八年級數(shù)學(xué)上浙教版一元一次不等式知識要點典型例題習(xí)題講解

1、浙教版一元一次不等式知識要點及典型例題、習(xí)題講解一、知識點要求1、理解不等式的概念和基本性質(zhì)、一元一次不等式的概念、不等式的解集（不等式的解）2、會解一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示不等式的解集；熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟和根據(jù)；掌握一元一次不等式的應(yīng)用題的解法3、理解一元一次不等式組的概念，及不等式組的解的概念（組成不等式組的各個不等式的解的公共部分）；會解一元一次不等式組，并能在數(shù)軸上表示不等式組的解，進一步得出不等式組解的規(guī)律：同大取大，同小取小，比大得小，比小得大取中間，比大得大，比小得小，不等式組無實數(shù)解；掌握一元一次不等式組的應(yīng)用題。二、重要的數(shù)學(xué)思想：1、通過將實際生活問

2、題轉(zhuǎn)化成不等式等數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 2、通過在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集與運用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集，進一步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想。3、類比思想：把兩個（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。這種數(shù)學(xué)思想通常稱為“類比”，它體現(xiàn)了“不同事物之間存在內(nèi)部聯(lián)系”的唯物辯證觀點，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理和解題方法的重要手段之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的運用。 在本章中，類比思想的突出運用有：1、不等式與等式的性質(zhì)類比。 2、不等式的解與方程的解的類比 3、不等式解法與方程的解法類比。 注意：解一元一次不等式與解一元

3、一次方程的步驟雖然完全相同，但是要注意如果乘數(shù)或除數(shù)是負(fù)數(shù)時，解不等式時要改變不等號的方向。 典型例題一、解不等式的通法與技巧解一元一次不等式的五個基本步驟和根據(jù)如下：步驟根據(jù)12去括號單項式乘多項式法則34合并同類項，得axb，或axb（a0）合并同類項法則5同學(xué)們在熟練掌握一元一次不等式解法的五個步驟后，可結(jié)合一元一次不等式的特點，采取一些靈活、簡捷的方法與技巧，能使解題事半功倍。（一）、湊整法 例1解不等式。 分析：根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整系數(shù)。 解：兩邊同乘以4，得x+302x. x1510x. 7x14. 即x2. （三）、裂項法例3解不等式。分析：本題若采

4、用去分母法，步驟較多，由除法意義，裂項相合并，過程簡潔。 解：原不等式變形，得。 移項、合并，得。 （四）、整體處理法 例4解不等式。 解：視“3x2”為一個整體， 變形，得，移項合并，將， 。 二、單純解不等式組1、 2、3、 4、5、若的解集是（ ）a、 b、 c、a，則a的取值范圍是_；解：（1） a2a, a2a0, 即a(a1)0, 或 解得a1或a0。 三、帶有附加條件的不等式（組）的解例1、求不等式(3x+4)37的最大整數(shù)解。 分析：此題是帶有附加條件的不等式，這時應(yīng)先求不等式的解集，再在解集中，找出滿足附加條件的解。解： (3x+4)37 去分母： 3x+4614移項： 3x

5、144+6合并同類項： 3x16 系數(shù)化為1： x5 x5的最大整數(shù)解為x=5 例2、x取哪些非負(fù)整數(shù)時，代數(shù)式3的值不小于代數(shù)式的值？解：依題意得：3 去分母：242(x1)3(x+2) 去括號： 242x+23x+6 合并同類項：5x20 系數(shù)化為1： x4 符合條件的非負(fù)整數(shù)為x=0，1, 2, 3, 4. 答：當(dāng)x取0，1, 2, 3, 4時，代數(shù)式3的值不小于代數(shù)式的值。（很多人會一不小心就把0弄丟了）注意：要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“至多”、“至少”、“非負(fù)數(shù)”、“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”、“負(fù)整數(shù)”這些描述不等關(guān)系的語言所對應(yīng)的不等號各是什么。求帶有附

