《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》費(fèi)業(yè)泰

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理 （第七版 ）習(xí)題及參考答案第一章 緒論1 5 測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180o0002”, 試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差解： 絕對(duì)誤差等于： 相對(duì)誤差等于：180o0002 180o 22180o2180 60 60648000 0.00000308641 0.000031%1-8 在測(cè)量某一長(zhǎng)度時(shí)，讀數(shù)值為 2.31m，其最大絕對(duì)誤差為 20 m ，試求其最大相對(duì)誤差。相對(duì)誤差 max絕對(duì)誤差 max測(cè)得值100%20 10-62.31100%8.66 10-4%1-10 檢定 2.5 級(jí)（即引用誤差為 2.5%）的全量程為 100V 的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V 刻度點(diǎn)的示

2、值誤差 2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？最大引用誤差某量程最大示值誤差測(cè)量范圍上限100%2100100%2% 2.5%該電壓表合格1-12 用兩種方法分別測(cè)量L1=50mm， L2=80mm。測(cè)得值各為 50.004mm， 80.006mm。試評(píng)定兩種方法測(cè)量精度的高低。相對(duì)誤差L 1:50mmI 1 50.004 50 100% 0.008%1 50L 2:80mm80.006 80I 2100% 0.0075%2 80I1 I 2所以 L2=80mm 方法測(cè)量精度高。1 13 多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為 10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過 0.lkm ， 優(yōu)秀射手能在距離 50m遠(yuǎn)處

3、準(zhǔn)確地射中直徑為 2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高 ?解：多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為：10000 0.00001 0.001%射手的相對(duì)誤差為：1cm 0.01m 0.0002 0.002%50m 50m多級(jí)火箭的射擊精度高。1-14 若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長(zhǎng)度L1=110mm，其測(cè)量誤差分別為11 m和 9 m ；而用第三種測(cè)量方法測(cè)量另一零件的長(zhǎng)度L2=150mm。其測(cè)量誤差為 12 m ，試比較三種測(cè)量方法精度的高低。相對(duì)誤差I(lǐng)111 m 0.01%110mm9mI20. 008 2%110mm12 mI30.008%150mmI3 I 2 I 1第三種方法的測(cè)量精度最高第二章 誤差

4、的基本性質(zhì)與處理2-6 測(cè)量某電路電流共 5 次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為 mA）為 168.41 ，168.54 ，168.59 ，168.40 ，168.50 。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤 差。168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 x5168.488( mA)vi2i 1 0.082(mA)51x 0.082 0.037(mA)或然誤差：R 0.6745 x 0.6745 0.037 0.025(mA)平均誤差： T 0.7979 x 0.7979 0.037 0.030(mA)2-7 在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具， 重量測(cè)量 5 次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位

5、為 mm） 為 20.0015 ，20.0016 ，20.0018 ，20.0015 ，20.0011 。若測(cè)量值服從正態(tài)分 布 ， 試 以 99%的 置 信 概 率 確 定 測(cè) 量 結(jié) 果 。20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011x520.0015( mm)0.00025正態(tài)分布p=99% 時(shí)， t 2.58 lim x t x2.580.000250.0003( mm)測(cè)量結(jié)果： X x lim x (20.0015 0.0003)mm2-9 用某儀器測(cè)量 工件尺寸 ，在排 除系統(tǒng)誤 差的條 件下，其標(biāo)準(zhǔn) 差 0.004mm，若要求測(cè)量結(jié)果的置信限為

6、0.005mm ，當(dāng)置信概率為99%時(shí)，試求必要的測(cè)量次數(shù)。正態(tài)分布 p=99% 時(shí)， t 2.58n 2.58 0.004 2.0640.005n 4.2629 用某儀器測(cè)量工件尺寸， 已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差 0.001mm，若要求測(cè) 量的允許極限誤差為 0.0015mm，而置信概率 P 為 0.95 時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次？ 解：根據(jù)極限誤差的意義，有txtn0.0015根據(jù)題目給定得已知條件，有t 0.0015n 0.0011.5查教材附錄表 3 有若 n 5，v 4， 0.05 ，有 t 2.78 ，若 n 4，v 3，t 2.78 2.78n 5 2.236 0.05 ，有 t 3.18 ，1

