高等電磁理論

1、高等電磁理論作業(yè)一 舉例說(shuō)明為什么引入位函數(shù)，怎樣引入。問(wèn)題：有源區(qū)非其次矢量波動(dòng)方程或非其次矢量赫姆赫茲方程中的場(chǎng)源分布形式十分復(fù)雜，直接求比較困難。為了求解有源區(qū)場(chǎng)，可仿照經(jīng)太長(zhǎng)引入矢量和標(biāo)量位函數(shù)求解，一下將介紹利用各種位函數(shù)求解電磁場(chǎng)的方法，從而得出各種位函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用條件。分析：1.矢量磁位A和標(biāo)量電位在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有電型源，由于引入矢量磁位A滿足將上式帶入法拉第電磁感應(yīng)定律，得：由于標(biāo)量函數(shù)的旋度為零，引入標(biāo)量位，滿足由上式得由此可見(jiàn)，只要求出輔助位A和，則可根據(jù)以上分析求解出電磁場(chǎng)。（1）特點(diǎn)：A和是不唯一的，均具有任意性，現(xiàn)取另一標(biāo)量函數(shù)U,定義轉(zhuǎn)換關(guān)系:

2、 將上式代入，得到：可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)變換，場(chǎng)量仍不變，利用規(guī)范函數(shù)U的任意性，可以構(gòu)成無(wú)限多個(gè)輔助位A和，但卻仍得到同樣的電磁場(chǎng)，也就是說(shuō)，雖然A和是不唯一的，均具有任意性，大門(mén)由于存在規(guī)范不變性，并不影響電磁場(chǎng)的唯一性。同時(shí)利用此規(guī)范，可靈活的規(guī)定A和之間的關(guān)系，以簡(jiǎn)化輔助位A和的方程。矢量磁位A和標(biāo)量電位在庫(kù)侖規(guī)范下滿足一下關(guān)系：在庫(kù)侖規(guī)范下矢量磁位A的源始電流密度的無(wú)散部分或橫向電流：（t電流密度矢量的無(wú)散部分）（2）優(yōu)越性：通過(guò)在規(guī)范條件下，A和之間的關(guān)系： ； ； （3）矢量位分量表示的電磁場(chǎng)a.條件：對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)；當(dāng)同時(shí)存在電型源和磁型源時(shí)，求出矢量電位忽然矢量磁位A后?？傠姶艌?chǎng)為電型源和

3、磁型源產(chǎn)生的場(chǎng)之和，即： 對(duì)于無(wú)源區(qū)可得 在球圓坐標(biāo)系中，如果取 。 ，帶入1，2式中得Hr=0, ，如果取代入，式。Er=0, ，這是關(guān)于人的TE波，v滿足齊次標(biāo)量亥姆霍次方程在直角坐標(biāo)系?。喝绻。和砜傻迷趫A柱坐標(biāo)系下，表示波是關(guān)于z的TM波，表示的波也是關(guān)于z的TE波。b.特點(diǎn)和優(yōu)越性 在無(wú)源區(qū)，對(duì)關(guān)于z的TE波，在直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系下就可以用一個(gè)變量，Az來(lái)表示，同理可知關(guān)于x的TE，TM在兩坐標(biāo)系的情況，y的TE,TM在兩坐標(biāo)系的情況。 對(duì)于德拜位函數(shù)的引用是球坐標(biāo)系中，也只需要引用一個(gè)標(biāo)量的TE波引用rv，r的TM波引用ru 通過(guò)引用這些標(biāo)量，就能夠簡(jiǎn)化E和H的計(jì)算復(fù)雜度。在

4、電磁場(chǎng)問(wèn)題中，有時(shí)采用矢量磁位和矢量電位的各一對(duì)應(yīng)分量作為獨(dú)立標(biāo)量是十分有利的。舉例：對(duì)直角坐標(biāo)系下取 ，。我們可以得，。求復(fù)雜的電場(chǎng)問(wèn)題就可以簡(jiǎn)化。 對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)問(wèn)題直接就與一個(gè)有關(guān)，通過(guò)齊次標(biāo)量亥姆霍次方程求得。2.矢量電位及標(biāo)量磁位（1） 條件：在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有磁型源，由引入矢量電位及標(biāo)量磁位由標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度為零，引入標(biāo)量磁位。使得其滿足（2） 特點(diǎn)：矢量電位及標(biāo)量磁位和矢量電位A及標(biāo)量磁位具有對(duì)偶性，可是和也具有唯一性。 引入標(biāo)量函數(shù),定義變量函數(shù)U故：和不具有唯一性。是任意的。但是場(chǎng)量任然是不變的，利用對(duì)偶原理：在的條件下，矢量電位的源是磁流密度的無(wú)散射部分（

5、3） 優(yōu)越性：在洛倫磁規(guī)范條件下：通過(guò)以上4式可以計(jì)算的解。3 赫茲矢量 赫茲矢量特別適合于計(jì)算發(fā)生極化和磁化時(shí)產(chǎn)生的二次場(chǎng),令 為電赫茲矢量，為磁赫茲矢量 在無(wú)源區(qū)理想介質(zhì)中，方程中及時(shí)極化強(qiáng)度，就是磁化強(qiáng)度，說(shuō)明電赫茲矢量和磁赫茲矢量分別是由極化強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度產(chǎn)生的場(chǎng) 二.推導(dǎo)等效原理和感應(yīng)定理公式及應(yīng)用等效原理： （一）公式推導(dǎo) 等效原理是基于唯一性定理建立的電磁場(chǎng)理論的另一個(gè)重要原理，可用下圖進(jìn)行介紹：(1)是原課題，界面S內(nèi)有電流，磁流源，這些源在S面內(nèi)部和外部產(chǎn)生和，設(shè)一個(gè)等效課題，在S面上設(shè)有等效電磁流源，滿足在S面外產(chǎn)生與原課題相同的場(chǎng)分布，而在面內(nèi)場(chǎng)為0； SS(1) (2)

6、 下面介紹常用的三種等效形式，具體如下圖所示SS（a） (b)圖（a）為原問(wèn)題第一種等效：如圖（b）所示，假設(shè)S內(nèi)的場(chǎng)為0；S上有等效電磁源，滿足 ； ；由邊界連續(xù)性條件可知，此等效問(wèn)題S外的場(chǎng)切向分量與原問(wèn)題相同，根據(jù)唯一性定理可知此問(wèn)題與原問(wèn)題在S外的場(chǎng)分布式相同的，因?yàn)镾內(nèi)的場(chǎng)為0，因而我們可進(jìn)一步設(shè)S內(nèi)填充與S外相同的均勻介質(zhì)，這樣原問(wèn)題便等效成S面上等效電磁源，在均勻介質(zhì)中產(chǎn)生場(chǎng)地問(wèn)題。第二種等效：如圖（c）所示，假設(shè)S內(nèi)填充理想導(dǎo)電體，這樣S內(nèi)場(chǎng)為0;由互易定理可知理想導(dǎo)體面上的電流源不會(huì)產(chǎn)生輻射，故我們只需考慮的作用，使其在S外產(chǎn)生的場(chǎng)與原問(wèn)題相同，需滿足，由邊界連續(xù)性條件可知，

7、此等效問(wèn)題S外的場(chǎng)切向分量與原問(wèn)題相同，這樣原問(wèn)題便等效成一理想導(dǎo)電體上等效磁流產(chǎn)生場(chǎng)地問(wèn)題。SS電導(dǎo)體磁導(dǎo)體 (c) (d)第三種等效：如圖（d）所示，假設(shè)S內(nèi)填充理想導(dǎo)磁體，這樣S內(nèi)場(chǎng)為0;由互易定理可知理想磁體面上的磁流源不會(huì)產(chǎn)生輻射，故我們只需考慮的作用，使其在S外產(chǎn)生的場(chǎng)與原問(wèn)題相同，需滿足，由邊界連續(xù)性條件可知，此等效問(wèn)題S外的場(chǎng)切向分量與原問(wèn)題相同，這樣原問(wèn)題便等效成一理想導(dǎo)磁體上等效磁流產(chǎn)生場(chǎng)地問(wèn)題。第一種的解析解：在自由空間中根據(jù)（1）選擇，因?yàn)闃?biāo)量亥姆霍茲的標(biāo)量格林函數(shù)為：其中為源點(diǎn)位置，代表場(chǎng)點(diǎn)位置，于是 （2） （3）也可以通過(guò)求解 得到，即 （4）有兩種形式，一種是將

8、（2），（3）代入（1）中得 （5）另一種是將（2），（4）代入（1）中得 （6）從而得到 為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔，引入記號(hào)則電磁場(chǎng)便可寫(xiě)作 對(duì)于（5），在等效源無(wú)需作用的情況下，在某些情況下能化簡(jiǎn)場(chǎng)得到簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，此表達(dá)形式一般用于計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)：對(duì)于（6），對(duì)場(chǎng)點(diǎn)作用在格林函數(shù)G中，對(duì)源點(diǎn)作用在等效源點(diǎn)，一般用于計(jì)算近場(chǎng)。用相同的方法可以求出等效磁流產(chǎn)生的場(chǎng)：根據(jù)線性疊加原理，電磁流共同產(chǎn)生的場(chǎng)便為（二）應(yīng)用舉例介質(zhì)體的積分方程S如圖：S面為介質(zhì)體的表面。入射波Ei，Hi，可以透過(guò)S面刀達(dá)介質(zhì)體內(nèi)部。在求介質(zhì)體外V1去空間一點(diǎn)的電磁場(chǎng)仍可用 來(lái)求。即有：V1區(qū)：在V2區(qū)：入射場(chǎng)就是S面上源分布的貢獻(xiàn)，則

9、V2區(qū)空間一點(diǎn)的電磁場(chǎng)為：V2區(qū)： 上式中：gi= （i=1，2）在S面上場(chǎng)切向分量連續(xù)，有：又D得法向分量連續(xù)，即：以下是用面積分方程求解S面上的電磁流密度Js和Ms。由圖可知，；由式得：（式相加）同理，對(duì)磁場(chǎng)有：式左邊是V1空間一點(diǎn)（r）的入射場(chǎng)與n的叉乘，右邊面積分的E,H是S面上總電磁場(chǎng)的切向分量，n是S面得外法向單位矢量。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)落在S面上時(shí)，中的面積分s改用為主值積分，即：等效電流源，磁流源： 將，代入,可得介質(zhì)體適用的積分方程：感應(yīng)原理感應(yīng)原理是電磁理論中有關(guān)散射場(chǎng)與入射場(chǎng)關(guān)系的一個(gè)重要的原理。（一）公式推導(dǎo)：感應(yīng)原理提供了一種由已知投射到障礙物上的入射場(chǎng)來(lái)求其反射場(chǎng)或散射場(chǎng)的方法

10、。設(shè)，表示無(wú)障礙物存在時(shí)給定源激發(fā)的場(chǎng)，即入射場(chǎng)，表示有障礙物存在時(shí)給定的源和障礙物上的感應(yīng)源激發(fā)的總場(chǎng)。如圖a所示，總場(chǎng)與入射場(chǎng)之差：障礙物ns(a) S(b)障礙物 ； 成為障礙物的散射場(chǎng)，散射場(chǎng)是障礙物表面上的感應(yīng)源輻射的場(chǎng)對(duì)于障礙物之外區(qū)域的散射場(chǎng)來(lái)說(shuō)，可將實(shí)際的邊值問(wèn)題用在障礙物之反保持散射場(chǎng)。而在障礙物內(nèi)保持總場(chǎng)這樣的邊值問(wèn)題等效。這是為保障兩問(wèn)題在障礙物之外的散射場(chǎng)和障礙物內(nèi)的總場(chǎng)不變。則在障礙物表面上應(yīng)有等效源,。如圖b,利用等效原理，在障礙物表面上的等效源為； 由可知：； 兩式說(shuō)明，數(shù)值等于入射場(chǎng)切向分量的等效源在障礙內(nèi)激發(fā)總場(chǎng)，在障礙物外激發(fā)散射場(chǎng)當(dāng)障礙物為理想導(dǎo)體時(shí)，得等

11、效面磁流為：因此當(dāng)障礙物為理想導(dǎo)電體，感應(yīng)原理中只需考慮等效面磁流。（二）應(yīng)用舉例平面波垂直投射到位于x=0平面，邊長(zhǎng)為a的矩形導(dǎo)電平板上，此平面波，應(yīng)用感應(yīng)原理散射場(chǎng)的等效源為，=； =散射場(chǎng)可以看成是由導(dǎo)電板存在時(shí)，其左右兩側(cè)外表面的面磁流激發(fā)的。為近似計(jì)算導(dǎo)電平板左右兩側(cè)外表面的面磁流輻射的場(chǎng)，用無(wú)限大的導(dǎo)電平板代替有限大的導(dǎo)電平板，背向場(chǎng)源一側(cè)的面磁流對(duì)后向散射場(chǎng)將無(wú)貢獻(xiàn)，利用鏡像原理，后向散射場(chǎng)可用兩倍的面向場(chǎng)源一側(cè)的面磁流計(jì)算。如果導(dǎo)電平板的尺寸遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，感應(yīng)面磁流源課近似為方向沿z的磁流元根據(jù)對(duì)偶原理，由電流元的輻射磁場(chǎng)可得磁流元的輻射電場(chǎng)，也就是導(dǎo)電平板的后向磁場(chǎng)三Strat

12、ton-Chu公式的推導(dǎo)在電磁場(chǎng)問(wèn)題中，如果考慮所有的有源區(qū)域是均勻的各向同性的線性媒質(zhì)，時(shí)諧電磁場(chǎng)非齊次矢量亥姆霍茲方程 E-k2E=-jJ-Jm (1) H-k2H=-jJm-J (2) J SJmS V考慮到一般的情況，設(shè)區(qū)域是由表面S以及外表面S所圍成的，如圖所示。下面利用矢量格林定理求解。矢量格林定理為：VQP-PQdV=S+SPQ-QPdS (3) 式中封閉面的法向指向區(qū)域V之外。P和Q為在區(qū)域V內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在邊界上具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的任意矢量函數(shù)。求解方程（2）時(shí)，令P=E，Q=ag，a為任意常矢量，g為自由空間格林函數(shù)。為保證Q在區(qū)域V內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，以取以r為為球心

13、半徑為b的小球面 將r點(diǎn)排除在格林定理考慮體積之外。于是（3）式成為：VgaE-E(ag)dV=S+S+S0Eag-gaEdS (4)利用矢量恒等式A=A-2A 式（1），并考慮到在區(qū)域V中自由空間格林函數(shù)g滿足齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程，上式左側(cè)的被積函數(shù)為：gaE-Eag=a-jJg-gJm-Eag (5)應(yīng)用矢量恒等式fA=fA+fA 及 fA=fA+fA上式右側(cè)的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別為：gJm=gJm+JmgEag=Eag-agE將以上兩式代人（4）式，并考慮到E=/ ，（3）式變?yōu)椋篴V(jgJ+Jmg-g)dV+aVgJmdV+VEagdV=-S+S+S0Eag- gaEendS (6)利

14、用矢量恒等式AB=BA-AB ，上式左邊第二項(xiàng)為：aVgJmdV=VgJmadV=S+S+S0gJmaendS=S+S+S0gJmendS (7) （5）式左側(cè)第三項(xiàng)為：VEagdV= aS+S+S0(enE)gdS (8)的側(cè)亥姆霍茲雙層131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313

15、131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313再對(duì)（5）式右側(cè)的被積函數(shù)進(jìn)行變換。第一項(xiàng)為：Eagen=(enE)g a第二項(xiàng)為 gaEen=jgaenH+ga(enJm)由于a是任意的常矢量，于是，（5）式成為：V(jgJ+Jmg-g)dV=S+S+S0jgenH+(enE)gdS (9)當(dāng)小球面S的半徑趨于零時(shí)，可以證明，上式右側(cè)在球面S上的積分趨于E(r)。為了習(xí)慣起見(jiàn)，交換變量r和r的位置，上式變?yōu)椋篍r=V(-jgJ(r)+Jmrg+g)dV+S+S+S0jenHrg+(enE(r)g+(enE(r)gdS (

