圖形與幾何內(nèi)容分析與教學(xué)建議

1、圖形與幾何內(nèi)容分析與教學(xué)建議課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿中，把這部分內(nèi)容叫做空間與圖形，現(xiàn)在課程標(biāo)準(zhǔn)把它稱作為圖形與幾何，是因?yàn)閹缀我辉~，一直是被大家叫得比較熟悉的，而且教師對(duì)它的名稱的來(lái)歷等也有所了解。同時(shí)，圖形又是這部分內(nèi)容研究的主要對(duì)象，用圖形與幾何，更容易被教師們很好地把握這部分內(nèi)容。小學(xué)“圖形與幾何”的課程內(nèi)容，是從平面圖形、立體圖形中圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)和圖形的位置四方面展開(kāi)的。在圖形的認(rèn)識(shí)內(nèi)容中主要讓學(xué)生掌握對(duì)平面圖形和立體圖形的認(rèn)識(shí)，在圖形的測(cè)量這部分內(nèi)容中主要讓學(xué)生掌握度量“單位”和度量“量”的認(rèn)識(shí)及測(cè)量的具體方法。在圖形的運(yùn)動(dòng)內(nèi)容中主要讓學(xué)生掌握?qǐng)D形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱。在

2、圖形與位置內(nèi)容中主要讓學(xué)生掌握物體相對(duì)位置和絕對(duì)位置的描述和如何定量刻畫(huà)物體的位置。專題一 圖形的認(rèn)識(shí)內(nèi)容分析與教學(xué)建議（平面圖形）在小學(xué)階段，學(xué)生在日常生活中積累了有關(guān)圖形認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將通過(guò)觀察、想象、操作、比較、歸納、概括、推理等方式，認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的平面圖形和立體圖形，探索它們的性質(zhì)；在觀察、想象、推理和圖形的相互轉(zhuǎn)換過(guò)程中發(fā)展空間觀念，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待豐富的圖形世界，體會(huì)圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)要求如下。·能通過(guò)實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、網(wǎng)柱和球等幾何體。（第一學(xué)段）·通過(guò)觀察、操作，初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形的特征（第一學(xué)段）

3、·結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線。（第二學(xué)段）·結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。（第二學(xué)段）上面課程標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段提出的要求是認(rèn)識(shí)圖形包括能辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡(jiǎn)單的圖形，結(jié)合生活的實(shí)際情況，認(rèn)識(shí)角，了解直角、銳角、鈍角等，其中也涉及到了經(jīng)過(guò)抽象后的二維圖形，在課程標(biāo)準(zhǔn)第二學(xué)段中要求認(rèn)識(shí)的圖形包括線段、射線、直線等一維圖形，還有平角、周角、梯形、扇形，對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)一般從一般的三角形，到等腰、等邊、直角、銳角、鈍角三角形，同時(shí)對(duì)平行四邊形和圓的特征的認(rèn)識(shí)也更進(jìn)深了一步，其實(shí)這些也都是二維圖形，但與第一學(xué)段的二維圖形相比，像點(diǎn)

4、、直線 、角等這些基本圖形，抽象的程度也就更高，因此，教師要結(jié)合對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中，物體抽象的過(guò)程使學(xué)生更好地去理解它們，同時(shí)在課程標(biāo)準(zhǔn)中，關(guān)于圓的認(rèn)識(shí)的內(nèi)容安排，又體現(xiàn)了從生活到數(shù)學(xué)，從直觀到抽象，從整體到局部的一個(gè)特點(diǎn)。課程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段的圖形認(rèn)識(shí)中，要求學(xué)生“結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線”“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系”。由于射線和直線涉及無(wú)限的概念，與長(zhǎng)方體、正方體、長(zhǎng)方形、正方形等相比，在現(xiàn)實(shí)中沒(méi)有“直線”的實(shí)物原型，所以教師在教學(xué)中，教師要給學(xué)生呈現(xiàn)大量的感性材料，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察，去建立圖形的認(rèn)識(shí)的表象，例如在認(rèn)識(shí)角的時(shí)候，老師可以讓學(xué)生先尋找生活中的角，

