導數(shù)結合洛必達法則巧解恒成立問題

1、實用標準導數(shù)結合“洛必達法則”巧解恒成立問題第一部分：歷屆導數(shù)高考壓軸題1.2006年全國2理設函數(shù)f(x) = (x + 1)ln(x+ 1)，若對所有的x0，都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.2.2006全國1理已知函數(shù) f x - e ax.1 x(I)設a 0，討論y f x的單調(diào)性；(n)若對任意 x 0,1恒有f x 1，求a的取值范圍.3.2007全國1理設函數(shù)f (x) ex e x.(I)證明：f(x)的導數(shù)f (x) 2 ;(n)若對所有 x 0都有f (x) ax，求a的取值范圍.4.2008全國2理設函數(shù)f (x) Sinx .2 cosx(I)求f (x)的單

2、調(diào)區(qū)間；(n)如果對任何 x 0 ,都有f (x) 0時f (x)0,求a的取值范圍7.2010新課標文已知函數(shù)f(x) x(ex 1) ax2.文檔(I)若(n)當x 0時，f (x)0，求a的取值范圍.8.2010全國大綱理f (x)在x1時有極值，求函數(shù) f (x)的解析式;設函數(shù)f (x)1 e(I)證明：當x1時,(n)設當x 0時,f(x)f(x)-xx1,求a的取值范圍.ax9.2011新課標理a In x已知函數(shù)f (x),曲線xf (x)在點(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.(I)求 a、b的值;(n)如果當x 0，且x 1時,In x kf (x),求k的取值范

3、圍.x 1 x10.自編3-自編：若不等式sinx x ax對于x (0,-)恒成立，求a的取值范圍.第二部分：新課標高考命題趨勢及方法1. 新課標咼考命題趨勢近年來的高考數(shù)學試題逐步做到科學化、規(guī)范化，堅持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數(shù)學作為基礎學科的作用， 既重視考查中學數(shù)學基礎知識的掌握程度， 又注重考查進入 高校繼續(xù)學習的潛能。 為此，高考數(shù)學試題常與大學數(shù)學知識有機接軌， 以高等數(shù)學為背景 的命題形式成為了熱點2. 分類討論和假設反證許多省市的高考試卷的壓軸題都是導數(shù)應用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點考查的題型這類題目容易讓學生想到用分離參數(shù)法，一部分題用這種方法很奏

4、效，另一部分題 在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路一一分類討論和假設反證的方法03.洛必達法則型及一型函數(shù)未定式的一種解法0雖然這些壓軸題可以用分類討論和假設反證的方法求解，但這種方法往往討論多樣、過于繁雜，學生掌握起來非常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問題的原因是出現(xiàn)了 0”型的式子，而這就是大學數(shù)學中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是 洛必0達法則.第三部分：洛必達法則及其用法1.洛必達法則洛必達法則：設函數(shù)f(x)、g(x)滿足:(i)D W 0 ；(2 )在 U(a)內(nèi),f (x)和g(x)都存在，且g(x)0 ；lim3(3

5、)x ag(x)A(A可為實數(shù)，也可以是lim他 則 x a g(x)lim x a g (x)A.(可連環(huán)使用)注意 使用洛必達法則時，是對分子、分母分別求導，而不是對它們的商求導，求導之后再 求極限得最值。2.2011新課標理的常規(guī)解法a ln x b已知函數(shù)f(x)，曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.x 1 x(i)求a、b的值；ln x k(n)如果當x 0，且x 1時，f(x),求k的取值范圍.x 1 x(i)略解得a 1 , b 1.(n)方法一：分類討論、假設反證法2ln x 1In x k、1(k 1)(x1)、由(i)知 f (x)，所以 f

6、 (x)()2 (21 nx).x 1 xx 1 x 1 xx考慮函數(shù)h(x) 2ln x(k1)(x2x0)，則 h(x)(k 1)(x21) 2x2x(i)當 k 0 時，由 h(x)k(x21) (x 1)22x知,1時,h(x)0 .因為 h(1)0 ,所以當x(0,1)時，h(x)0，可得12 h(x)1 x0 ;當x(1,)時，h(x) 0 ,可得1In xkrIn xk2 h(x)0 ,從而當x0且x1 時,f (x)(-)0 ,即 f(x) .1 xx 1xx 1x(ii)當 0k 1時，由于當x (1-1)時，(k1)(x21)2x0,故 h(x)0，而1 kh(1) 0，故

