函數(shù)的求導法則90748PPT課件

1、1導數(shù)概念的回顧xxfxxfxfx)()(lim)(0切線的斜率。處的在點表示曲線)(,()()(000 xfxMxfyxf2、導數(shù)幾何意義3、求導公式 )(C )(sin x )(cosx0 xcosxsin1、導數(shù)的定義、導數(shù)的定義第1頁/共55頁2 )(log xa)()(Rx )(xa )(xe )(ln x.1x.lnaax.xe.ln1ax.1x第2頁/共55頁3定理定理并且可導處也在點分母不為零們的和、差、積、商則它處可導在點如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu);()( )()() 1 (xvxuxvxu);()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu).0)()(

2、)()()()()()() 3(2xvxvxvxuxvxuxvxu一、和、差、積、商的求導法則第3頁/共55頁4證（證（3 3）),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .).0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu第4頁/共55頁5hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxv

3、hxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu 處可導，且有在所以xxf)().0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu第5頁/共55頁6推論推論11(1)( )( );nniiiif xf x);( )()2(xfCxCf 121121211(3)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( );nininnnnikikk if xfx fxfxf x fxfxf x fxfxf x fx 如如123( )( )( )f x fx fx 123( )( )( )fx fx fx123( )( )( )f x

4、fx fx123( )( )( )f x fx fx第6頁/共55頁7例例1 1 解解23xy x4例例2 2.ln2sin的導數(shù)的導數(shù)求求xxy 解：解：xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2xcos.2sin1ln2cos2xxxx.5cossin223的導數(shù)的導數(shù)求求 xxxy因為所以.第7頁/共55頁8例例3 3.tan的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .seccos1)(tan22xxx

5、.cscsin1)(cot22xxx同理可得同理可得因此因此第8頁/共55頁9例例4 4.sec的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得xxxtansec)(sec因此因此第9頁/共55頁105例例).4(,11)(ftttf求求已知已知解解：2)1 (21)1 ()1 (21)(ttttttf因為181)4( f所以第10頁/共55頁11例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求設解解, 1)( xf,0時當 x,0時當 x)(xf)11ln(1li

6、m0 xxxx.11xxxxxxx10)11ln(11limxxxxx)1ln()1ln(lim0第11頁/共55頁12,0時當 xhhfh)01ln()0(lim)0(0, 1hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0, 1. 1)0( f.0,110, 1)(xxxxf于是于是所以所以第12頁/共55頁13定理定理.)(1)(,),()(,0)(,)(,)()(yxfIyyxxIxfyyIyxyxxfyyxy且有內也可導在對應區(qū)間那末它的反函數(shù)且內單調、可導某區(qū)間在如果的反函數(shù)為設即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調

7、的連續(xù)反函數(shù).連續(xù)函數(shù)的性質：問題：問題：可導函數(shù)的反函數(shù)是否為可導函數(shù)？二、反函數(shù)的導數(shù)第13頁/共55頁14證證,0）（以增量給xxx的單調性可知由)(xfy , 0y于是有于是有,1yxxy,)(連續(xù)因為xf),0(0 xy所以0)( y又知xyxfx0lim)(所以yxy1lim0)(1y.)(1)(yxf即內單調、可導，在由于yIyx)(從而單調、連續(xù)，內也單調、連續(xù)，在對應區(qū)間所以其反函數(shù)xIxfy)(第14頁/共55頁151例例yxy求求3：解法解法1)(3xy32323131xx：解法解法2,33xyyx的反函數(shù)是因為,)(3xxf即即)(1)(yxf所以231y3231x第1

8、5頁/共55頁16例例2 2.arcsin的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內單調、可導在因為yx, 0cos)(sin yy且且內有在所以) 1 , 1()(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .11)(arccos2xx 同理可得同理可得211x211)(arcsinxx第16頁/共55頁17;11)(arctan2xx.11)cot(2xx arc3例例.,arctanyxy求求,tanarctanyxxy的反函數(shù)為因為解：解：上單調、可導，上單調、可導，且在且在)2,2( , 0sec)(tan2yyyyx2sec1)(tan1)(arctan由