5、紅領(lǐng)巾 剪刀 鐘面 扇形等，再觀察實(shí)物上的角，通過(guò)對(duì)事物的觀察與操作的過(guò)程，來(lái)認(rèn)識(shí)它的特征與性質(zhì)，這既符合了學(xué)生認(rèn)知事物的規(guī)律，也符合了課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)的要求，同時(shí)，教師要要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象與想象。而對(duì)學(xué)生空間觀念的建立與培養(yǎng)可能相對(duì)困難些，如一教師在教學(xué)三角形兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)時(shí)，他讓學(xué)生操作當(dāng)兩條邊之和和第三條邊相等時(shí)能否拼成三角形，由于有一名學(xué)生在操作中有誤差，也確實(shí)拼出了三角形，此時(shí)，這名教師便讓學(xué)生去換個(gè)角度去想，你能夠用三條邊分別是3，5厘米和8厘米來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題嗎，在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，使學(xué)生體會(huì)到 3加5等于8，底下也是8，因?yàn)樯虾拖戮€段是相等的，它是不可能形成三角形的，

6、在這個(gè)想象的過(guò)程中，就使學(xué)生體會(huì)了三角形的三邊關(guān)系。類似地，學(xué)生理解兩條直線平行的位置關(guān)系也可以利用兩根鐵軌作為實(shí)物原型來(lái)描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實(shí)，都揭示了平行線的本質(zhì)。但鐵軌無(wú)法總是筆直地延伸，所以在從實(shí)物到幾何圖形的抽象過(guò)程中還需要想象，這有助于學(xué)生建立和培養(yǎng)抽象能力和空間觀念。人們生活在三維的空間中，常見(jiàn)的樓房、積木、各種包裝盒、皮球都給我們以長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以從認(rèn)識(shí)立體圖形開(kāi)始，“通過(guò)實(shí)物和模型等辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體”?！氨嬲J(rèn)”是認(rèn)識(shí)的低級(jí)階段，但與以往的經(jīng)驗(yàn)有所不同，它要經(jīng)歷從實(shí)物到幾何圖形

7、的抽象過(guò)程。從不同的角度觀察長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、球體的表面，就抽象出長(zhǎng)方形、正方形、圓等平面圖形，從而揭示出立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。專題二 圖形在認(rèn)識(shí)內(nèi)容分析與教學(xué)建議（立體圖形）建立培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，除了讓學(xué)生對(duì)常見(jiàn)圖形的認(rèn)識(shí)以外，課程標(biāo)準(zhǔn)中還提出另一種對(duì)圖形觀察與認(rèn)識(shí)的要求。·能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體。（第一學(xué)段）·能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖。（第二學(xué)段）·認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的展開(kāi)圖。（第二學(xué)段）空間觀念作為課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的核心概念，是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)之

8、一。為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)空間的理解與把握、建立和培養(yǎng)他們的空間觀念，課程標(biāo)準(zhǔn)安排了投影與視圖、展開(kāi)與折疊等內(nèi)容，為學(xué)生提供進(jìn)行二維圖形與三維圖形之間轉(zhuǎn)換的素材。由于圖形是人類長(zhǎng)期通過(guò)對(duì)客觀物體的觀察逐步地逐漸地抽象出來(lái)的，抽象的核心是把物體的外部形象，用線條描繪在二維的平面上，如電冰箱,它的高矮，它的寬窄，它的長(zhǎng)短，這些反映到人們頭腦中，就形成一些概念，就會(huì)抽象冰箱的幾何圖形。由于學(xué)生難以一次就完成這樣的抽象，教師在教學(xué)中，就應(yīng)不斷地幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼睛來(lái)觀察眾多的實(shí)物，然后在思考中抽象出它圖形的本質(zhì)特征。再如圓柱，它也是小學(xué)立體圖形認(rèn)識(shí)中一個(gè)很重要的內(nèi)容，一位教師在對(duì)圓柱的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，他先把不同版

9、本的教材，進(jìn)行了一下對(duì)比，對(duì)教材中的這些呈現(xiàn)的素材進(jìn)行梳理，然后通過(guò)三個(gè)活動(dòng)進(jìn)行教學(xué)。一是把這個(gè)圓柱的側(cè)面剪開(kāi)，讓學(xué)生探究剪開(kāi)后的圖形，由于學(xué)生在認(rèn)識(shí)圓柱的過(guò)程中是第一次認(rèn)識(shí)曲面，可能有些生疏，而教師通過(guò)把它剪開(kāi)，也就是滲透了化曲為直的數(shù)學(xué)思想，即把新的知識(shí)轉(zhuǎn)化成了舊知識(shí)，把曲面轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的平面圖形，而學(xué)生在剪的過(guò)程中剪的方式不一樣，可能呈現(xiàn)出的平面圖形形式也不一樣，但都為滲透化曲為直的數(shù)學(xué)思想奠定了基礎(chǔ)。第二個(gè)活動(dòng)是讓學(xué)生從不同的角度去觀察，得出不同的平面圖形，不但培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，又實(shí)現(xiàn)了立體圖形和平面圖形的轉(zhuǎn)化。第三個(gè)活動(dòng)就是不加任何規(guī)定地讓學(xué)生把這個(gè)圓柱切割成兩部分，又得到不同形

