實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法解析

1、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法【摘要】物理學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)的科學(xué)，物理學(xué)中的新概念、新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)都依賴于 反復(fù)的實(shí)驗(yàn)。而處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，需選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法，才能較準(zhǔn)確、 客觀的反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果，減小誤差。本文介紹了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中涉及到的一些基本 概念，重點(diǎn)綜述了物理實(shí)驗(yàn)中常用的數(shù)據(jù)處理方法。 并指出了各自適用的條件及 優(yōu)缺點(diǎn)?！娟P(guān)鍵詞】誤差；數(shù)據(jù)處理；作圖法；最小二乘法；逐差法Abstract: Physics is an experimental scienee. New concepts in physics, the discovery of new rules rely on trial and

2、 error, The experimental data processing Need to select the appropriate treatment of the experimental data, To more accurately reflect the objective results， Reduce errors. This article describes the experimental data process ing invo Ived in some of the basic con cepts Summary of experime nts focus

3、ed on the physical data processing methods commonly used. And pointed out the adva ntages and disadva ntages of each applicable con diti on.Keywords: Error; Data Processing Mapping ； Least squares By subtraction【引言】數(shù)據(jù)處理是指由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，必須經(jīng)過(guò)科學(xué)的分析和處理，才能揭示出各物理量之間的關(guān)系。我們把從獲得原始數(shù)據(jù)起到得出結(jié)論為止的加工過(guò) 程稱為數(shù)據(jù)處理。正確的處理實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)

4、據(jù)，對(duì)我們科學(xué)的了解被測(cè)量或研究 對(duì)象的客觀規(guī)律，選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法，最大限度的減小誤差讓實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù)無(wú)限接近理想條件下的結(jié)果，這是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的意義所在。在這方面研究的 文獻(xiàn)有很多，例如費(fèi)業(yè)泰的誤差理論與數(shù)據(jù)處理等。要對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析， 根據(jù)不同的實(shí)驗(yàn)方法，我們可以采用不同的數(shù)據(jù)處理方法，常用的有作圖法、最小二乘法、逐差法等。本文將分別對(duì)這些方法進(jìn)行了介紹。、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中涉及到的基本概念對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行半定量分析， 需要借助許多評(píng)價(jià)參量， 這里涉及到許多表征 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)好壞及數(shù)據(jù)離散程度的基本概念， 特別是描述處理后數(shù)據(jù)的可靠性的參 量，尤其具有重要意義。以下將對(duì)一些重要概念進(jìn)行介紹。

5、1 . 真值及約定真值真值有多種定義，如 “被測(cè)量本身所具有的真實(shí)大小稱為真值。 ”1“如果實(shí) 驗(yàn)已消除系統(tǒng)誤差， 只存在偶然誤差。 則無(wú)窮多個(gè)觀測(cè)值得平均值， 就是被測(cè)物 體的真值。 ”2 “正在研究某量時(shí)所處的條件下嚴(yán)格的確定的量值。 ”3由此可見(jiàn)， 真值是客觀存在的，但也還是一個(gè)理想的概念，通常是不可確切知道的。約定真值被認(rèn)為是非常接近真真值的， 它們之間的差別可忽略不計(jì)， 無(wú)系統(tǒng) 誤差條件下的算術(shù)平均值、標(biāo)稱值、校準(zhǔn)值、理論值、公認(rèn)值等均可作為約定真 值來(lái)使用。2. 影響量和干擾量影響量不是測(cè)量的對(duì)象， 但卻影響被測(cè)量的量值或儀器示值， 它通常是一種 與待測(cè)的量有一定函數(shù)關(guān)系的另一種性

