數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性

1、第6次 數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 (Numerical Analysis)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性第四章第四章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值積分引論機(jī)械求積方法以簡單函數(shù)近似逼近被積函數(shù)方法-插值型求積公式插值型求積公式的例子求積公式的收斂性和穩(wěn)定性數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性第四章 數(shù)值積分4.0 引言若函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用Newton-Leibnitz公式:b ba aF F( (a a) )F F( (b b) )f f( (

2、x x) )d dx x求定積分的值。 評論：Newton-Leibnitz公式 無論在理論上還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題。數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 (1) 被積函數(shù)f(x)沒有用初等函數(shù)的有限 形式表示的原 函數(shù)F(x)，例如：dxe 和dx xsinx10 x102(2) 被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示， 但表 達(dá)式太復(fù)雜，例如 的原函數(shù)： 32xxf(x)22 則無法應(yīng)用Newton-Leibnitz公式。在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：)32xxx2ln(216932xx16332xx41F(x)2222

3、2數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性(3) 被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式, 其函數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。 對于以上情況，通過Newton-Leibniz公式求原函數(shù)計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。 因而需要研究一種新的積分方法：數(shù)值解法來建立積分的近似計(jì)算方法。l將積分區(qū)間細(xì)分,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，l用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)f(x)進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。 Home數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 4.1 數(shù)值積分概述baf(

4、x)dxI圖4-1 數(shù)值積分的幾何意義 積分值 的幾何表示：由x=a, x=b, y=0以及y=f(x)這四條邊所圍的曲邊梯形面積。該面積難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭l曲邊y=f(x)。 4.1.1 數(shù)值積分的基本思想 y = f(x)yab數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性最常用的建立數(shù)值積分公式的兩種方法：f f( ( ) )本段講授機(jī)械求積方法.ba,a)f(),(bf(x)dxba即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為 的矩形面積。但點(diǎn)的具體位置是未知的, 因而 的值也是未知的。f f( ( ) )第1種：機(jī)械求積方法.第2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法由

5、積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間a, b內(nèi)存在一點(diǎn)，使得謎數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性三個(gè)求積分公式y(tǒng)構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。則分別得到如下的梯形公式和中矩形公式。)2baf(f()2f(b)f(a)f()梯形公式中的f f( ( ) )y中矩形公式中的例如分別取： f f( ( ) )數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 梯形公式xabf(b)a)f(a)(b21f(x)dxbay=f(x)ab用梯形面積代表積分值數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 中矩形公式)2baa)f(bf(x)dxbay=f(x)aby

6、x(a+b)/2ab用區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值為高的矩形面積代表積分值數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性y=f(x)y Simpson公式f(b)2ba4f(a)f(a)(b61f(x)dxbaabSimpson公式是以函數(shù)f(x)在a, b, (a+b)/2這三點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)平均值作為平均高度f( ). (a+b)/2Home數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性先用某個(gè)簡單函數(shù) 近似逼近f(x), 用 代替原被積函數(shù)f(x)，即 baba(x)dxf(x)dx函數(shù) 應(yīng)該對f(x)有充分的逼近程度,并且容易計(jì)算其積

7、分。第2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法(x)以此構(gòu)造數(shù)值算法。通常，將 選取為f(x)的插值多項(xiàng)式, 這樣f(x)的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近似代替。 (x)(x)(x)要求：數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性4.1.2 插值求積公式 n0kkk(x)lf(xP(x)(x)x(x(x)xxxx(x)lkknkj0jjkjk其中，對k=0,n n),0,1,(kxk)f(xk設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn) 有函數(shù)值 ,作n次拉格朗日插值多項(xiàng)式 )x(x)x)(xx(x(x)n10數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 bakn0kkbaba(x)dxl )f

8、(x P(x)dxf(x)dxbakkbakkdx)(x)x(x(x)(x)dxlA其中 稱為求積系數(shù)。取 作為 的近似值，即 baP(x)dxbaf(x)dxbakn0kk(x)dxl)f(xkn0kkbaA)f(xf(x)dx記為數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定義4.1 求積公式 n0kkkba)f(xAf(x)dx當(dāng)其系數(shù) 時(shí)，則稱求積公式為插值（型）求積公式。 bakk(x)dxlA(4.1)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性記(4.1)的余項(xiàng)為 ，由插值余項(xiàng)定理得 R(f)ba1)(nba(x)dx1)!(n()fdxP(x)f(x)R(f)b

9、a, 其中 注意：當(dāng)f(x)是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式時(shí)， 因此，求積公式(4.1)成為準(zhǔn)確的等式。0(x)f1)(n0R(f)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性例1 給定插值節(jié)點(diǎn) 10f(x)dx為定積分43x,21x,41x210構(gòu)造插值求積公式。 43x21x843412141/43x21x(x)l043x41x1643214121/43x41x(x)l121x41x821434143/21x41x(x)l2解：以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為 數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性32dx43x21x8(x)dxl1010031-dx43x4