7、當x (1,丄)時，h(x) 0,可得匚h(x) 0，與題設矛盾1 k1 x)時，h(x) 0，可得(iii )當 k 1 時，h(x)0 ,而 h(1)0 ,故當 x (1,11 x2h(x)0，與題設矛盾.綜上可得,k的取值范圍為(,0.注：分三種情況討論： k 0 :0 k 1 :k 1不易想到.尤其是0 k 1時,許多考生都停留在此層面，舉反例x (1,)更難想到.而這方面根據(jù)不同題型涉及的解法1 k也不相同，這是高中階段公認的難點，即便通過訓練也很難提升3. 運用洛必達和導數(shù)解2011年新課標理當x 0，且x1 時，f(x)也即kln xx 12xln x1 x21，記 g (x)1

8、ln xxx 12xln x1 x2則 g (x)2(x22 21)ln x 2(1 x )2( x 1)22(1 x )(1字)記 h( x)In x，則 h(x)4x _ (122從而h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,1+x (1+x2)2x(1+x2)222x) 0，且 h(1)0，因此當 x (0,1)時，h(x) 0,當 x (1,)時，h(x) 0 ;當 x (0,1)時，g(x)0,當 x(1,)時，g (x)0,所以 g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增由洛必達法則有l(wèi)im g(x) lim(x 1x 12xln x1) 1lim 羋 1x 1 1 x2limn0，

9、x 1 2x即當x 0，且x1時,g(x) 0 因為k g(x)恒成立，所以k 0綜上所述，當x且 x 1 時，f (x)ln x k成立，k的取值范圍為(x 1 x,0.注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)k分離出來然后對分離出來的函4運用洛必達和導數(shù)解2010新課標理設函數(shù) f (x) e ln x數(shù)g(x)廠1求導，研究其單調(diào)性、極值1 x此時遇到了“當x=1時，函數(shù)g(x)值沒有意義”這一問題，很多考生會陷入困境如果考前對優(yōu)秀的學生講洛必達法則的應用，再通過強化訓練就能掌握解決此類難題的這一有效 方法.當然這一法則出手的時機：(1 )所構造的分式型函數(shù)在定義域上單調(diào)(2 )是

10、0型。 1 x ax2.(i)若a 0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;實用標準(n)當x 0時，f(x) 0，求a的取值范圍應用洛必達法則和導數(shù)(n)當 x 0時，f(x)0，即 ex 1 x ax即當x 0時，g(x)-，所以當x 1綜上所述，當a 且x 0時，f (x).當x0時，aR;當x0 時，ex1 xx2“,人十e1 xax等價于a2.x記 g(x)e 1 xx(0,+ )，則 g (x)(x2)ex x 223xx記 h(x)x(x 2)ex2 x(0,+ ),則 h(x) (x 1)ex 1，當 x (0,+ )時,h (x) xex 0，所以 h(x) (x 1)ex 1 在(0,+

11、 )上單調(diào)遞增，且 h(x) h(0) 0 ,所以h(x) (x 2)ex x 2在(0,+ )上單調(diào)遞增，且h(x) h(0)0,因此當x (0,+ )xx文檔時，g(x) M單 0,從而 g(x)x1 x 在(0,+)上單調(diào)遞增由洛必達法則有,xxlimlim g (x)lim -2xlim ex 0x 0 xx 0 2x1(0,+)時，所以g(x),因此a20成立.5.運用洛必達和導數(shù)解自編題自編：若不等式sinxx ax3對于(0,2)恒成立，求a的取值范圍.解：應用洛必達法則和導數(shù)當x (0,時，原不等式等價于 ax sin xx3記 f (x)x sin x3，則 f (x)3si

