高等工程數(shù)學(xué)

1、第一章 事件與概率客觀世界中存在著兩類(lèi)現(xiàn)象，一類(lèi)是在一定的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為必然現(xiàn)象：另一類(lèi)是在一定的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。1.1 隨機(jī)事件和樣本空間概念：隨機(jī)試驗(yàn)（1） 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（重復(fù)性）（2） 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（可知性）（3） 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果（唯一性）隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為基本事件（或樣本點(diǎn)），記為：基本事件的全體，稱為樣本空間。記為：例1 將一枚硬幣拋擲兩次，正面， 反面， 其中 H T例2 拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)

2、數(shù) 例3 某信息臺(tái)在一分鐘內(nèi)收到的短信次數(shù) 例4 在一批燈泡中，任意抽取一只測(cè)試它的壽命 壽命試驗(yàn):測(cè)試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命。事件：基本事件的集合點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2=1，2；=點(diǎn)數(shù)為1，2，3；=點(diǎn)數(shù)不小于3=3，4，5，6（注：相對(duì)于基本事件而言，包含著不止一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為復(fù)雜事件）如果試驗(yàn)出現(xiàn)了中所包含的某一基本事件，則稱發(fā)生，且記必然事件： ， 在一次實(shí)驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件不可能事件：， 在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件事件間的關(guān)系（1）如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即屬于A的每一個(gè)樣本點(diǎn)一定也屬于B，則稱事件B包含事件A，或稱事件A包含于事件B。記作或 （也稱是的子事件顯然 （

3、2）如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A與B相等。記作 A=B。（3）“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的和，記作。 BA （4）“ 事件A與B都發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的積，記為 （5） 差事件：事件發(fā)生而事件不發(fā)生，記為；（6） 互不相容（互斥）事件：事件與不能同時(shí)發(fā)生；（7） 逆事件：若是一個(gè)事件，令 顯然 (8) 若有事件： 至少有一個(gè)發(fā)生 同時(shí)發(fā)生事件的表示例5 設(shè)是中的隨機(jī)事件，則思考題: 設(shè)A、B、C為任意三個(gè)事件,試用它們表示下列事件: (1) A、B出現(xiàn)，C不出現(xiàn)； (2) A、B、C中恰有一個(gè)出現(xiàn)； (3) A、B、C中至多有一個(gè)出現(xiàn)；

4、(4) A、B、C中至少有一個(gè)出現(xiàn).事件的運(yùn)算完全等同與集合的運(yùn)算且滿足：1. 交換律 2. 結(jié)合律 3. 分配律 4. 德摩根定律 證明：3. 對(duì) 且或且反之若 4. 證明：對(duì)，不屬于中任何一個(gè)， 于是成立。反之，若 ， 于是也成立，從而 。Karl PearsonKarl Pearson（18571936），生卒于倫敦，公認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)之父。 K. Pearson 1879年畢業(yè)于劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系；曾參與激進(jìn)的政治活動(dòng)。出版幾本文學(xué)作品，并且作了三年的律師實(shí)習(xí)。1884年進(jìn)入倫敦大學(xué)學(xué)院 (University College, London)，教授數(shù)學(xué)與力學(xué)，從此待在該校一直到1933年。 K

5、. Pearson 最重要的學(xué)術(shù)成就，是為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)打下基礎(chǔ)。自從達(dá)爾文演化論問(wèn)世后，關(guān)于演化的本質(zhì)爭(zhēng)論不斷，在這方面他深受 Galton（達(dá)爾文表哥，優(yōu)生學(xué)一詞的發(fā)明者）與 Weldon 影響。 Weldon 1893年提出所謂變異，遺傳與天擇事實(shí)上只是算術(shù)的想法。這促使 K. Pearson 在1893-1912年間寫(xiě)出18篇在演化論上的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的文章，而這門(mén)算術(shù)，也就是今日的統(tǒng)計(jì)。許多熟悉的統(tǒng)計(jì)名詞如標(biāo)準(zhǔn)差，成分分析，卡方檢定都是他提出的。 K. Pearson、Galton 與 Weldon 為了推廣統(tǒng)計(jì)在生物上的應(yīng)用，于1901年創(chuàng)立統(tǒng)計(jì)的元老期刊Biometrika， 由 K. P

