課件線性代數(shù)第一章PPT課件

1、1課程名稱：課程名稱：應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)主講教師：主講教師：黃榕波黃榕波聯(lián)系電話：39352183郵箱：2第一章 行列式32 二階與三階行列式 二階行列式引入 三階行列式 小結(jié) 思考題4 由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.2112221122211211aaaaaaaad 一、二階、三階行列式一、二階、三階行列式1、二階行列式511a12a22a12a主對(duì)角線主

2、對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算62、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的數(shù)數(shù)表表行行個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)排排成成設(shè)設(shè)有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .7323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式的計(jì)算三階行列式的

3、計(jì)算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaad 8333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)元素的乘積冠以負(fù)號(hào)說明說明1 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 9 2 2. . 三階行

4、列式包括三階行列式包括3!3!項(xiàng)項(xiàng), ,每一項(xiàng)都是位于不同行每一項(xiàng)都是位于不同行, ,不同列的三個(gè)元素的乘積不同列的三個(gè)元素的乘積, ,其中三項(xiàng)為正其中三項(xiàng)為正, ,三項(xiàng)為三項(xiàng)為負(fù)負(fù). .102-43-122-4-21d 計(jì)計(jì)算算三三階階行行列列式式按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 11 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對(duì)角線法則對(duì)角線法則二階與三階行列式的計(jì)算二階與三階行列式的計(jì)算.2112221122211211aaaaaaa

5、a ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa二、小結(jié)122、 數(shù)碼的排列 概念引入 全排列及其逆序數(shù) 小結(jié) 思考題131、全排列及其逆序數(shù)同的排法？同的排法？，共有幾種不，共有幾種不個(gè)不同的元素排成一列個(gè)不同的元素排成一列把把 n問題問題定義定義把把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)個(gè)元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用用 表示表示.nnp由引例由引例123

6、3 p. 6 npn )1( n)2( n123 !.n 同理同理14 在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序15定義定義 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如 排列排列32514 中，中，

7、此排列的此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.16計(jì)算排列逆序數(shù)的方法計(jì)算排列逆序數(shù)的方法方法方法分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在 前面比它大的數(shù)前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出碼之和即分別算出 這這 個(gè)元素個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù).n,n,121 n,n,121 n逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性17例例 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性偶性. 2179

8、863541解解453689712544310010 t18 此排列為此排列為偶排列偶排列.54 0100134 18 321212 nnn解解12 ,21 nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為奇排列時(shí)為奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n19 kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，k當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k202 2

9、 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法有計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法有2 種種.1 1 個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)為個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)為n!.n小結(jié)21分別用兩種方法求排列分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù)的逆序數(shù).224、對(duì)換的定義定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111b

10、aab233、對(duì)換與排列的奇偶性的關(guān)系定理定理1 1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性改變奇偶性證明證明設(shè)排列為設(shè)排列為mlbbabaa11對(duì)換對(duì)換 與與abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變.b,aabba24當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ba ab的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1 ,經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1.ab因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為設(shè)排列為nmlcbcbabaa111當(dāng)當(dāng)

11、 時(shí)，時(shí)，ba 現(xiàn)來對(duì)換現(xiàn)來對(duì)換 與與a.b25次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換mnmlccbbabaa111次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab26推論推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù). .證明證明 由定理由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的知對(duì)換的次數(shù)

12、就是排列奇偶性的變化次數(shù)變化次數(shù), 而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為逆序數(shù)為0),因此因此知推論成立知推論成立.273、 n階行列式的定義 概念引入 n階行列式的定義 小結(jié) 思考題281、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaad 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 項(xiàng)項(xiàng)6!3（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積29（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行

13、不同列）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 211312 t322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正號(hào)正號(hào) ,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa302、n階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaadaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列

14、列式式等等于于所所有有個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作的的元元素素稱稱為為行行列列式式數(shù)數(shù))det(ijijaa31為為這這個(gè)個(gè)排排列列的的逆逆序序數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)排排列列，為為自自然然數(shù)數(shù)其其中中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaad212121212122221112111 32說明說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和

15、;n!n3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;aa 5、 的符號(hào)為的符號(hào)為nnpppaaa2121 .1t 33例例計(jì)算對(duì)角行列式計(jì)算對(duì)角行列式0004003002001000分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個(gè)項(xiàng)為零，從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解340004003002001000 43211

16、4321 t.24 即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa41322314例例 計(jì)算上計(jì)算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa0002221121135分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解36例例?8000650012404321 d443322118000650012404321aaaad .1608541 37同

17、理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 38n 21 .12121nnn ;21n n 21例例 證明證明對(duì)角行列式對(duì)角行列式39n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.若記若記,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢401 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的要而