6、質(zhì)的量 9。例如在測(cè)量電阻時(shí)，由于多數(shù) 材料的電阻隨溫度改變， 因此在測(cè)量電阻時(shí)溫度在影響著電阻值的測(cè)量結(jié)果， 但 它卻不是測(cè)量對(duì)象， 所以溫度就是電阻測(cè)量中的影響量。 影響量在測(cè)量結(jié)果中帶 來(lái)的影響可以在測(cè)出影響量的大小后，按其函數(shù)關(guān)系從測(cè)量結(jié)果中加以消除。干擾量是一種與待測(cè)的量沒(méi)有必然聯(lián)系的外界強(qiáng)行滲入量。 例如拍攝全息照 片時(shí)外界的振動(dòng)， 探測(cè)器的噪聲， 都會(huì)影響測(cè)量工作造成干擾， 這樣的一些量稱 為干擾量 9。為了保證測(cè)量的準(zhǔn)確度，在安排測(cè)量條件時(shí)，要消除影響量和最大 限度減小干擾量。3. 精度反映測(cè)量結(jié)果與真實(shí)結(jié)果接近程度的量， 稱為精度，它與誤差的大小相對(duì)應(yīng)， 因此可用誤差的大小來(lái)

7、表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度高低。精密度：它反映測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度 準(zhǔn)確度：它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度 精確度：它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度， 其定量特 征可用測(cè)量的不確定度（或極限誤差）來(lái)表示。 4 用一種打靶的例子，可以更好 的理解和掌握，如下圖：(a)精密度高、準(zhǔn)確度低圖1打靶的精確度(c)精確度高4. 誤差測(cè)量值減去真值為測(cè)量值的誤差，即：測(cè)量值-真值二誤差上述誤差亦稱絕對(duì)誤差，假設(shè)測(cè)量值為X，真值為a，誤差為；，則有誤差；=x-a，；與a的比值；= /a稱為相對(duì)誤差。對(duì)誤差的來(lái)源可以概括為四個(gè)方面4: 1,測(cè)量裝置誤差，這里面分三

8、個(gè)方面來(lái)說(shuō)，a,標(biāo)準(zhǔn)量具誤差：以固定形式復(fù)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量具的器具，如標(biāo)準(zhǔn)量塊、標(biāo)準(zhǔn)先問(wèn)吃、標(biāo)準(zhǔn)電池、標(biāo)準(zhǔn)電阻、標(biāo)準(zhǔn)砝碼等， 它們本身體現(xiàn)的量值，不可避免的都還有誤差。b,儀器誤差：凡用來(lái)直接或間接將被測(cè)量和已知量進(jìn)行比較的儀器設(shè)備，稱為儀器或儀表，如天平、壓力表、 溫度計(jì)等，它們本身都具有誤差。c,附件誤差：儀器的附件及附屬工具，如測(cè) 長(zhǎng)儀的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)規(guī)，千分尺的調(diào)整量棒等的誤差，也會(huì)引起測(cè)量誤差。2,環(huán)境誤差：由于各種環(huán)境因素與規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致而引起的測(cè)量裝置和被測(cè)量本身 的變化所造成的誤差，如溫度、適度、氣壓、振動(dòng)、照明、重力加速度等所引起 的誤差。通常儀器儀表在規(guī)定的正常工作條件所具有用的誤差

9、，而超出此條件時(shí)所增加的誤差稱為附加誤差。3,方法誤差：由于測(cè)量方法不完善所引起的誤差， 如測(cè)量一個(gè)軸的直徑d，因近似數(shù)二取值的不同，將會(huì)引起誤差。4,人員誤差：由于測(cè)量者受分辨能力的限制或是崛起變的生理變化，固有習(xí)慣引起的讀數(shù)誤差，以及實(shí)驗(yàn)室的疏忽等所引起的誤差?？傊?，在計(jì)算測(cè)量結(jié)果的精度時(shí)， 對(duì)上述四個(gè)方面的誤差來(lái)源，必須進(jìn)行全面的分析，力求不遺漏，不重復(fù)，特別 是對(duì)誤差影響較大的哪些因素。4.1系統(tǒng)誤差先看兩個(gè)例子51）用一個(gè)2.5級(jí)0 1A的安培計(jì)測(cè)一回路的電流強(qiáng)的I為 0.73A，而用另一個(gè)0.5級(jí)0 1A的安培計(jì)測(cè)同一回路電流為 0.716A; （2）用一 天平稱一物體的質(zhì)量，物體

