1.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用學(xué)案

1、I 1.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用 歹 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) /挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 會(huì)應(yīng)用泄積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積. 2. 在解決問題的過程中，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深對(duì)迫積分的幾何意義的理解. 知識(shí)鏈接 1. 怎樣利用泄積分求不分割型圖形的而積？ 答 求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上下限，用定積分來表示面積，然后計(jì)算 定積分即可. 2. 當(dāng)A-YXO時(shí)，f(與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？ 答 如圖，因?yàn)榍吿菪紊线吔绾瘮?shù)為g(x)=0,下邊界函數(shù)為所以5=(0 f3)dx 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 曲邊梯形面積的表達(dá)式 當(dāng)xGa, b時(shí)，若f(x)0,由直線x=a, x=Z)

2、(aHb),尸0和曲線y= f(x)所囤成的 曲邊梯形的面積S= X. (2) 當(dāng).YG a,刃時(shí)，若 /CYXO,由直線 x=a, x= b(aH b), y=Q和曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積S=-JV3dx. (3) (如圖)當(dāng) 曲a,刃時(shí),若f(x)g(x)0時(shí)，由直線x=a, 和曲線y=f(x), 課堂講義 垂點(diǎn)難點(diǎn).個(gè)個(gè)擊破 要點(diǎn)一 不分割型圖形而積的求解 例1求由拋物線y=y-4與直線尸一卄2所圉成圖形的面積. (2,0),設(shè)所求圖形面積為S,根據(jù)圖形可得 S=f3(*+2) Cf4) dx=f 3 (莊一”+6) d-Y 規(guī)律方法 不分割型圖形而積的求解步驟： (1) 準(zhǔn)

3、確求出曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)： (2) 在坐標(biāo)系中畫岀由曲線用成的平而區(qū)域： (3) 根據(jù)圖形寫岀能表示平而區(qū)域而積的定積分： (4) 計(jì)算得所求而積. 跟蹤演練1求由曲線y=2x- , 7=2Y-4A-所圍成的圖形的而積. 解 由 ly=2y-4x, 得爼=0,掄=2.由圖可知，所求圖形的而積為 y=g(0國成的平而圖形的而積S= ly=5 所以直線卩=一*+2與拋物線y=Y-4的交點(diǎn)為(-3,5)和 22 ( 27 125 解 3 S=(2x) (2 A4JV) ctv4 = (-A?+3Y) =4. 要點(diǎn)二 分割型圖形而積的求解 例2求由曲線尸心，尸2x,尸一卜所囤成圖形的面積. 解法一畫岀草

4、圖，如圖所示. 5 解方程組 y=很 仝+y=2, r+y=2 1 y=_ 尹, 得交點(diǎn)分別為(1,1), (0,0). (3, -1). 1 = 13 3 T 法二若選積分變量為戶則三個(gè)函數(shù)分別為 -Y=/ x2y x= 3y. 因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1), (0, 0), (3, 1). 所以 S= P1(2 y) ( 3y)dy+ p0(2 y) /dy =/ 1 (2+2y) dy+0(2 y y) dy y=， =|+6-診9-2+ 6 規(guī)律方法由兩條或兩條以上的曲線困成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間段內(nèi)位于上方或 下方的函數(shù)有所變化時(shí)， 可通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，

5、 可以將積分區(qū)間進(jìn)行 細(xì)化區(qū)間段，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)間段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是 由上減下：若積分變量選取X運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變疑，同時(shí)更改積分的上下限. 跟蹤演練2計(jì)算由曲線尸空所馬I成圖形的面積S 解 y 作岀曲線Z=AS y=-Y3的草圖，所求面積為圖中陰影部分的而積.解方程組彳 得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為*=0及x=. 因此，所求圖形的而積為 2_1=_5_ 3_4 = 12- 要點(diǎn)三立積分的綜合應(yīng)用 例3設(shè)y=Xx)是二次函數(shù)，方程f(x)= 0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f CY)=2A-+2. (1)求y=f(x)的表達(dá)式： 求y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的