10、狀的幾何體，再通過(guò)觀察又獲得不同的平面圖形，這種認(rèn)識(shí)給學(xué)生更多的動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形的過(guò)程中，積累了經(jīng)驗(yàn)，獲得了重要的數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)感悟，實(shí)現(xiàn)了空間觀念的建立和發(fā)展。值得注意的是，上面“從不同的方向看到的”圓柱幾何體的平面圖形不是真正意義上的視圖，視圖是平行投影下的正投影，即平行光線將物體投射到與光線垂直的投影面上的“影子”。另外，在第一、二學(xué)段只要求辨認(rèn)（不要求畫(huà)出）所看到的物體的形狀圖?？傊?，“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的展開(kāi)圖”，體現(xiàn)了三維圖形與二維圖形之間相互轉(zhuǎn)換的具體要求，教學(xué)目標(biāo)是在圖形轉(zhuǎn)換中引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、想象，建立培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。因此，教師教學(xué)中

11、應(yīng)注重展開(kāi)與折疊的操作過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)想象實(shí)現(xiàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換，靠單純機(jī)械記憶展開(kāi)圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。專題三 圖形測(cè)量中的度量“單位”和度量“量”的認(rèn)識(shí)測(cè)量在日常生活和學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用，它是圖形與幾何學(xué)習(xí)的重要部分。在話題一“圖形與幾何”內(nèi)容結(jié)構(gòu)的分析中，已介紹了有關(guān)圖形測(cè)量的幾個(gè)核心問(wèn)題，下面僅就圖形測(cè)量的一些具體問(wèn)題再進(jìn)行分析。課程標(biāo)準(zhǔn)在小學(xué)第一學(xué)段中，關(guān)于圖形測(cè)量的內(nèi)容可分成二部分，一是關(guān)于度量單位及其統(tǒng)一性意義的理解；二是關(guān)于長(zhǎng)度和面積的測(cè)量問(wèn)題。（1）統(tǒng)一圖形測(cè)量單位。測(cè)量單位是測(cè)量的核心，測(cè)量單位的統(tǒng)一是使測(cè)量從個(gè)別的、特殊的測(cè)量活動(dòng)，成為一般化的普遍性的活動(dòng)，因

12、此，在課程的實(shí)施過(guò)程中，教師要為學(xué)生提供必要的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生，選擇不同的方法進(jìn)行測(cè)量，并在相互交流的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不同的方法，不同的選擇，對(duì)于測(cè)量結(jié)果的影響，進(jìn)而體會(huì)建立統(tǒng)一測(cè)量單位的極端重要性。如一位教師在對(duì)長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)授課時(shí)，他先讓學(xué)生采用不同的辦法去測(cè)量同一個(gè)物體的長(zhǎng)度，于是有的學(xué)生用手測(cè)量是三拃長(zhǎng)，有的學(xué)生用自己的鉛筆測(cè)量是五根鉛筆長(zhǎng)，還有的用自己桌上的橡皮去測(cè)量是25塊橡皮那么長(zhǎng)，由于老師創(chuàng)設(shè)了這個(gè)情境，采用不同的測(cè)量工具，測(cè)量該物體長(zhǎng)度的結(jié)論顯然是不同的。若讓測(cè)量結(jié)果統(tǒng)一，必須有一個(gè)公認(rèn)的單位或統(tǒng)一的工具，即標(biāo)準(zhǔn)單位，由此讓學(xué)生體會(huì)到測(cè)量某一物體單位需要建立標(biāo)準(zhǔn)的度量單位，否則會(huì)給

