高等工程數(shù)學(xué)

1、第一章 事件與概率客觀世界中存在著兩類現(xiàn)象，一類是在一定的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為必然現(xiàn)象：另一類是在一定的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。1.1 隨機(jī)事件和樣本空間概念：隨機(jī)試驗（1） 試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（重復(fù)性）（2） 試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；（可知性）（3） 每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果（唯一性）隨機(jī)試驗的每一個可能結(jié)果稱為基本事件（或樣本點），記為：基本事件的全體，稱為樣本空間。記為：例1 將一枚硬幣拋擲兩次，正面， 反面， 其中 H T例2 拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點

2、數(shù) 例3 某信息臺在一分鐘內(nèi)收到的短信次數(shù) 例4 在一批燈泡中，任意抽取一只測試它的壽命 壽命試驗:測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命。事件：基本事件的集合點數(shù)不超過2=1，2；=點數(shù)為1，2，3；=點數(shù)不小于3=3，4，5，6（注：相對于基本事件而言，包含著不止一個樣本點的事件稱為復(fù)雜事件）如果試驗出現(xiàn)了中所包含的某一基本事件，則稱發(fā)生，且記必然事件： ， 在一次實驗中必然會發(fā)生的事件不可能事件：， 在一次試驗中不可能發(fā)生的事件事件間的關(guān)系（1）如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即屬于A的每一個樣本點一定也屬于B，則稱事件B包含事件A，或稱事件A包含于事件B。記作或 （也稱是的子事件顯然 （

3、2）如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A與B相等。記作 A=B。（3）“事件A與B至少有一個發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的和，記作。 BA （4）“ 事件A與B都發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的積，記為 （5） 差事件：事件發(fā)生而事件不發(fā)生，記為；（6） 互不相容（互斥）事件：事件與不能同時發(fā)生；（7） 逆事件：若是一個事件，令 顯然 (8) 若有事件： 至少有一個發(fā)生 同時發(fā)生事件的表示例5 設(shè)是中的隨機(jī)事件，則思考題: 設(shè)A、B、C為任意三個事件,試用它們表示下列事件: (1) A、B出現(xiàn)，C不出現(xiàn)； (2) A、B、C中恰有一個出現(xiàn)； (3) A、B、C中至多有一個出現(xiàn)；

4、(4) A、B、C中至少有一個出現(xiàn).事件的運算完全等同與集合的運算且滿足：1. 交換律 2. 結(jié)合律 3. 分配律 4. 德摩根定律 證明：3. 對 且或且反之若 4. 證明：對，不屬于中任何一個， 于是成立。反之，若 ， 于是也成立，從而 。Karl PearsonKarl Pearson（18571936），生卒于倫敦，公認(rèn)為統(tǒng)計學(xué)之父。 K. Pearson 1879年畢業(yè)于劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系；曾參與激進(jìn)的政治活動。出版幾本文學(xué)作品，并且作了三年的律師實習(xí)。1884年進(jìn)入倫敦大學(xué)學(xué)院 (University College, London)，教授數(shù)學(xué)與力學(xué)，從此待在該校一直到1933年。 K

5、. Pearson 最重要的學(xué)術(shù)成就，是為現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)打下基礎(chǔ)。自從達(dá)爾文演化論問世后，關(guān)于演化的本質(zhì)爭論不斷，在這方面他深受 Galton（達(dá)爾文表哥，優(yōu)生學(xué)一詞的發(fā)明者）與 Weldon 影響。 Weldon 1893年提出所謂變異，遺傳與天擇事實上只是算術(shù)的想法。這促使 K. Pearson 在1893-1912年間寫出18篇在演化論上的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的文章，而這門算術(shù)，也就是今日的統(tǒng)計。許多熟悉的統(tǒng)計名詞如標(biāo)準(zhǔn)差，成分分析，卡方檢定都是他提出的。 K. Pearson、Galton 與 Weldon 為了推廣統(tǒng)計在生物上的應(yīng)用，于1901年創(chuàng)立統(tǒng)計的元老期刊Biometrika， 由 K. P

6、earson 主編至死，但是 K. Pearson 的主觀強(qiáng)，經(jīng)常對他本人認(rèn)為有爭議的文章， 刪改或退稿，并因此與英國本世紀(jì)最有才華的統(tǒng)計學(xué)家 Fisher 結(jié)下梁子。 1906年 Weldon 死后，K. Pearson 不再注意生物問題，而專心致志于將統(tǒng)計發(fā)展成一門精確的科學(xué)。1.2 概率和頻率 頻率： 在相同的條件下進(jìn)行次試驗，在次試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件發(fā)生的頻率，記為。由定義：頻率具有以下性質(zhì)：1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3. 若 互不相容 可加性可以推廣為有限可加性，即：對有限個兩兩互不相容的事件，則 注： 可以用實驗驗證： 若 則例1 拋硬幣（歷史上）實