18、定義的.2、 階行列式共有階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定列的逆序數(shù)決定.nn!n小結(jié)41 nppptnaaad21211 定理定理2 2 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n其中其中 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). .tnppp21證明證明按行列式定義有按行列式定義有42 nnppptaaad21211 nppptnaaad211211 記記對(duì)于對(duì)于d中任意一項(xiàng)中任意一項(xiàng) ,12121nnppptaaa 總有且僅有總有且僅有 中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng)1d ,12121

19、nqqqsnaaa 與之對(duì)應(yīng)并相等與之對(duì)應(yīng)并相等;反之反之, 對(duì)于對(duì)于 中任意一項(xiàng)中任意一項(xiàng)1d ,12121nppptnaaa 也總有且僅有也總有且僅有d中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng) ,12121nnqqqsaaa 與之對(duì)應(yīng)并相等與之對(duì)應(yīng)并相等, 于是于是d與與1d中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等,從而從而.1dd 43定理定理3 3 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n nnqpqpqptaaad22111 其中其中 是兩個(gè)是兩個(gè) 級(jí)排列，級(jí)排列， 為行為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和. .nnqqq,ppp2121nt例例 試判斷試判斷 和和

20、655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 是否都是六階行列式中的項(xiàng)是否都是六階行列式中的項(xiàng).解解655642312314aaaaaa下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 6102210431265 t所以所以 是六階行列式中的項(xiàng)是六階行列式中的項(xiàng).655642312314aaaaaa44662551144332aaaaaa 下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 8452316 t所以所以 不是六階行列式中的項(xiàng)不是六階行列式中的項(xiàng).662551144332aaaaaa 45例例 在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào)在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào).;)1(65145642

21、3123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為012201 t, 6 所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào).651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa46行標(biāo)排列行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為列標(biāo)排列列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為400301 t所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào).256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa6400200 t47例例 用行列式的定義計(jì)算用行列式的定義計(jì)算nndn00000000100

22、20001000 48 !.1221ndnnn 221 nn解解 nnnnntnaaaad1 , 12,21, 11 nnt 1211 , !1 nt nnnt2121 1232 nn49 1. 1. 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性變奇偶性2.2.行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法 nppptnaaad21211 nnppptaaad21211 nnqpqpqptaaad22111 小結(jié)50其中其中 是兩個(gè)是兩個(gè) 級(jí)排列，級(jí)排列， 為行為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和. .nnqqq,ppp2121nt

23、515 行列式的性質(zhì) 行列式的性質(zhì) 應(yīng)用舉例 小結(jié) 思考題52 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. tdd記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaaannaaa2112 tdnnaaa221153證明證明 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式記記ijaddet ,212222111211nnnnnntbbbbbbbbbd , 2 , 1,njiabijij 即即按定義按定義 .1121212121 nppptnpppttnnaaabbbd 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺絛可表示為可表示為 .

24、12121 nppptnaaad54故故.tdd 證畢證畢 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbd 說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaddet ji,55于是于是 njinpjpipptbbbbd1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1為為自自然然

25、排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為排排列列njippppt,11tppppnji的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)排排列列則有則有即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ,ipjpjpipabab 56例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 d,dd ,111tt 故故 .11111daaaadnijnpjpippt 證畢證畢,571571 266853.825825 36156756736126685357 行列式的某一行（列）中所有的元

26、素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面58性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaa

27、ak21212111211 . 0 59性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad)()()(2122222211111211 則則d等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaad 122211111122211111例如例如60性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變

28、njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如61例例2101044614753124025973313211 d二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3 622101044614753124025973313211 d3 解解2101044614753124022010013211312 rr6321010

29、44614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 6442rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 652220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 666000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 67例例 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行

30、列式nabbbbabbbbabbbbad 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 d將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 268 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna69例例nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaad1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaad ,)det(11112nnnnijbbbbbd .21ddd 證明證明70證明證明;0111111kkkkkpppppd 設(shè)設(shè)為為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把

31、作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)11dkrrdji 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運(yùn)運(yùn)算算對(duì)對(duì)22,dkccdji .0111112nnnknqqpqqd 設(shè)設(shè)為為71,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppd 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作運(yùn)運(yùn)，再再對(duì)對(duì)后后行行作作運(yùn)運(yùn)算算的的前前對(duì)對(duì)dkccnkrrkdjiji, nnkkqqppd1111 故故.21dd 726 行列式的展開定理一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行（列）展開法則三、小結(jié) 思考題73,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaa

32、aaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式與代數(shù)余子式74在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.mij ，記記ijjiijma 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241

33、343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaad 44424134323114121123aaaaaaaaam 2332231ma .23m 75,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaad ,44434134333124232112aaaaaaaaam 1221121ma .12m ,33323123222113121144aaaaaaaaam .144444444mma .個(gè)個(gè)代代數(shù)數(shù)余余子子式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著一一個(gè)個(gè)余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個(gè)個(gè)元元素素分分別別76引理引理 一個(gè)一個(gè) 階

