合肥工業(yè)大學(xué)測(cè)量學(xué)測(cè)量誤差的基本知識(shí)PPT課件

1、l第一節(jié) 測(cè)量誤差 概述l第二節(jié) 評(píng)定精度 的指 標(biāo)l第三節(jié) 誤差傳播 定律l第四節(jié) 等精度直 接觀測(cè)平差第1頁(yè)/共57頁(yè)5-1 測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述5.1.1 測(cè)量誤差及其來(lái)源測(cè)量誤差及其來(lái)源 l l 誤差存在的現(xiàn)象:觀測(cè)值與理論值不符，如高差閉合差fh。 l l 測(cè)量誤差：測(cè)量誤差：觀測(cè)值與相應(yīng)真值之差。 觀測(cè)值: 測(cè)量所獲得的數(shù)值。 l l 真誤差真誤差( () )關(guān)系式關(guān)系式 真誤差 =觀測(cè)值L 真值X ， 即 = L X 或 = X L （亦可）例：例： =（L1+L2+L3）- 180第2頁(yè)/共57頁(yè)l 觀測(cè)誤差來(lái)源：來(lái)源于以下三個(gè)方面： 觀測(cè)者的視覺(jué)器官的鑒別能力和技術(shù)水平；

2、儀器、工具的精密程度；觀測(cè)時(shí)外界條件的好壞。 l 觀測(cè)條件v 觀測(cè)條件：觀測(cè)者的技術(shù)水平、儀器的精度和外界條件的變化這三個(gè)方面綜合起來(lái)稱為 。v 觀測(cè)條件與觀測(cè)成果精度的關(guān)系： 若觀測(cè)條件好，則測(cè)量誤差小，測(cè)量的精度就高； 若觀測(cè)條件不好，則測(cè)量誤差大，精度就低； 若觀測(cè)條件相同，則可認(rèn)為觀測(cè)精度相同。v 等精度觀測(cè)：在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè)v 不等精度觀測(cè):在不同觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè) 第3頁(yè)/共57頁(yè)l 研究誤差理論的目的 由于在測(cè)量的結(jié)果中有誤差是不可避免的，研究誤差理論不是為了去消滅誤差，而是要對(duì)誤差的來(lái)源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律進(jìn)行研究，以便解決測(cè)量工作中遇到的一些實(shí)際

3、問(wèn)題。l 研究誤差理論所解決的問(wèn)題： （1）在一系列的觀測(cè)值中，確定觀測(cè)量的最可靠值； （2）如何來(lái)評(píng)定測(cè)量成果的精度，以及如何確定誤差的限度等； （3）根據(jù)精度要求，確定測(cè)量方案（選用測(cè)量?jī)x器和確定測(cè)量方法）。第4頁(yè)/共57頁(yè)5.1.2、 測(cè)量誤差的分類測(cè)量誤差按其性質(zhì)可分為 系統(tǒng)誤差 偶然誤差第5頁(yè)/共57頁(yè)1系統(tǒng)誤差l 系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行一系列觀測(cè)，若誤差的大小和符號(hào)保持不變，或按照一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為 。 l 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 ： 儀器工具上的某些缺陷；觀測(cè)者的某些習(xí)慣的影響；外界環(huán)境的影響。l 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)： 具有累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響較大，應(yīng)

4、盡量設(shè)法消除或減弱它對(duì)測(cè)量成果的影響。 例：水準(zhǔn)測(cè)量中LL/CC產(chǎn)生的i角誤差對(duì)尺讀數(shù)的影響：即 = a a = S tgi隨著S 的增長(zhǎng)而加大-系統(tǒng)誤差第6頁(yè)/共57頁(yè) 系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)值的準(zhǔn)確度（偏離真值的程度）影響很大，必須消除 l 系統(tǒng)誤差消減方法 v1、在觀測(cè)方法和觀測(cè)程序上采取一定的措施; 例：前后視距相等水準(zhǔn)測(cè)量中i角誤差對(duì)h的影響、 球氣差對(duì)h的影響及調(diào)焦所產(chǎn)生的影響。 盤左盤右取均值經(jīng)緯儀的CC不垂直于HH；HH不垂 直于VV；度盤偏心差、豎盤指標(biāo)差對(duì)測(cè)角的影響。 水準(zhǔn)測(cè)量往返觀測(cè)取均值儀器和尺墊下沉對(duì)h的影響。v2、找出產(chǎn)生的原因和規(guī)律，對(duì)測(cè)量結(jié)果加改正數(shù)。 例：光電測(cè)距中的

5、氣象、加常數(shù)、乘常數(shù)與傾斜改正數(shù)等。v3、仔細(xì)檢校儀器。 例：經(jīng)緯儀的LL不垂直于VV對(duì)測(cè)角的影響第7頁(yè)/共57頁(yè)2偶然誤差 l l 偶然誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的大小和符號(hào)沒(méi)有明顯的規(guī)律性，即從表面上看，誤差的大小和符號(hào)均呈現(xiàn)偶然性，這種誤差稱為 。 l l 產(chǎn)生偶然誤差的原因： 主要是由于儀器或人的感覺(jué)器官能力的限制，如觀測(cè)者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等，以及環(huán)境中不能控制的因素(如不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境)所造成。 l l 偶然誤差的規(guī)律：偶然誤差在測(cè)量過(guò)程中是不可避免的，從單個(gè)誤差來(lái)看，其大小和符號(hào)沒(méi)有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)

6、分析，就能發(fā)現(xiàn)在觀測(cè)值內(nèi)部卻隱藏著統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 偶然誤差就單個(gè)而言具有隨機(jī)性，但在總體上具偶然誤差就單個(gè)而言具有隨機(jī)性，但在總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。第8頁(yè)/共57頁(yè)5.1.3偶然誤差的特性l 偶然誤差的特點(diǎn)具有隨機(jī)性，所以它是一種隨機(jī)誤差l 偶然誤差就單個(gè)而言具有隨機(jī)性，但在總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。偶然誤差分布的表示方法表格法直方圖法誤差概率分布曲線-正態(tài)分布曲線第9頁(yè)/共57頁(yè)1、 表格法例如： 在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了217個(gè)三角形（見(jiàn)圖5-J1）的內(nèi)角，每一個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差為三內(nèi)角

7、觀測(cè)值的和減去180， 即：=+-180。 將所有三角形內(nèi)角和的誤差范圍分成若干小的區(qū)間d（如表5-1中的3）；統(tǒng)計(jì)出每一個(gè)小區(qū)間出現(xiàn)的誤差個(gè)數(shù)k及頻率， 頻率 = 個(gè)數(shù)k/總數(shù)n（n=217），得出統(tǒng)計(jì)表。圖圖5-J1第10頁(yè)/共57頁(yè)誤差區(qū)間d正 誤 差負(fù) 誤 差合 計(jì)個(gè)數(shù)k頻 率k/n個(gè) 數(shù)k頻 率k/n個(gè) 數(shù)k頻 率k/n0336699121215151818212124242727以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.046

8、0.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合 計(jì)1080.4981090.5022171.000第11頁(yè)/共57頁(yè)從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律： 小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)比大誤差多； 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率大致相等； 最大誤差不超過(guò)27。第12頁(yè)/共57頁(yè)2、直方圖法 橫坐標(biāo)以偶然誤差為橫坐標(biāo)， 縱坐標(biāo)以頻率 d(頻率/組距)為縱坐標(biāo)， 在每一個(gè)區(qū)間上根據(jù)相應(yīng)的縱坐標(biāo)值畫出一矩形， 各矩形的面積 = 誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率(K n ) 所有區(qū)間的矩

9、形構(gòu)成了直方圖，如圖5-1所示統(tǒng)計(jì)表和直方圖是偶然誤差的實(shí)際分布。第13頁(yè)/共57頁(yè)有斜線的矩形面積：有斜線的矩形面積：為誤差出現(xiàn)在為誤差出現(xiàn)在+6 +9 之間的頻率之間的頻率(0.069)第14頁(yè)/共57頁(yè)3、誤差概率分布曲線-正態(tài)分布曲線 當(dāng)直方圖中： n ，d各區(qū)間的頻率也就趨于一 個(gè)完全確定的數(shù)值概率. 若d 0時(shí)，則直方圖成為誤差概率曲線正態(tài)分布曲線。它服從于正態(tài)分布。1) 正態(tài)分布曲線的方程式為：)25(21)(222ef 式中：式中：為偶然誤差為偶然誤差； （0）稱為標(biāo)準(zhǔn)差，）稱為標(biāo)準(zhǔn)差，是與觀測(cè)條件有關(guān)的一個(gè)參數(shù)。它是與觀測(cè)條件有關(guān)的一個(gè)參數(shù)。它的大小可以的大小可以 反映觀測(cè)精

10、度的高低。反映觀測(cè)精度的高低。第15頁(yè)/共57頁(yè) 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差定義為：定義為： 2) 誤差概率曲線：叫作偶然誤差的理論分布誤差概率曲線：叫作偶然誤差的理論分布(見(jiàn)圖見(jiàn)圖5-2) 誤差分布曲線到橫坐標(biāo)軸之間的面積恒等于誤差分布曲線到橫坐標(biāo)軸之間的面積恒等于1圖圖5-2 的誤差分的誤差分布曲線是對(duì)應(yīng)布曲線是對(duì)應(yīng)著某一觀測(cè)條著某一觀測(cè)條件的，當(dāng)觀測(cè)件的，當(dāng)觀測(cè)條件不同，其條件不同，其相應(yīng)的誤差分相應(yīng)的誤差分布曲線的形狀布曲線的形狀也隨之改變。也隨之改變。)35(limnn第16頁(yè)/共57頁(yè)3) 偶然誤差的四個(gè)特性l特性一 有限性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；l特性二 集中

11、性：即絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；l特性三 對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；l特性四 抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即: ）（niinnn21)55(0lim 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，(5-5)(5-5)式也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，用公式式也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，用公式表示：表示： E(E()=0.)=0.第17頁(yè)/共57頁(yè)4)不同精度的誤差分布曲線：如圖5-3：曲線、對(duì)應(yīng)著不同觀測(cè)條件得出的兩組誤差分布曲線。v v 曲線I 較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測(cè)精度較高。v v 曲線II較為平緩，即離散度

12、較大，因而觀測(cè)精度較低。 第18頁(yè)/共57頁(yè)v當(dāng)=0 時(shí)， v上式是兩誤差分布曲線的峰值。 其中曲線的峰值較曲線的高，即12 ，故第組觀測(cè)的小誤差出現(xiàn)的概率較第組的大。 由于誤差分布曲線到橫坐標(biāo)軸之間的面積恒等于1，所以當(dāng)小誤差出現(xiàn)的概率較大時(shí)，大誤差出現(xiàn)的概率必然要小。v 曲線I表現(xiàn)為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測(cè)精度較高。v 曲線II相對(duì)來(lái)說(shuō)較為平緩，即離散度較大，因而觀測(cè)精度較低。 21)(11f21)(22f 如如圖圖5-3中，曲線中，曲線、對(duì)應(yīng)著不同觀測(cè)條件得出的對(duì)應(yīng)著不同觀測(cè)條件得出的兩組誤差分布曲線。兩組誤差分布曲線。第19頁(yè)/共57頁(yè)l測(cè)量成果中除了系統(tǒng)誤差和

13、偶然誤差以外，還可能出現(xiàn)錯(cuò)誤（有時(shí)也稱之為粗差）。l錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因：較多 v可能由作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照錯(cuò)了目標(biāo)等；v 也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起；v還有可能是容許誤差取值過(guò)小造成的。l錯(cuò)誤對(duì)觀測(cè)成果的影響極大，所以在測(cè)量成果中絕對(duì)不允許有錯(cuò)誤存在。l發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的方法：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測(cè)，通過(guò)多余觀測(cè)條件，進(jìn)行檢核驗(yàn)算；嚴(yán)格按照國(guó)家有關(guān)部門制定的各種測(cè)量規(guī)范進(jìn)行作業(yè)等。第20頁(yè)/共57頁(yè)誤差理論研究的主要對(duì)象偶然誤差在測(cè)量的成果中： l錯(cuò)誤可以發(fā)現(xiàn)并剔除，l系統(tǒng)誤差能夠加以改正，l偶然誤差是不可避免的，它在測(cè)量成果中占主導(dǎo)地位，l測(cè)量誤差理論