7、驗者拋硬幣次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)正面出現(xiàn)的頻率Buffon404020480.5069De Morgan409220480.5005Feller1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005Lomanovskii80640396990.4923頻律的穩(wěn)定值 0.5定義1. 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，稱為發(fā)生的概率，記作 （頻率的穩(wěn)定值）頻率的本質(zhì)就是概率，因此，頻率所具有的性質(zhì)概率也具備1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3.有限可加性對有限個兩兩互不相容的事件，有 1.3 古典概型設(shè)為試驗E的樣本空間，若 （有限性）只含有限個樣本點;

8、（等概性）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等; 則稱E為古典概型。對古典概型：有其中包含個樣本點，例 輪盤賭 例1， 將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率：（1）兩次擲得的點數(shù)之和為8；（2）第二次擲得3點.解：設(shè) 表示“點數(shù)之和為8”事件，表示“第二次擲得3點”事件 則 所以 ，例2， 一口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球。從口袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只，考慮兩種取球方式(a) 第一次取球后觀察其顏色后放回口袋； （b）第一次取球后觀察其顏色后不放回口袋，第二次從剩余的球中在取一球。 問 （i）取到的兩只球都是白球的概率； （ii）取到的兩只球是同色球的概率； （iii）取到的兩只球中

9、至少有一只是白球的概率。解： 設(shè)分別表示“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的兩只球至少有一只是白球”(a) 有放回抽樣樣本空間中基本事件總數(shù) （種）中基本事件數(shù) 中基本事件數(shù) 中基本事件數(shù) 所以或者 （法2）（b）例3 （分房問題）設(shè)有個人，每個人都等可能地被分配到個房間中的任意一間去住（），求下列事件的概率：（1） 指定的個房間各有一個人??；（2） 恰好有個房間，其中各住一人。解：（1）每一個人有個房間可供選擇，故共有種方式，它們是等可能的，指定的個房間各有一人住共有種可能，于是。（2）個房間可以在個房間中選擇，其總數(shù)為 對選定的個房間共有種入住法，所以 （法2） 例

10、4 （生日問題）某班級有個人（），問至少有兩人的生日在同一天的概率為多大？解：視365 天為365 個房間，設(shè)=個人中至少有兩人生日相同 則=個人的生日全不相同 所以例5 從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？解：設(shè)表示“4只中至少有兩只配成一雙”從5雙不同的鞋子中任取4只共有種不同的取法，4只中沒有兩只能配成一雙的共有種不同的取法，所以 至少有兩只配成一雙的概率為 （法2）4只中恰好有兩只配成一雙共有種， 4只恰好配成兩雙共有種故4只中至少有兩只配成一雙的概率為 1.4 概率的公理化定義及概率的性質(zhì)幾何概型(等可能概型的推廣)如果隨機(jī)試驗中基本事件發(fā)生的可能

11、性大小一樣，我們?nèi)园凑展诺涓判偷姆椒ㄇ笫录l(fā)生的概率。例如： 一砣螺 海域鉆探山地山地挖寶例1 （會面問題）甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率？解：以分別表示甲、乙兩人到達(dá)的時間，兩人能會面的充要條件是 例2 浦豐投針問題：平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為，向平面任意投擲一枚長為的針，試求針與平行線相交的概率。公元1777年的一天，法國科學(xué)家D布豐（Dbuffon17071788）的家里賓客滿堂，原來他們是應(yīng)主人的邀請前來觀看一次奇特試驗的。試驗開始，但見年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來，紙上預(yù)先畫好了一

12、條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過，請大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我。”客人們不知布豐先生要干什么，只好客隨主便，一個個加入了試驗的行列。一把小針扔完了，把它撿起來又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！闭f到這里，布豐先生故意停了停，并對大家報以神秘的一笑，接著有意

13、提高聲調(diào)說：“先生們，這就是圓周率的近似值！” 眾賓嘩然，一時議論紛紛，個個感到莫名其妙；“圓周率？這可是與圓半點也不沾邊的呀！”解：以 表示針的中點與最近一條平行線間的距離， 表示針與平行線的夾角。 易知： 在平面上確定了一個矩形針與平行線相交，其充要條件為 由這個不等式可表示投針次，相交次， (蒙特卡洛法)下證概率具有可列可加性單位正方形，則 若 可化為兩兩互不相交的小區(qū)域， 每個小區(qū)域的面積為 由于總面積 再把它理解為概率就是這就說明概率具有可列可加性。集合類 布爾代數(shù)，i ii 若，則， iii 若， 則代數(shù)i ii 若，則，iii 若， 則事件域是布爾代數(shù)，也是代數(shù)通常代數(shù)上有定義、

14、非負(fù)、可列可加的集函數(shù)稱為測度。 所以，概率是定義在事件域上的一個測度。隨機(jī)試驗的模型1. 樣本空間2. 事件域 （代數(shù)）3.概率稱（ ，）為概率空間。定義1.2 概率是定義在代數(shù)上的一個非負(fù)、規(guī)范、可列可加的集函數(shù)。即：1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3.可列可加性對可列個兩兩互不相容的事件，有 概率的性質(zhì)（1） 不可能事件的概率為0， 即證明：， 所以 由定義1.2的3.(2) 概率具有有限可加性， 即：若，則證明： 由于由可列可加性及即得： （3） 對任一事件，證明： 所以（4） 若，則 證明：因為且 所以系： 若，則（5） 對任意兩個事件 有證明： 且系：推論：若是任意個隨機(jī)事件，則有 概率的