7、.24t 3.18 3.181.59即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量 5 次。2-12 某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù) (單位為 Pa)為 102523.85 ，102391.30 ，102257.97 ， 102124.65 ，101991.33 ，101858.01 ， 101724.69 ， 101591.36 ， 其權(quán)各為 1，3， 5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。8pi xix i 18102028.34(Pa)pii1xpivxi2i18(8 1) pii186.95( Pa)2-13 測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為 1 24 13 36 ， 2 24 1324 ，其 標(biāo)

8、準(zhǔn)差分別為 1 3.1 , 2 13.8 ，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。p1 : p212 : 12 19044 : 96112 22x 24 132019044 16 961 419044 96124 1335xpi2pii13.11904419044 9613.02-14 甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角 各重復(fù)測(cè)量 5 次，測(cè)得 值如下：甲:7220,7 30 ,7235,7220,7215;乙:7 225,7 225,7 220 ,7 250 ,7 245;試求其測(cè)量結(jié)果。甲：x甲 7 2 20 60 35 20 15 7 230（-10 ）2 （30 ）2 5 2 （-10 ）

9、2 （ -15 ）2418.418.4甲x甲5 5 8.23vi2i15113.5乙 13.5x乙5 5 6.0411p甲 : p乙2 : 2x甲x乙1 2 : 1 2 3648: 67738.232 6.042x p甲x甲 p乙x乙 3648 30 6773 33 72 p甲 p乙3648 6773xp甲p甲 p乙8.2336483648 67734.87乙： x乙 72 25 25 20 50 45 7 2335-8 ）2 （-8 ）2 （ 13 ）2 （17 ）2 （12 ）2X x 3 x 7 232 1522- 16 重力加 速度的 20 次測(cè)量具有平均 值為 9.811m/ s 、

10、標(biāo)準(zhǔn)差為220.014m/s2。另外 30 次測(cè)量具有平均值為 9.802m/s2，標(biāo)準(zhǔn)差為20.022m / s 。假設(shè)這兩組測(cè)量屬于同一正態(tài)總體。 試求此 50 次測(cè)量的平均 值和標(biāo)準(zhǔn)差。1p1: p2221x2220.014 2 0.022 220 301 2 : 1 2 2 42:1 47242 9.811 147 9.802242 14729.808(m/s2)0.014 24220 242 14720.002(5 m/s2)2- 19 對(duì)某量進(jìn)行 10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為 14.7 ，15.0 ，15.2 ，14.8 ，15.5 ，14.6 ，14.9 ，14.8 ，15.1 ，15

11、.0 ，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。x 14.96按貝塞爾公式 1 0.263310vi按別捷爾斯法 2 1.253 i 1 0.264210(10 1)22由 2 1 u 得 u 2 1 0.0034 11u 2 0.67 所以測(cè)量列中無系差存在。n12-18 對(duì)一線圈電感測(cè)量 10 次，前 4 次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后 6 次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下(單位為mH)：50.82 ，50.83，50.87，50.89 ；50.78 ，50.78，50.75，50.85，50.82 ，50.81 。試判斷前 4 次與后 6 次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。使用秩和檢驗(yàn)法

12、： 排序：序號(hào)12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號(hào)678910第一組50.8250.8350.8750.89第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T 14 T 30T T 所以兩組間存在系差2 21 對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。 解： 按照秩和檢驗(yàn)法要求

13、，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表：T12345678910xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T11121314151617181920xi1.211.221.301.341.391.41yi1.251.311.311.38T2122232425262728xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95現(xiàn) nx 14，ny14，取 xi 的數(shù)據(jù)計(jì)算 T，得 T 154。由n1(n1 n2 1)n1n2 (n1 n2 1)a ( 1 1 2 ) 203 ； ( 1 2 1 2 ) 474 求出：t T a 0.1現(xiàn)取概率 2