10、在左盤(pán)，砝碼在右盤(pán)，平衡時(shí)測(cè)量值為 74.2519g,物 體與砝碼交換后則為74.2501g；（ 1）是由于儀器自身誤差的問(wèn)題，（2）是由于天 平左右臂長(zhǎng)不完全相等引入的系統(tǒng)誤差，可將物體放在天平左、右盤(pán)上各稱一次 取平均值去消除。上述各項(xiàng)測(cè)量值的差異在重復(fù)測(cè)量時(shí)依然不變，這表示其誤差的符號(hào)和大小 是恒定的，此類誤差稱為系統(tǒng)誤差。對(duì)系統(tǒng)誤差的研究主要是：（1）探索系統(tǒng)誤差的來(lái)源，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案消除或消減該項(xiàng)誤差。（2） 估計(jì)殘存系統(tǒng)誤差的可能的范圍。54.2偶然誤差在同一條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，各次測(cè)量值一般不完全相同， 這是由于測(cè)量時(shí)存在的偶然誤差。一個(gè)測(cè)得值的偶然誤差是多項(xiàng)偶然因素

11、綜合作 用的結(jié)果，在測(cè)量前不能得知測(cè)得值將偏大或偏小。圖（2）.單擺周期測(cè)量100次的統(tǒng)計(jì)直方圖這里以測(cè)單擺周期的實(shí)驗(yàn)為例：用手控制數(shù)字毫秒計(jì)，測(cè)量一擺的周期共100次，測(cè)量值的大小變化不定，似乎沒(méi)有規(guī)律，其實(shí)這種偶然現(xiàn)象服從統(tǒng)計(jì)規(guī) 律?，F(xiàn)將測(cè)得值分布的區(qū)域分為 9個(gè)區(qū)間，統(tǒng)計(jì)各區(qū)間內(nèi)測(cè)量的個(gè)數(shù) Ni，以測(cè) 量值為橫坐標(biāo)，NN為縱坐標(biāo)（N為總數(shù)）作統(tǒng)計(jì)直方圖，圖2是一次實(shí)驗(yàn)的 結(jié)果。從圖上可以看出，比較多的測(cè)量值集中在分布區(qū)域的中部， 而區(qū)域的左右 兩半的測(cè)量值個(gè)數(shù)都接近一半，由此可以設(shè)想被測(cè)量的真值就在數(shù)據(jù)比較集中的 部分。在上述測(cè)量之后，用光電門(mén)控制一臺(tái)數(shù)字毫秒計(jì)去測(cè)同一個(gè)擺的周期，測(cè)10

12、次，測(cè)量值分布在1.866s到1.868s的小區(qū)域中，由于此時(shí)的偶然誤差顯著小 于前者，可將光電控制測(cè)量的平均值To作為手控測(cè)量的近真值，對(duì)于測(cè)量值的偶 然誤差作如下的統(tǒng)計(jì)，取T=1.8670s,則T-T0v0 (&_ 0)占 48%Ti-To _0 ( 0占 52%多次測(cè)量均有同上相似的結(jié)果，因而得出如下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：(1) 每次測(cè)量的偶然誤差是不確定的。(2) 出現(xiàn)正號(hào)或負(fù)號(hào)偶然誤差的機(jī)會(huì)相近。(3) 出現(xiàn)絕對(duì)值小的偶然誤差的機(jī)會(huì)多一些。5 .算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差5.1算術(shù)平均值設(shè)n次測(cè)量值X1，X2，,Xn的誤差為；1，；2，；n，真值為a，則(X1-a)+(X2-a)+(Xn-a)=+之+

13、計(jì)將上式展開(kāi)整理后，兩側(cè)除以n,得, 、 1 ,；n)(X1 + X2+ Xn)-a=(；1+；2+ +n它表示算術(shù)平均值的誤差，等于各測(cè)量值誤差的平均值，假如各測(cè)量值的誤差只 是偶然誤差，而偶然誤差有正有負(fù)，相加時(shí)可抵消一些，所以 n越大，算術(shù)平均值越接近真值。因此可以用算術(shù)平均值作為被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值。又當(dāng)測(cè)量值的誤差中包含有已知的系統(tǒng)誤差，則相加時(shí)它們不能抵消，這時(shí) 應(yīng)當(dāng)用算術(shù)平均值加上修正值為被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值(修正值與系統(tǒng)誤差絕 對(duì)值相同，符號(hào)相反)。5.2標(biāo)準(zhǔn)偏差具有偶然誤差的測(cè)量值將是分散的，對(duì)分散的情況的定量表示用標(biāo)準(zhǔn)偏差 s，它的定義是為s=n_(X -X)2i =1

