清華微積分(高等數(shù)學(xué))課件第十講極值與凸性

1、2021-10-251復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：p96111預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)：p113121 p112 習(xí)題習(xí)題4.3 4(2)(4). 5(4). 7. 8(3). 9(2).10. 作作 業(yè)業(yè)2021-10-252第十講第十講 極值與凸性極值與凸性一、極值與最值一、極值與最值二、函數(shù)的凸性二、函數(shù)的凸性三、曲線的漸近線三、曲線的漸近線四、函數(shù)作圖四、函數(shù)作圖2021-10-253.,000取取得得極極值值在在則則兩兩側(cè)側(cè)異異號(hào)號(hào)在在且且導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有一一階階在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfxfxf （一）極值的第一充分條件（一）極值的第一充分條件定理定理1：;, 0)(),(, 0)(),(, 0)

2、1(00000極極小小值值取取得得在在則則內(nèi)內(nèi)而而在在內(nèi)內(nèi)使使在在若若xfxfxxxfxx ;, 0)(),(, 0)(),(, 0)2(00000極極大大值值取取得得在在則則內(nèi)內(nèi)而而在在內(nèi)內(nèi)使使在在若若xfxfxxxfxx 一、極值與最值一、極值與最值2021-10-254證證 (1)0)(),(, 000 xfxx內(nèi)內(nèi)使使在在若若 )(,),(00 xfxx內(nèi)內(nèi)在在 )()(, ),(000 xfxfxxx 0)(),(, 000 xfxx內(nèi)內(nèi)使使在在又又 )(,),(00 xfxx內(nèi)內(nèi)在在 )()(, ),(000 xfxfxxx .,0取取得得極極小小值值在在即即xf2021-10-2

3、55;, 0)()1(00取取得得極極小小值值在在則則若若xfxf （二）極值的第二充分條件（二）極值的第二充分條件定理定理2：.)(, 0)(,000存存在在又又且且導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有一一階階在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfxfxf ., 0)()2(00取取得得極極大大值值在在則則若若xfxf 證證 (1)0)(, 0)(00 xfxf有有根根據(jù)據(jù)二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義 ,0)(lim00 xxxfxx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx2021-10-256中中有有使使在在由由極極限限性性質(zhì)質(zhì)),(, 0,00 xx0)(0 xxxf0)(,),(00 xfxx有有

4、內(nèi)內(nèi)在在 0)(,),(00 xfxx有有內(nèi)內(nèi)在在 .,10取取得得極極小小值值在在知知根根據(jù)據(jù)定定理理xf2021-10-257.)1()(132的的極極值值求求例例xxxf )(駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)先先求求可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)3313232532)1()(xxxxxxf 52,0)( xxf得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)令令.52, 0.0, xxx可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)：故故有有兩兩個(gè)個(gè)為為導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)又又 解解 2021-10-258x)0 ,( 0)52,0(52),52( )(xf0 不存在不存在0極極大大值值極極小小值值320253 ;, 0)0(極極大大值值 f極極

5、小小值值,20253)52(3 f)325()(3xxxf 112021-10-259的的極極值值求求例例33)(92xaxy )()1(駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)求求可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)22)(273)(xaxxf 求求導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù), 0)( xf令令判判斷斷駐駐點(diǎn)點(diǎn)是是否否為為極極值值點(diǎn)點(diǎn))2(.沒(méi)沒(méi)有有不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)axax23,4321 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：)89(6)(546xaxaxy ,018)43( aay,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a018)23( aay 解解 2021-10-2510有有極極小小值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)故故yax,43 3169ay 極極小小值值為為有有極極大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yax

6、,23 349ay 極極大大值值為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)同同理理可可求求得得0, a3349)23(169)43(aayyaayy 的的極極小小值值為為的的極極大大值值為為2021-10-2511（二）函數(shù)的最大、最小值（二）函數(shù)的最大、最小值( a ) ( a ) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值最大、最小值欲欲求求其其最最大大、最最小小值值設(shè)設(shè),:rbaf方法如下方法如下:), 2, 1(:),()1(nixbafi 不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)上的所有駐點(diǎn)和上的所有駐點(diǎn)和在在求求 nixfbfafxfibax, 2, 1),(),(),(max)(max)2(, 2021-10-2512.)(.

