13空間幾何體的表面積和體積

1、1.3.11.3.1柱體、錐體、臺(tái)體柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積的表面積與體積什么是面積？ahs21bahbhasaabsin面積面積: :平面圖形所占平面的大小平面圖形所占平面的大小 s=abababacsin21ahbchbas)(21abh2rsrls212360rnabarl圓心角為n0rc復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧矩形面積公式：矩形面積公式：sab三角形面積公式：三角形面積公式：12sah圓面積公式：圓面積公式：2sr圓周長(zhǎng)公式：圓周長(zhǎng)公式：2cr扇形面積公式：扇形面積公式：12srl梯形面積公式：梯形面積公式：1()2sab h扇環(huán)面積公式：扇環(huán)面積公式：1()()2sllrr 在初中已經(jīng)

2、學(xué)過了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，您知道正方體和長(zhǎng)方體的展開圖與其表面積的關(guān)您知道正方體和長(zhǎng)方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？系嗎？幾何體表面積幾何體表面積 展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面問題棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖chs直棱柱側(cè)s表表=s底底+s側(cè)側(cè)棱柱側(cè)面展開圖棱柱側(cè)面展開圖平行四邊形組成平行四邊形組成s表表=s底底+s側(cè)側(cè)棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？正棱錐的側(cè)面

3、展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖側(cè)面展開21chs正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)s表表=s底底+s側(cè)側(cè)棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖側(cè)面展開s表表=s底底+s側(cè)側(cè)hh) 21hccs （正棱臺(tái)側(cè)正棱臺(tái)側(cè)棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)算它們的算它們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和底面面積之和hs表表=s底底+s側(cè)側(cè)sabc 例例 1.已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)

4、為 ,各面均為等邊三角形各面均為等邊三角形（如圖（如圖 ）,則它的則它的的三棱錐的三棱錐底面積為底面積為_, 側(cè)面積為側(cè)面積為_,表面積為表面積為_.sbca圖圖8234a23 34a23aa例例2. 已知正四棱錐底面正方形長(zhǎng)為已知正四棱錐底面正方形長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為高與斜高的夾角為30，求正四棱錐的側(cè)，求正四棱錐的側(cè)面積及全面積面積及全面積.（單位：（單位：cm2）解：正棱錐的高解：正棱錐的高po，斜，斜高高pe，底面邊心距，底面邊心距oe組成直角三角形。組成直角三角形。 因?yàn)橐驗(yàn)閛e=2，ope=30，所以斜高所以斜高24sin300.5oepe 因此因此s側(cè)側(cè)= ch=32(c

5、m2)21s全全=s側(cè)側(cè)+s底底=48(cm2)多面體的表面積練習(xí)2.已知正四棱錐高為2，底面正方形邊長(zhǎng)為4，求它的表面積.練習(xí)3.已知正已知正三棱臺(tái)的上下底邊長(zhǎng)分別為三棱臺(tái)的上下底邊長(zhǎng)分別為3cm和和9cm，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為5cm，求它的表面積。，求它的表面積。oor)(2222lrrrlrs圓柱表面積lr2圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形旋轉(zhuǎn)體的表面積圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形)(2lrrrlrs圓錐表面積r2lor 參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么想象圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么 )(22rllrrrs圓臺(tái)表

6、面積r2loro r2 r圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，上、下底面的周長(zhǎng)，上、下底面的周長(zhǎng)為為c/、c，半徑分別是，半徑分別是r/、r,求圓臺(tái)的側(cè)面積求圓臺(tái)的側(cè)面積解：解：s圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè))(21xlcxc/21.)(21/xcccl,/lxxcc./cclcx代入，得代入，得)(21/cclccccls圓臺(tái)側(cè)lcc)(21/lrr)/ （/rrl/ccx圓臺(tái)底面是圓形側(cè)面展開圖是一個(gè)扇狀環(huán)形lrrs)(側(cè))(22rllrrrs表2rs上底2rs下底旋轉(zhuǎn)體的表面積loro r 圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有

7、什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？loorrr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大lorr0上底縮小上底縮小2222 ()srrlrr l 2()srrlr rl 22()srrr lrl _ss 圓圓柱柱側(cè)側(cè)圓圓柱柱表表_ss 圓圓錐錐側(cè)側(cè)圓圓錐錐表表1.看圖回答問題看圖回答問題_ss圓圓臺(tái)臺(tái)側(cè)側(cè)圓圓臺(tái)臺(tái)表表2463116 做一做做一做20側(cè)面展開圖為正方側(cè)面展開圖為正方形，則它的表面積形，則它的表面積為為_ .1m224 2.一個(gè)圓柱形鍋爐的底面半徑為一個(gè)圓柱形鍋爐的底面半徑為 ,2m213 . 已知圓臺(tái)的上下底面的半徑分別已知圓臺(tái)的上下底面的半徑分別為為2cm和和4cm,它的表面積為它的表面積為 ,則它的母線長(zhǎng)為則