34、行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 ijijaad niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaad .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如77證證當(dāng)當(dāng) 位于第一行第一列時(shí)位于第一行第一列時(shí),ijannnnnaaaaaaad21222211100 即有即有.1111mad 又又 1111111ma ,11m 從而從而.1111aad 在證一般情形在證一般情形, 此時(shí)

35、此時(shí)78nnnjnijnjaaaaaaad1111100 ,1,2,1行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)第第行行第第行行行行依依次次與與第第的的第第把把 iiid得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaad1, 1, 11 , 11001 ijaija79,1,2,1對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjd得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaad1, 11, 1, 1110011 ija80 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaija81nn

36、njnijnjaaaaaaad1111100 中的余子式中的余子式.ijm在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija82故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaad1, 11, 1, 1001 .1ijijjima 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijma ijaija83定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即inin

37、iiiiaaaaaad 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaad212111211000000 二、行列式按行（列）展開法則84nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiaaaaaa 2211 ni, 2 , 1 85例例3351110243152113 d03550100131111115 312 cc 34cc 860551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 87 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)

38、歸納法21211xxd 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立時(shí)時(shí)（當(dāng)當(dāng)12 n例例證明范德蒙德證明范德蒙德(vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxd)1(88，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對(duì)于）對(duì)于假設(shè)（假設(shè)（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 89)()()(211312j

39、jininnxxxxxxxxd ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式90推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,aaaaaajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaaaaa 證證行行展展開開，有有按按第第把把行行列列式式j(luò)adij)det( 91,11111111nnniniininjninjiaaaaa

40、aaaaaaa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiaaaaaajninjiji 同理同理).(, 02211jiaaaaaanjnijiji 相同相同92關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiddaaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiddaaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其其中中93例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式277010353 d解解27013 d.27 按第一行展開，得按第一行展開，得27005 77103 940532004140013202527

41、102135 d例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解0532004140013202527102135 d9566027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 96 1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具. ;,0,. 21jijiddaaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiddaaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其其中中三、小結(jié)97總結(jié)討論9899把把

42、 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元個(gè)元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，表示，且且 nnp!npn 全排列100逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列，逆序數(shù)為，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) ，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序逆序 nstiiiii21stii 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆逆序數(shù)序數(shù)逆序數(shù)101分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)分別計(jì)算出

43、排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法方法2 2方法方法1 1分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在 前面比它大的前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出數(shù)碼之和，即分別算出 這這 個(gè)元素個(gè)元素的逆序數(shù)，這的逆序數(shù)，這 個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)n,n,121 n,n,121 nn計(jì)算排列逆序數(shù)的方法102定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一

44、次對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換叫做相鄰對(duì)換定理定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性變奇偶性推論推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)對(duì)換103 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaad2121222211121121211 n階行列式的定義., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對(duì)表示對(duì)個(gè)排列的逆序數(shù)個(gè)排列的逆序數(shù)為這為這的一個(gè)排列的一個(gè)排列為自

45、然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn 104.,)1(21212121的逆序數(shù)的逆序數(shù)為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列其中其中亦可定義為亦可定義為階行列式階行列式ppptaaaddnnnpppppptnn 105. ,)()4.,)()3.),()2.dd,1)t乘此行列式乘此行列式等于用數(shù)等于用數(shù)一數(shù)一數(shù)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零則此行列式則此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有兩行如果行列式有兩行行列式變號(hào)行列式變號(hào)列列互換行列式的兩行互換行列式的兩行即即式相等式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列行列式與它的轉(zhuǎn)置行列kk n階行列式的性質(zhì)106.

46、, )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不變行列式的值不變對(duì)應(yīng)的元素上去對(duì)應(yīng)的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一數(shù)的各元素乘以同一數(shù)行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于兩個(gè)行列此行列式等于兩個(gè)行列則則的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式為零式為零則此行列則此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行提到行列式符號(hào)的外面提到行列式符號(hào)的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行107）余子式與代數(shù)余子式）余子式與代

47、數(shù)余子式.,)1(1 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式叫做元素叫做元素；記；記的余子式，記作的余子式，記作階行列式叫做元素階行列式叫做元素列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的行和第行和第所在的第所在的第階行列式中，把元素階行列式中，把元素在在aamamanjianijijijjiijijijij 行列式按行（列）展開108）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiddaajijiddaaijijjknkikijkinkki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中其中當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)或或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 109一、計(jì)算排列的逆序數(shù)一、計(jì)算排列的逆序數(shù)二、計(jì)算（證明）行列式二、