10、1x16)(x)dxl1010132dx21x41x8(x)dxl10102432f21f412f31f(x)dx10從而，得到插值型求積公式如下：數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性例2 設(shè)積分區(qū)間a, b為0, 2，取 x432e,x,x,xx,1,f(x)20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx解: 梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示 計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較。分別用梯形和辛卜生公式： 數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性f(x)1xx2 x3x4 ex定積分準(zhǔn)確值222.6746.406.389

11、梯形公式計(jì)算值 2248168.389辛卜生公式計(jì)算值 222.6746.676.421可以看出，當(dāng)f(x)是 x2 , x3 , x4 時(shí),辛卜生公式比梯形公式更精確。20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx梯形公式辛卜生公式同學(xué)們，自己驗(yàn)證數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性某求積公式能對多大次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)。代數(shù)精度的定義：如果求積公式（4.1）對于一切次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。 mm2210 xaxaxaaf

12、(x)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性abA A An10在公式4.1中，令f(x)=1, x, x2, x3,xn若求積公式（4.1）的代數(shù)精度為n，則其系數(shù) 應(yīng)滿足: kA2abxAxAxA22nn1100 1nabxAxAxA1n1nnnnn11n00其系數(shù)矩陣n nn nn n1 1n n0 02 2n n2 21 12 20 0n n1 10 0 x xx xx xx xx xx xx xx xx x1 11 11 1當(dāng)n n) ), ,0 0, ,1 1, ,( (k kx xk k A Ak k互異時(shí)，有唯一解 數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)

13、定性定理4.1 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式 n0kkkba)f(xAf(x)dx為插值型求積公式公式至少具有n次代數(shù)精度。 證:必要性.設(shè)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式n0kkkba)f(xAf(x)dxdx(x)lAbakkR(x)P(x)f(x)插值型求積公式判斷條件為插值型求積公式，求積系數(shù)為： 又 ，當(dāng)f(x)為不高于n次的多項(xiàng)式時(shí), f(x)=P(x), 其余項(xiàng)R(f)=0。因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度。數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性nkj0jjkjkxxxx(x)ln n) ), ,0 0, ,1 1, ,( (k k充分性： 若求積公式至少具有n次代數(shù)精度, 則

14、對n次多項(xiàng)式精確成立，即從而0)(xk的時(shí)候，l而當(dāng)j1,)(x注意ljkkk所以由（*）和(*)知： ,即求積公式為插值型求積公式 。(x)dxlAbakk其中).).).).nk1kk1-kk0kn1k1-k0kx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(x(x)ln0jjkjbak)(xlA(x)dxl(*)kn0jjkjA)(xlA(*)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性重要結(jié)論： 梯形公式具有1次代數(shù)精度； 辛卜生公式有3次代數(shù)精度（同學(xué)們自己驗(yàn)證）。baf(b)f(a)2abf(x)dx取f(x)=1，顯然上式兩端相等。 取f(x)=x, ba2

15、2右b)(a2ab)a(b21xdx左取f(x)=x2 , 右)b(a2ab)a(b31dxx左ba22332所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。 下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證 數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性例3 試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式 40Cf(3)Bf(1)Af(0)f(x)dx解: 要使公式具有2次代數(shù)精度，則對f(x)=1, x, x2 ，求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。 64/39CB83CB4CBA20/9C,4/3B4/9,A解之得： 20f(3)12f(1)4f(0)91f(x)dx40所求公式為

16、： 插值型求積公式系數(shù)的值與1）積分區(qū)間a,b有關(guān)，2）節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)；3）和具體的f(x)無關(guān)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性例4 試確定求積系數(shù)A, B, C，使得11Cf(1)Bf(0)1)Af(f(x)dx32CA0CA2CBA可驗(yàn)證，該公式對于f(x)= x3 也成立(意外收獲)，而對x4 不成立。因此，該求積公式有3次代數(shù)精度。f(1)31f(0)341)f(31f(x)dx11A=1/3, B=4/3, C=1/3具有最高的代數(shù)精度。解:分別取f(x)=1, x, x2 ，使求積公式準(zhǔn)確成立,得:Simpson求積公式數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂

17、性與穩(wěn)定性做法：選定n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，按照插值公式構(gòu)造求積公式后，應(yīng)驗(yàn)算該求積公式是否還有n+1次或更高的代數(shù)精度。問題：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度究竟有多高？回答：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式保證了至少有n次代數(shù)精度。結(jié)論：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n，但是有可能比n還大？數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性解：該插值求積公式具有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此至少有2次代數(shù)精度。f f( (b b) ) )2 2b ba a4 4f f( (f f( (a a) )6 6a ab bf f( (x x) )d dx xb ba a例5 已知插值求積公式（按照插值公