14、主要是處理偶然誤差的影響。第21頁(yè)/共57頁(yè)5-2評(píng)定精度的指標(biāo)v 精度精度是指一組觀測(cè)值的密集與離散程度是指一組觀測(cè)值的密集與離散程度，也，也可說(shuō)是一組觀測(cè)值的誤差的密集與離散程度。可說(shuō)是一組觀測(cè)值的誤差的密集與離散程度。v 例例:對(duì)對(duì)A邊三次丈量值為邊三次丈量值為56.882, 56.885, 56.884 后對(duì)后對(duì)A邊丈量了三次邊丈量了三次 為為56.882, 56.883, 56.883，可以看出：，可以看出： 前者離散度大前者離散度大,精度低精度低;后者離散度小，精度高。后者離散度小，精度高。但為但為了準(zhǔn)確評(píng)定觀測(cè)結(jié)果的精度，需要有一些確定的指標(biāo)。了準(zhǔn)確評(píng)定觀測(cè)結(jié)果的精度，需要有一些

15、確定的指標(biāo)。評(píng)定精度的指標(biāo)評(píng)定精度的指標(biāo): 中誤差、相對(duì)誤差、極限誤差和容許誤差中誤差、相對(duì)誤差、極限誤差和容許誤差第22頁(yè)/共57頁(yè)一、中誤差l注意：在一組同精度的觀測(cè)值中，盡管各觀測(cè)值的真誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)各異，而觀測(cè)值的中誤差卻是相同的，因?yàn)橹姓`差反映觀測(cè)的精度： 只要觀測(cè)條件相同，則中誤差不變。 中誤差代表的是一組觀測(cè)值的誤差分布。 )65(nm 式式（5-3）定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種指標(biāo)，是理論定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種指標(biāo)，是理論上的表達(dá)式。上的表達(dá)式。在測(cè)量實(shí)踐中觀測(cè)次數(shù)不可能無(wú)限多在測(cè)量實(shí)踐中觀測(cè)次數(shù)不可能無(wú)限多，因此實(shí)，因此實(shí)際應(yīng)用中，以有限次觀測(cè)個(gè)數(shù)際應(yīng)用中，以有限

16、次觀測(cè)個(gè)數(shù)n計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差的估值定義為計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差的估值定義為中誤差中誤差m，作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算公式為：，作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算公式為：第23頁(yè)/共57頁(yè)【例5-1】l有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測(cè)了六個(gè)三角形的內(nèi)角，得三角形的閉合差（即三角形內(nèi)角和的真誤差）分別為： 甲：+3、+1、-2、-1、0、-3； 乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。 試分析兩組的觀測(cè)精度。【 解 】用中誤差公式（5-6）計(jì)算得：3 . 465341560 . 26301213222222222222 ）（乙甲nmnm第24頁(yè)/共57頁(yè)l從上述兩組結(jié)果中可以看出，甲組的中誤差較?。?.0），所以觀

17、測(cè)精度高于乙組（ 4.3）。l而直接從觀測(cè)誤差的分布來(lái)看，也可看出甲組觀測(cè)的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測(cè)精度高于乙組。l在測(cè)量工作中，普遍采用中誤差來(lái)評(píng)定測(cè)量成果的精度。第25頁(yè)/共57頁(yè)二、相對(duì)誤差l 絕對(duì)誤差 :有符號(hào)，并且有與觀測(cè)值相同的單位的誤差，被稱為 。（如真誤差和中誤差）l絕對(duì)誤差：用于衡量其誤差與觀測(cè)值大小無(wú)關(guān)的觀測(cè)值的精度。（如角度、方向等）l相對(duì)誤差: 在某些測(cè)量工作中，絕對(duì)誤差不能完全反映出觀測(cè)的質(zhì)量。 相對(duì)誤差“K ” 等于誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值的比值。它是一個(gè)不名數(shù)，常用分子為1的分式表示，即：T1觀測(cè)值誤差的絕對(duì)值相對(duì)誤差第26頁(yè)/共57頁(yè)l相對(duì)中誤差：當(dāng)