14、 (t) 0.95，即 (t) 0.475 ，查教材附表 1 有t1.96。由于 t t ，因此，可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間沒有系統(tǒng)誤差。第三章 誤差的合成與分配3- 1 相對(duì)測(cè)量時(shí)需用 54.255mm 的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件， 量塊組由四塊量塊研合 而成，它們的基本尺寸為l1 40mm， l2 12mm， l3 1.25mm ， l4 1.005mm。經(jīng)測(cè) 量，它 們的尺寸偏差及 其測(cè)量 極限誤差分別為l1 0.7 m, l 2 0.5 m, l 3 0.3 m,l 4 0.1 m, lim l10.35 m, lim l 20.25 m, lim l 3 0.20 m,liml40.20 m 。試求量

15、塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來的測(cè)量誤差。修正值 = ( l1 l 2l3l 4)= ( 0.7 0.5 0.3 0.1)=0.4 ( m)測(cè)量誤差 :l =2lim l12lim l22lim l32lim l4= (0.35) 2 (0.25)2 (0.20)2 (0.20)2= 0.51( m)3- 2 為 求 長(zhǎng) 方 體 體 積 V ， 直 接 測(cè) 量 其 各 邊 長(zhǎng) 為 a 161.6mm ， b 44.5mm , c 11.2mm , 已 知 測(cè) 量 的 系 統(tǒng) 誤 差 為 a 1.2mm ，b 0.8mm， c 0.5mm ，測(cè)量的極限誤差為 a 0.8mm ，b0

16、.5mm ， c 0.5mm， 試求立方體的體積及其體積的極限誤差。V abc V f (a,b,c)V0 abc 161.6 44.5 11.2380541 .44( mm3 ) 體積 V 系統(tǒng)誤差 V 為：V bc a ac b ab c332745.744(mm3 ) 2745.74(mm3 )立方體體積實(shí)際大小為： V V0 V 77795.70(mm3)limV( fa)2 a2 ( fb)2 b2 ( fc)2 c2 abc(bc) 2 a(ac)2 b(ab)2 c33729.11(mm3)測(cè)量體積最后結(jié)果表示為3V V0V lim V (77795.70 3729.11)mm3

17、3-4 測(cè)量某電路的電流 I 22.5mA ，電壓 U 12.6V ，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分 別為 I 0.5mA， U 0.1V ，求所耗功率 P UI 及其標(biāo)準(zhǔn)差 P 。 P UI 12.6 22.5 283.5(mw)P f (U,I) U、I 成線性關(guān)系UI 1(U( fI )I2( Uf)( fI ) u I IfUfII UU I22.5 0.1 12.6 0.5UUII U I8.55(mw)312 按公式 V= r2h 求圓柱體體積，若已知 r 約為 2cm， h 約為 20cm， 要使體積的相對(duì)誤差等于 1，試問 r 和 h 測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少 ?解：若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為V

18、r 2 h 3.14 22 20 251.2cm3根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1，即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：1%V 即 V 1% 251.2 1% 2.51 現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出 測(cè)定 r 的誤差應(yīng)為：2.51 11.41 2 hr0.007cm測(cè)定 h 的誤差應(yīng)為：2.51 11.41 r 20.142cm3-14 對(duì)某一質(zhì)量進(jìn)行 4 次重復(fù)測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù) （單位 g）為 428.6 ，429.2 ，426.5 ，430.8 。已知測(cè)量的已定系統(tǒng)誤差2.6g, 測(cè)量的各極限誤差分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所示。 若各誤差均服從正態(tài)分布， 試求該質(zhì)量 的最可信賴值及其極限誤差。序號(hào)

19、極限誤差 g誤差傳遞系數(shù)隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81428.6 429.2 426.5 430.8 x4428.775( g ) 428.8(g)最可信賴值 x x 428.8 2.6 431.4( g )5 f2 1 3 f 2 2x () ei()2 ix i 1 xi i 4 i 1 xi i4.9(g)測(cè)量結(jié)果表示為 :x x x (431.4 4.9)g第四章 測(cè)量不確定度4 1 某圓球的半徑為 r，若重復(fù) 10次測(cè)量得 rr =（3.132 0.005）cm ， 試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積