14、n為測(cè)量值個(gè)數(shù)。例，比如有如下兩組數(shù)值:表1.兩組數(shù)值集中程度不同的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)A2.12.62.82.93.03.23.7B2.12.42.72.93.13.43.7兩組數(shù)值都在2.1到3.7之間，平均值都是2.9,計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差為sa=0.4970.50Sb=0.5570.56可以看出A組數(shù)比較像中間集中，B組數(shù)則稍差，表現(xiàn)除它們 分散上的差異。6 有效數(shù)字在做實(shí)驗(yàn)時(shí)總要記錄很多的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算或處理，但在記錄時(shí)應(yīng) 取幾位，計(jì)算后應(yīng)保留幾位，這是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的重要問(wèn)題，必須有一個(gè)明確的 認(rèn)識(shí)。實(shí)驗(yàn)時(shí)處理的數(shù)值，應(yīng)能反應(yīng)出被測(cè)量的實(shí)際大小的數(shù)值，即記錄與運(yùn)算后保留的應(yīng)為能傳遞出被測(cè)量實(shí)

15、際大小信息的全部數(shù)字，這樣的數(shù)字稱為有效數(shù)字。例如用一最小分度1mm的尺，測(cè)得一物體的長(zhǎng)度為7.62cm,其中7和6是 準(zhǔn)確度出來(lái)的，最后一位數(shù)字2是估讀的，并且儀器本身也將在這一位出現(xiàn)誤差， 即這一位不一定是2,只是近似的，但是還是一位有效數(shù)字。在實(shí)際取舍時(shí)按照 實(shí)驗(yàn)條件以及題目要求為參考。使用有效數(shù)字規(guī)則時(shí)的注意事項(xiàng)：5 （1）物理公式中的有些數(shù)值，不是實(shí) 驗(yàn)測(cè)量值。例如，測(cè)量圓柱體的直徑 d和長(zhǎng)度I求體積V的公式V =丄二d2l中的4-不是測(cè)量值，在確定 V的有效數(shù)字位數(shù)時(shí)不必考慮-的位數(shù)。（2）對(duì)數(shù)運(yùn)算44時(shí)，首數(shù)不算有效數(shù)字。（3）首位數(shù)是8或9的m位數(shù)值在乘除運(yùn)算中，計(jì)算 有效數(shù)字

16、時(shí)，可多算一位。（4）有多個(gè)數(shù)值參加運(yùn)算時(shí)，在運(yùn)算中途應(yīng)比按有效 數(shù)字運(yùn)算規(guī)則規(guī)定的多保留一位，以防止由于多次取舍引入計(jì)算誤差，但運(yùn)算最 后仍應(yīng)舍去。（4）數(shù)值的修約規(guī)則：開(kāi)始要舍去的第一位數(shù)是 1、2、3、4時(shí) 就舍去；是6、7、& 9時(shí)在舍去時(shí)進(jìn)1。要舍去的一位是5,而保留的最后一 位是奇數(shù)，則舍去5進(jìn)1,是偶數(shù)則舍去5不進(jìn)位，但是5的下一位不是0是仍 然要進(jìn)位。5、物理實(shí)驗(yàn)中常用的數(shù)據(jù)處理與分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法有很多，對(duì)不同的實(shí)驗(yàn)記錄數(shù)據(jù)要選擇不一樣的數(shù)據(jù)處 理方法，以下介紹幾種常用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法， 并最后對(duì)各自的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行總 結(jié)。1.列表法把數(shù)據(jù)按一定規(guī)律列成表格，可使物理量