6、加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的解，即這個不等式的解集，然后再從中篩選出符合要求的解。四、不等式（組）中待定字母的取值范圍例1、當(dāng)k取何值時，方程x2k=3(xk)+1的解為負(fù)數(shù)。 分析：應(yīng)先解關(guān)于x的字母系數(shù)方程，即找到x的表達(dá)式，再解帶有附加條件的不等式。 解：解關(guān)于x的方程：x2k=3(xk)+1 去分母： x4k=6(xk)+2 去括號： x4k=6x6k+2 移項： x6x=6k+2+4k 合并同類項： 5x=22k 系數(shù)化為1：x=. 要使x為負(fù)數(shù)，即x=0， 2k20, k1， 當(dāng)k0, m4. 當(dāng)m，則p的取值范圍是_.例4、如果不等式組的解集是x7，則n的取值范圍是

7、（ ） a、n7 b、n7 c、n=7 d、n7例5、如果關(guān)于x的不等式(2ab)xa5b0的解集為xb的解集。分析：由不等式(2ab)xa5b0的解集為x，觀察到不等號的方向已作了改變，故可知(2ab)0的解集為x，可知：2ab0，且，得b=。結(jié)合2ab0，b=，可知b0，ab的解集為x。例6、已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有5個，則a的取值范圍是_。解析：由原不等式組可得，因為它有解，所以解集是，此解集中的5個整數(shù)解依次為1、0、，故它的解集在數(shù)軸上表示出來如圖1所示，于是可知a的取值范圍為。圖1（同類模仿）已知關(guān)于x的不等式組只有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 _()（同類模仿）已知不等

8、式4xa0，只有四個正整數(shù)解1，2，3，4，那么正數(shù)a的取值范圍是什么？根據(jù)題意畫出直觀圖示如下：因為不等式只有四個正整數(shù)解1，2，3，4，設(shè)若在4的左側(cè)，則不等式的正整數(shù)解只能是1，2，3，不包含4；若在5的右側(cè)或與5重合，則不等式的正整數(shù)解應(yīng)當(dāng)是1，2，3，4，5，與題設(shè)不符。所以可在4和5之間移動，能與4重合，但不能與5重合。因此有45，故16a20。五、不等式與不等式組的應(yīng)用題用一元一次不等式組解決實際問題的步驟：審題，找出不等關(guān)系；設(shè)未知數(shù)；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合題意的值；作答。例1、某校為落實市教育局提出的“全員育人，創(chuàng)辦特色學(xué)?！钡臅h精神，決定舉辦“讀書節(jié)”活動

9、，在這次讀書活動中，小明受到老師的鼓舞，每天所看的書比原計劃多5 頁，因而他在2天內(nèi)讀書超過28頁，后來他真正體會到讀書的樂趣，積極性大增，每天比原計劃多讀了10頁，但照此速度4天他所讀的頁數(shù)還沒有達(dá)到84頁。問小明原計劃每天讀多少頁書？分析：1.審題、設(shè)未知數(shù)： 2.找不等關(guān)系： 3.列不等式組： 4.解不等式組： 5.根據(jù)實際情況，寫出答案. 6.一定要答例2、市新華書店聽說了該校的讀書節(jié)活動，決定給一年級的小朋友免費贈送若干套十萬個為什么。如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班級每個班分13套，那么最后一個班級雖然分有十萬個為什么，但不足4套問：一年級有多少個班級？十萬個為什么共有多

10、少套？分析： 不等關(guān)系為： 關(guān)于用不等式（組）解決的應(yīng)用題常見類型（一）分配問題：通常把量少的那個設(shè)為未知數(shù)，那么量大的那個可以用該未知數(shù)表示1、一群女生住若干間宿舍，每間住4人，剩下19人無房?。幻块g住6人，有一間宿舍住不滿。如果有x間宿舍，那么可以列出關(guān)于x的不等式組： （一元一次不等式組）可能有多少間宿舍、多少名學(xué)生？解：依題意得，或14x+196(x1)6哪一種更容易理解？2、將不足40只雞放入若干個籠中，若每個籠里放4只，則有一只雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，且最后一籠不足3只。問有籠多少個？有雞多少只？（二）、速度、時間問題1、爆破施工時，導(dǎo)火索燃燒的速度是0.8

11、cm/s，人跑開的速度是5m/s，為了使點火的戰(zhàn)士在施工時能跑到不小于100m的安全地區(qū)，導(dǎo)火索至少需要多長？ （一元一次不等式）解：很多人會“設(shè)導(dǎo)火索至少需要x米長”，注意這種設(shè)法是錯誤的。應(yīng)“設(shè)導(dǎo)火索需要x米長”。然后列出不等式，求出解，根據(jù)解，再決定取值是至少還是至多，還是大于等，以下類推。2、王凱家到學(xué)校2.1千米，現(xiàn)在需要在18分鐘內(nèi)走完這段路。已知王凱步行速度為90米/ 分，跑步速度為210米/分，問王凱至少需要跑幾分鐘？（一元一次不等式）3、抗洪搶險，向險段運送物資，共有120公里原路程，需要1小時送到，前半小時已經(jīng)走了50公里后，后半小時速度多大才能保證及時送到？（一元一次不等