9、公式知2221tan1secxyy而而同理可得同理可得所以所以第17頁/共55頁18例例2 2.log的導數(shù)求函數(shù)xya, 0ln)(aaayy且,), 0(內有所以在)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解解,),(內單調、可導在因為yax特別地特別地.1)(lnxx axxaln1)(log第18頁/共55頁19三、復合函數(shù)的求導法則xy2sin如)2(sinx=?x2cos由兩函數(shù)相乘的求導法則)2(sinxdxdy)cossin2(xxsinsincoscos2xxxxx2cos2的復合函數(shù)。和是xuuy2sin另一方面所以)2(sinxx2cos)(sinududyucos

10、x2cos2)2(xdxdu因此dudydxdux2cos2結論dxdydudydxdux2cos2 復合函數(shù)的導數(shù)等于其組成的簡單函數(shù)導數(shù)的乘積第19頁/共55頁20 即即 函數(shù)對自變量求導函數(shù)對自變量求導,等于函數(shù)先對中間變等于函數(shù)先對中間變量求導量求導,再乘以中間變量對自變量求導再乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則鏈式法則)( ),( ), ( ),( )( ).uxxyf uuyfxxdydy duf uxdxdu dx如果函數(shù)在點 可導而在點 可導 則復合函數(shù)在點 可導且其導數(shù)為定理定理第20頁/共55頁21證證( ),yf uu由在點 可導0lim( )uyf uu 所以0( )

11、(lim0)uyf uu 故( )yf uuu 則0limxyx 所以0lim( )xuuf uxx 000( ) limlimlimxxxuuf uxx ( )( ).fux第21頁/共55頁22推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy的導數(shù)為則復合函數(shù)例例3 3.sinln的導數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy因為dxdududydxdy所以xucos1xxsincosxcot第22頁/共55頁23例例4 4.)1tan(的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy解：解：xuuy1,tan因為dxdududydxdy所以xu21sec2)1 (se

12、c212xx第23頁/共55頁24例例5 5.) 1(102的導數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例6 6解解, )1(ln2xxy.y求求112xxy)21211 (2xx112x第24頁/共55頁25例例7 7. )0()(11xxx ）證明：）證明：（)()(lnxex）證明：）證明：（1xeln)ln(xxx1x）求（）求（xx2)()(lnxxxex)2(xxeln)ln(xxxx)1ln(x第25頁/共55頁268例例dxdyyx求求31 sinarctan:解解dxdy)sin()sin(xx3131112)sin

13、(sinsinxxx313121321)(cossinsinxxxx3331213213333121321lncossinsinxxxx第26頁/共55頁279例例dxdyxy求求21tansinln解：解：dxdy)tan(sintansin22111xx)(tantancostansin2221111xxx)(sectancostansin2222211111xxxx)(tansinsectancos2222221121111xxxxxxxxxx212111122222tansinsectancos第27頁/共55頁28例例1010.)2(21ln32的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解

14、),2ln(31) 1ln(212xxy因為可變?yōu)?2( 31211212xxxy所以)2(3112 xxx例例1111.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第28頁/共55頁29例例1212.),1(sin2dxdyxfym求求)(sin12xfdxdym解：解：121xmmsin1212xx2例例1313.,3arctan2sindxdyxyx求求dxdyxx3arctan)2sin( )3(arctan2sinxxxxx3arctan212cos2sin213ln33112sin2xxx

15、12xcos第29頁/共55頁301 ()C （ ）1. 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式2 ()x （ ）xe四、初等函數(shù)的求導問題(7) (sin)x (9) (tan)x (3) ()xa (5) (log)ax (6) (ln )x (8) (cos)x (10) (cot)x (11) (sec)x (12) (csc)x 01xlnxaa(4) ()xe 1lnxa1xcos xsin x2sec x2csc xsectanxxcsccotxx第30頁/共55頁31(13) (arcsin)x 2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導

16、法則(15) (arctan)x (14) (arccos)x (16) (arccot)x 211x211x211x211x )()() 1 (xvxu)()(xvxu )()()2(xvxu)()()()(xvxuxvxu )()() 3(xvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu)0)(xv第31頁/共55頁323.3.復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則導，且導數(shù)為可在點可導，則復合函數(shù)在點可導，而在點如果xxfyxuufyxxu)()()()(利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決.dxdydxdududy)()(xuf問題：

