx 所以所以( ).x 其其中中暫暫時時是是任任意意的的 為為了了確確定定它它, , 將將x上上式式對對 求求導(dǎo)導(dǎo)得得23( )xvyx 23( )xvyx 2233xyvuyx 2( )3,xx 3( )xxC 233.vxyxC 又又所以所以即即因此得到因此得到4）( , )( , )u x yv x y力力函函數(shù)數(shù)與與勢勢函函數(shù)數(shù)的的1