18、誤差的絕對(duì)值為中誤差m 的絕對(duì)值時(shí)，K稱為 。l相對(duì)較差：在距離測(cè)量中還常用往返測(cè)量結(jié)果的 相對(duì)較差來(lái)進(jìn)行檢核。相對(duì)較差定義為：DDDDDDD平均平均平均返往1相對(duì)較差是相對(duì)真誤差，它反映的只是往返測(cè)的符相對(duì)較差是相對(duì)真誤差，它反映的只是往返測(cè)的符合程度，合程度，顯然，相對(duì)較差愈小，觀測(cè)結(jié)果愈可靠。顯然，相對(duì)較差愈小，觀測(cè)結(jié)果愈可靠。第27頁(yè)/共57頁(yè)三、極限誤差和容許誤差三、極限誤差和容許誤差 1極限誤差 l 在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。 在一組等精度觀測(cè)值中， （ 中誤差） 絕對(duì)值大于 的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%； 絕對(duì)值大于2

19、的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為4.5%； 絕對(duì)值大于3 的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為0.3%。 l 在測(cè)量工作中，要求對(duì)觀測(cè)誤差有一定的限值。 大于3m的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)只有3，在有限的觀測(cè)次數(shù)中，實(shí)際上不大可能出現(xiàn)。所以，可取3 作為偶然誤差的極限值，稱極限誤差。3極第28頁(yè)/共57頁(yè)2 2容許誤差容許誤差 l 在實(shí)際工作中，測(cè)量規(guī)范要求觀測(cè)中不容許存在較大的誤差，可由極限誤差來(lái)確定測(cè)量誤差的容許值，稱為容許誤差，即： l 當(dāng)要求嚴(yán)格時(shí)，也可取兩倍的中誤差作為容許誤差，即 如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于所規(guī)定的容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不可靠，應(yīng)舍去不用或重測(cè)。 m3容m2容第29頁(yè)/共57頁(yè)5-3

20、5-3誤差傳播定律誤差傳播定律 在測(cè)量工作中一般采用在測(cè)量工作中一般采用中誤差作為評(píng)定精度的指標(biāo)。中誤差作為評(píng)定精度的指標(biāo)。 誤差傳播定律：誤差傳播定律： 說(shuō)明觀測(cè)值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律說(shuō)明觀測(cè)值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律 。第30頁(yè)/共57頁(yè) 間接觀測(cè)量: : 在實(shí)際測(cè)量工作中，往往會(huì)碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測(cè)的, , 由直接觀測(cè)的量，通過(guò)函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出的量稱為。 例如：用水準(zhǔn)儀測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的高差h h，通過(guò)直接觀測(cè)值后視讀數(shù)a a 和前視讀數(shù)b b 來(lái)求得的：h =ah =ab b 。 間接觀測(cè)量的誤差： 由于直接觀測(cè)值(a(a、b)b)中都帶有誤

21、差, ,因此 間接觀測(cè)量函數(shù)(h)(h)也必然受到影響而產(chǎn)生誤差。 第31頁(yè)/共57頁(yè)一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律ixf設(shè)Z是獨(dú)立觀測(cè)量x1，x2，xn的函數(shù)，即式中：x1，x2，xn為直接觀測(cè)量，它們相應(yīng)的觀測(cè)值的中誤差分別為m1，m 2，mn，則觀測(cè)值的函數(shù)Z的中誤差為:式中 為函數(shù)Z分別對(duì)各變量xi的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測(cè)值（xi=Li）代入偏導(dǎo)數(shù)后的值，故均為常數(shù)。)(21nxxxfZ，(5-10)2222222121nnzmxfmxfmxfm第32頁(yè)/共57頁(yè)求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟如下：l列出獨(dú)立觀測(cè)量的函數(shù)式：l求出真誤差關(guān)系式。對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，得l求出中誤差關(guān)系式。只要把

