北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總九年級(jí)上冊(cè)

1、北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總 九年級(jí)(上冊(cè)) 第一章 證明(二)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”：頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合。等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線(xiàn)合一線(xiàn)，將等邊三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形，其中一個(gè)銳角等于30º，這它所對(duì)的直角邊必然等于斜邊的一半。有一個(gè)角等于60º的等腰三角形是等邊三角形。如果知道一個(gè)三角形為直角三角形首先要想的定理有：勾股定理：（注意區(qū)分斜邊與直角邊）在直角三角形中，如有一個(gè)內(nèi)角等于30º，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）垂直平分線(xiàn)

2、是垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)。（注意著重號(hào)的意義）<直線(xiàn)與射線(xiàn)有垂線(xiàn)，但無(wú)垂直平分線(xiàn)>線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)逆定理：到一條線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。acbo圖1圖2oacbdef三角形的三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（如圖1所示，ao=bo=co）角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線(xiàn)逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線(xiàn)上。角平分線(xiàn)是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。三角形三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。(如圖

3、2所示，od=oe=of)第二章 一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為（a、b、c為常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。把（a、b、c為常數(shù)，a0）稱(chēng)為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。解一元二次方程的方法：配方法 <即將其變?yōu)榈男问?gt;公式法 （注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式）分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的

4、平方；把方程轉(zhuǎn)化成的形式；兩邊開(kāi)方求其根。根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對(duì)稱(chēng)式的值，特別注意以下公式： 其他能用或表達(dá)的代數(shù)式。（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：（4）已知兩數(shù)x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根在利用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)（在

5、設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況只要設(shè)問(wèn)題為x；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話(huà)即可根據(jù)其列出方程）。處理問(wèn)題的過(guò)程可以進(jìn)一步概括為： 第三章 證明（三）平行四邊的定義：兩線(xiàn)對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn)連成的線(xiàn)段叫做它的對(duì)角線(xiàn)。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等,對(duì)角相等,對(duì)角線(xiàn)互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形。平行線(xiàn)之間的距離

6、：若兩條直線(xiàn)互相平行，則其中一條直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離相等。這個(gè)距離稱(chēng)為平行線(xiàn)之間的距離。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分,每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角。菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)都是對(duì)稱(chēng)軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線(xiàn)相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸）矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直

7、角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形。四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸）正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形；對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行四邊形菱形矩形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等且一個(gè)內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€(xiàn)互相垂

8、直平分）一內(nèi)角為直角一鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)垂直一個(gè)內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€(xiàn)相等）鵬翔教圖3兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線(xiàn)相等。同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等。在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半第四章 視圖與投影三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。 三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫(huà)在主視圖的下方，左視圖要畫(huà)在正視圖的右邊。 主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得

9、的圖象 左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象視圖中每一個(gè)閉合的線(xiàn)框都表示物體上一個(gè)表面(平面或曲面)，而相連的兩個(gè)閉合線(xiàn)框一定不在一個(gè)平面上。在一個(gè)外形線(xiàn)框內(nèi)所包括的各個(gè)小線(xiàn)框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)小的平面體（或曲面體）。在畫(huà)視圖時(shí)，看得見(jiàn)的部分的輪廓線(xiàn)通常畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，看不見(jiàn)的部分輪廓線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn)。物體在光線(xiàn)的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。太陽(yáng)光線(xiàn)可以看成平行的光線(xiàn)，像這樣的光線(xiàn)所形成的投影稱(chēng)為平行投影。探照燈、手電筒、路燈的光線(xiàn)可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線(xiàn)所形成的投影稱(chēng)為中心投影。區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。眼睛的位置稱(chēng)為視點(diǎn)

10、；由視點(diǎn)發(fā)出的線(xiàn)稱(chēng)為視線(xiàn)；眼睛看不到的地方稱(chēng)為盲區(qū)。從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影，是當(dāng)光線(xiàn)與投影垂直時(shí)的投影。點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；線(xiàn)段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：線(xiàn)段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；線(xiàn)段平行于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線(xiàn)段的實(shí)際長(zhǎng)度；線(xiàn)段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度小于線(xiàn)段的實(shí)際長(zhǎng)度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線(xiàn)段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。第五章 反比例函數(shù)反比例函數(shù)的概念：一般地，（k為常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反

11、比例函數(shù)。 （x為自變量，y為因變量，其中x不能為零）反比例函數(shù)的等價(jià)形式：y是x的反比例函數(shù) 變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.判斷兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：按照反比例函數(shù)的定義判斷；看兩個(gè)變量的乘積是否為定值<即>。（通常第二種方法更適用）反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線(xiàn)組成，叫做雙曲線(xiàn)反比例函數(shù)的畫(huà)法的注意事項(xiàng)：反比例函數(shù)的圖象不是直線(xiàn)，所“兩點(diǎn)法”是不能畫(huà)的；選取的點(diǎn)越多畫(huà)的圖越準(zhǔn)確；畫(huà)圖注意其美觀性（對(duì)稱(chēng)性、延伸特征）。反比例函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k<0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于二、四象

12、限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；雙曲線(xiàn)的兩支會(huì)無(wú)限接近坐標(biāo)軸（x軸和y軸），但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)圖象的幾何特征:(如圖4所示) pbaopbao圖4點(diǎn)p(x,y)在雙曲線(xiàn)上都有第六章 頻率與概率在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即：在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于1。頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀。用一件事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。假設(shè)布袋內(nèi)有m個(gè)黑球，通過(guò)多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)