6、earson 主編至死，但是 K. Pearson 的主觀強(qiáng)，經(jīng)常對(duì)他本人認(rèn)為有爭(zhēng)議的文章， 刪改或退稿，并因此與英國(guó)本世紀(jì)最有才華的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Fisher 結(jié)下梁子。 1906年 Weldon 死后，K. Pearson 不再注意生物問(wèn)題，而專心致志于將統(tǒng)計(jì)發(fā)展成一門(mén)精確的科學(xué)。1.2 概率和頻率 頻率： 在相同的條件下進(jìn)行次試驗(yàn)，在次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件發(fā)生的頻率，記為。由定義：頻率具有以下性質(zhì)：1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3. 若 互不相容 可加性可以推廣為有限可加性，即：對(duì)有限個(gè)兩兩互不相容的事件，則 注： 可以用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證： 若 則例1 拋硬幣（歷史上）實(shí)

7、驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)正面出現(xiàn)的頻率Buffon404020480.5069De Morgan409220480.5005Feller1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005Lomanovskii80640396990.4923頻律的穩(wěn)定值 0.5定義1. 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，稱為發(fā)生的概率，記作 （頻率的穩(wěn)定值）頻率的本質(zhì)就是概率，因此，頻率所具有的性質(zhì)概率也具備1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3.有限可加性對(duì)有限個(gè)兩兩互不相容的事件，有 1.3 古典概型設(shè)為試驗(yàn)E的樣本空間，若 （有限性）只含有限個(gè)樣本點(diǎn);

8、（等概性）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等; 則稱E為古典概型。對(duì)古典概型：有其中包含個(gè)樣本點(diǎn)，例 輪盤(pán)賭 例1， 將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率：（1）兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為8；（2）第二次擲得3點(diǎn).解：設(shè) 表示“點(diǎn)數(shù)之和為8”事件，表示“第二次擲得3點(diǎn)”事件 則 所以 ，例2， 一口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球。從口袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只，考慮兩種取球方式(a) 第一次取球后觀察其顏色后放回口袋； （b）第一次取球后觀察其顏色后不放回口袋，第二次從剩余的球中在取一球。 問(wèn) （i）取到的兩只球都是白球的概率； （ii）取到的兩只球是同色球的概率； （iii）取到的兩只球中

9、至少有一只是白球的概率。解： 設(shè)分別表示“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的兩只球至少有一只是白球”(a) 有放回抽樣樣本空間中基本事件總數(shù) （種）中基本事件數(shù) 中基本事件數(shù) 中基本事件數(shù) 所以或者 （法2）（b）例3 （分房問(wèn)題）設(shè)有個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到個(gè)房間中的任意一間去?。ǎ?，求下列事件的概率：（1） 指定的個(gè)房間各有一個(gè)人住；（2） 恰好有個(gè)房間，其中各住一人。解：（1）每一個(gè)人有個(gè)房間可供選擇，故共有種方式，它們是等可能的，指定的個(gè)房間各有一人住共有種可能，于是。（2）個(gè)房間可以在個(gè)房間中選擇，其總數(shù)為 對(duì)選定的個(gè)房間共有種入住法，所以 （法2） 例

10、4 （生日問(wèn)題）某班級(jí)有個(gè)人（），問(wèn)至少有兩人的生日在同一天的概率為多大？解：視365 天為365 個(gè)房間，設(shè)=個(gè)人中至少有兩人生日相同 則=個(gè)人的生日全不相同 所以例5 從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？解：設(shè)表示“4只中至少有兩只配成一雙”從5雙不同的鞋子中任取4只共有種不同的取法，4只中沒(méi)有兩只能配成一雙的共有種不同的取法，所以 至少有兩只配成一雙的概率為 （法2）4只中恰好有兩只配成一雙共有種， 4只恰好配成兩雙共有種故4只中至少有兩只配成一雙的概率為 1.4 概率的公理化定義及概率的性質(zhì)幾何概型(等可能概型的推廣)如果隨機(jī)試驗(yàn)中基本事件發(fā)生的可能

