七巧板能拼出多少種凸多邊形

1、七巧板能拼出多少種凸多邊形奉化市大堰初中 董孟雄一、問(wèn)題的提出問(wèn)題： 對(duì)正方形abcd按如圖1分劃,其中e,f分別是bc,ab的中點(diǎn),m,n,g分別是oa,oc,ef的中點(diǎn),沿分劃線可以剪出一副由七塊部件組成的“七巧板”.設(shè)正方形ogfm的邊長(zhǎng)為1.請(qǐng)用這幅七巧板既不留下一絲空隙,又不相互重疊,各拼出1種周長(zhǎng)最大與最小的凸多邊形,畫在下面,計(jì)算最大周長(zhǎng)與最小周長(zhǎng)各是多少？參考答案：如圖2,周長(zhǎng)最大；如圖3,周長(zhǎng)最小.圖2中的多邊形周長(zhǎng)為什么是最大的？圖3中的多邊形周長(zhǎng)為什么又是最小的？筆者亦是百思不得其解,只能換個(gè)角度思考：七巧板到底能拼出多少種凸多邊形？二、問(wèn)題的分析1. 剪出的七塊部件如下

2、圖4所示,出現(xiàn)了1,2,四類線段共23條,其中長(zhǎng)度為1的線段10條,長(zhǎng)度為的線段6條,長(zhǎng)度為2的線段5條,長(zhǎng)度為的線段2條.2. 七塊部件的內(nèi)角總和1620°,其中9個(gè)直角,12個(gè)45°角,2個(gè)135°角.3. 不論拼成哪種多邊形,其面積為常量8.4. 可以從凸多邊形的邊數(shù)分類討論.三、問(wèn)題的解決1. 拼成三角形三角形的內(nèi)角和等于180°,由七巧板角的特征,只有180°=90°+45°+45°.所以拼成的三角形必為等腰直角三角形（唯一）.因?yàn)槊娣e為8,所以直角三角形的直角邊長(zhǎng)為4,如圖5.2. 拼成四邊形.四邊形的

3、內(nèi)角和等于360°,由七巧板角的特征,有360°= 90°×4= 90°×2+45°×1+135°×1=135°×2+45°×2.2.1 360°= 90°×4拼成的四邊形為正方形或長(zhǎng)方形.若為正方形,則圖形唯一確定,如圖6.若是長(zhǎng)方形,因?yàn)槊娣e是8,所以長(zhǎng),寬分別為4,2或.長(zhǎng),寬分別的矩形拼不出來(lái).理由如下：邊長(zhǎng)為的矩形其周長(zhǎng)為,而七巧板中含的線段總和也只有,即所有長(zhǎng)度含的線段都應(yīng)成為矩形邊的一部分.平行四邊形的那塊不可能

4、做到.所以,長(zhǎng),寬分別的矩形拼不出來(lái).長(zhǎng),寬分別為4,2的矩形如圖7.2.2 360°=90°×2+45°×1+135°×1若兩個(gè)直角相鄰,則拼成的四邊形為直角梯形.直角梯形的高不可能為4,若高為4,則一腰長(zhǎng)為,不存在這類線段.直角若梯形的高為,則上下底和為,如圖8.若梯形的高為4,則上下底和為8,如圖9.若兩個(gè)直角不相鄰,則所得四邊形如圖10-1所示.過(guò)點(diǎn)a作aecd與e,過(guò)點(diǎn)b作bfae于f,連結(jié)bd,如圖10-2.設(shè)ce=n,ed=m,則ab=,ad=,bc=m-n,(nm)因?yàn)樗倪呅蚊娣e為8,所以sabd+sdbc=

5、mn+(m+n)(m-n)=8 m2-n2+2mn=16 nm 16=m2-n2+2mnm2-n2+2n2 2n2 n28,n=2或n=1.當(dāng)n=2或n=1時(shí),m都不是整數(shù).所以拼不出如圖10-1所示的四邊形.2.3 360°=135°×2+45°×2若兩個(gè)135°角相鄰,則拼成的四邊形是等腰梯形,如圖11所示.若兩個(gè)135°角相對(duì),則拼成的四邊形是平行四邊形,如圖12所示.3. 拼成五邊形五邊形的內(nèi)角和等于540°,由七巧板角的特征,有540°= 135°×3+90°

6、15;1+45°×1 =135°×2+90°×3 3.1 540°= 135°×3+90°×1+45°×1若三個(gè)135°角相鄰,則能構(gòu)成這類五邊形的最小面積為6.5,如圖13.比它略大的五邊形面積必超過(guò)8,所以這類五邊形也不能拼成.若三個(gè)135°角中的一個(gè)與其余兩個(gè)不相鄰,則拼成的五邊形如圖14所示.3.2 若540°=135°×2+90°×3 若三個(gè)90°角相鄰,如圖15.假若m,n是

7、整數(shù),則x也是整數(shù),且mx,nx.由,得x是偶數(shù) x4,又x是偶數(shù) x=2當(dāng)x=2時(shí),mn=10,不存在大于2的整數(shù)解；假若m,n是的整數(shù)倍,則x也是的整數(shù)倍.設(shè),(a,b,t均為整數(shù),且at,bt,).由,得2ab-t2=8,t為偶數(shù) 2ab-t2=8 8=2ab-t2 t2 t=2,當(dāng)t=2時(shí),ab=6,不存在大于2 的整數(shù)解.所以,不存在這樣的五邊形.若三個(gè)90°角中的一個(gè)與其余兩個(gè)不相鄰,則拼成的五邊形如圖16所示.4. 拼成六邊形六邊形的內(nèi)角和等于720°,由七巧板角的特征,有720°=135°×5+90°×1=

8、135°×4+90°×24.1 若720°=135°×5+90°×1拼出的四邊形面積至少為9.5,如圖17.所以這類六邊形不能拼成.4.2 若720°= 135°×4+90°×2若兩個(gè)直角相鄰,則拼成的六邊形如圖18所示.若兩個(gè)直角不相鄰,則拼成的六邊形如圖19、20、21所示.5. 不能拼成七邊形,八邊形.七邊形的內(nèi)角和等于900°,由七巧板角的特征,有900°=135°×6+90°×1,這樣的七邊形最小面積為7.5,稍大些則必超過(guò)8.所以不能拼成七邊形.同理,也不能拼成八邊形.6. 不能拼成邊數(shù)大于8的多邊形因?yàn)槠咔砂迥芴峁┑淖畲髢?nèi)角為135°.對(duì)于n邊形,有135n180(n-2),得n8.所以不能拼成邊數(shù)大于8的多邊形.至此,七巧板能拼出13中不同形狀的凸多邊形.