函數(shù)與極限內(nèi)容提要與典型例PPT課件

1、一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念第1頁/共28頁函 數(shù)的定義函 數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（一）函數(shù)第2頁/共28頁數(shù)列極限函 數(shù) 極 限axnn limAxfx )(limAxfxx )(lim0左右極限極限存在的充要條件無窮大 )(limxf兩者的關(guān)系無窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無窮小0)(lim xf判定極限存在的準則兩個重要極限無窮小的比較等價無窮小及其性質(zhì)唯一性（二）極限第3頁/共28頁（三）連續(xù)左右連續(xù)連續(xù)的充要條件間斷點定義 振蕩間斷點 無窮間

2、斷點 跳躍間斷點 可去間斷點第一類 第二類在區(qū)間a,b上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的 性 質(zhì)第4頁/共28頁二、典型例題例1 求下列極限)11()311)(211(lim222nn )1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnn第5頁/共28頁解答)11()311)(211(lim222nn nnnnn1134322321lim 原式原式nnn1lim21 21 )1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnnxxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim22原式原式xxnn 11lim12x 11第6頁/共28頁例2 證明：1lim n

3、na證1 a先設(shè)先設(shè)1 na則則01 nnnhah記記得得由由nnha 1 2! 2)1(1)1(nnnnhnnnhhannh （整體和大于部分和）nahn 0由夾逼定理知0lim nnh1lim nnabaa11 ，記，記若若1 b則則nnnnba1limlim 1 1,lim1nnaa若則顯然成立；第7頁/共28頁 .)321 (lim 1nnnn求 132313)321 (11nnnnnn , 3132311 nn而 , 33)321 (3 11nnnn故 , 3)33(lim 1nn又 . 3)321 (lim , 1nnnn得由夾逼定理例3.解第8頁/共28頁 例4. 求1402li

4、m1xxxee解:1402lim1xxxee34402lim1xxxxeee01402lim1xxxee1402lim1xxxee2左右極限不相等，故原函數(shù)極限不存在。 第9頁/共28頁例5. 確定常數(shù) a , b , 使0)1(lim33bxaxx解:原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0第10頁/共28頁解例6.121 cos0 lim(1 sin) . xxx求1221 cos00ln(1 sin) lim(1 sin)exp lim1 cosxxxxxx , )0( 2c

5、os1 , )1ln( 2得由xxxxx2202 sinexp limxxx22200sinexp lim2lim . xxxex第11頁/共28頁例7.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式第12頁/共28頁解例8. .coslncoslim 20 xxexx求)1(cos1ln(cos1)1(co

6、s1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0 xxx)1(cos1ln(1lim20 xexx1coslim20 xxx1coscos1lim0 xxx3第13頁/共28頁解例9. ).(lim 2112sin)(1 lim , )(lim 0 300 xfexxfxfxxxx求且存在已知 . 0 )( , )(lim 0時有界當(dāng)故函數(shù)存在由于xxfxfx 02sin)(lim 0得由xxfx )0( 2sin)(2112sin)(1 xxxfxxf 從而 ,3)(lim32sin)(21lim112sin)(1 lim20030 xfxxxfexxfxxxx

7、. 6)(lim 0 xfx故.2111 , 0 xxx 時第14頁/共28頁 2sin4,02202(1)01ln11xxxxf xxxxxx ， ， ， xf例10研究在其定義域內(nèi)的連續(xù)性設(shè)第15頁/共28頁 20 f 2lim0 xfx 2lim0 xfx)(xf0 x 01 f 11)1(1lnlim1lnlimlim111xxxxxfxxx 0lim1xfx所以在點連續(xù)；1x xf1x所以是跳躍間斷點；函數(shù)除外，處處連續(xù) xf), 1 ( 1 .(即的連續(xù)區(qū)間為解：第16頁/共28頁例11.1,2cos1,1)(的連續(xù)性的連續(xù)性討論討論 xxxxxf 解改寫成改寫成將將)(xf 1,

8、 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然 xf第17頁/共28頁,1時時當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間斷間斷在在故故 xxf,1時時當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0.1)(連續(xù)連續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連續(xù)連續(xù)在在 xf第18頁/共28頁)1)()( xaxbexfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1 x為無窮間斷點,

9、0 x )1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx )1)(lim00 1,0 ba為可去間斷點,1 x)1(lim1 xxbexx極限存在0)(lim1 bexxeebxx 1lim 設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a 及 b.ba 1例12解第19頁/共28頁例13).()21( 1 , 0),1()0(, 1 , 0)( ffffxf 使得使得證明必有一點證明必有一點且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè)證),()21()(xfxfxF .21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff

10、, 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 令第20頁/共28頁則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零點定理知,),21, 0( .)()21(成立成立即即 ff 綜上,.)()21(成立成立使使 ff )0()21()0(ffF )21()1()21(ffF . 0)( F使使,1 , 0 21, 0 必有一點第21頁/共28頁思考與練習(xí)1., 3)11(lim2 baxxxx已知已知. ba、求求常常數(shù)數(shù)2.ccxcxxx，求，求設(shè)設(shè)4lim 3.,1lim)(212為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè) nnnxbaxxxf.

11、ba、求求求的間斷點,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf4.并判別其類型.01 1)1)(1(sin)1()( xxxxxxf第22頁/共28頁1., 3)11(lim2 baxxxx已知已知. ba、求求常常數(shù)數(shù)解原極限=11)()1(lim2 xbxabxax3 01 a3 ab 1 a4 b第23頁/共28頁2ccxcxxx，求，求設(shè)設(shè)4lim 解一xxxxcxccxcx 21limlim ccccxxcxccxc2121lim22ce2 4 2ln22 c2ln c得得解二xxxxxxcxccxcx 11limlimccee ce2 第24頁/共28頁3,1lim)(212為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè) nnnxbaxxxf. ba、求求解 )(xf 1| x1| x1 x1 xbax x1)1(21ba )1(21ba ,)(連續(xù)連續(xù)xf)01( f)01( f)1( f即1 ba )1(21ba ,1時時 x第25頁/共28頁 )(xf 1| x1| x1 x1 xbax x1)1(21ba )1(21ba ,)(連續(xù)連續(xù)xf)01( f)01( f)1(f 即1 ba )1(21ba ,1時時 x1 ba )1(21ba 得, 0 b1 a第26頁/共28頁求的間斷點,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf)1)(1(si