22、真誤差換成中誤差的平方，系數(shù)也平方，即可直接寫出中誤差關(guān)系式：)(21nxxxfZ，nndxxfdxxfdxxfdZ221122222221212nnzmxfmxfmxfm第33頁(yè)/共57頁(yè)表5-2 常用函數(shù)的中誤差公式kxz nxxxz21nnxkxkxkz2211xzkmm22221nzmmmmnmmm21nmmz2222222121nnzmkmkmkm函 數(shù) 式函 數(shù) 的 中 誤 差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù) 線性函數(shù)若第34頁(yè)/共57頁(yè)二、應(yīng)用舉例【例5-2】 在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長(zhǎng)度為 d=23.4 mm，其中誤差 md=0.2 mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D及其中誤差 mD

23、 。解：函數(shù)關(guān)系式：D=M d，屬倍數(shù)函數(shù)，M=500是地形圖比例尺分母。兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為：11.7 m0.1 m。mmmMmmmmmMdDdD1 .0100)2 .0(5007 .11117004 .23500第35頁(yè)/共57頁(yè)【例5-3】水準(zhǔn)測(cè)量中，已知后視讀數(shù)a =1.734 m，前視讀數(shù)b=0.476 m，中誤差分別為ma=0.002 m，mb=0.003 m，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。解：函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得mmmmmmbahbah004.00036.0003.0002.0258.1476.0734.12222兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.25

24、8 m0.004 m。第36頁(yè)/共57頁(yè)【例 5-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為L(zhǎng)=247.50 m，中誤差mL=0.05 m，并測(cè)得傾斜角=1034，其中誤差m=3，求水平距離D及其中誤差mDcosLD mD303.2433410cos50.247864 3 .453410sin50.2473410sin830 9 . 03410cosLDLD解解: : 1 1）首先列出函數(shù)式）首先列出函數(shù)式 2 2）水平距離）水平距離這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分， 3 3）先求出各偏導(dǎo)值如下）先求出各偏導(dǎo)值如下 第37頁(yè)/共57頁(yè) 5）得結(jié)果 ：

25、D=243.30 m0.06 m。mmDmLDmLD063. 03438 3)3864.45(05. 09830. 0 222222224 4）寫成中誤差形式：）寫成中誤差形式：第38頁(yè)/共57頁(yè)【例5-5】 圖根水準(zhǔn)測(cè)量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為mi=2 mm，假定視距平均長(zhǎng)度為50 m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測(cè)段長(zhǎng)度為L(zhǎng) km的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測(cè)量往返測(cè)所得高差閉合差的容許值。解:1)每站觀測(cè)高差為： 2)每站觀測(cè)高差的中誤差： 因視距平均長(zhǎng)度為50 m，則每公里可觀測(cè)10個(gè)測(cè)站，L公里共觀測(cè)10L個(gè)測(cè)站，L公里高差之和為：L(km)高差和的中誤差為：bahmm 222i

26、hmmLhhhh1021mm 54221010LLmLmh第39頁(yè)/共57頁(yè)往返高差的較差（即高差閉合差）為：高差閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：在第二章中，取 作為閉合差的容許值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）。mm 3810123LLmfhfh容mm 1042Lmmhf返往hhfhmm40 Lfh容第40頁(yè)/共57頁(yè)三、注意事項(xiàng)三、注意事項(xiàng) 應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： 1要正確列出函數(shù)式例：用長(zhǎng)30 m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為ml=5 mm，求全長(zhǎng)D及其中誤差mD。 1）函數(shù)式 按倍數(shù)函數(shù)