13、我們的生活帶來(lái)很多不便，即讓學(xué)生在實(shí)踐中體會(huì)到建立統(tǒng)一度量單位的重要性。課程標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段還提到，在實(shí)踐活動(dòng)中讓學(xué)生體會(huì)并認(rèn)識(shí)千米、米、厘米、分米和毫米等長(zhǎng)度單位，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算，能恰當(dāng)?shù)剡x擇長(zhǎng)度單位。因此，教師一定要通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，如生活中哪些物體的長(zhǎng)度，大約是一米，一厘米的長(zhǎng)度有多長(zhǎng)，一平方米有多大，一平方厘米有多大等，加強(qiáng)對(duì)單位表象的建立，使學(xué)生理解與把握度量單位的實(shí)際意義。其次教師要讓學(xué)生在實(shí)際的，操作活動(dòng)中建立表象，如讓學(xué)生測(cè)量教室的長(zhǎng)有多少米，測(cè)量桌面的面積是多少，在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，不僅熟悉了測(cè)量單位，同時(shí)學(xué)生也鞏固了自己的測(cè)量方法。最后再結(jié)合具體的實(shí)際例子讓學(xué)生去體會(huì)度量單位的

14、大小，如“北京到南京的鐵路長(zhǎng)約1000()”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的度量單位；用“1米約相當(dāng)于()根鉛筆長(zhǎng)”來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)度量單位的感知。還要關(guān)注不同維度度量單位之間的聯(lián)系，如理解1分米2 =100厘米2，可借助圖形(10×10的方格，每個(gè)方格為1厘米2)或借助等式1分米2=1分米×1分米=IO厘米×10厘米=100厘米2，這樣也可避免學(xué)生死記硬背單位之間的換算關(guān)系。（2）長(zhǎng)度、面積、體積的測(cè)量。一提長(zhǎng)度，很自然與路程聯(lián)系，抽象出來(lái)就是一條線段的長(zhǎng)度，這比較好理解，但在實(shí)踐中多數(shù)是測(cè)量物體或圖形的周長(zhǎng)或它們的面積、體積。在周長(zhǎng)、面積和體積這三個(gè)度量的量中，周長(zhǎng)是學(xué)生

15、最難感知的，也是最難理解的。周長(zhǎng)在小學(xué)解釋為封閉曲線一周的長(zhǎng)度，詞典中是環(huán)繞有限面積的區(qū)域邊緣的長(zhǎng)度，可見(jiàn)周長(zhǎng)有兩層含義，第一是封閉圖形的一周，第二是長(zhǎng)度，同時(shí)也要看到周長(zhǎng)與長(zhǎng)度有著密切的關(guān)系，它與長(zhǎng)度是同屬于一維空間的測(cè)量，但周長(zhǎng)卻用在二維圖形上，如平面，曲面。也就是說(shuō)周長(zhǎng)它是一維的量，但它卻在二維的面里出現(xiàn)、應(yīng)用，所以有面積的地方，肯定有周長(zhǎng)，有周長(zhǎng)的也有面積，它們之間存在著一定的聯(lián)系，但也有著明顯的區(qū)別。在此處教學(xué)中，教師一定要讓學(xué)生清楚，面積指的是封閉圖形圍成的面的大小，面積屬于二維空間的度量，它有長(zhǎng)和寬兩個(gè)表示的量。而周長(zhǎng)是一維空間度量的量，它只有長(zhǎng)度，它是長(zhǎng)度單位的累加，但是因?yàn)槊?/p>

16、積和周長(zhǎng)都同屬在一個(gè)平面之內(nèi)，這也就是學(xué)生總是把周長(zhǎng)和面積混淆的原因。為了幫助學(xué)生清晰地建立起周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)，教師可借助三角形的學(xué)具，如把三角形從邊線的一點(diǎn)斷開(kāi)，把它的邊線取下來(lái)，這條線段的長(zhǎng)度，是不是就是這個(gè)三角形一周的長(zhǎng)度，若是，那么這條線段它的長(zhǎng)度就叫它的周長(zhǎng)。這非常直觀地讓學(xué)生感受到，圖形的周長(zhǎng)說(shuō)的就是一維的線，把這個(gè)周長(zhǎng)從三角形平面中給它剝離出來(lái)，學(xué)生就能直觀地看到，周長(zhǎng)說(shuō)的是線，是線的長(zhǎng)短，這樣學(xué)生就不會(huì)跟三角形面的大小，即三角形面積相混了。因此，教師教學(xué)中一定要抓住概念的本質(zhì)，讓學(xué)生深刻地感受到概念的內(nèi)涵是什么，要結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)，認(rèn)識(shí)面積，并能測(cè)量簡(jiǎn)單的圖形的周長(zhǎng)和面積，除了探索規(guī)