6、而積. 解 設(shè) f3 = ax + bx+ c (aH0),則 fr (x) = 2ax+ b. 又 f (x)=2x+2,所以 a=l, b=2. .f(x)=y+2x+c. 又方程A-Y) =0有兩個(gè)相等實(shí)根， 即f+2x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根， 所以 d=4 4c=0,即 c=l.故 f(x) =f+2x+l= (2y+/) =一(一 2 + D+2 1_1 = 13 2_3=TB 7 畫函數(shù)y= f3的圖象如圖. 由圖象知所求而積為 S= /-l（ +2x+l）dx 規(guī)律方法 由是積分求平而區(qū)域而積的方法求不規(guī)則圖形的面積是一種基本的運(yùn)算技能在 這種題型中往往與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最值、不等式

7、等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行融合. 跟蹤演練3在曲線y=Y（AO）某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成圖形的 而積為吉，試求切點(diǎn) X 的坐標(biāo)及過切點(diǎn)月的切線方程. 解設(shè)切點(diǎn)川（恥）, 切線斜率為k=y x= A-O = 2.Yo. 切線方程為y =2%oCv及） 令 y=0,得 / S= J yo-V3dx+ f Xol-v: (2-O-Y-vg) J d.v=p；-Yo. -Yb=l. 切點(diǎn)為（1,1）,切線方程為y=2x-l. 戸當(dāng)堂檢測丿當(dāng)堂訓(xùn)練.體驗(yàn)成功 _ 1.在下而所給圖形的面積S及相應(yīng)表達(dá)式中，正確的有（y ）8 A. c. 答案D gCvLdx S= S=f (2 苗一 2x+8)dx

8、 (x) f 3 dx+ x) (x)d-Y 應(yīng)是S= 一g(x)dz應(yīng)是 解析 (2-Y 8) dAs和正確.故選D. 3 2.曲線y=cos HOW點(diǎn))與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是() A. 2 答案B 仰軍析 S= J ocos xd.v f 3 cos -vd-v=sin x B3 D. 4 3 n n x TT=sin sin 3 n JT 0 sin - sin =1 0+l + l = 3 3.由曲線y=f與宜線y=2.r所圍成的平面圖形的面積為 _ 4 答案3 y=2x 解析解方程組 yx *=0, y=0. JV=2, Lr=4. 曲線y=與直線y=2x交點(diǎn)為(2, 4), (0

9、, 0) B. D. (3Xg) 9 4由曲線y=Y+4與直線y=5x,龍=0尸4所闈成平而圖形的而積是. 答案T 解析 由圖形可得 S= j： (x + 4 5.r)(LY+ (5x 4) dx 1 5 5.1, 5 1 19 = 3+4-2 + 2X4-3X4 -4X4-+-+4=- 課堂小結(jié) 對(duì)于簡單圖形的而積求解，我們可直接運(yùn)用左積分的幾何意義，此時(shí) (1) 確泄積分上、下限，一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo). (2) 確左被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的差. 這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本左理訃算定積分了.注意區(qū)別左積分與利用圮 積分計(jì)算曲線所圍圖形的而積：定積分可正、可負(fù)或?yàn)?/p>

10、零；而平而圖形的而積總是非負(fù)的. 尹分層訓(xùn)練 二解疑糾偏，訓(xùn)練檢測 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1. 用S表示圖中陰影部分的而積，則S的值是()10 C.f 3 dx+ ( fx) dx 答案D 解析 V.YE a, b時(shí)，f(x)O, c時(shí)，f(x)O, 陰影部分的面積s=f f3dxf f3d.Y. 2.若y=f3與卩=&(0是a,刃上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線xfx =b所圍成的平而區(qū)域的而積為() f f x g x _d.r 答案C 解析 當(dāng)f(x)g(x)時(shí)，所求而積為ff3 g3dx：當(dāng)fGr)Wg(x)時(shí)，所求而積為 g3 f3dx.綜上，所求面積為 f(.x) gx)