8、它的母線長(zhǎng)為( )，高為，高為( )382cm 例例2 2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆底直徑為底直徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，盆壁長(zhǎng)，盆壁長(zhǎng)15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圓臺(tái)的表面積公式得解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積：2225 . 11522015215215s21000()cm答：花盆的表面積約是答：花

9、盆的表面積約是1000 1000 2cm 面積公式：面積公式：172sclrl圓柱側(cè)2sr rl圓柱表sr rl圓錐表12sclrl圓錐側(cè)22srrrlrl圓臺(tái)表sl rr圓臺(tái)側(cè)2sr r l圓柱表sr rl圓錐表22srrrlrl圓臺(tái)表rr0r1.3.1柱體、錐體和臺(tái)體的體積 夾在兩條平行線間的兩夾在兩條平行線間的兩個(gè)平面圖形，被平行于這兩個(gè)平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，條平行線的任意直線所截，如果兩條截線段的長(zhǎng)度總相如果兩條截線段的長(zhǎng)度總相等，那么這兩個(gè)平面圖形的等，那么這兩個(gè)平面圖形的面積相等面積相等思考：思考：取一些書堆放在桌面上取一些書堆放在桌面上( (如圖所示如圖所

10、示) ) ，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？積是否發(fā)生變化？從以上事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？從以上事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？（二）柱體、錐體、臺(tái)體的體積（二）柱體、錐體、臺(tái)體的體積 祖暅原理：幾何體的體積幾何體的體積簡(jiǎn)要介紹祖暅簡(jiǎn)要介紹祖暅(gng)原理，原理，( (教材教材p30p30）祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體, ,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截, ,如果截面如果截面( (陰影部分陰影部分) )的面積都相等的面積都相等, ,那么這兩個(gè)幾何體的那么這

11、兩個(gè)幾何體的體積一定相等。體積一定相等。利用上述原理推導(dǎo)柱體和錐體的體積公式：利用上述原理推導(dǎo)柱體和錐體的體積公式：1 1、探究柱體的體積公式、探究柱體的體積公式結(jié)論：等底、等高的結(jié)論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積相棱柱、圓柱的體積相等等.歸納：一般柱體的體歸納：一般柱體的體積積 v=sh,其中其中s為底為底面面積面面積,h為柱體的高。為柱體的高。2 2、探究錐體的體積公式、探究錐體的體積公式結(jié)論結(jié)論1 1：等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等。：等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等。結(jié)論結(jié)論2 2：三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積：三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一。的三分之一。歸納

12、：錐體的體積計(jì)算公歸納：錐體的體積計(jì)算公式：式： s s為底面面積，為底面面積，h h為高。為高。shv31錐體 類似的類似的,底面積相等底面積相等,高也相等的兩個(gè)錐高也相等的兩個(gè)錐體的體積也相等體的體積也相等.v錐體錐體=1 1shsh3 3s為底面積為底面積,h為高為高.ss三三.錐體的體積錐體的體積12111326shsh討論：臺(tái)體的上底面積討論：臺(tái)體的上底面積s s，下底面積，下底面積s s，高，高h(yuǎn) h，由，由此如何計(jì)算切割前的錐體的高？此如何計(jì)算切割前的錐體的高？ 如何計(jì)算臺(tái)體的體積？如何計(jì)算臺(tái)體的體積？解解:設(shè)切割掉設(shè)切割掉的錐體的高為的錐體的高為x,則則:2()xsxsxhsh

13、sssxhss11()33vs hxs x 為高。分別為上、下底面積，、其中臺(tái)體hsshssssv)(31ababcdcdpssh柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？上底擴(kuò)大vsh 0s 上底縮小ss 13vsh hssssv)(31臺(tái)體1. 圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長(zhǎng)，母線長(zhǎng)10，則圓臺(tái)的體積為，則圓臺(tái)的體積為（ ） （a）672 （b）224 （c）100 （d）5443b 例題示范：例題示范： 例例2(p26)2(p26) 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7

14、.8g/cm7.8g/cm3 3）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kgkg，已知底面是正六，已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為邊形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（取取3.14）?分析、討論：六角螺帽分析、討論：六角螺帽的幾何結(jié)構(gòu)特征怎樣？的幾何結(jié)構(gòu)特征怎樣？ 如何求其體積？如何求其體積？ 利用哪些數(shù)量關(guān)系求螺利用哪些數(shù)量關(guān)系求螺帽的個(gè)數(shù)？帽的個(gè)數(shù)？22310126 103.14 ()1042v 32956()mm32.956()cm所以螺帽的個(gè)數(shù)為所以螺帽的個(gè)數(shù)為5 5. .8 810001000(7.8(7.82

15、.956)2.956)25252 2( (個(gè)個(gè)) )答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有252252個(gè)個(gè)柱體、錐體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積臺(tái)體的表面積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖22()srrrl rl 圓臺(tái)圓臺(tái) 圓柱圓柱2()sr rl()sr rl圓錐圓錐柱體、錐體、柱體、錐體、臺(tái)體的體積臺(tái)體的體積13vsh錐體錐體1()3vssss h臺(tái)體臺(tái)體柱體柱體vsh ss 0s鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：1.1. 把三棱錐的高分成三等分，過這些分點(diǎn)且平行把三棱錐的高分成三等分，過這些分點(diǎn)且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分