17、則圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式并會(huì)應(yīng)用外，課程標(biāo)準(zhǔn)還要求能測(cè)量一些不規(guī)別圖形的周長(zhǎng)，如由簡(jiǎn)單規(guī)則的基本圖形，組合在一起的像月亮、桃心、樹(shù)葉等不規(guī)則圖形讓學(xué)生去測(cè)量它周長(zhǎng)或求面積，這類問(wèn)題可以把它轉(zhuǎn)化為基本圖形進(jìn)行測(cè)量，但也可以拿線去沿著邊線圍一周，然后把它拉直，測(cè)量這條線的長(zhǎng)度，這不但使學(xué)生在測(cè)量中繼續(xù)感悟概念的本質(zhì)，也使學(xué)生體會(huì)到由曲變直的過(guò)程，從中滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法。這也更有助于學(xué)生對(duì)各種圖形所測(cè)量的量的含義的理解和把握。關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)第二學(xué)段中提到角的度量；一些常見(jiàn)立體圖形的體積的探索；了解圓的周長(zhǎng)與直徑的比為定值，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式；探索并掌握?qǐng)A的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”等

18、。教師都可以通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)測(cè)量圖形或物體有清晰的表象和感悟，實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)量圖形或物體量的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，即讓學(xué)生清晰地建立一維圖形測(cè)量的大小是長(zhǎng)度，二維圖形測(cè)量的大小是面積，三維圖形測(cè)量的大小是體積并讓學(xué)生清晰地區(qū)分它們的不同，逐步建立起三維的空間觀念。專題四 圖形的測(cè)量圖形測(cè)量的具體方法(求積)（1）在圖形的測(cè)量中感悟數(shù)學(xué)思想。在圖形測(cè)量中如何去感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，下面我們以圓為例進(jìn)行分析。因?yàn)閳A是第一、二學(xué)段學(xué)習(xí)中的平面圖形中的唯一一個(gè)曲線形，對(duì)它的周長(zhǎng)以及面積的探索和公式的推導(dǎo)都具有一定的挑戰(zhàn)性，需要學(xué)生經(jīng)歷分析圓的半徑與周長(zhǎng)關(guān)系的過(guò)程，并通過(guò)對(duì)特殊情況的歸納得出圓的面

19、積公式。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，而且在這個(gè)過(guò)程中，能讓學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化、極限和函數(shù)的思想。如圓周長(zhǎng)的測(cè)量，可以用圓片在直尺上滾動(dòng)，測(cè)量它的長(zhǎng)度，還可以用線繞圓片一周，把線拉直，然后再測(cè)量線的長(zhǎng)度，這樣學(xué)生不但積累了測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，也又一次滲透化曲為直的轉(zhuǎn)化思想。而且在這個(gè)圓的單元中，極限思想的滲透也是非常鮮明的，如在圓的周長(zhǎng)的教學(xué)中，也可以向?qū)W生介紹割圓術(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷正多邊形到圓的一個(gè)形成的過(guò)程，即引導(dǎo)學(xué)生觀察隨時(shí)圓內(nèi)正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多，正多邊形也就越來(lái)越逼近圓，通過(guò)有限去想無(wú)限，就能使學(xué)生感受到一個(gè)極限的思想。所以，數(shù)學(xué)思想是伴隨著學(xué)生知識(shí)的積

20、累，思維的發(fā)展而逐步被學(xué)生所感悟的。（2）培養(yǎng)學(xué)生估測(cè)意識(shí)。估測(cè)，或者說(shuō)估計(jì)，它是課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，在第一、二學(xué)段長(zhǎng)度、面積和體積三個(gè)維度上都提出了估測(cè)的要求，如第一學(xué)段要求“能估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度，并進(jìn)行測(cè)量”“會(huì)估計(jì)給定簡(jiǎn)單圖形的面積”，第二學(xué)段要求“體驗(yàn)?zāi)承?shí)物（如土豆等）體積的測(cè)量方法”。在教學(xué)中如何幫助學(xué)生提升他們對(duì)圖形和實(shí)物進(jìn)行估計(jì)估測(cè)的能力，下面以在方格內(nèi)求一曲面圖形面積為例，一般在教學(xué)當(dāng)中，習(xí)慣讓學(xué)生先數(shù)整格，然后再數(shù)半格并把它們累加在一起，就是我們經(jīng)常用數(shù)方格的方法來(lái)估計(jì)出曲邊圖形圍成的面積。而在估測(cè)某一圖形面積時(shí)，具體操作是先確定合適的單位，一般是一個(gè)方格為一個(gè)單