11、性大小一樣，我們?nèi)园凑展诺涓判偷姆椒ㄇ笫录l(fā)生的概率。例如： 一砣螺 海域鉆探山地山地挖寶例1 （會(huì)面問(wèn)題）甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率？解：以分別表示甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)間，兩人能會(huì)面的充要條件是 例2 浦豐投針問(wèn)題：平面上畫(huà)有等距離的平行線，平行線間的距離為，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為的針，試求針與平行線相交的概率。公元1777年的一天，法國(guó)科學(xué)家D布豐（Dbuffon17071788）的家里賓客滿堂，原來(lái)他們是應(yīng)主人的邀請(qǐng)前來(lái)觀看一次奇特試驗(yàn)的。試驗(yàn)開(kāi)始，但見(jiàn)年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來(lái)，紙上預(yù)先畫(huà)好了一

12、條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長(zhǎng)度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請(qǐng)諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過(guò)，請(qǐng)大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我?！笨腿藗儾恢钾S先生要干什么，只好客隨主便，一個(gè)個(gè)加入了試驗(yàn)的行列。一把小針扔完了，把它撿起來(lái)又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個(gè)鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！闭f(shuō)到這里，布豐先生故意停了停，并對(duì)大家報(bào)以神秘的一笑，接著有意

13、提高聲調(diào)說(shuō)：“先生們，這就是圓周率的近似值！” 眾賓嘩然，一時(shí)議論紛紛，個(gè)個(gè)感到莫名其妙；“圓周率？這可是與圓半點(diǎn)也不沾邊的呀！”解：以 表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線間的距離， 表示針與平行線的夾角。 易知： 在平面上確定了一個(gè)矩形針與平行線相交，其充要條件為 由這個(gè)不等式可表示投針次，相交次， (蒙特卡洛法)下證概率具有可列可加性單位正方形，則 若 可化為兩兩互不相交的小區(qū)域， 每個(gè)小區(qū)域的面積為 由于總面積 再把它理解為概率就是這就說(shuō)明概率具有可列可加性。集合類(lèi) 布爾代數(shù)，i ii 若，則， iii 若， 則代數(shù)i ii 若，則，iii 若， 則事件域是布爾代數(shù)，也是代數(shù)通常代數(shù)上有定義、

14、非負(fù)、可列可加的集函數(shù)稱為測(cè)度。 所以，概率是定義在事件域上的一個(gè)測(cè)度。隨機(jī)試驗(yàn)的模型1. 樣本空間2. 事件域 （代數(shù)）3.概率稱（ ，）為概率空間。定義1.2 概率是定義在代數(shù)上的一個(gè)非負(fù)、規(guī)范、可列可加的集函數(shù)。即：1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3.可列可加性對(duì)可列個(gè)兩兩互不相容的事件，有 概率的性質(zhì)（1） 不可能事件的概率為0， 即證明：， 所以 由定義1.2的3.(2) 概率具有有限可加性， 即：若，則證明： 由于由可列可加性及即得： （3） 對(duì)任一事件，證明： 所以（4） 若，則 證明：因?yàn)榍?所以系： 若，則（5） 對(duì)任意兩個(gè)事件 有證明： 且系：推論：若是任意個(gè)隨機(jī)事件，則有 概率的

15、一般加法公式。1.5 條件概率，全概率公式和貝葉斯公式 在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到求：在事件B已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B).由于附加了條件，P(A)與 P(A|B)意義不同，一般 P(A|B) P(A) 先看一個(gè)例子例1 引例：擲一顆均勻骰子，A=擲出2點(diǎn)，B=擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A|B)=？解：擲一顆均勻骰子可能的結(jié)果有6種，且它們的出現(xiàn)是等可能的。P(A)=1/6由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，所以時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果只有3種， 擲骰子而事件A包含的基本事件只占其中一種，故有P(A|B)= 1/3上例中 P(A|B) P(A) 它們不相等的原因在于“事件B已發(fā)生”這個(gè)新條件改變了樣