7、,)(),()1(00最最大大值值或或最最小小值值就就是是所所要要求求的的則則而而且且是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)有有唯唯一一的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)如如果果在在xfxxfba.)(,),()(,)(),()2(00小小值值為為所所要要求求的的最最大大值值或或最最則則內(nèi)內(nèi)部部取取得得最最大大值值或或最最小小值值必必在在的的知知道道又又從從實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題本本身身可可以以有有唯唯一一的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)如如果果在在xfbaxfxxfba( b ) ( b ) 最大、最小值應(yīng)用問(wèn)題最大、最小值應(yīng)用問(wèn)題2021-10-2513.21, 1)1()(332最最大大、最最小小值值的的在在求求例例 xxxf內(nèi)內(nèi)在在由由前前面面的

8、的例例題題知知)21, 1()(, xf. 0,5221 xx不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)有有駐駐點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)經(jīng)計(jì)計(jì)算算得得：, 0)0( f, 2)1( f2)1(, 0)0(minmax ffff320253)52( f3281)21( f 解解 2021-10-2514用用料料最最省省？時(shí)時(shí)多多少少問(wèn)問(wèn)底底半半徑徑與與高高的的比比例例為為鐵鐵桶桶的的圓圓柱柱形形無(wú)無(wú)蓋蓋要要做做一一個(gè)個(gè)容容積積為為例例,40v所所需需鐵鐵皮皮面面積積為為高高為為設(shè)設(shè)底底半半徑徑為為,hr)0(202 rrvrs 解解 02222)(20320 rvrrvrrs 令令301 vr 得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)2021-10-2515

9、.)(,必必存存在在的的最最小小值值從從問(wèn)問(wèn)題題的的實(shí)實(shí)際際意意義義知知道道rs )(lim,)(lim0rsrsrr又又.,.), 0()(,301是是最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)從從而而達(dá)達(dá)到到的的內(nèi)內(nèi)部部的的最最小小值值一一定定在在因因此此 vrrs rvvvrvhrr 30320020)(1 .,用用料料最最省省相相等等時(shí)時(shí)與與高高當(dāng)當(dāng)?shù)椎装氚霃綇郊醇磆r192021-10-2516截截取取？試試問(wèn)問(wèn)應(yīng)應(yīng)該該怎怎樣樣最最大大抗抗彎彎強(qiáng)強(qiáng)度度的的矩矩形形梁梁截截取取一一個(gè)個(gè)具具有有的的圓圓形形木木中中在在直直徑徑為為例例.,5d.ohb則則有有設(shè)設(shè)比比例例系系數(shù)數(shù)為為成成正正比比的的

10、強(qiáng)強(qiáng)度度與與具具有有矩矩形形截截面面梁梁知知由由材材料料力力學(xué)學(xué)強(qiáng)強(qiáng)度度為為高高為為設(shè)設(shè)矩矩形形底底為為kbhyhb,.,22kbhy d31 解解 2021-10-2517.)0()(,22222的的最最大大值值求求函函數(shù)數(shù)所所以以問(wèn)問(wèn)題題化化為為因因?yàn)闉閐bbdbybdh 223bdy 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得3,0dby 得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)令令06 by因因?yàn)闉槭鞘俏ㄎㄒ灰粯O極大大值值點(diǎn)點(diǎn)所所以以3,db 也也就就是是最最大大值值點(diǎn)點(diǎn)2021-10-2518所所以以有有此此時(shí)時(shí),32,dh 1:2:3: bhd.,所所求求即即為為線線這這點(diǎn)點(diǎn)與與直直徑徑兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的連連作作點(diǎn)點(diǎn)等等分分點(diǎn)點(diǎn)

11、作作垂垂線線交交圓圓于于一一在在把把直直徑徑三三等等分分這這就就是是說(shuō)說(shuō)2021-10-2519.,)()()(.,1)()()(,.,:)(2211221121212211221121函函數(shù)數(shù)上上為為上上凸凸在在則則稱(chēng)稱(chēng)如如果果函函數(shù)數(shù)下下凸凸上上為為在在則則稱(chēng)稱(chēng)都都成成立立和和的的任任意意非非負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于滿滿足足不不等等式式如如果果設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)bafxfxfxxfbafxfxfxxfbaxxrbaxf （一）（一） 凸性定義及性質(zhì)凸性定義及性質(zhì)二、函數(shù)的凸性二、函數(shù)的凸性2021-10-2520)(xfy 1x2xxxyo都都有有及及必必要要條條件件是是上上為為下下凸凸的的充充分分

12、在在函函數(shù)數(shù),:,)(212121xxxxxbaxxbaxf 性質(zhì)：性質(zhì)：xxxfxfxxxfxf 2211)()()()(2021-10-2521).(),()(:)(,),(,)(非非增增內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)非非減減在在函函數(shù)數(shù)的的充充分分必必要要條條件件是是上上凸凸為為下下凸凸在在則則可可導(dǎo)導(dǎo)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間在在連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfbafbabaxf （二）（二） 凸性的判定凸性的判定定理定理1：( 用一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凸性用一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凸性 )證證 必要性必要性上上為為下下凸凸函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè),)(baxf2021-10-2522212121:,xxxxxxb