17、之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系簡(jiǎn)明、醒目， 也有助于發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的規(guī)律。列表時(shí)應(yīng)注意：（1）表格設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)單明了，便 于觀察。（2）各欄目中均應(yīng)注明物理量的名稱和單位。（3）各量排列順序盡量與 測(cè)量數(shù)據(jù)順序一致，用有效數(shù)字填寫(xiě)。特殊需要可以采用其他規(guī)律。這種方法在實(shí)驗(yàn)室常用到，如果將實(shí)驗(yàn)要記錄的數(shù)據(jù)在表格中一一羅列出來(lái)，這樣清晰明了，在處理數(shù)據(jù)是一目了然。如表2表2某物理量的測(cè)量物理量名稱測(cè)量值1232.分組計(jì)算法設(shè)變量x、y間存在y=a+bx的直線關(guān)系，由于測(cè)量存在誤差，對(duì)n次測(cè)量有yi = a + V|y2 = a + bx2 + v2 yn 二 a bxn vn式中Vi表示測(cè)量誤差?，F(xiàn)在將n組測(cè)量分

18、為前后兩部分，從中取對(duì)應(yīng)的兩組:略去誤差項(xiàng)，解出a、b的近似值:= a + bx=a bx v煤i-2Jy n ybi =i 2x -xi .2(y+yJ b(x + xi)aiii訪I2J這樣可的-個(gè)ai和b，再求a、s(a)和b、s(b)。如n為奇數(shù)，中間數(shù)可公用23 .最小二乘法5假設(shè)變量x、y間存在直線關(guān)系y=a+bx，參量a、b分別為y軸截距和斜率，當(dāng)將測(cè)量值(x，yJ帶入此式時(shí)，由于存在測(cè)量誤差 yi =a bxi，引入誤差項(xiàng)vi后有yi =a+bXj +比， 或 v = yi(a+bxj，對(duì)n次測(cè)量，可有W = % -(a+bxj V2 = y2 _(a+bx2),Vn = y-

19、 -(a+bXn)由于n個(gè)方程中有n+2個(gè)未知數(shù)，所以不能從解聯(lián)立方程組求出 a、b值。設(shè)y 為等精度測(cè)量值，最小二乘法原理指出，滿足a v：二極小值條件下求出的參量a、b之值、為最佳擬合值，即從A V：y(a b)2第 17 頁(yè)AA、 yi -a b A xi解此聯(lián)立方程組，得 工 Xi yi = ax + bXi2A _、x YXxyian xi -C xj2A n二 xy 二 Xi 二 Y b 二 n x2-C x)2Sxx三E （Xi-聲乏艮臣（n、令 Syy三瓦（yi匚$乏y臣（yn；Sxy三瓦（Xix（%y）乏 x y更咨 / y n JAAA則由及，又可得出b = Sy / Sx

20、x , a =y - bx 為了反映變量X、y間的線性關(guān)系的密切程度，常用關(guān)聯(lián)系數(shù)r來(lái)描述，其估算式為二 （xi；x）（yi JSxy送（Xi X）送（Yi-y） 12 JsxxSxyA從理論上講，r0就應(yīng)該承認(rèn)x、y之間存在一定的相關(guān)關(guān)系，但是由于值A(chǔ)是從較少的數(shù)據(jù)中求出的，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于一定的n值，r要在大于某一臨界值r臨時(shí)，才可以認(rèn)為存在線性相關(guān)關(guān)系。下表給出了各n值的r臨值。表3各n值的r臨值5n3456789r臨0.9980.9900.9500.9170.8740.8340.798n10111213141516r臨0.7650.7350.7080.6840.6610.6410

21、.623n171819202122r臨0.6060.5900.5750.5610.5490.537b的標(biāo)準(zhǔn)偏差Sa、Sb和y的標(biāo)準(zhǔn)偏差Sy之間的關(guān)系為A AASyf （八葺滸112 - 匕弓如12結(jié)合和二式,n 2n 24 作圖法研究?jī)蓚€(gè)變量的關(guān)系就是用曲線或函數(shù)式將二個(gè)變量的聯(lián)系變現(xiàn)出來(lái)。 那么 首先在這里先介紹實(shí)驗(yàn)圖線的描繪。常用直角坐標(biāo)紙為方格紙，制圖線時(shí)需注意 的問(wèn)題：(1) 標(biāo)的橫軸為自變量，縱軸為因變量。一般是以被測(cè)量為變量，但有時(shí)為了使獲得的圖線是一條直線，而將被測(cè)量做某種變換后的數(shù)值做變量。 這種變換 不僅是由于直線便于描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包涵的物理內(nèi)容是我 們所