12、式）（三）、工程問題1、用每分鐘抽1.1噸水的a型抽水機來抽池水，半小時可以抽完；如果改用b型抽水機，估計20分鐘到22分可以抽完。b型抽水機比a型抽水機每分鐘約多抽多少噸水？2、某工人計劃在15天里加工408個零件，最初三天中每天加工24個，問以后每天至少要加工多少個零件，才能在規(guī)定的時間內(nèi)超額完成任務(wù)？ 3、一本英語書98頁，張力讀了7天(一周)還沒讀完,而李永不到一周就讀完了.李永平均每天比張力多讀2頁，張力每天讀多少頁?（四）、價格問題1、商場購進某種商品m件，每件在進價的基礎(chǔ)上，加價30元售出全部商品的65%，然后再降價10%，這樣每件仍可獲利18元，又售出全部商品的25%。(1)試

13、求該商品的進價和第一次的售價；(2)為了確保這批商品總的利潤率不低于25%，剩余商品的售價應(yīng)不低于多少元？解：該商品的進價x (x+30)(110%)=x+18,x=90 第一次的售價是90+30=120元 剩余商品的售價為y元 120*65%m+120*(110%)*25%m+y*(165%25%)m90m*(1+25%) y75 剩余商品的售價應(yīng)不低于75元2、某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000元。現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？（五）、其他問題 1.有一個兩

14、位數(shù)，其十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小2，已知這個兩位數(shù)大于20且小于40，求這個兩位數(shù)2、某公司需刻錄一批光盤（總數(shù)不超過100張），若請專業(yè)公司刻錄，每張需10元（包括空白光盤費）；若公司自刻，除設(shè)備租用費200元以外，每張還需成本5元（空白光盤費）。問刻錄這批光盤，是請專業(yè)公司刻錄費用省，還是自刻費用??？ 解：1. 假設(shè)：請專業(yè)公司刻錄費用省 10x200+5x x40 2. 假設(shè)：公司自己刻錄費用省 200+5x10x x40 當(dāng)刻錄張數(shù)小于40張時，請專業(yè)公司刻費用省 當(dāng)刻錄張數(shù)大于40張時，公司自刻費用省 當(dāng)刻錄張數(shù)等于40張時，兩者費用一樣多3、考試共有25道選擇題，做對一題得4分，做

15、錯一題減2分，不做得0分，若小明想確?？荚嚦煽冊?0分以上，那么，他至少做對多少道題？ 解：設(shè)答對x題，4x2(25x)60 x18.3x應(yīng)該取整數(shù)，所以應(yīng)該是19題4、某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：3公里以內(nèi)（含3公里）收費10元，超過3公里的部分每公里收費2元。超過起步里程10公里以上的部分加收50%，即每公里3元。（不足一公里以一公里計算）（1）小明第一次乘坐出租車行駛4.1公里應(yīng)付車費多少元？（相當(dāng)于5公里的費用）14元（2）若小明乘坐出租車行駛14.9公里，問應(yīng)付費多少元？（相當(dāng)于15公里的費用）39元（3）小明家距離學(xué)校13.1千米，周末小明身邊帶了31元錢，則小明從學(xué)校坐出租車到家的錢

16、夠嗎？如果夠，還剩多少錢？若不夠他至少要先走多少公里路？（不夠，還要走1.1千米）（4）若小明某次乘出租車花去39元，那么他所乘的路程有多遠(yuǎn)？解：（3）若路程恰好為10公里，所需費用為10+（103）7=24元設(shè)31元錢最多行x千米，依題意得，24+3（x10）31，x12，由于不足一公里以一公里計算，因此31元最多行12千米。故錢不夠，至少還要走1.1千米。（4）39324+3（x10）39，解得，14x15（六）、方案選擇與設(shè)計1某廠有甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素c含量及購買這兩種原料的價格如下表：原料維生素c及價格甲種原料乙種原料維生素c/（單位/千克）60010