16、本空間. 如果B發(fā)生，那么使得A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)樣本點(diǎn)屬于AB，因此P(A|B)應(yīng)為P(AB)在P(B)中的“比重”這就好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來(lái)考慮問(wèn)題.注：在上例中 恰有定義：若（ ，）是一個(gè)概率空間，且，則對(duì)任意的，稱為在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率。課堂練習(xí)： 已知某長(zhǎng)壽村的人能活100歲的概率為0.5，活80歲的概率為0.7，若已知某人今年82歲，問(wèn)此人能活到100歲的概率是多少？思考：條件概率與無(wú)條件概率之間的大小關(guān)系如何？由條件概率公式易得： （乘法公式）條件概率的性質(zhì)： 條件概率1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3.可列可加性對(duì)可列個(gè)兩兩互不相容的

17、事件，有 此外，概率的運(yùn)算性質(zhì)均適用于條件概率。例2：從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽 出2張 , 將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔 , 求2 張都是假鈔的概率.解: 令 A 表示抽到2 張都是假鈔，B表示2 張中至少有1張假鈔。 則 所求概率是，所以人們?cè)谟?jì)算某一較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，有時(shí)根據(jù)事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個(gè)或若干互不相容的部分的并，分別計(jì)算概率，然后求和.全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式，它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題化繁就簡(jiǎn)，得以解決. 定理1.2 設(shè)是一列互不相容的事件，且有 則對(duì)任一事件有（全概率公式）證明：顯然 例3 設(shè)有分別來(lái)自

18、三個(gè)地區(qū)的10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份. 隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表， 求抽出一份是女生表的概率.解：Ai = 報(bào)名表是第i區(qū) i1, 2, B= 抽到的報(bào)名表是女生表第二地區(qū)第三地區(qū) 103第一地區(qū) 715 255在第二地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率P(B|A2)=7/15由全概率公式在第三地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率P(B|A3)5/25在第一地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率P(B|A1)=3/10 P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) Bayes公式貝葉斯 貝葉斯(1702-1763)

19、 Thomas Bayes，英國(guó)數(shù)學(xué)家。1702年出生于倫敦，做過(guò)神甫。1742年成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1763年4月7日逝世。貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn)。1763年發(fā)表了這方面的論著，對(duì)于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的作用。貝葉斯的另一著作機(jī)會(huì)的學(xué)說(shuō)概論發(fā)表于1758年。貝葉斯所采用的許多術(shù)語(yǔ)被沿用至今。 定理1.3 若為一列互不相容的事件，且則對(duì)任一事件證明：例4 又若抽到的產(chǎn)品為次品，問(wèn)是由甲廠生產(chǎn)的概率是多大？解： 由貝葉斯公式：1.6 獨(dú)立性定義1.5 對(duì)任意兩個(gè)事

20、件，若成立，則稱事件相互獨(dú)立。注意:從直觀上講,A與B獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受另一個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響.推論1: A.B為兩個(gè)事件,若P(A)0, 則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(A|B)=P(A).容易驗(yàn)證（1） 若相互獨(dú)立，則，也相互獨(dú)立。證明： 同理可證其他。定義1.6 設(shè)是三事件，如果具有等式 則稱兩兩獨(dú)立。若兩兩獨(dú)立，且則稱相互獨(dú)立。注意： 相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立，反之未必。見(jiàn)下例設(shè)有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4. 今任取一張，設(shè)事件為取到1或2，事件為取到1或3，事件為取到1或4，則 所以 容易驗(yàn)證 兩兩相互獨(dú)立，但 推廣：一般地， 設(shè)是個(gè)事件，如果對(duì)于任意，任意，具有等式 則稱是個(gè)相互獨(dú)立的事件。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)事件的獨(dú)立性是根據(jù)實(shí)際意義來(lái)判斷的。系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性.系統(tǒng)由元件組成,常見(jiàn)的元件連接方式串聯(lián) 21并聯(lián) 12設(shè)兩系統(tǒng)都是由 4 個(gè)元件組成,每個(gè)元件正常工作的概率為 p , 每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性 S1: A1A2B2B1 S2: A1A2B2B1 1.7 貝努