自動(dòng)控制原理考試試題第七章習(xí)題及答案驕陽書苑

1、第七章 非線性控制系統(tǒng)分析練習(xí)題及答案 7-1 設(shè)一階非線性系統(tǒng)的微分方程為試確定系統(tǒng)有幾個(gè)平衡狀態(tài)，分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，并畫出系統(tǒng)的相軌跡。 解 令 得系統(tǒng)平衡狀態(tài)其中： ：穩(wěn)定的平衡狀態(tài)； ：不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。計(jì)算列表，畫出相軌跡如圖解7-1所示。 -2 -1 0 1 2 -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 11 2 0 1 0 2 11圖解7-1 系統(tǒng)相軌跡 可見：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)最終收斂到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)散；時(shí)，; 時(shí)，。注：系統(tǒng)為一階，故其相軌跡只有一條，不可能在整個(gè)平面上任意分布。 7-2 試確定下列方程的奇點(diǎn)及其類型，并用等傾斜線法繪制相平面圖。 (1) (2)

2、 解 （1） 系統(tǒng)方程為 令，得平衡點(diǎn)：。系統(tǒng)特征方程及特征根： 計(jì)算列表 - -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 -1 -2/3 0 2 - -4 -2 -4/3 -1 -1 -4/3 -2 -4 2 0 -2/3 -1用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相平面圖如圖解7-2（）所示。圖解7-2（）系統(tǒng)相平面圖（2） 由式： 式代入： 即 令 得平衡點(diǎn)： 由式得特征方程及特征根為 （鞍點(diǎn)）畫相軌跡，由式 計(jì)算列表 22.5311.52 =1/(-2)210-1-2用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相平面圖如圖解7-2（）所示。7-3 已知系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為 ，試確定奇點(diǎn)及其類型，并用等傾斜線法繪制相平面圖。 解 求平衡

3、點(diǎn)，令 得平衡點(diǎn) )。將原方程在平衡點(diǎn)附近展開為臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取線性項(xiàng)。設(shè) 特征方程及特征根： k為偶數(shù)時(shí) （中心點(diǎn)） k為奇數(shù)時(shí) （鞍點(diǎn)） 用等傾斜線法作相平面 -2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2 -1/ 1/2 1 2 4 -4 -2 -1 -1/2作出系統(tǒng)相平面圖如圖解7-3所示。 7-4 若非線性系統(tǒng)的微分方程為 (1) (2) 試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并概略繪制奇點(diǎn)附近的相軌跡圖。 解（1） 由原方程得 令 得 解出奇點(diǎn) 在奇點(diǎn)處線性化處理。在處： 即 特征方程及特征根 （不穩(wěn)定的焦點(diǎn)） 在處 即 特征根 （鞍點(diǎn)）概略畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡如圖解7-4（1）所示： （2）

4、由原方程 令 得奇點(diǎn) ,在奇點(diǎn)處線性化 得 即 特征根 。奇點(diǎn)（中心點(diǎn)）處的相軌跡如圖解7-4(2)所示。 7-5 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-36所示。系統(tǒng)開始是靜止的，輸入信號(hào)，試寫出開關(guān)線方程，確定奇點(diǎn)的位置和類型，畫出該系統(tǒng)的相平面圖，并分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。解 由結(jié)構(gòu)圖，線性部分傳遞函數(shù)為得 由非線性環(huán)節(jié)有 由綜合點(diǎn)得 將、代入得開關(guān)線方程為 令 得奇點(diǎn) 特征方程及特征根 （中心點(diǎn)） iii：令 得奇點(diǎn) 特征方程及特征根 （中心點(diǎn)）繪出系統(tǒng)相軌跡如圖解7-5所示，可看出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)周期振蕩狀態(tài)。 7-6 圖7-37所示為一帶有庫(kù)侖摩擦的二階系統(tǒng)，試用相平面法討論庫(kù)侖摩擦對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

5、的影響。 解 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有 因?yàn)?代入式有 特征方程與特征根依題意 可得以為起點(diǎn)概略作出系統(tǒng)相軌跡。可見系統(tǒng)階躍響應(yīng)過程是振蕩收斂的。 7-7 已知具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)如圖7-38所示。圖7-38 具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)試用相平面法分析： （1）時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)； （2）時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并說明比例微分控制對(duì)改善系統(tǒng)性能的作用； （3）時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。 解 依結(jié)構(gòu)圖，線性部分微分方程為 非線性部分方程為 開關(guān)線方程： 由綜合口： 、代入并整理得在 i 區(qū)： 解出： （拋物線）同理在 ii 區(qū)可得： （拋物線）開關(guān)線方程分別為 時(shí)， ; 時(shí)，;時(shí)，.概略作出相平面圖如圖解7-7所示。圖習(xí)題

6、集p178 t8-10由相平面圖可見：加入比例微分控制可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)微分作用增強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)振蕩性減小，響應(yīng)加快。7-8 具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖7-39所示，試用相平面法分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解 非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖7-39 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖線性部分的微分方程式為考慮到，上式又可以寫成輸入信號(hào)為階躍函數(shù)，在時(shí)有，因此有根據(jù)已知的非線性特性，系統(tǒng)可分為三個(gè)線性區(qū)域。區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為按前面確定奇點(diǎn)的方法，可知系統(tǒng)在該區(qū)有一個(gè)奇點(diǎn)（0，0），奇點(diǎn)的類型為穩(wěn)定焦點(diǎn)。圖解7-8（）為區(qū)的相軌跡，它們是一簇趨向于原點(diǎn)的螺旋線。區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為設(shè)一般情況下，初始條件為。則上式的解