15、一般加法公式。1.5 條件概率，全概率公式和貝葉斯公式 在實際問題中，往往會遇到求：在事件B已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B).由于附加了條件，P(A)與 P(A|B)意義不同，一般 P(A|B) P(A) 先看一個例子例1 引例：擲一顆均勻骰子，A=擲出2點，B=擲出偶數(shù)點，P(A|B)=？解：擲一顆均勻骰子可能的結(jié)果有6種，且它們的出現(xiàn)是等可能的。P(A)=1/6由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，所以時試驗所有可能結(jié)果只有3種， 擲骰子而事件A包含的基本事件只占其中一種，故有P(A|B)= 1/3上例中 P(A|B) P(A) 它們不相等的原因在于“事件B已發(fā)生”這個新條件改變了樣

16、本空間. 如果B發(fā)生，那么使得A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)樣本點屬于AB，因此P(A|B)應(yīng)為P(AB)在P(B)中的“比重”這就好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.注：在上例中 恰有定義：若（ ，）是一個概率空間，且，則對任意的，稱為在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率。課堂練習(xí)： 已知某長壽村的人能活100歲的概率為0.5，活80歲的概率為0.7，若已知某人今年82歲，問此人能活到100歲的概率是多少？思考：條件概率與無條件概率之間的大小關(guān)系如何？由條件概率公式易得： （乘法公式）條件概率的性質(zhì)： 條件概率1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性3.可列可加性對可列個兩兩互不相容的

17、事件，有 此外，概率的運算性質(zhì)均適用于條件概率。例2：從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽 出2張 , 將其中1張放到驗鈔機(jī)上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔 , 求2 張都是假鈔的概率.解: 令 A 表示抽到2 張都是假鈔，B表示2 張中至少有1張假鈔。 則 所求概率是，所以人們在計算某一較復(fù)雜的事件的概率時，有時根據(jù)事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個或若干互不相容的部分的并，分別計算概率，然后求和.全概率公式是概率論中的一個基本公式，它使一個復(fù)雜事件的概率計算問題化繁就簡，得以解決. 定理1.2 設(shè)是一列互不相容的事件，且有 則對任一事件有（全概率公式）證明：顯然 例3 設(shè)有分別來自

18、三個地區(qū)的10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份. 隨機(jī)地取一個地區(qū)的報名表， 求抽出一份是女生表的概率.解：Ai = 報名表是第i區(qū) i1, 2, B= 抽到的報名表是女生表第二地區(qū)第三地區(qū) 103第一地區(qū) 715 255在第二地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率P(B|A2)=7/15由全概率公式在第三地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率P(B|A3)5/25在第一地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率P(B|A1)=3/10 P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) Bayes公式貝葉斯 貝葉斯(1702-1763)

19、 Thomas Bayes，英國數(shù)學(xué)家。1702年出生于倫敦，做過神甫。1742年成為英國皇家學(xué)會會員。1763年4月7日逝世。貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷、統(tǒng)計的估算等做出了貢獻(xiàn)。1763年發(fā)表了這方面的論著，對于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計都有很重要的作用。貝葉斯的另一著作機(jī)會的學(xué)說概論發(fā)表于1758年。貝葉斯所采用的許多術(shù)語被沿用至今。 定理1.3 若為一列互不相容的事件，且則對任一事件證明：例4 又若抽到的產(chǎn)品為次品，問是由甲廠生產(chǎn)的概率是多大？解： 由貝葉斯公式：1.6 獨立性定義1.5 對任意兩個事

20、件，若成立，則稱事件相互獨立。注意:從直觀上講,A與B獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響.推論1: A.B為兩個事件,若P(A)0, 則A與B獨立等價于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 則A與B獨立等價于P(A|B)=P(A).容易驗證（1） 若相互獨立，則，也相互獨立。證明： 同理可證其他。定義1.6 設(shè)是三事件，如果具有等式 則稱兩兩獨立。若兩兩獨立，且則稱相互獨立。注意： 相互獨立兩兩獨立，反之未必。見下例設(shè)有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4. 今任取一張，設(shè)事件為取到1或2，事件為取到1或3，事件為取到1或4，則 所以 容易驗證 兩兩相互獨立，但 推廣：一般地， 設(shè)是個事件，如果對于任意，任意，具有等式 則稱是個相互獨立的事件。在實際應(yīng)用中，對事件的獨立性是根據(jù)實際意義來判斷的。系統(tǒng)的可靠性問題一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性.系統(tǒng)由元件組成,常見的元件連接方式串聯(lián) 21并聯(lián) 12設(shè)兩系統(tǒng)都是由 4 個元件組成,每個元件正常工作的概率為 p , 每個元件是否正常工作相互獨立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性 S1: A1A2B2B1 S2: A1A2B2B1 1.7 貝努