信號分析與處理課程設(shè)計(jì)說明書數(shù)字切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)

1、摘要隨著信息和數(shù)字時(shí)代的到來，數(shù)字信號處理已成為當(dāng)今一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號中經(jīng)?；煊懈鞣N復(fù)雜成分，因此很多信號的處理都是基于濾波器而進(jìn)行的。所以，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中起著舉足輕重的作用。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要工具之一，它通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾出某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，而數(shù)字濾波器處理精度高、體積小、穩(wěn)定、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊功能。故本課題使用matlab信號處理箱和運(yùn)用切比雪夫法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置,其輸入、輸出均為

2、數(shù)字信號,實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進(jìn)行加工和變換,改變輸入序列的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念,根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型,與模擬濾波器相比,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點(diǎn)外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關(guān))、穩(wěn)定性好(僅運(yùn)行在0與l兩個(gè)電平狀態(tài))、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。關(guān)鍵詞：數(shù)字 濾波 高通 低通 帶通 切比雪夫1 設(shè)計(jì)原理1.1matlab介紹 matlab是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計(jì)算

3、、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言（如c、fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。 matlab和mathematica、maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。matlab可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)

4、計(jì)、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。 matlab的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用matlab來解算問題要比用c，fortran等語言完成相同的事情簡捷得多，并且matlab也吸收了像maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使matlab成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中也加入了對c，fortran，c+，java的支持?？梢灾苯诱{(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲絤atlab函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的matlab愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用。matlab 產(chǎn)品族可以用來進(jìn)行以下各種工作：數(shù)

5、值分析、數(shù)值和符號計(jì)算、工程與科學(xué)繪圖、控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真、數(shù)字圖像處理技術(shù)、數(shù)字信號處理技術(shù)、通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真、財(cái)務(wù)與金融工程。matlab 的應(yīng)用范圍非常廣，包括信號和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、測試和測量、財(cái)務(wù)建模和分析以及計(jì)算生物學(xué)等眾多應(yīng)用領(lǐng)域。附加的工具箱（單獨(dú)提供的專用matlab 函數(shù)集）擴(kuò)展了matlab 環(huán)境，以解決這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)特定類型的問題。1.2 數(shù)字濾波器的介紹數(shù)字濾波器處理模擬信號時(shí)，首先須對輸入模擬信號進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號的抽樣率應(yīng)大于被處理信號帶寬的兩倍，其頻率響應(yīng)具有以抽樣頻率為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即1/2抽樣頻率點(diǎn)

6、呈鏡像對稱。為得到模擬信號，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫(yī)學(xué)生物信號處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。1.3濾波器的分類1. 從功能上分；低、帶、高、帶阻。 2. 從實(shí)現(xiàn)方法上分:fir、iir 3. 從設(shè)計(jì)方法上來分：chebyshev(切比雪夫）,butterworth（巴特沃斯） 4. 從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器1.4數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法它可以是時(shí)不變的或時(shí)變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應(yīng)用最廣的是線性、時(shí)不變數(shù)字濾波器，以及fir濾

7、波器。由模擬濾波器設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器，必須建立好s平面和z平面的映射關(guān)系。使模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，通常采用沖激相應(yīng)不變法和雙線性變換法。沖激相應(yīng)不變法存在頻譜混疊現(xiàn)象，雙線性變換法消除了這一現(xiàn)象，在iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中得到了更廣泛的應(yīng)用。s平面和z平面的映射關(guān)系為,將和帶入數(shù)字頻率和等效的模擬頻率之間的映射關(guān)系：，由于二者不是線性關(guān)系，所以稱為預(yù)畸變。2 切比雪夫?yàn)V波器2.1切比雪夫?yàn)V波器簡介切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。切比雪夫?yàn)V波器（又譯車比雪夫?yàn)V波器）是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動(dòng)的濾波器。在通帶波動(dòng)的為“i型切比雪夫?yàn)V波器”，在阻帶

8、波動(dòng)的為“ii型切比雪夫?yàn)V波器”。切比雪夫?yàn)V波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫?yàn)V波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內(nèi)存在幅度波動(dòng)。這種濾波器來自切比雪夫多項(xiàng)式，因此得名，用以紀(jì)念俄羅斯數(shù)學(xué)家巴夫尼提列波維其切比雪夫切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。為了從模擬濾波器出發(fā)設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器，必須先設(shè)計(jì)一個(gè)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器，亦即要把數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的指標(biāo)，因此必須先設(shè)計(jì)對應(yīng)的模擬原型濾波器。2.2模擬低通濾波器巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止 處，幅