7、為對(duì)上式求一次導(dǎo)數(shù)，得故當(dāng)初始條件時(shí)，相軌跡方程為。當(dāng)時(shí)，相軌跡方程為由此可作出該區(qū)的相軌跡，如圖解7-8()所示，相軌跡漸進(jìn)于直線。區(qū)：此時(shí)系統(tǒng)的微分方程為將區(qū)相軌跡方程中的改變符號(hào)，即得區(qū)的相軌跡方程該區(qū)的相軌跡如圖解7-8（）所示。將以上各區(qū)的相軌跡連接起來，便是系統(tǒng)的整個(gè)相平面圖，如圖解7-8（）所示。假使系統(tǒng)原來處于靜止?fàn)顟B(tài)，則在階躍輸入作用時(shí)，相軌跡的起始點(diǎn)應(yīng)為。此時(shí)的系統(tǒng)的相平面圖如圖解7-8（）所示。由圖可知，系統(tǒng)在階躍輸入作用時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。動(dòng)態(tài)過程具有衰減振蕩性質(zhì)，最大超調(diào)量可從圖中量得。圖解7-8 非線性系統(tǒng)的相平面圖7-9 試推導(dǎo)非線性特性 的描述函數(shù)

8、。解 7-10 三個(gè)非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)一樣，線性部分分別為 (1) (2) (3) 試問用描述函數(shù)法分析時(shí)，哪個(gè)系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度高？ 解 線性部分低通濾波特性越好，描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度越高。分別作出三個(gè)系統(tǒng)線性部分的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解7-10所示。由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可見，l2的高頻段衰減較快，低通濾波特性較好，所以系統(tǒng)（2）的描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度較高。 7-11 將圖7-40所示非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化成環(huán)節(jié)串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)圖形式，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。 圖7-40 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解 (a) 將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解7-11（a）的形式。 (b) 將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖

9、解7-11(b)的形式。 7-12 判斷題7-41圖中各系統(tǒng)是否穩(wěn)定；與兩曲線交點(diǎn)是否為自振點(diǎn)。題7-41圖 自振分析解 （a） 不是（b） 是（c） 是（d） 點(diǎn)是，點(diǎn)不是（e） 是（f） 點(diǎn)不是，點(diǎn)是（g） 點(diǎn)不是，點(diǎn)是（h） 系統(tǒng)不穩(wěn)定（i） 系統(tǒng)不穩(wěn)定（j） 系統(tǒng)穩(wěn)定 7-13 已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖742所示圖7-42 7-13題圖圖中非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為試用描述函數(shù)法確定： （1）使該非線性系統(tǒng)穩(wěn)定、不穩(wěn)定以及產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，線性部分的值范圍； （2）判斷周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的振幅和頻率。 解 （1） n(a)單調(diào)降，也為單調(diào)降函數(shù)。畫出負(fù)倒描述函數(shù)曲線和曲線

10、如圖解7-13所示，可看出，當(dāng)k從小到大變化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)由穩(wěn)定變?yōu)樽哉?，最終不穩(wěn)定。 求使 的值：令 得 令 可得出k值與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系： （2）由圖解7-13可見，當(dāng)和相交時(shí)，系統(tǒng)一定會(huì)自振。由自振條件 解出 7-14 具有滯環(huán)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)如圖7-43（）所示，其中。（1） 當(dāng)時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若存在自振，確定自振參數(shù)；（2） 討論對(duì)自振的影響。圖7-43 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及自振分析解 具有滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為代入，有其負(fù)倒描述函數(shù)曲線如題7-43（）所示，曲線位于第三象限，兩曲線必然有交點(diǎn)，且該點(diǎn)為自振點(diǎn)。根據(jù)虛部相等，有自振角頻率隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，。根據(jù)實(shí)部相等，

11、有解出非線性輸入端振幅為當(dāng)時(shí)，。自振振幅隨增大而減小。 7-15 非線性系統(tǒng)如圖7-44所示，試用描述函數(shù)法分析周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)輸出信號(hào)振蕩的振幅和頻率。 解 將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解7-15。 令與的實(shí)部、虛部分別相等得 兩式聯(lián)立求解得 。由圖7-44，時(shí)，有，所以的振幅為。7-16 用描述函數(shù)法分析圖7-45所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并判斷系統(tǒng)是否存在自振。若存在自振，求出自振振幅和自振頻率（）。圖7-45 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)環(huán)節(jié)輸出為，環(huán)節(jié)輸出也為。同樣輸出也是；當(dāng)時(shí)情況類似。所以實(shí)際上和不起作用，系統(tǒng)可等效為如圖解7-16（）的形式。畫出和曲線如圖解7-16（）所示?？梢娤到y(tǒng)一定自振。由自振條件 即 比較實(shí)部、虛部有 圖解7-16解出 7-17