射影面積法求二面角

1、僅供個(gè)人參考S射影射影面積法（cosq二 一）S原凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積S射的都可利用射影面積公式（COS二-）求出二面角的大小。S斜例1、如圖，在底面是一直角梯形的四棱錐 S-ABCD中,AD / BC,Z ABC=90 , SA丄平面 ABC , SA=AB=BC=1 ,1AD= 2 .求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1這里只故所求的A:可用射面積 要求出圖1求,Ssc D與SSAB即可,應(yīng)滿足COST = D不得用于商業(yè)用途11212衛(wèi).3232例2. （2008北京理）如圖，在三棱錐P -ABC 中，AC =BC =2 , AC

2、B = 90 ,AP 二 BP 二 AB , PC _ AC .(I)求證：PC _ AB ;(n)求二面角 B - APC的大小;解：(I)證略(n )； AC = BC , AP 二 BP APC BPC .又 PC _ AC , PC _ BC .又 ACB =90：,即 A C B,A C P cBC _ 平面 PAC .取AP中點(diǎn)E 連結(jié)BE, CE . :AB = BP , BE _ AP .；EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影， CE AP .人。是厶ABE在平面 ACP內(nèi)的射影,于是可求得：AB 二 BP 二 AP r【AC2 CB2 =2 2 , BE AB2 - AE2 =、6

3、 ,1 1 lAE = EC = - 2 則 S射=S ace AE * CE 2*2 = 1 ,設(shè)二面角B _ AP C的大小為、:，則co =-射 = 13S原33.面角B - AP -C 的大小為二-arccos 3練習(xí)1:如圖5, E為正方體 ABCD AiBiCiDi的 棱CCi的中點(diǎn)，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成（答案：所求二面角的余弦值為2cos 0 =)圖52.如圖一，在四棱錐 P-ABCD中，底 面ABCD是矩形，PA _平面ABCD,AP 二 AB = 2 , BC = 2,2 , E, F 分別是AD, PC的中點(diǎn).（1）證明：PC _ 平面 BEF ； （

4、2） 求平面BEF與平面BAP夾角的大小.題（1）解略；題（2）中平面BEF 與平面BAP夾角即為平面 BEF與平 面BAP所成的銳二面角.方法一：垂面法在圖中找到或作出一個(gè)與二面角的兩個(gè)如圖一：7 PA _ 平面 ABCD , BC 平面 ABCD , PA _ BC .半平面均垂直的平面，此平面截得的圖形便是二面角的平面角又、BC _ AB,ABPA = A,. BC _ 平面 BAP.又；BC二平面PBC 平面PBC _平面BAP .由題（1）, PC丄平面BEF , PC u平面BEF，二平面PBC丄平面BEF . 所以.PBF是所求二面角的平面角.V PB = . PA2 AB2 =

5、2.2, PF =丄 PCAB2 BC2 PA2 ,2 2即平面BEF與平面BAP夾角為一.4方法二：平移平面法如果兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)利用此結(jié)論可以平移某一平面到合適的位置以便作出二面角的平面角如圖二：取BC的中點(diǎn)G，連接FG,EG .圖二銳角的余弦值.:E,F 分別是 AD,PC 的中點(diǎn)， EG AB, FG _ PB .又、FG fEG =G, ABfPB =B,.平面EFG二平面BAP .二面角BEFG的大小就是平面BEF與平面BAP夾角的大小.可以證明.BFG為二面角BEF -G的平面角，并求出其大小為 一.4方法三：射

6、影法IS表示S利用公式cos，其中S表示二面角的一個(gè)半平面內(nèi)某個(gè)多邊形的面積,S此多邊形在另一個(gè)半平面射影的面積，二表示原圖形與射影圖形所成的二面角如圖三：取PB的中點(diǎn)H，連接FH , AH ,/ F 為 PC 中點(diǎn)，F(xiàn)H 二 BC, AE 二 BC .由解法一知，BC _平面BAP ,.FH -平面 BAP， AE _ 平面 BAP ,.點(diǎn)F、E在平面BAP內(nèi)的射影分別為H、A.BEF在平面BAP上的射影為 BAH .可以證明 BEF和：BAH均為直角三角形1t HF 亠 BC, AEBC, HF = BC BC ,2四邊形HFEA為平行四邊形，.EFAE.記平面BEF與平面BAP夾角為二，

7、則cost二:S邨EF2Jin所以，即平面BEF與平面BAP夾角為一.443已知 ABC是正三角形，PA 平面ABCP 思維的大小是由二面角的平面角題可且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。三垂線定理（逆）來(lái)作來(lái)度量的,O平面角A還可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn) 間距離公式求B解1:（三垂線定理法）取AC的中點(diǎn)E,連接BE,過(guò)E做EF_PC，連接BFPA _平面ABC，PA 平面PAC.平面PAC _平面ABC,平面PAC 平面 ABC=AC.BE _ 平面 PAC圖1由三垂線定理知 BF_PC.BFE為二面角A-PC-B的平面角設(shè) PA=1,E 為 AC 的中點(diǎn)，BE= ,EF=

8、m24.tan bfe =更=.6EFzbfe =argtan 6解2：（三垂線定理法）取BC的中點(diǎn)E，連接AE，PE過(guò)A做AF_PE, FM _ PC,連接 FMP丁 AB=AC,PB=PCIMc” AE 丄 BC,PE 丄 BCA.BC_ 平面 PAE,BC 平面 PBC幾 平面PAE丄平面PBC, 平面PAE1平面PBC=PE由三垂線定理知AMPC.FMA為二面角A-PC-B的平面角設(shè) PA=1, AM=d,AF=海二旦2PE 7.sin FMA = AF 42AM 7.J42zfma =argsin -解3:（投影法）過(guò)B作BE _ AC于E,連結(jié)PE-PA _ 平面 ABC , PA

9、 平面 PAC.平面PAC _平面 ABC,平面PAC 平面ABC=ACBE _平面PACPEC是PBC在平面PAC上的射影4, Spbc4由射影面積公式得,COS = d7SPBC 7“argcos,4.在單位正方體 ABCiDi-ABCD中，求二面角A-AC-B的度數(shù)。、三垂線法！ i1*利用垂線定理或逆定理構(gòu)造出出二面的平面角，進(jìn)而求解。/作 AO丄AC,取AB的中點(diǎn)M , 連結(jié)Om,.aM.OM 丄 AC匯AOM為所求二面角A ACB的平面角解法由三垂線逆定理知 亠-在rIaac中AC射影法利用斜面面積和射影面積的關(guān)系：S射影=S斜面cosv為斜面與射影所成二面角的設(shè) PA=1,貝卩

10、PB=PC= 2 ,AB=1平面角）直接求解。解法二、取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)BG.L ABC在平面A AC上的射影為L(zhǎng) AGCSAGC - Rt ABC COST1.COSV從而二面角 A - AC - B的大小為60：僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniqu