高等電磁理論

1、高等電磁理論作業(yè)一 舉例說明為什么引入位函數(shù)，怎樣引入。問題：有源區(qū)非其次矢量波動方程或非其次矢量赫姆赫茲方程中的場源分布形式十分復(fù)雜，直接求比較困難。為了求解有源區(qū)場，可仿照經(jīng)太長引入矢量和標(biāo)量位函數(shù)求解，一下將介紹利用各種位函數(shù)求解電磁場的方法，從而得出各種位函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用條件。分析：1.矢量磁位A和標(biāo)量電位在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有電型源，由于引入矢量磁位A滿足將上式帶入法拉第電磁感應(yīng)定律，得：由于標(biāo)量函數(shù)的旋度為零，引入標(biāo)量位，滿足由上式得由此可見，只要求出輔助位A和，則可根據(jù)以上分析求解出電磁場。（1）特點(diǎn)：A和是不唯一的，均具有任意性，現(xiàn)取另一標(biāo)量函數(shù)U,定義轉(zhuǎn)換關(guān)系:

2、 將上式代入，得到：可見，經(jīng)過變換，場量仍不變，利用規(guī)范函數(shù)U的任意性，可以構(gòu)成無限多個輔助位A和，但卻仍得到同樣的電磁場，也就是說，雖然A和是不唯一的，均具有任意性，大門由于存在規(guī)范不變性，并不影響電磁場的唯一性。同時利用此規(guī)范，可靈活的規(guī)定A和之間的關(guān)系，以簡化輔助位A和的方程。矢量磁位A和標(biāo)量電位在庫侖規(guī)范下滿足一下關(guān)系：在庫侖規(guī)范下矢量磁位A的源始電流密度的無散部分或橫向電流：（t電流密度矢量的無散部分）（2）優(yōu)越性：通過在規(guī)范條件下，A和之間的關(guān)系： ； ； （3）矢量位分量表示的電磁場a.條件：對于時諧場；當(dāng)同時存在電型源和磁型源時，求出矢量電位忽然矢量磁位A后?？傠姶艌鰹殡娦驮春?/p>

3、磁型源產(chǎn)生的場之和，即： 對于無源區(qū)可得 在球圓坐標(biāo)系中，如果取 。 ，帶入1，2式中得Hr=0, ，如果取代入，式。Er=0, ，這是關(guān)于人的TE波，v滿足齊次標(biāo)量亥姆霍次方程在直角坐標(biāo)系?。喝绻。和砜傻迷趫A柱坐標(biāo)系下，表示波是關(guān)于z的TM波，表示的波也是關(guān)于z的TE波。b.特點(diǎn)和優(yōu)越性 在無源區(qū)，對關(guān)于z的TE波，在直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系下就可以用一個變量，Az來表示，同理可知關(guān)于x的TE，TM在兩坐標(biāo)系的情況，y的TE,TM在兩坐標(biāo)系的情況。 對于德拜位函數(shù)的引用是球坐標(biāo)系中，也只需要引用一個標(biāo)量的TE波引用rv，r的TM波引用ru 通過引用這些標(biāo)量，就能夠簡化E和H的計算復(fù)雜度。在

4、電磁場問題中，有時采用矢量磁位和矢量電位的各一對應(yīng)分量作為獨(dú)立標(biāo)量是十分有利的。舉例：對直角坐標(biāo)系下取 ，。我們可以得，。求復(fù)雜的電場問題就可以簡化。 對電場和磁場問題直接就與一個有關(guān)，通過齊次標(biāo)量亥姆霍次方程求得。2.矢量電位及標(biāo)量磁位（1） 條件：在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有磁型源，由引入矢量電位及標(biāo)量磁位由標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度為零，引入標(biāo)量磁位。使得其滿足（2） 特點(diǎn)：矢量電位及標(biāo)量磁位和矢量電位A及標(biāo)量磁位具有對偶性，可是和也具有唯一性。 引入標(biāo)量函數(shù),定義變量函數(shù)U故：和不具有唯一性。是任意的。但是場量任然是不變的，利用對偶原理：在的條件下，矢量電位的源是磁流密度的無散射部分（

5、3） 優(yōu)越性：在洛倫磁規(guī)范條件下：通過以上4式可以計算的解。3 赫茲矢量 赫茲矢量特別適合于計算發(fā)生極化和磁化時產(chǎn)生的二次場,令 為電赫茲矢量，為磁赫茲矢量 在無源區(qū)理想介質(zhì)中，方程中及時極化強(qiáng)度，就是磁化強(qiáng)度，說明電赫茲矢量和磁赫茲矢量分別是由極化強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度產(chǎn)生的場 二.推導(dǎo)等效原理和感應(yīng)定理公式及應(yīng)用等效原理： （一）公式推導(dǎo) 等效原理是基于唯一性定理建立的電磁場理論的另一個重要原理，可用下圖進(jìn)行介紹：(1)是原課題，界面S內(nèi)有電流，磁流源，這些源在S面內(nèi)部和外部產(chǎn)生和，設(shè)一個等效課題，在S面上設(shè)有等效電磁流源，滿足在S面外產(chǎn)生與原課題相同的場分布，而在面內(nèi)場為0； SS(1) (2)

6、 下面介紹常用的三種等效形式，具體如下圖所示SS（a） (b)圖（a）為原問題第一種等效：如圖（b）所示，假設(shè)S內(nèi)的場為0；S上有等效電磁源，滿足 ； ；由邊界連續(xù)性條件可知，此等效問題S外的場切向分量與原問題相同，根據(jù)唯一性定理可知此問題與原問題在S外的場分布式相同的，因?yàn)镾內(nèi)的場為0，因而我們可進(jìn)一步設(shè)S內(nèi)填充與S外相同的均勻介質(zhì)，這樣原問題便等效成S面上等效電磁源，在均勻介質(zhì)中產(chǎn)生場地問題。第二種等效：如圖（c）所示，假設(shè)S內(nèi)填充理想導(dǎo)電體，這樣S內(nèi)場為0;由互易定理可知理想導(dǎo)體面上的電流源不會產(chǎn)生輻射，故我們只需考慮的作用，使其在S外產(chǎn)生的場與原問題相同，需滿足，由邊界連續(xù)性條件可知，

7、此等效問題S外的場切向分量與原問題相同，這樣原問題便等效成一理想導(dǎo)電體上等效磁流產(chǎn)生場地問題。SS電導(dǎo)體磁導(dǎo)體 (c) (d)第三種等效：如圖（d）所示，假設(shè)S內(nèi)填充理想導(dǎo)磁體，這樣S內(nèi)場為0;由互易定理可知理想磁體面上的磁流源不會產(chǎn)生輻射，故我們只需考慮的作用，使其在S外產(chǎn)生的場與原問題相同，需滿足，由邊界連續(xù)性條件可知，此等效問題S外的場切向分量與原問題相同，這樣原問題便等效成一理想導(dǎo)磁體上等效磁流產(chǎn)生場地問題。第一種的解析解：在自由空間中根據(jù)（1）選擇，因?yàn)闃?biāo)量亥姆霍茲的標(biāo)量格林函數(shù)為：其中為源點(diǎn)位置，代表場點(diǎn)位置，于是 （2） （3）也可以通過求解 得到，即 （4）有兩種形式，一種是將

8、（2），（3）代入（1）中得 （5）另一種是將（2），（4）代入（1）中得 （6）從而得到 為了書寫簡潔，引入記號則電磁場便可寫作 對于（5），在等效源無需作用的情況下，在某些情況下能化簡場得到簡潔的表達(dá)式，此表達(dá)形式一般用于計算遠(yuǎn)場：對于（6），對場點(diǎn)作用在格林函數(shù)G中，對源點(diǎn)作用在等效源點(diǎn)，一般用于計算近場。用相同的方法可以求出等效磁流產(chǎn)生的場：根據(jù)線性疊加原理，電磁流共同產(chǎn)生的場便為（二）應(yīng)用舉例介質(zhì)體的積分方程S如圖：S面為介質(zhì)體的表面。入射波Ei，Hi，可以透過S面刀達(dá)介質(zhì)體內(nèi)部。在求介質(zhì)體外V1去空間一點(diǎn)的電磁場仍可用 來求。即有：V1區(qū)：在V2區(qū)：入射場就是S面上源分布的貢獻(xiàn)，則

9、V2區(qū)空間一點(diǎn)的電磁場為：V2區(qū)： 上式中：gi= （i=1，2）在S面上場切向分量連續(xù)，有：又D得法向分量連續(xù)，即：以下是用面積分方程求解S面上的電磁流密度Js和Ms。由圖可知，；由式得：（式相加）同理，對磁場有：式左邊是V1空間一點(diǎn)（r）的入射場與n的叉乘，右邊面積分的E,H是S面上總電磁場的切向分量，n是S面得外法向單位矢量。當(dāng)場點(diǎn)落在S面上時，中的面積分s改用為主值積分，即：等效電流源，磁流源： 將，代入,可得介質(zhì)體適用的積分方程：感應(yīng)原理感應(yīng)原理是電磁理論中有關(guān)散射場與入射場關(guān)系的一個重要的原理。（一）公式推導(dǎo)：感應(yīng)原理提供了一種由已知投射到障礙物上的入射場來求其反射場或散射場的方法

10、。設(shè)，表示無障礙物存在時給定源激發(fā)的場，即入射場，表示有障礙物存在時給定的源和障礙物上的感應(yīng)源激發(fā)的總場。如圖a所示，總場與入射場之差：障礙物ns(a) S(b)障礙物 ； 成為障礙物的散射場，散射場是障礙物表面上的感應(yīng)源輻射的場對于障礙物之外區(qū)域的散射場來說，可將實(shí)際的邊值問題用在障礙物之反保持散射場。而在障礙物內(nèi)保持總場這樣的邊值問題等效。這是為保障兩問題在障礙物之外的散射場和障礙物內(nèi)的總場不變。則在障礙物表面上應(yīng)有等效源,。如圖b,利用等效原理，在障礙物表面上的等效源為； 由可知：； 兩式說明，數(shù)值等于入射場切向分量的等效源在障礙內(nèi)激發(fā)總場，在障礙物外激發(fā)散射場當(dāng)障礙物為理想導(dǎo)體時，得等

11、效面磁流為：因此當(dāng)障礙物為理想導(dǎo)電體，感應(yīng)原理中只需考慮等效面磁流。（二）應(yīng)用舉例平面波垂直投射到位于x=0平面，邊長為a的矩形導(dǎo)電平板上，此平面波，應(yīng)用感應(yīng)原理散射場的等效源為，=； =散射場可以看成是由導(dǎo)電板存在時，其左右兩側(cè)外表面的面磁流激發(fā)的。為近似計算導(dǎo)電平板左右兩側(cè)外表面的面磁流輻射的場，用無限大的導(dǎo)電平板代替有限大的導(dǎo)電平板，背向場源一側(cè)的面磁流對后向散射場將無貢獻(xiàn)，利用鏡像原理，后向散射場可用兩倍的面向場源一側(cè)的面磁流計算。如果導(dǎo)電平板的尺寸遠(yuǎn)小于波長，感應(yīng)面磁流源課近似為方向沿z的磁流元根據(jù)對偶原理，由電流元的輻射磁場可得磁流元的輻射電場，也就是導(dǎo)電平板的后向磁場三Strat

12、ton-Chu公式的推導(dǎo)在電磁場問題中，如果考慮所有的有源區(qū)域是均勻的各向同性的線性媒質(zhì)，時諧電磁場非齊次矢量亥姆霍茲方程 E-k2E=-jJ-Jm (1) H-k2H=-jJm-J (2) J SJmS V考慮到一般的情況，設(shè)區(qū)域是由表面S以及外表面S所圍成的，如圖所示。下面利用矢量格林定理求解。矢量格林定理為：VQP-PQdV=S+SPQ-QPdS (3) 式中封閉面的法向指向區(qū)域V之外。P和Q為在區(qū)域V內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在邊界上具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的任意矢量函數(shù)。求解方程（2）時，令P=E，Q=ag，a為任意常矢量，g為自由空間格林函數(shù)。為保證Q在區(qū)域V內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，以取以r為為球心

13、半徑為b的小球面 將r點(diǎn)排除在格林定理考慮體積之外。于是（3）式成為：VgaE-E(ag)dV=S+S+S0Eag-gaEdS (4)利用矢量恒等式A=A-2A 式（1），并考慮到在區(qū)域V中自由空間格林函數(shù)g滿足齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程，上式左側(cè)的被積函數(shù)為：gaE-Eag=a-jJg-gJm-Eag (5)應(yīng)用矢量恒等式fA=fA+fA 及 fA=fA+fA上式右側(cè)的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別為：gJm=gJm+JmgEag=Eag-agE將以上兩式代人（4）式，并考慮到E=/ ，（3）式變?yōu)椋篴V(jgJ+Jmg-g)dV+aVgJmdV+VEagdV=-S+S+S0Eag- gaEendS (6)利

14、用矢量恒等式AB=BA-AB ，上式左邊第二項(xiàng)為：aVgJmdV=VgJmadV=S+S+S0gJmaendS=S+S+S0gJmendS (7) （5）式左側(cè)第三項(xiàng)為：VEagdV= aS+S+S0(enE)gdS (8)的側(cè)亥姆霍茲雙層131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313

15、131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313再對（5）式右側(cè)的被積函數(shù)進(jìn)行變換。第一項(xiàng)為：Eagen=(enE)g a第二項(xiàng)為 gaEen=jgaenH+ga(enJm)由于a是任意的常矢量，于是，（5）式成為：V(jgJ+Jmg-g)dV=S+S+S0jgenH+(enE)gdS (9)當(dāng)小球面S的半徑趨于零時，可以證明，上式右側(cè)在球面S上的積分趨于E(r)。為了習(xí)慣起見，交換變量r和r的位置，上式變?yōu)椋篍r=V(-jgJ(r)+Jmrg+g)dV+S+S+S0jenHrg+(enE(r)g+(enE(r)gdS (

16、10)對于磁場，類似可以得到：Hr=V(-jgJm(r)+Jrg+mrg)dV+S+S+S0jenErg+(enH(r)g+(enH(r)gdS (11)以上兩式稱為Stratton-Chu公式。公式表明，觀察點(diǎn)的電磁場由兩部分積分貢獻(xiàn)組成，一部分為觀察點(diǎn)所在區(qū)域中的源的貢獻(xiàn)，觀察點(diǎn)所在區(qū)域中的源包括電流密度、磁流密度、電荷、磁荷；另一部分為觀察點(diǎn)所在區(qū)域外的源的貢獻(xiàn)，這部分貢獻(xiàn)取決于邊界電磁場的切向分量和法向分量。四由Stratton-Chu公式推導(dǎo)電磁場積分方程 對于任意形狀物體散射問題的有效解法是建立散射問題的積分方程，然后利用對于積分方程有效的數(shù)值解法，例如矩量法等，求出數(shù)值解。在散射

17、問題中，可以取散射體的表面或包圍散射體的適當(dāng)?shù)拈]合面作為S面，而將面擴(kuò)展到遠(yuǎn)處取為半徑十分大的球面，并使場源位于面外。這時由于體積V內(nèi)沒有體分布的場源，電磁場的積分表達(dá)式中的體積分為零，僅有面積分項(xiàng)： (1) (2)式中閉合面的法向單位矢量的正方向指向 V內(nèi)。在此散射問題中場源只可能存在于兩個區(qū)域：一個是面以外的區(qū)域，入射波就是由這個區(qū)域中的源產(chǎn)生的；另一個是S內(nèi)的區(qū)域，這個區(qū)域的源產(chǎn)生散射波。在大球面上，被積函數(shù)中的電磁場可表示為入射場與散射場之和，即 （3）下面證明散射場在大球面上的積分貢獻(xiàn)為零。當(dāng)面積分在大球面上進(jìn)行時，是端點(diǎn)在很大（趨近于無限大）球面上的矢徑，而r是端點(diǎn)在有限遠(yuǎn)處的矢徑

18、，因此格林函數(shù)近似為 （4）這樣式（1）中在大球面上后兩項(xiàng)可化為 顯然有 由此可見，散射場對上的積分沒有貢獻(xiàn)，對 上的積分有貢獻(xiàn)的只是入射場，于是式（1）可化為（5）同理 由式（3），就可以得到散射場的積分表達(dá)式 （6） （7）可以看出，要求出散射場，必須求出s面上的電磁場分布。求解S面上的電磁場分布可以通過建立在S面上的電磁場分布的積分方程來解決。 為了建立S面上電磁場分布的積分方程，須將式（4）、（5）中的場點(diǎn)r移到S面上，但這式S面上的面積分會發(fā)生奇異性。因此需要用小球面包圍r點(diǎn)，并將它一起移到S面上，如圖： 由于小球面使S面上與面相鄰接的部分發(fā)生彈簧變形，計算S面上的積分時須將其分為兩部分：與相鄰的部分和其余部分。顯然對小球面的面積分有：如果S面的切平面在S面上是處處連續(xù)變化的，在的極限下，面可以看做是以r點(diǎn)為中心的小平面，但由于與面的法向相