17、0原料價格/（元/千克）84 現(xiàn)配制這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素c，并要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，（1）設(shè)需用千克甲種原料，寫出x應(yīng)滿足的不等式組。（2）按上述的條件購買甲種原料應(yīng)在什么范圍之內(nèi)？（3）試寫出最省錢的配制方案解：（1）需用x千克甲種原料，則需乙種原料（10x）千克，依題意得，（2）解得6.4x8（3）因為甲種原料每千克8元，乙種原料每千克4元，所以甲種原料盡量少時，最省錢由（2）可得，甲需6.4千克，則乙需3.6千克2、某校辦廠生產(chǎn)了一批新產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種銷售方案，方案一：在這學(xué)期開學(xué)時售出該批產(chǎn)品，可獲利30000元，然后將該批產(chǎn)品的投入資金

18、（生產(chǎn)該批產(chǎn)品支出的總費用）和已獲利30000元進行再投資，到這學(xué)期結(jié)束時再投資又可獲利4.8；方案二：在這學(xué)期結(jié)結(jié)束時售出該批產(chǎn)品可獲利35940元，但要付投入資金的0.2作保管費，問： （1）當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金是多少元時，方案一和方案二的獲利是一樣的？ （2）按所需投入資金的多少討論方案一和方案二哪個獲利多。 解：(1)當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金是x元，依題意得：3000+8%（x+30000）=359400.2% 解得x=90000 答：（2）設(shè)當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金為x元1.若方案一比方案二獲利多時，則 3000+8%（x+30000）359400.2% 解得x900002.若方案一與方案二獲利一

19、樣多時，則3000+8%（x+30000）=359400.2% 解得x=900003.若方案二比方案一獲利多時，則3000+8%（x+30000）359400.2% 解得x90000當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金不足90000元時，選擇方案二比方案一獲利多；當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金超過90000元時，選擇方案一比方案二獲利多；當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金剛好90000元時，選擇方案一、方案二均可。3、某園林的門票每張10元，一次使用，考慮到人們的不同需要，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買年票”的方法。年票分為a、b、c三種：a年票每張120元，持票進入不用再買門票；b類每張60元，持

20、票進入園林需要再買門票，每張2元，c類年票每張40元，持票進入園林時，購買每張3元的門票。、如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進入該園林的次數(shù)最多的購票方式。、求一年中進入該園林至少多少次時，購買a類年票才比較合算。解：（1）根據(jù)題意，需分類討論因為80120，所以不可能選擇a類年票；若只選擇購買b類年票，則能夠進入該園林(次)若只選擇購買c類年票，則能夠進入該園林13（次）若不購買年票，則能夠進入該園林（次）所以，計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，可使進入該園林的次數(shù)最多的購票方式是選擇購買c類年票（2）設(shè)一年中進入該園林

21、至少超過x次時，購買a類年票比較合算，根據(jù)題意，得解得原不等式組的解集為x30答：一年中進入該園林至少超過30次時，購買a類年票比較合算4、在各方努力下，“讀書節(jié)“活動轟轟烈烈地開展著，為了讓學(xué)生們進一步養(yǎng)成讀書的好習(xí)慣，該校決心打造“書香校園”，計劃用不超過1900本科技類書籍和不超過1620本人文類書籍組建中、小型兩類圖書角共30個.已知組建一個中型圖書角需科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建一個小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本（1）符合題意的組建方案有幾種？請你幫學(xué)校設(shè)計出來；（2）若組建一個中型圖書角的費用是860元，組建一個小型圖書角的費用是500元，試說明（1）中

22、哪種方案費用最低，最低費用是多少元？分析：一個中型圖書角需x個中型圖書角需一個小型圖書角需（30x）個小型圖書角需共需書籍科技類（本）人文類（本）解：（1）設(shè)組建中型圖書角x個，則組建小型圖書角為（30x）個由題意，得解這個不等式組，得 18x20由于x只能取整數(shù)，x的取值是18，19，20當(dāng)x=18時，30x=12；當(dāng)x=19時，30x=11；當(dāng)x=20時，30x=10故有三種組建方案：方案一，組建中型圖書角18個，小型圖書角12個；方案二，組建中型圖書角19個，小型圖書角11個；方案三，組建中型圖書角20個，小型圖書角10個（2）方法一：假設(shè)總費用為w，w=860x+570（30x）=29