16、自上而下的體積之比。這三部分自上而下的體積之比。2.2. 已知圓錐的側(cè)面積是底面積的已知圓錐的側(cè)面積是底面積的2 2倍，它的軸截倍，它的軸截面的面積為面的面積為4 4 ，求圓錐的體積，求圓錐的體積. .3.3. 高為高為12cm12cm的圓臺(tái)，它的軸截面面積為的圓臺(tái)，它的軸截面面積為84cm84cm2 2, ,體體積為積為172cm172cm3 3，求它的側(cè)面積。，求它的側(cè)面積。3人類的家地球未來的家火星探索火星的航天飛船 球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺(tái)體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？hh 夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這

17、兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等rroorr五五. .球的體積球的體積一個(gè)半徑和高都等于一個(gè)半徑和高都等于r的圓柱，挖去一個(gè)的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為r的的半球的體積相等。半球的體積相等。rrlooo1lpnklbo2設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為r,r,截面半徑為截面半徑為r,r,平面平面 與截面的距離為與截面的距離為那么那么 r =

18、r = 22lr因此 s圓 = 2r= ( )22lr = 2r2lls圓環(huán) = 2r2l圓環(huán)面積圓環(huán)面積s圓 = s圓環(huán) 球球1 1v =v =2 23 32 2= = r r3 33 3球球4 4v =v = r r3 3rroorr22221 1 rr-rr- rrrr3 3r六六. .球的表面積球的表面積設(shè)想一個(gè)球由許多頂點(diǎn)設(shè)想一個(gè)球由許多頂點(diǎn)在球心在球心,底面在球面底面在球面上的上的“準(zhǔn)錐體準(zhǔn)錐體”組成組成,這些準(zhǔn)錐體這些準(zhǔn)錐體的底面并不是真的底面并不是真的多邊形的多邊形,但只要但只要其底面足夠小其底面足夠小,就就可以把它們看成可以把它們看成真正的錐體真正的錐體.r3 3球球1231

19、234 4v =v = r r3 3111111=rs +rs +rs +.=rs +rs +rs +.333333123123球球表表1 1=r(s +s +s +.)=r(s +s +s +.)3 31 1=rs=rs3 3s球表球表=4r2r例例1 1：（1 1）已知球的直徑為已知球的直徑為6cm6cm，求它的表，求它的表面積和體積。面積和體積。（2 2）已知球的表面積為）已知球的表面積為64 64 ，求它的體積。，求它的體積。2343 64=3 63srvr球球（ 1 ）23(2)=4=644256=33srr球球， r=4 v如圖：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。如圖：圓柱的底面直

20、徑與高都等于球的直徑。求證：求證：1、球的體積等于圓柱體積的球的體積等于圓柱體積的 倍。倍。3 32 2例例2r證明：證明：設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為，則圓柱的底面半徑為r，高為高為2r。因?yàn)橐驗(yàn)?r34v球23vr2r2r 圓圓柱柱所以，所以，圓柱球v32v2、球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。如圖：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。如圖：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。求證：求證：例例2r證明：證明：設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為，則圓柱的底面半徑為r，高，高為為2r。2、球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。（

21、2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?球r4s2s2r2r4r 圓圓柱柱側(cè)側(cè)所以，所以，圓柱側(cè)球ss例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球個(gè)頂點(diǎn)都在球o o的球面上，問球的球面上，問球o o的表面積。的表面積。a ab bc cd dd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1o o分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。222221134

22、23,)2()2(:arsaraarddbrt 得得中中略略解解：a ab bc cd dd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1o o例題講解例題講解練習(xí)練習(xí)1 .長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別是長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別是3 3、4 4、5 5，且長(zhǎng)，且長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，求這個(gè)球方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。的表面積。a ab bc cd dd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1o o 2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)等腰直角三角的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積

23、為（）形，則該幾何體外接球的體積為（）oabco 例例4已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)a、b、c的截面到球心的截面到球心o的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且ab=bc=ca=cm，求球的體，求球的體積，表面積積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球o半徑為半徑為r，截面截面 o的半徑為的半徑為r，r332ab2332ao 是正三角形，是正三角形，abcroo ,2 例題講解例題講解.34r .96491644s2 r,)332()2r(r222 oabco ,222aooooaaoort 中中解解：在在 ;81256)34(343433 rv例例4.已知過球面上三點(diǎn)已知過球面

24、上三點(diǎn)a、b、c的截面到球心的截面到球心o的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且ab=bc=ca=cm，求球的體積，求球的體積，表面積表面積例題講解例題講解【思路分析思路分析】設(shè)法尋求正四面體的設(shè)法尋求正四面體的棱長(zhǎng)與球的半徑之間的關(guān)系棱長(zhǎng)與球的半徑之間的關(guān)系.法二：將正四面體法二：將正四面體abcd置于正方體置于正方體中中正四面體的外接球即為正方體的外接正四面體的外接球即為正方體的外接球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑4.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_. .練習(xí)二練習(xí)二2422:134:11.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼?倍倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼?/p>