11、 dx. 扎 f ( -l)dx D. (x= 1) dx+(才1) d.v 答案c3.由曲線y=x-l.直線x=0、 A d-Y P f 3 D -Y) A f 3 - d.v B ) 11 解析y= A:- 1將，軸下方陰影反折到x軸上方，其楚積分為正，故應(yīng)選C. 4. （2013 北京卷）直線過拋物線C： Y=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則/與6所圍成的圖 形的而積等于（） 4 A. - B. 2 C-I D.呼 答案c 解析 拋物線+ = 4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 1）,因?yàn)橹本€/過拋物線r： Y=4y的焦點(diǎn)且與y軸 垂直，所以直線的方程為y=l. 5. _由曲線y=五與所I詞成的圖形的而積

12、可用泄積分表示為 _ 答案（yfxx） cbr 解析 畫出 尸心和的草圖，所求面積為如圖所示陰影部分的而積, 6. _ 由兩條曲線y=Y,尸扮與直線y=l H成平而區(qū)域的而積是 _ 解析 如圖，卩=1與y=Y交點(diǎn)J（l, 1）,7=1 Y = 4y ,可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為一2, 2 得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0及*=1.因此，所求圖形的而積為s=（ 所以直線；與拋物線恫成的封閉圖形而積為 解方程組 12 作出直線y=6曲線的草圖，所求面積為圖中陰影部分的而積. w軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0).因此，所求圖形的而積 S=S+$=(V hY+(6-x)dx= + 6x-訂 y+(6X6-|x6=)-(6X

13、2-|2= 16 | 40 T+8=T- 二、能力提升 A4 D.不存在S=2 7.求曲線 y=6 x和 y=8x 解 Y* 卩=1與卩=交點(diǎn)萬(2,1),由對(duì)稱性可知面積 解方程組， y=6丫 y=8x 得直線y=6 x與曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 4),直線y=6與 16 8. (2013 江西改編)設(shè)f3= fx,用0, 1, Lm,刃，則尸訃等于() 13 答案c 解析 11 1 _2 = 37_4?=127=3- 10 從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(yy),則點(diǎn)取自陰影部分的概率為. 數(shù)形結(jié)合，如圖，dx= dx+ f (2x) dx= 詁+(422+需 |. 2 9.若兩曲線尸

14、/與y=c0)期成圖形的而積是丁則。等于() A. C. 1 答案B y=x: 1 解析由 3 得-V=O或X=_ y= ex c VOcx 9 2 D3 /. S= J 0 (-Y3 ex) dx c 解析根據(jù)題意得：S訓(xùn)=3罰= =1.則點(diǎn)取自陰影部分的概率為 血 1 1 =3X1 = 3 11. 求拋物線卩=一+4*3及英在點(diǎn)J（l, 0）和點(diǎn)5（3, 0）處的切線所圍成圖形的而積. 解 由0 =2.丫+ 4得在點(diǎn)、萬處切線的斜率分別為2和一2,則兩直線方程分別為尸 2x2 和 y= 2x+6, 由忙得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為如） 12. 設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=Y ,從原點(diǎn)向川2, 4）移動(dòng)，如果直線莎，曲線y=Y及直線x=2 所用成的而積分別記為,、5：. （1） 當(dāng)3=0時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)； （2） 當(dāng),+上有最小值時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)和最小值. 解 設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為t（0t2）, 則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（“ F）, 直線少的方程為7=肚. 51= P （ t-YAr：） dA*=t3t 5f =一2、 令 S =0 得 f-2=0. V0t2,S= SAAK f H -交+4x- 3) =7X2X2- （一掃+243=2弓=| 因?yàn)?0tV2時(shí)，Sr 0