13、axx 且且有有性性根根據(jù)據(jù)極極限限的的保保號(hào)號(hào)都都可可導(dǎo)導(dǎo)與與在在因因?yàn)闉?)(21xxxf2211)()(lim)()(lim11xxxfxfxxxfxfxxxx 21211)()()(xxxfxfxf 即即2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 有有2021-10-25232211)()(lim)()(lim22xxxfxfxxxfxfxxxx 也也有有)()()(21212xfxxxfxf 即即)()(21xfxf 于于是是有有2121,)(xxxbaxxx 且且充分性充分性有有滿滿足足存存在在根根據(jù)據(jù)微微分分中中值值定定理理,:,221121xxx 2021-10-2524

14、)()()(222 fxxxfxf )()()(111 fxxxfxf )()(,21 ff 有有由由已已知知2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 因因此此有有.,)(,下下凸凸的的上上是是在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)這這就就是是說(shuō)說(shuō)baxf2021-10-2525定理定理2：( 用二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凸性用二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凸性 ).0)(0)(:)(,),(,)( xfxfbafbabaxf的的充充分分必必要要條條件件是是函函數(shù)數(shù)上上凸凸為為下下凸凸在在則則二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定理定理3：( 用切線位置判定函數(shù)的凸性用切線位置判定函數(shù)的凸性 )()()(,

15、:,),(,)(0000 xxxfxfxfbaxbafbabaxf 有有分分必必要要條條件件是是為為下下凸凸函函數(shù)數(shù)的的充充在在則則可可導(dǎo)導(dǎo)間間在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)切線位于切線位于曲線下方曲線下方2021-10-2526證證 必要性必要性為為下下凸凸函函數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè) f有有且且,1010 xxxbaxxx 010111)()()()(xxxfxfxxxfxf )()()(00001xfxxxfxfxx 令令)()()(000 xxxfxfxf 2021-10-2527充分性充分性曲曲線線的的切切線線方方程程為為,0bax 0)()()()()(,000 xxxfxf

16、xfxyxfbax有有若若)()()(000 xxxfxfxy )()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有有且且,2121xxxbaxxx 2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 2021-10-2528.)()(,(,)()(,()(0000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲線線則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)反反在在該該點(diǎn)點(diǎn)兩兩側(cè)側(cè)曲曲線線凸凸性性相相上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，是是曲曲線線設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)拐拐點(diǎn)點(diǎn)定定義義：xfyxfxxfyxfx 0 xxy)(,(00 xfxo)(xfy （四（四 ） 拐點(diǎn)拐點(diǎn)定理定理1：（拐點(diǎn)必要條件）（拐點(diǎn)必要

17、條件）. 0)(,)()(,(,)(000 xfxfxfxxf則則有有拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的為為若若有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)2021-10-2529.)(,(,0000個(gè)個(gè)拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的一一是是則則兩兩側(cè)側(cè)異異號(hào)號(hào)在在若若的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)fxfxxfxf 定理定理2（拐點(diǎn)的充分條件）（拐點(diǎn)的充分條件）證證. 0)(.)()(,),(,),(,)()(,(00000000 xfxfxxffxxfxxxfxfx所所以以有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在處處取取得得極極值值，且且在在單單調(diào)調(diào)非非減減內(nèi)內(nèi)在在非非增增單單調(diào)調(diào)內(nèi)內(nèi)則則在在右右側(cè)側(cè)下下凸凸側(cè)側(cè)上上凸凸不不妨妨設(shè)設(shè)該該點(diǎn)點(diǎn)

18、左左的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為 2021-10-2530.,曲曲線線的的漸漸近近線線則則稱(chēng)稱(chēng)該該直直線線為為于于零零某某一一定定直直線線的的距距離離趨趨近近若若此此動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)沿沿曲曲線線無(wú)無(wú)限限遠(yuǎn)遠(yuǎn)離離原原xyo)(xfy bkxy pm三、曲線的漸近線三、曲線的漸近線 2021-10-2531垂垂直直漸漸近近線線)1(垂直漸近線垂直漸近線的的為曲線為曲線則直線則直線或或若若)()()(lim()()(limxfyaxxfxfaxax xyo)(xfy aax 曲線漸近線的求法曲線漸近線的求法2021-10-2532:)(件件是是斜斜漸漸近近線線的的充充分分必必要要條條的的是是曲曲線線直直線線xfybkxy )0()(lim) 1 ()( kkxxfxx)(lim)2()(kxxfbxx .)(,)(lim)(的的水水平平漸漸近近線線是是曲曲線線則則直直線線若若xfybybxfxx 定理：定理：斜斜漸漸近近線線)3(水水平平漸漸近近線線)2(2021-10-253321)(kbkxxfpm 01)(lim2)( kbkxxfxx0)(lim)( bkxxfxx)1()(lim)(bkxxfxx 證證 必要性必要性的的漸漸近近線線是是曲曲線線設(shè)設(shè)直直線線)(xfybkxy 2021-10-2534式式