18、式構(gòu)造的系數(shù)） 將f(x)=x3代入公式兩端，左端=右端=(b4-a4)/4, 公式兩端嚴(yán)格相等， 再代入f(x)=x4兩端不相等，故該求積公式具有3次代數(shù)精度。討論該公式的代數(shù)精度。Simpson 公式是否有3次代數(shù)精度呢？數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性的代數(shù)精度。f(1)2f(0)1)f(21f(x)dx11例6 考察求積公式評論：三個(gè)節(jié)點(diǎn)不一定具有2次代數(shù)精度，因?yàn)椴皇遣逯敌偷?！解：可?yàn)證, 對于f(x)=1, x時(shí)公式兩端相等, 再將f(x)=x2代入公式，經(jīng)過計(jì)算，左端=2/3， 右端=1。所以該求積公式具有 1 次代數(shù)精度.課堂練習(xí)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-

19、求積公式的收斂性與穩(wěn)定性例7 給定求積公式如下： 10)432f()21f()412f(31f(x)dx試證此求積公式是插值型的求積公式。 證明:1011dx左 1，212311，右令f(x)21xdx左 ，21432214231x，右令f(x)1031dxx左 ，3116184116231，右x令f(x)1022從而求積公式至少有2次代數(shù)精度，由定理4.1，此求積公式是插值型求積公式?？沈?yàn)證，該公式有3次代數(shù)精度。 課堂練習(xí)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性上的插值基函數(shù)、和插值求積公式如下： 另外一種驗(yàn)證方法-具體地計(jì)算出以下插值型求積公式中的積分系數(shù)43x,21x,41

20、x210)43Cf()21Bf()41Af(f(x)dx10A, B, C. 實(shí)際上，在例1中，已經(jīng)求出了在插值節(jié)點(diǎn)432f21f412f31f(x)dx10這和題目中所給定的求積公式相同，因此題目中的積分公式是插值型求積公式。 這個(gè)方法比較復(fù)雜。數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性f(1)2f(0)1)f(21f(x)dx11例8 求證不是插值型的。證明: 設(shè) x0 = -1, x1 =0, x2 =1 2左2,12121右1,令f(x)0左0,10-121右x,令f(x)32左1,1121右,x令f(x)2從而求積公式擁有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，但是僅有1次代數(shù)精度，由定理4.1，此求積

21、公式不是插值型求積公式。課堂練習(xí)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 例9 給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1, A0 ,A1, 使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度。f f( (h h) )A Af f( (0 0) )A Ah h) )f f( (A Af f( (x x) )d dx x1 10 02 2h h2 2h h1 1解：令求積公式對f(x)=1, x, x2準(zhǔn)確成立，則有31212h316AhAh0hAhA114hAAA101課堂練習(xí)數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性2f(h)f(0)h)2f(h34f(x)dxh38AAh,34A2h2

22、h110解之得:其代數(shù)精度至少為2,將f(x)=x3代入求積公式兩端相等；將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等；所以其代數(shù)精度為3次數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：1）復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分；2）求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)，而與被 積函數(shù)f(x)無關(guān)，無論f(x)如何，永遠(yuǎn)可以預(yù)先 算出Ak的值；3）n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度；abAn0kk4）求積系數(shù)之和 可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性。數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 (1) 在積分區(qū)間a,b上選取節(jié)點(diǎn)xk(3) 利用

23、f(x)=1, x, , xn,驗(yàn)算代數(shù)精度構(gòu)造插值求積公式的步驟：bakk(x)dxlA) )f f( (x xA Af f( (x x) )d dx xk kb ba an n0 0k kk k(2) 求出f(xk)及利用 或解關(guān)于Ak的線性方程組求出Ak，得到:數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性例10 對 , 構(gòu)造至少有3次代數(shù)精度的求積 公式。同學(xué)自己完成。3 30 0f f( (x x) )d dx x解: 3次代數(shù)精度需4個(gè)節(jié)點(diǎn), 在0, 3上取0, 1, 2, 3四個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式f(3)Af(2)Af(1)Af(0)Af(x)dx321300確定求積系數(shù)Ak(k=0, 1, 2, 3), 利用求積系數(shù)公式3023300836)dx11x6x(x61dx3)2)(01)(0(03)2)(x1)(x(xA數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性,89dx3)2)(10)(1(13)2)(x0)(x(xA301因?yàn)榍蠓e公式有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以至少具有3次代數(shù)精度，只需將f(x)=x4代入來驗(yàn)證其代數(shù)精度。將f(x)=x4代入兩端不相等，所以只有3次代數(shù)精度。83A,89A32f(3)3f(2)3f(1)f(0)83f(x)dx30數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式