22、需要的。(2) 標(biāo)的原點(diǎn)，不一定要和變量的零點(diǎn)一致，若變量x的變化范圍是從a到b， 則將坐標(biāo)原點(diǎn)在取在a的附近即可。因?yàn)橛袝r(shí)a距x的零點(diǎn)很遠(yuǎn)，如果將原點(diǎn)取 在x的零點(diǎn)出，貝U坐標(biāo)紙上將出現(xiàn)很大的空白區(qū)域，白白浪費(fèi)了坐標(biāo)紙。(3) 標(biāo)軸的分度要和測(cè)量的有效數(shù)字位數(shù)對(duì)應(yīng)，坐標(biāo)紙的一小格表示為被測(cè)量的最后一位的一個(gè)單位、兩個(gè)單位或五個(gè)單位比較好，要避免用一小 格表示三、七或九個(gè)單位。因?yàn)槟菢硬粌H坐標(biāo)點(diǎn)和讀數(shù)都不方便， 也容易出現(xiàn)錯(cuò) 誤。(4) 和y軸二變量的變化范圍(a b) (c d)，表現(xiàn)在坐標(biāo)紙上的長(zhǎng)度應(yīng)該相差不大，最多也不要長(zhǎng)過(guò)一倍。注明 x、y軸代表的測(cè)定量及單位，按 測(cè)量數(shù)據(jù)標(biāo)出坐標(biāo)點(diǎn)。

23、4.1在我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系，這類問(wèn)題有兩種不同的情況：(1) 已知兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的形式，但是其中有位置參量；如果兩個(gè)變量x、y之間是直線關(guān)系，即y=a+bx 貝U可用n組測(cè)量值(x，yj 作圖，所得直線的截距即參量 a,斜率是參量b。但是實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)變量的關(guān)系往 往不是直線，例如，彈簧振子的振動(dòng)周期T和所負(fù)載m的關(guān)系為 T =2二m囚 ，式中mo為彈簧自身的重量，c和k是待定參量。測(cè)量不 同m對(duì)應(yīng)的T,可以作Tm圖線，圖3為一例。由于它是曲線，因而無(wú)法從圖 上得出待定參量值。改換變量，將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€關(guān)系，對(duì)此周其公式可以 改成 t2 =(4 嚴(yán)) 毎 m ，他表示T2與m間為直線關(guān)

24、系，作T2-m直線（圖4）,從圖上求出截距a,斜率b,則a=嚴(yán),b年由此可求 出k和c值。即對(duì)于非線性函數(shù)，要通過(guò)變換變量使之成為線性函數(shù)，再用作圖法求出截距和斜率，進(jìn)而確定待定參量圖彈簧振子的T m曲線圖（4）彈簧振子的T2 m曲線非線性函數(shù)如何變換要看函數(shù)的形式，例如:y 二 aex In y二 ln a _ bxE -x1y 二Ry 一R R Exxy = ax bx2 = a bxx上列式中的括號(hào)為變換后的變量。（2）兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的形式尚未知時(shí)首先用測(cè)量值作圖，如果得一直線，則從圖上求出截距和斜率，函數(shù)關(guān)系就完全 確定了；當(dāng)?shù)玫降氖乔€時(shí)，就要分析曲線的形式，參照已知的函數(shù)曲線，給

25、出 假定的函數(shù)式，再用上述（1）中處理非線性函數(shù)的方法，使之線性化，但這樣 做不一定一次就成功，可能要反復(fù)幾次才可得出較好的結(jié)果4。通過(guò)電阻伏安特性研究的實(shí)驗(yàn)為例，對(duì)作圖法和最小二乘法進(jìn)行比較，其公 式為R = U，式中U為電壓，I為電流，R微電阻，測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表4,用所測(cè)量的結(jié)果畫(huà)圖如圖（5）表4電阻伏安特性測(cè)量表物理量12345678910U（ V）0.6220.7180.8230.9221.0211.1341.2351.3231.4121.5261(A)0.2340.2640.3050.3310.3690.4210.4610.4790.5210.565圖（5）電阻的伏安特性曲在直線上取兩點(diǎn)