9、度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次n很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式來逼近所希望的 。切比雪夫?yàn)V波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以在同樣的通常內(nèi)衰減要求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方函數(shù)為 (1-4) 式中c為有效通帶截止頻率，表示與通帶波紋有關(guān)的參量，值越大通帶不動(dòng)愈大。vn（x）是n階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 (1-5)n為偶數(shù)，cos2( )=1，得到min, （1-6）n為奇數(shù)，cos2( ，得到max， （1-7） 3用matlab設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器 3.1matlab相關(guān)函數(shù)（1）該格式用于計(jì)算n階切比雪夫i型歸一化模

10、擬低通濾波器系統(tǒng)的零極點(diǎn)和增益因子。返回長度為n的列向量z和p，分別給出n個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置。rs是阻帶最小衰減。（2）該格式用于計(jì)算切比雪夫i型數(shù)字濾波器的階數(shù)n和阻帶截止頻率wso。調(diào)用參數(shù)分別為數(shù)字濾波器的通帶頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值。（3） 該格式用于計(jì)算切比雪夫i型模擬濾波器的階數(shù)n和阻帶截止頻率wso。wp和ws是實(shí)際模擬角頻率。（4） 該格式用于計(jì)算n階切比雪夫i型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量b和a。調(diào)用參數(shù)n和wso分別為切比雪夫i型數(shù)字濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值。（5） 該格式用于計(jì)算n階切比雪夫i型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量b

11、和a。調(diào)用參數(shù)n和wso分別為切比雪夫i型模擬濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值。3.2高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟 對高通濾波器技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理，通常對切比雪夫?yàn)V波器以及其等波動(dòng)通帶截止頻率為歸一化因子 將高通的技術(shù)指標(biāo)變換成低通的技術(shù)指標(biāo)根據(jù)轉(zhuǎn)換出的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，按照前面介紹的低通濾波器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的低通濾波器 對設(shè)計(jì)出的歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行變換，得到歸一化高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 將設(shè)計(jì)的歸一化高通濾波器進(jìn)行反歸一化處理，得到實(shí)際的高通濾波器3.3數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)運(yùn)用雙線性變換法基于matlab設(shè)計(jì)一個(gè)iir帶通濾波器(1)確定性能指標(biāo)在設(shè)計(jì)帶通濾波器之前,

12、首先根 據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo): 通帶截止頻率wp1,wp2;阻帶截止頻率ws1，ws2；阻帶最小衰減as和通帶最大衰減ap;中心頻率wp0。(2)頻率預(yù)畸變用=2/t*tan(w/2)對帶通數(shù)字濾波器h(z)的數(shù)字邊界頻率預(yù)畸變,得到帶通模擬濾波器h(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率wp1,wp2;阻帶截止頻率ws1，ws2的轉(zhuǎn)換。雙線性變換法一般t=2s。通帶截止頻率wp1=(2/t)*tan(wp1/2)wp2=(2/t)*tan(wp2/2)阻帶截止頻率ws1=(2/t)*tan(ws1/2)ws2=(2/t)*tan(ws2/2)(3)模擬帶通性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通性能

13、指標(biāo)bw=wp2-wp1； %帶通濾波器的通帶寬度 w0=wp1*wp2； wp=1； %歸一化處理 ws=wp*(w02-ws12)/(ws1*bw)；(4)模擬低通濾波器的構(gòu)造借助切比雪夫(chebyshev)濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)ha(s)。(5)模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器調(diào)用lp2bp函數(shù)將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)化為模擬帶通濾波器。(6)模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器利用雙線性變換法將模擬帶通濾波器ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器h(z)。(7)輸入信號檢驗(yàn)濾波器性能輸入不同頻率的正弦波，觀察輸出波形，檢驗(yàn)濾波器性能。34雙線性變換目的：將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾

14、波器為克服沖激響應(yīng)法可能產(chǎn)生的頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因?yàn)閺膕平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/t/t之間，再用z=est轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)s平面壓縮映射到s1平面的-/t/t一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1t將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖1-3圖1-3雙線性變換的映射關(guān)系為了將s平面的整個(gè)虛軸j壓縮到s1平面j1軸上的-/t到/t段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) （1-13）

15、式中,t仍是采樣間隔。當(dāng)1由-/t經(jīng)過0變化到/t時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個(gè)j軸。將式（1-9）寫成(1-14)將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)s平面和s1平面，令j=s，j1=s1，則得(1-15) 再將s1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面 z=es1t從而得到s平面和z平面的單值映射關(guān)系為：（1-16) （1-17)式（1-10）與式（1-11）是s平面與z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（1-9）與式（1-10）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ej，可得（1-18）即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓。其次，將s=+j代

16、入式（1-12），得 因此有 （1-19）雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)：雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)閟平面與z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。s平面整個(gè)j軸單值地對應(yīng)于z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（1-12）所示，重寫如下：（1-20）上式表明，s平面上與z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖1-4所示。由圖1-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，增長得越來越慢，最后當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊

17、現(xiàn)象。4 三種切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)過程及程序4.1 設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫型低通濾波器設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫型低通濾波器，指標(biāo)如下：通帶邊界頻率：，通帶最大衰減：阻帶截止頻率：，阻帶最小衰減：實(shí)驗(yàn)程序：wp=0.2*pi;                         %通帶邊界頻率；ws=0.4*pi;    

18、;                     %阻帶截止頻率；rp=1;                           

19、60;  %通帶最大衰減；rs=80;      %阻帶最小衰減；fs=1000                         %假設(shè)抽樣脈沖1000hzn,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s');  %chebyshev ii型濾波器參數(shù)計(jì)算（模擬域）；z,p,

20、k=cheby2(n,rs,wn,'s');       %構(gòu)造chebyshev ii型濾波器（零極點(diǎn)模型）；h,w=zp2tf(z,p,k);                %將零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)化成傳遞函數(shù)的模型；figure(1);freqs(h,w);          

21、;              %在figure1上顯示濾波器的幅頻響應(yīng)及相頻響應(yīng)；p,q=freqs(h,w);                  %返回濾波器的沖擊響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式；figure(2);plot(q*fs/(2*pi),abs(p);grid;   &#

22、160;    %在figure2上顯示幅頻特性曲線；xlabel('頻率/hz');ylabel('幅值'); 幅頻響應(yīng) 上圖 相頻曲線 下圖幅值4.2設(shè)計(jì)一個(gè)高通chebyshow型數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)一個(gè)高通chebyshow型數(shù)字濾波器，要求達(dá)到的指標(biāo)是：wp=100hz, ws=80hz,fs=300hz, rp=1db,rs=45db.實(shí)驗(yàn)程序：wp=100;ws=80;fs=300;rp=1;rs=45;     %數(shù)字濾波器的各項(xiàng)指標(biāo)；wp=100*2*pi; &#

23、160;       %把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征；ws=300*2*pi;n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s');   %chebyshev ii型濾波器參數(shù)計(jì)算（模擬域）；z,p,k=cheb2ap(n,rs);              %創(chuàng)建chebyshev濾波器原型；a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); 

24、60;           %表達(dá)式從零極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式；aa,bb,cc,dd=lp2hp(a,b,c,d,wn);    %實(shí)現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換；a,b,c,d=bilinear(aa,bb,cc,dd,fs); %采用雙線性變換法，從模擬高通到數(shù)字高通；p,q=ss2tf(a,b,c,d);            &#

25、160;  %表達(dá)式從狀態(tài)方程形形式轉(zhuǎn)換成傳輸函數(shù)形式；figure(1);freqz(p,q);                         %繪出頻率響應(yīng)；h,w=freqz(p,q);figure(2);plot(w*fs/(2*pi),abs(h);grid;xlabel('頻率/hz');ylabel('幅值&

26、#39;);幅頻響應(yīng)（上） 幅度相頻（下）幅值4.3設(shè)計(jì)一個(gè)帶通切比雪夫數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)一個(gè)帶通切比雪夫數(shù)字濾波器，通帶為100hz200hz，過渡帶寬均為50hz，通帶波紋小于1db，阻帶衰減30hz，采樣頻率。實(shí)驗(yàn)程序：w1=100;w2=200;rp=1;rs=30;fs=1000; %數(shù)字濾波器的各項(xiàng)指標(biāo)；wp=100,200;ws=50,250;n,wn=cheb1ord(wp/(fs/2),ws/(fs/2),rp,rs); %chebyshev i型濾波器參數(shù)計(jì)算（數(shù)字域）；p,q=cheby1(n,rp,wn,'bandpass');%創(chuàng)建chebyshe

27、v帶通濾波器；figure(1);freqz(p,q);                     %顯示產(chǎn)生濾波器的幅頻及相頻曲線；h,w=freqz(p,q);figure(2);plot(w*fs/(2*pi),abs(h);grid;xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度'); 幅頻響應(yīng)（上） 幅度相頻（下）幅值5設(shè)計(jì)結(jié)果及分析切比雪夫?yàn)V波器的幅度特性具有等紋波特性，i型切比雪夫?yàn)V波器：通帶內(nèi)是等紋波的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；ii型切比雪夫?yàn)V波器：通帶內(nèi)是變化的，阻帶內(nèi)等紋波變化的。切比雪夫?yàn)V波器頻率響應(yīng)的特點(diǎn)是：在帶通內(nèi)是等幅的紋波，在阻帶內(nèi)單調(diào)衰減，過度迅速。在實(shí)際工程中，需要設(shè)計(jì)高通、帶通、和帶阻濾波器時(shí)，通常將設(shè)計(jì)好的低通濾波器，如巴特沃斯低通濾波器或切比雪夫低通濾波器等，在傳遞函數(shù)h（s）中通過頻率變化，轉(zhuǎn)換成為其他類型的濾波器。6實(shí)驗(yàn)小結(jié) 這次課