第七章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)6頁

1、第七章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)7.1據(jù)公式證明，對(duì)于非相對(duì)論粒子有。解：邊長L的立方體中，粒子能量本征值：，簡記為其中是系統(tǒng)體積，常量，并以指標(biāo)代表三個(gè)量子數(shù)。從而得：，代入壓強(qiáng)公式，有。7.2試根據(jù)公式證明，對(duì)于相對(duì)論粒子，有。解:邊長為L的立方體中，極端相對(duì)論粒子的能量本征值為：用指標(biāo)表示量子數(shù)表示系統(tǒng)的體積，可將上式簡記為其中：由此代入壓強(qiáng)7.3選擇不同的能量零點(diǎn)，粒子第個(gè)能級(jí)的能量可以取為或。以表示二者之差，試證明相應(yīng)配分函數(shù)存在關(guān)系，并討論由配分函數(shù)和求得的熱力學(xué)函數(shù)有何差別.解:當(dāng)選擇不同的能量零點(diǎn)時(shí)，粒子能級(jí)的能量可以取為或配分函數(shù)，故根據(jù)內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式：，容易證明根據(jù)壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式：，

2、容易證明根據(jù)熵統(tǒng)計(jì)表達(dá)式：，容易證明其他熱力學(xué)函數(shù)請自行考慮。7.4試證明，對(duì)于遵從玻爾茲曼分布的系統(tǒng)，熵函數(shù)可以表示為，式中PS是粒子處在量子態(tài)S的概率，對(duì)粒子的所有量子態(tài)求和。證明：S態(tài)上的平均粒子數(shù)為,概率為顯然有歸一化條件，且粒子的平均能量可以表示為定域系統(tǒng)的熵為：7.5某固體含有A、B兩種原子，試證明由于原子在晶體格點(diǎn)的隨機(jī)分布起的混合熵為：，其中，N是總原子數(shù)，x是A原子的百分比，(1-x)是B原子的百分比。證明：A種原子在N個(gè)格點(diǎn)隨即分布的狀態(tài)數(shù)：所以混合熵當(dāng)N很大時(shí)，利用公式7.6晶體含有N個(gè)原子，原子在晶體中的正常位置如圖中的“O”所示.當(dāng)原子離開正常位置而占據(jù)圖中的“”位置

3、時(shí)，晶體中就出現(xiàn)缺位和填隙原子.晶體的這種缺陷稱為Frenkel缺陷.(a)假設(shè)正常位置和填隙位置數(shù)都是N，試證明，由于在晶體中形成個(gè)缺位和填隙原子而具有的熵等于:(b)設(shè)原子在填隙位置和正常位置的能量差為.試由自由能為極小證明，溫度為T時(shí)，缺位和填隙原子數(shù)為:解:(a)晶體內(nèi)N個(gè)原子，正常的格點(diǎn)位置亦為N.當(dāng)固體的N個(gè)正常位置出現(xiàn)個(gè)缺位時(shí)，由于缺位位置的不同，可以有個(gè)微觀狀態(tài)，同樣也可以有個(gè)微觀狀態(tài).因此總的可能的微觀狀態(tài)數(shù)為：，因此弗倫克爾缺陷熵為：(b)形成個(gè)缺位和填隙原子后，固體內(nèi)能的增加為自由能的改變?yōu)榧僭O(shè)形成缺陷后固體的體積不變，溫度為T時(shí)平衡態(tài)的自由能為極小:從而得：，即由于，上

4、式可以近似為7.7如果原子脫離晶體內(nèi)部的正常位置而占據(jù)表面上的正常位置，構(gòu)成新的一層，稱為肖脫基缺陷.以N表示晶體中的原子數(shù)，表示晶體中的缺陷數(shù).如果忽略晶體體積的變化，試用自由能為極小的條件證明，溫度為T時(shí)，有（設(shè)），其中W為原子在表面位置與正常位置的能量差。解:在原有的N個(gè)正常位置中個(gè)原子轉(zhuǎn)移到表面，就有個(gè)缺位，有：形成缺陷后固體熵增為形成個(gè)肖脫基后內(nèi)能的增加為，自由能的改變?yōu)楹雎怨腆w體積的變化，溫度為T時(shí)平衡態(tài)自由能最小要求：得，即，由于，上式近似為：7.8氣體以恒定的速度沿Z方向作整體運(yùn)動(dòng)。試證明，在平衡狀態(tài)下分子動(dòng)量的最概然分布為。證明：氣體是非定域系統(tǒng)，由于滿足經(jīng)典極限條件而遵從玻