27、式求全長(zhǎng)中誤差，將得出 2）實(shí)際上全長(zhǎng)應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為 用和差函數(shù)式求全長(zhǎng)中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長(zhǎng)中誤差為 按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯(cuò)誤的。 m 300301010lD1021lllDmm 1610lDmmmm5010lDmm第41頁(yè)/共57頁(yè)2在函數(shù)式中各個(gè)觀測(cè)值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。 如有函數(shù)式： 而：若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。1）直接用公式計(jì)算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得 （上面所得的結(jié)果是 錯(cuò)誤）(a) 1221yyz)(22321bxyxy；xyxymmmm2321，)(42122cmmmyyz

28、xxxzmmmm5)2(4)3(22第42頁(yè)/共57頁(yè)上面所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。 因?yàn)閥1和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測(cè)值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。 正確的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。xmxxz7m 57x 1)22(23z第43頁(yè)/共57頁(yè)5-4 等精度直接觀測(cè)平差l多余觀測(cè):對(duì)一個(gè)未知量，進(jìn)行重復(fù)觀測(cè).l多余觀測(cè)目的 :提高觀測(cè)成果的質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)和消除錯(cuò)誤。有一個(gè)多余觀測(cè)，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)矛盾（閉和差），消除矛盾的過(guò)程，稱為測(cè)量平差。l直接觀測(cè)平差:重復(fù)觀測(cè).也就產(chǎn)生了觀測(cè)值之間互不相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀

29、測(cè)值求出觀測(cè)值的最佳估值，同時(shí)對(duì)觀測(cè)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估，即對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差.l根據(jù)觀測(cè)條件，有等精度直接觀測(cè)平差和不等精度直接觀測(cè)平差。第44頁(yè)/共57頁(yè) 最或然值: :平差的結(jié)果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般稱這個(gè)最接近真值的估值為“最或然值”，或“最可靠值”，有時(shí)也稱“最或是值”，一般用 x 表示。一、等精度直接觀測(cè)值的最或然值一、等精度直接觀測(cè)值的最或然值 算術(shù)平均值(最或然值x )nLxnLXlinn;算術(shù)平均值：真值：第45頁(yè)/共57頁(yè)二、評(píng)定精度（一）觀測(cè)值的中誤差1由真誤差來(lái)計(jì)算當(dāng)觀測(cè)量的真值已知時(shí),可根據(jù)中誤差估值的定義即由觀測(cè)值的真誤差來(lái)計(jì)算其中

30、誤差。nm2 2由改正數(shù)由改正數(shù)（最或然值誤差（最或然值誤差v v）來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算 在實(shí)際工作中，觀測(cè)量的真值除少數(shù)情況外一般是不易求在實(shí)際工作中，觀測(cè)量的真值除少數(shù)情況外一般是不易求得的。得的。因此在多數(shù)情況下，我們只能因此在多數(shù)情況下，我們只能按觀測(cè)值的最或然值來(lái)求觀測(cè)值按觀測(cè)值的最或然值來(lái)求觀測(cè)值的中誤差。的中誤差。 1nvvm第46頁(yè)/共57頁(yè)（1）改正數(shù)及其特征）改正數(shù)及其特征l l 觀測(cè)值的改正數(shù): 最或然值x與各觀測(cè)值Li之差稱為 ，其表達(dá)式為: 在等精度直接觀測(cè)中，最或然值x即是各觀測(cè)值的算術(shù)平均值。即 顯然l l 5-12式是改正數(shù)的一個(gè)重要特征，在檢核計(jì)算中有用。11)-(5 n)2 , 1( ， iLxvii12)-(5 0)(1LnxLxvnii 0vnLx第47頁(yè)/共57頁(yè)（2 2）觀測(cè)值的中誤差）觀測(cè)值的中誤差 白塞爾公式 1nvvm 上式即是等精度觀測(cè)用改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差的公式 。第48頁(yè)/共57頁(yè)（二）最或然值的中誤差l一組等精度觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2、Ln，其中誤差均相同，設(shè)為m，l最或然值x（算術(shù)平均值 ）的中誤差M為 14)-(5 nmM 15)-(5 ) 1(nnvvMnLx第49頁(yè)/共57頁(yè)【例5-6】對(duì)某角等精度觀測(cè)6次，其觀測(cè)值見(jiàn)表5-3。試