48、計(jì)算（證明）行列式典型例題110分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù) .,并并討討論論奇奇偶偶性性的的逆逆序序數(shù)數(shù)求求排排列列kkkkkk 解解例例一、計(jì)算排列的逆序數(shù); 0,2故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為排在首位排在首位k; 1),2(11故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為大大的的數(shù)數(shù)有有一一個(gè)個(gè)的的前前面面比比k; 1),2()12()12( 逆序數(shù)為逆序數(shù)為故故大的數(shù)有一個(gè)大的數(shù)有一個(gè)的前面比的前面比kkk 111; 2),12 ,2(22 數(shù)數(shù)為為故故逆逆序序大大的的數(shù)數(shù)有有

49、兩兩個(gè)個(gè)的的前前面面比比 kk; 2),12 ,2(2222 故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為大大的的數(shù)數(shù)有有兩兩個(gè)個(gè)的的前前面面比比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個(gè)個(gè)大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個(gè)個(gè)大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比;),1, 12 ,2( kkkkkkk故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為個(gè)個(gè)大大的的數(shù)數(shù)有有的的前前面面比比 112 kkkt 1122110 kkk 211122k 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，k當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列為奇數(shù)時(shí)，排列

50、為奇排列k于是排列的逆序數(shù)為于是排列的逆序數(shù)為113用定義計(jì)算（證明）用定義計(jì)算（證明）例用行列式定義計(jì)算例用行列式定義計(jì)算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaad 二、計(jì)算（證明）行列式114的非零元素分別得到的非零元素分別得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分別為行的元素分別為中第中第設(shè)設(shè)5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321daaaaadppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 ,

51、2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 dppppp故故元排列也不能組成，元排列也不能組成，一個(gè)一個(gè)在上述可能取的代碼中在上述可能取的代碼中因?yàn)橐驗(yàn)?15評(píng)注評(píng)注本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般方法方法. 2于零于零還多，則此行列式必等還多，則此行列式必等素比素比階行列式中等于零的元階行列式中等于零的元如果一個(gè)如果一個(gè)nnn 注意注意116例設(shè)例設(shè),212222111

52、2111aaaaaaaaadnnnnnn ,221122222111112112abababaabababaadnnnnnnnnnn .2dd 證證明明：117證明證明由行列式的定義有由行列式的定義有.,)1( 2121121的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列其其中中ppptaaadnpnpptn .,)1( )()()1( 21)()21(212211221212211的逆序數(shù)的逆序數(shù)是排列是排列其中其中ppptbaaabababadnpppnpnpptpnpnpppptnnnn 118,212npppn 而而.)1(121221daaadpppnnt 所所以以評(píng)注評(píng)注本題證明兩個(gè)行列式相等，即證

53、明兩本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同這也是用定義證明兩個(gè)行列項(xiàng)所帶的符號(hào)相同這也是用定義證明兩個(gè)行列式相等的常用方法式相等的常用方法119利用范德蒙行列式計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算例計(jì)算例計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。.333222111222nnndnnnn 120，于于是是得得到到增增至至冪

54、冪次次數(shù)數(shù)便便從從則則方方若若提提取取各各行行的的公公因因子子，遞遞升升至至而而是是由由變變到到序序排排列列，但但不不是是從從次次數(shù)數(shù)自自左左至至右右按按遞遞升升次次方方冪冪數(shù)數(shù)的的不不同同方方冪冪中中各各行行元元素素分分別別是是一一個(gè)個(gè)10.1, 10, nnndn解解.1333122211111!121212nnnndnnnn 121上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxndjinjin122評(píng)注評(píng)注本題所給

55、行列式各行（列）都是某元本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式123用化三角形行列式計(jì)算用化三角形行列式計(jì)算例計(jì)算例計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxdnnnn 124解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaa

56、xdniinniinniinniin32121212111 125提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxdnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan 126. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxdnniin 23122121111010010001)(127評(píng)注評(píng)注本題利用行列式的性質(zhì)，采用本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式的方

57、法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的化為三角形行列式之目的128，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcb

58、ad 114324用降階法計(jì)算用降階法計(jì)算例計(jì)算例計(jì)算.4abcdbadccdabdcbad 解解129,1111)(4abcdbadccdabdcbad 列列，得得列列都都減減去去第第、再再將將第第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbad 130行展開，得行展開，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbad ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再從從第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbad 131列列，得得列列減減去去第第再再將將第第12行展開

59、，得行展開，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbad dacbcbdadcbadcbad )(132評(píng)注評(píng)注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低可降低 1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）這種計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用1335用遞推法計(jì)算用遞推法計(jì)算例計(jì)算例計(jì)算.21xaaaaxaaaaxadnn 解解拆成兩個(gè)行列式之和拆成兩個(gè)行列式之和列把列把依第依第dnn134aaaaaxaaaaaxaaaaaxadnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann 135.1121dxaxxxdnnnn 從從而而得得列展開列展開第第右端的第二個(gè)行列式按右端的第二個(gè)行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個(gè)行列式右端的第一個(gè)行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,000000