17、什么是初等函數(shù)？第32頁/共55頁33解解:,1111xxxxy.dxdy求12xx1212x)2( x112xx例例1函數(shù)可變?yōu)楹瘮?shù)可變?yōu)?1222xxy所以所以dxdy1第33頁/共55頁34例2 2. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sinxe2sinxe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sinxe2cos x2sinxe112xx關鍵關鍵: 搞清函數(shù)結構 , 由外向內求導.第34頁/共55頁35例例3 3.)(sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin

18、)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 第35頁/共55頁36五、小結注意注意:);()( )()(xvxuxvxu.)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導時求導時, 分界點導數(shù)用左右導數(shù)求分界點導數(shù)用左右導數(shù)求.反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則 任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出數(shù)的求導公式和上述求導法則求出.第36頁/共55頁379722P習題)9 , 7 ,

19、 5 , 3 , 1 (11),2(10, 9),10, 8 , 6 , 4 , 2(8),9 , 7 , 5 , 3 , 1 (7)9 , 7 , 5 , 3 , 1 (6, 5),3 , 2(3),10, 8 , 6 , 4 , 2(2第37頁/共55頁38思考題思考題冪函數(shù)在其定義域內（冪函數(shù)在其定義域內（ ）.（1） 必必可可導導； （2）必必不不可可導導；（3）不不一一定定可可導導；第38頁/共55頁39思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例32)(xxf ),( x在在 處不可導，處不可導，0 x )1(2)(xxf ),( x在定義域內處處可導，在定義域內處處可導

20、， )2(第39頁/共55頁40一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設nxxyln ，則，則y = =_._.2 2、 設設xy1cosln ，則，則y = =_._.3 3、 設設xxy ，則，則y = =_._.4 4、 設設tttteeeey ，則，則y = =_._.5 5、 設設)999()2)(1()( xxxxxf則則 )0(f = =_._.二、二、 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：1 1、 )1tanh(2xy ；2 2、 ysinhar)1(2 x；練練 習習 題題第40頁/共55頁41 3 3、 ycoshar)(2xe； 4 4、xxeycoshsinh ； 5

21、5、2)2(arctanxy ； 6 6、xey1sin2 ； 7 7、212arcsintty . .第41頁/共55頁42一、一、1 1、1ln1 nxxn； 2 2、xx1tan12； 3 3、xxxx 412； 4 4、t2cosh1； 5 5、-999!.-999!.二、二、1 1、)1(cosh222xx ； 2 2、22224 xxx；3 3、1242 xxee； 4 4、)sinh(cosh2coshxxex ；5 5、2arctan442xx ； 6 6、xexx1sin222sin1 ；練習題答案練習題答案第42頁/共55頁437 7、 1,121,122222tttty.

22、 .第43頁/共55頁44思考題思考題 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在0 x可導，且可導，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必可導；）必可導；（2）必不可導；）必不可導；（3）不一定可導；）不一定可導；第44頁/共55頁45思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例|)(uuf 在在 處不可導，處不可導，0 u取取xxgusin)( 在在 處可導，處可導，0 x|sin|)(xxgf 在在 處不可導，處不可導，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 處可導，處可導，0 x44|)(xxxgf 在在 處可導，處可導，0 x )2(第

23、45頁/共55頁46一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設設xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設設)arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、 設設xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設設xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設設)(xf可導，且可導，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設設xkexftan)( , ,則則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，則 k_._.練練 習習 題題第46頁/共55頁47二、二、 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列

24、函數(shù)的導數(shù)：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 設設)(xf，)(xg可導，且可導，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求函數(shù))()(22xgxfy 的導數(shù)的導數(shù) . .四四、設設)(xf在在0 x處處可可導導，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導導，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導導 . .第47

25、頁/共55頁48一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；練習題答案練習題答案第48頁/共55頁49 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .第49頁/共55頁50思考題思考題 求曲線求曲線 上與上與 軸平行軸平行的切線方程的切線方程.32xxy x第50頁/共