20、的測(cè)量不確定度，置信概率 P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度 已知圓球的最大截面的圓周為： D 2 r 其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：u Dr22 2 r24 3.141592 0.0052r 0.0314cm 確定包含因子。查 t 分布表 t 0.01（ 9） 3.25 ，及 K 3.25 故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：UKu3.250.0314 0.102 求圓球的體積的測(cè)量不確定度43 圓球體積為： V r 33其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：u Vr24 r 2 2 r216 3.141592 3.1324 0.0052 0.616r確定包含因子。查 t 分布表 t 0.01（ 9

21、） 3.25 ，及 K 3.25 最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為UKu3.25 0.616 2.0024- 4 某校準(zhǔn)證書說明，標(biāo)稱值 10 的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻 R 在 20 C 時(shí)為 10.000742 129（P=99%），求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并說明屬于哪一類評(píng)定的不確定度。由校準(zhǔn)證書說明給定屬于 B 類評(píng)定的不確定度R 在 10.000742 -129，10.000742 +129 范圍內(nèi)概率為99%，不為 100%不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布a 129 當(dāng) p=99% 時(shí)， K p 2.58a 129U R a 129 50( )R K p 2.584-5 在光學(xué)計(jì)上用 5

22、2.5mm 的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)量圓柱體直徑，量塊組由 三塊量塊研合而成，其尺寸分別是： l1 40mm，l2 10mm，l3 2.5mm ，量塊按“級(jí)”使用，經(jīng)查手冊(cè)得其研合誤差分別不超過0.45 m、 0.30 m、 0.25 m(取置信概率 P=99.73%的正態(tài)分布) ， 求 該 量 塊 組 引 起 的 測(cè) 量 不 確 定 度 。 L 52.5mml1 40mml2 10mml3 2. 5mmL l1 l2 l3p 99.73% K p 3l1kap 0.345 0.15( m)Ul2kap 0.330 0.10( m)a 0.25l3kp0.08( m)U LUl1 Ul2 U l3

23、0.152 0.102 0.0820.20( m)第五章 線性參數(shù)的最小二乘法處理3x y 2.95- 1 測(cè)量方程為 x 2y 0.9 試求 x、 y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。 2x 3y 1.9誤差方程為v1 2.9 (3x y) v2 0.9 (x 2y)nnnai1ai1xai1ai 2yai1lii1i1i 1 代入數(shù)據(jù)得nnnai 2ai1xai2ai2yai2lii1i1i1v3 1.9 (2x 3y)列正規(guī)方程14x 5y 13.4x 0.962解得5x 14y 4.6y 0.015v1 2.9 (3 0.962 0.015) 0.001將 x 、y 代入誤差方程式 v2

24、 0.9 (0.962 2 0.015) 0.032求解不定乘數(shù)v3 1.9 (2 0.962 3 0.015) 0.021n3vi2vi2測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 i 1i 1 0.038nt3214d11 5d12 1 d11 d125d11 14d12 0d21 d22 14d21 5d22 0 5d21 14d22 1解得 d11 d22 0.082x、 y 的精度分別為 xd11 0.01 yd22 0.013y5.6, p1 15-7 不等精度測(cè)量的方程組如下：4x y 8.1, p2 22x y 0.5, p3 3試求 x、 y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。v1 5.6 (x 3y), p1 1列誤差方程 v2 8.1 (4x y), p2 2v3 0.5 (2x y), p3 33 3 3piai1ai1xpi ai1ai2ypiai1li正規(guī)方程為 i 1 i 1 i 13 3 3piai2ai1xpiai2ai2 ypiai2lii1 i 1 i 1代入數(shù)據(jù)得45x y 62.2 解得 x 1.434x 14y 31.5 y 2.352v1 0.022將 x 、y 代入