12、n x xcosx 2x4記 g(x) 3sin x xcosx 2x，貝y g(x) 2cosx xsinx 2 .實用標準因為 g”(x) xcosx sinx cosx(x tanx),g”(x)xsinx 0 ,所以 g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且 g(x) 0 ,2所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且g(x)0.因此g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,2 2文檔且 g(x) 0 ,故 f (x)啤0，因此xf(x)x sin x在(0,-)上單調(diào)遞減.由洛必達法則有l(wèi)im f(x) lim x 羿x 0x 0 x1 cosx lim2x 0 3xlimx 0 6xcosx limX 06

13、即當x 0時，g(x)16，即有f (x)1 3 故a 1時，不等式sinx x ax對于x (0,2)恒成立.通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應用洛必達法則解決的試題應滿足: 可以分離變量； 用導數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性; 出現(xiàn)“ 0 ”型式子06運用洛必達和導數(shù)解2010年新課標文2010海南寧夏文(21 )已知函數(shù)f(x) x(ex 1)ax2.(I)若f (x)在 x1時有極值，求函數(shù)f (x)的解析式;(n)當x 0時，f(x)0，求a的取值范圍.解：(I)略(n)應用洛必達法則和導數(shù)x20時，f(x) 0，即 x(e 1) ax .當0 時，a R;當0 時，x(ex

14、 1)ax2等價于ex 1 ax，也即a記 g(x)，則 g(x)區(qū)Q記 h( x)(x 1)ex 1, x(0,)，則 h(x) xex0,因此 h(x)(x1)ex 1 在(0,)上單調(diào)遞增，且h(x)h(0)0，所以 g (x)-x0 ,從而g(x)在(0,)上x單調(diào)遞增.由洛必達法則有良叫g(x)xm0 二x e limx 0 1即當x 0 時，g(x)所以g(x) 1，即有a1.綜上所述，當a 1 , x0時,f (x)0成立.7.運用洛必達和導數(shù)解2010年大綱理2010全國大綱理(22)設函數(shù)f (x)1 e x.(i)證明：當x 1時,(n)設當 x 0時，f(x)f(x)十；

15、x 1x，求a的取值范圍.ax 1解：(i)略(n)應用洛必達法則和導數(shù)由題設x 0,此時f(x) 0.當a 0時，若xax0, f(x)ax當a 0時，當x0時,f(x)x，即1 ax 1x -不成立;1X;1ax0,則a0,則1xax 1等價于，即ax 1x x Axe e 1xxe xx記g(x)絲xe 1xxe x，則 g(x)xx! 2e 12x 2 :e x e/ x72(xe x)xe 2(ex(xex x)x22x e ).記 h( x) exx2 2 e x，則 h(x)ex 2x e,h(x) ex+e x因此，h(x)ex 2x e x在(0,)上單調(diào)遞增,且h(0)0,

16、所以h(x)即 h(x)在(0,)上單調(diào)遞增，且h(0)0，所以h(x) 0.因此 g(x)=(xex x)xe ?h(x)所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增由洛必達法則有XX嘰g(x)龍叫氣limx 0xxe x叫 oe xe 1 x 0 2exxe xexx! xe1，即當x 0時,2g(x) 2，即有 g(x) *2 2所以a -綜上所述，a的取值范圍是2(8.運用洛必達和導數(shù)解2008年全國2理設函數(shù)f (x)s!n2 cosx(n)如果對任何(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;x 0 ,都有f (x) ax，求a的取值范圍.解:(i)f (x)(2 cosx)cosx 引呼亦刈 2cosx

17、12(2 cosx)(2 cosx)2n2n當2k nx2k n(kZ )時，cosx332 n4 n當2k nx2k n(kZ )時，cosx3312，即 f (x) 0 ；1,即卩 f (x)0 .22 n2 n因此f(x)在每一個區(qū)間 2k n n,2knn ( k Z )是增函數(shù),3 3f(x)在每一個區(qū)間 2kn 3,2k n3(n)應用洛必達法則和導數(shù)sin xf(x)ax2cosx若x0,則aR;sin xa若x0,則ax等價于a2cosx4 n ( k Z )是減函數(shù).3sin xsin x即 g(x)x(2 cosx)x(2 cosx)則 g (x)2xcosx 2sin x sin xcosx x2 2x (2 cosx)