26、，A （0.600,0.223）、B （1.500,0.553）,利用作圖法進(jìn)行處理，求得斜率K圖曰 0.553 - 0.223 “a?，求K圖值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，由于U2-U,1.500-0.600K圖=0.367,所以作圖法擬合直線為I=0.367U,將表4中的U代入得表5表5電阻伏安特性也I值物理量12345678910U（ V）0.6220.7180.8230.9221.0211.1341.2351.3231.4121.526I =0.367U0.2280.2630.3020.3080.3750.4160.4530.4840.5180.560I(A)0.2340.2640.3050.3310

27、.3690.4210.4610.4790.5210.565曲 m _i0.0060.0010.003-0.007-0.0060.0050.008-0.0060.0030.005I的偏差6上也120.008別2 0 0 5怎6 K0.的）標(biāo)6準(zhǔn)偏差Vi# n1 V1-01、k圖：:一n 門(mén) n 、i100.0057=0.0062圖-ur1012.36一115.26 i =1i =1下面再估算讀取數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差.由于坐標(biāo)紙最小分格之間人眼無(wú)法辨別具體數(shù)據(jù)，因此存在視覺(jué)誤差U、壽,K圖2匕U2_S推出：仝圖二 巴 3 . g -UJ 亠 .巴 W，假設(shè)每次讀取的誤 K 圖I2J1 U2_Uil2_

28、llU2_Ui差相同，且為坐標(biāo)紙最小分格的一半則.U =0.005，J =0.0025代入數(shù)據(jù)得：0.0025 0.0025 0.005 0.005、.K圖二0.367 () =0.0096、0.01可見(jiàn)作圖法在圖上圖0.553 0.2231.5000.600讀取數(shù)據(jù)時(shí)的誤差是較大的。若坐標(biāo)分度值取得不當(dāng)，求斜率K圖時(shí)，從直線上取的兩點(diǎn)距離較近的話，產(chǎn)生的誤差就更大。利用最小二乘法處理數(shù)據(jù)，求斜率K乘值，由U =1.0736，=1.2356,2U =1.1526，I =0.395，U I =0.4546, U I =0.424,得：U I U I 0.4546 0.424十 / /古砧 士一

29、、吐 /已辛 rK乘20.367 ：0.37。求K乘值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，由U2 _U21.2356 -1.1526K乘 =0.37得到最小二乘法擬合曲線為I=0.37U，將表4中的U代入的表6K乘的偏差nn-e u)2i =1M0 12.3-115.26 O.。059 ： 0.。07小結(jié)：1圖=0.367 0.01, K乘=0.367 0.007,即最小二乘法擬合的直線較精確。i =1表6數(shù)據(jù)列表物理量12345678910U( V)0.6220.7180.8230.9221.0211.1341.2351.3231.4121.526I =0.367U0.2300.2660.3050.3410.378

30、0.4200.4570.4890.5220.565I(A)0.2340.2640.3050.3310.3690.4210.4610.4790.5210.565.J=I -i0.004-0.0020.000-0.010-0.0090.0010.004-0.0100.0010.000I 的偏差-丄 n21101 O.00319 ： 0.0059 ：。.0065 .逐差法逐差法是為了減小系統(tǒng)誤差，而在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理當(dāng)中常用的一種方法。 當(dāng)實(shí) 驗(yàn)中的兩個(gè)物理量滿足正比例關(guān)系時(shí)， 依次記錄改變相同的量時(shí)的值、 或者某一 研究對(duì)象隨實(shí)驗(yàn)條件周期性變化時(shí)，依次記錄研究對(duì)象達(dá)到某一條件（如峰值、 固定相位等）時(shí)的值、逐項(xiàng)逐差再求平均 8。但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)卻對(duì)逐差法有 著影響，是偶數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)（n=2m）時(shí)，我們會(huì)很容易地算出斜率；當(dāng)是奇數(shù)對(duì)數(shù) 據(jù) （ n=2q-1） 時(shí) 需 要 將 中 間 數(shù) 據(jù) 對(duì) （ n=q） 舍 棄， 例 如 11 對(duì) 數(shù) 據(jù) （n=11,q=6,m=n/2=5.5）應(yīng)將第對(duì)6