16、10)對(duì)于磁場(chǎng)，類(lèi)似可以得到：Hr=V(-jgJm(r)+Jrg+mrg)dV+S+S+S0jenErg+(enH(r)g+(enH(r)gdS (11)以上兩式稱(chēng)為Stratton-Chu公式。公式表明，觀察點(diǎn)的電磁場(chǎng)由兩部分積分貢獻(xiàn)組成，一部分為觀察點(diǎn)所在區(qū)域中的源的貢獻(xiàn)，觀察點(diǎn)所在區(qū)域中的源包括電流密度、磁流密度、電荷、磁荷；另一部分為觀察點(diǎn)所在區(qū)域外的源的貢獻(xiàn)，這部分貢獻(xiàn)取決于邊界電磁場(chǎng)的切向分量和法向分量。四由Stratton-Chu公式推導(dǎo)電磁場(chǎng)積分方程 對(duì)于任意形狀物體散射問(wèn)題的有效解法是建立散射問(wèn)題的積分方程，然后利用對(duì)于積分方程有效的數(shù)值解法，例如矩量法等，求出數(shù)值解。在散射

17、問(wèn)題中，可以取散射體的表面或包圍散射體的適當(dāng)?shù)拈]合面作為S面，而將面擴(kuò)展到遠(yuǎn)處取為半徑十分大的球面，并使場(chǎng)源位于面外。這時(shí)由于體積V內(nèi)沒(méi)有體分布的場(chǎng)源，電磁場(chǎng)的積分表達(dá)式中的體積分為零，僅有面積分項(xiàng)： (1) (2)式中閉合面的法向單位矢量的正方向指向 V內(nèi)。在此散射問(wèn)題中場(chǎng)源只可能存在于兩個(gè)區(qū)域：一個(gè)是面以外的區(qū)域，入射波就是由這個(gè)區(qū)域中的源產(chǎn)生的；另一個(gè)是S內(nèi)的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域的源產(chǎn)生散射波。在大球面上，被積函數(shù)中的電磁場(chǎng)可表示為入射場(chǎng)與散射場(chǎng)之和，即 （3）下面證明散射場(chǎng)在大球面上的積分貢獻(xiàn)為零。當(dāng)面積分在大球面上進(jìn)行時(shí)，是端點(diǎn)在很大（趨近于無(wú)限大）球面上的矢徑，而r是端點(diǎn)在有限遠(yuǎn)處的矢徑

18、，因此格林函數(shù)近似為 （4）這樣式（1）中在大球面上后兩項(xiàng)可化為 顯然有 由此可見(jiàn)，散射場(chǎng)對(duì)上的積分沒(méi)有貢獻(xiàn)，對(duì) 上的積分有貢獻(xiàn)的只是入射場(chǎng)，于是式（1）可化為（5）同理 由式（3），就可以得到散射場(chǎng)的積分表達(dá)式 （6） （7）可以看出，要求出散射場(chǎng)，必須求出s面上的電磁場(chǎng)分布。求解S面上的電磁場(chǎng)分布可以通過(guò)建立在S面上的電磁場(chǎng)分布的積分方程來(lái)解決。 為了建立S面上電磁場(chǎng)分布的積分方程，須將式（4）、（5）中的場(chǎng)點(diǎn)r移到S面上，但這式S面上的面積分會(huì)發(fā)生奇異性。因此需要用小球面包圍r點(diǎn)，并將它一起移到S面上，如圖： 由于小球面使S面上與面相鄰接的部分發(fā)生彈簧變形，計(jì)算S面上的積分時(shí)須將其分為兩部分：與相鄰的部分和其余部分。顯然對(duì)小球面的面積分有：如果S面的切平面在S面上是處處連續(xù)變化的，在的極限下，面可以看做是以r點(diǎn)為中心的小平面，但由于與面的法向相