5、爾茲曼分布。微觀狀態(tài)數(shù)為，其對(duì)數(shù)為令各有al的變化dal，lnW，因而有變化在氣體沿Z方向作整體運(yùn)動(dòng)的情形下，分布滿足：;要求;，氣體分子分布是使lnW為極大。用拉氏乘子a1，b和g法，得每個(gè)dal的系數(shù)都等于零，所以有或?qū)懗蓜?dòng)量的連續(xù)分布：在體積V=L3內(nèi)，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的動(dòng)量范圍內(nèi)的分子數(shù)為7.9氣體以恒定速度v0沿Z方向作整體運(yùn)動(dòng)。求分子的平均平動(dòng)能量。解：以v0沿Z方向運(yùn)動(dòng)的氣體，速度分布為:分子平均動(dòng)能為:7.10表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動(dòng)，可以看作二維氣體.試寫出二維氣體中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速

6、率和方均根速率.解:在液面上物質(zhì)分子的速度分布為:速率分布為:極坐標(biāo)系下平均速率為:速率平方的平均值為，方均根速率為最概然速率條件確定，由此可得。7.11根據(jù)麥?zhǔn)纤俣确植悸蓪?dǎo)出兩分子的相對(duì)速度和相對(duì)速率的概率分布，并求相對(duì)速率的平均值解：I先求速度分布：兩分子的相對(duì)速度在dvrxdvrydvrz內(nèi)的幾率:v1x有關(guān)分量同理v1y分量分別為;v1z分量分別為于是，引入，則速度分布為：把變數(shù)換為vr,并對(duì),積分，則得到速率分布為相對(duì)速率的平均值7.12試證明，單位時(shí)間內(nèi)碰到單位面積器壁上的分子數(shù)為：。解:單位時(shí)間內(nèi)碰到單位面積器壁上，速度在范圍內(nèi)的子數(shù)為：用速度空間的球坐標(biāo)，可以表為：對(duì)和積分有，

7、因此得：7.13分子從器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。解：單位時(shí)間內(nèi)，碰到單位面積器壁上的分子數(shù)為如果器壁有小孔，分子可以通過小孔逸出。當(dāng)小孔足夠小，對(duì)容器內(nèi)分子的平衡分布影響可以忽略時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)逸出的分子數(shù)就等于碰到小孔面積上的分子數(shù)。因此,平均速率為速率平方的平均值為即速率的方均根值為,平均動(dòng)能為7.14已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為：，其中a、b是常數(shù)，求粒子的平均能量。解：能量表達(dá)為：，由能均分定理：7.15氣柱高H，截面S，處在重力場中，證,證明：設(shè)氣體是單原子分子。在重力場中分子的能量為:配分函數(shù)為氣柱的內(nèi)能為:氣體的熱容量為7.16試求雙原子分子理想氣體的振動(dòng)熵。解：雙原子分子理想氣體的振動(dòng)配分函數(shù)：，引入，得7.17雙原子分子，常溫下遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)動(dòng)的能級(jí)間距.求雙原子分子理想氣體轉(zhuǎn)動(dòng)熵。解:用經(jīng)典近似求轉(zhuǎn)動(dòng)配分函數(shù)：雙原子分子理想氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)熵為：式中是轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度，是分子繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是約化質(zhì)量。7.18試求愛因斯坦固體的熵。解：據(jù)愛因斯坦固體配分函數(shù)，容易得熵為7.19以n表示晶體中磁性原子的密度。設(shè)原子的總角動(dòng)量量子數(shù)為l在外磁場下，原子磁矩可以有三個(gè)不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁場假設(shè)磁矩之間的相互