21、位，然后尋找區(qū)間，即確定圖形面積的最大范圍和最小范圍，確定它大致的一個(gè)取值范圍，在這個(gè)基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行估計(jì)計(jì)算，通過(guò)比較來(lái)進(jìn)行探究、確實(shí)。這只是把估算當(dāng)成一個(gè)操作的技能去教了，教師還可以繼續(xù)追問(wèn)，還有什么樣的方法，能夠使這個(gè)估計(jì)的結(jié)果更接近這個(gè)實(shí)際面積，如求曲線圖形的面積，若把網(wǎng)格給它不斷地縮小，所得圖形的面積就不斷地去逼近這個(gè)曲線圖形的面積，學(xué)生在體驗(yàn)逐步逼近這個(gè)曲線圖形的面積的過(guò)程中，學(xué)生也就感悟、體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的極限思想。還如，“測(cè)量一個(gè)土豆的體積”，也可以轉(zhuǎn)化為與土豆等體積的規(guī)則物體來(lái)測(cè)量(詳見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)附錄2例34)。（3）培養(yǎng)學(xué)生推理能力。培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，課程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段有明確要求

22、，即在掌握有關(guān)周長(zhǎng)、面積、體積公式的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。解決問(wèn)題既是學(xué)習(xí)過(guò)程的重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，而解決圖形測(cè)量問(wèn)題的核心是學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。一位教師在教學(xué)平行四邊形面積時(shí)，進(jìn)行如下設(shè)計(jì)。第一個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生大膽地嘗試猜想，平行四邊形的面積和誰(shuí)有關(guān)，學(xué)生猜想的結(jié)果，一是認(rèn)為和平行四邊形的底邊與鄰邊有關(guān)，即求面積用底邊乘以鄰邊。二是認(rèn)為平行四邊形的面積與底邊和高有關(guān)，即求面積可以用底邊乘以高。第二個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生借助學(xué)具檢驗(yàn)猜想，在得到了自己猜想的結(jié)果后，讓學(xué)生利用手中的網(wǎng)格圖，去測(cè)量一下平行四邊形的面積，通過(guò)測(cè)量學(xué)生就發(fā)現(xiàn)這個(gè)測(cè)量結(jié)果，和猜想中的底乘以

23、高求出的平行四邊形的面積是一樣的，從而檢驗(yàn)出了自己猜想的結(jié)論。第三個(gè)環(huán)節(jié)，就是引導(dǎo)學(xué)生自主探究驗(yàn)證結(jié)論，將平行四邊形沿高剪開(kāi)，把它轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，利用長(zhǎng)方形的面積公式，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。這個(gè)探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)，顯然是把推理能力的培養(yǎng)貫穿在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想和證明的過(guò)程，這不僅有利于理清思路，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，而且在這個(gè)過(guò)程中，又把合情推理和演繹推理進(jìn)行有機(jī)地結(jié)合，有助于培養(yǎng)如發(fā)展學(xué)生的思維能力。專題五 圖形的運(yùn)動(dòng)內(nèi)容分析與教學(xué)建議運(yùn)動(dòng)是世間萬(wàn)物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式。所謂圖形的運(yùn)動(dòng)，在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅

24、位置發(fā)生變化（合同運(yùn)動(dòng)）；二是形狀不變而大小變化（相似運(yùn)動(dòng)）。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圖形的運(yùn)動(dòng)主要要掌據(jù)如下內(nèi)容，一是學(xué)習(xí)圖形的運(yùn)動(dòng)的價(jià)值，二是圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)內(nèi)容，三是圖形的運(yùn)動(dòng)的教學(xué)目標(biāo)，四是圖形運(yùn)動(dòng)的教學(xué)策略與方法。1. 學(xué)習(xí)圖形的運(yùn)動(dòng)的價(jià)值研究圖形運(yùn)動(dòng)的價(jià)值主要體現(xiàn)在以下幾方面。(1)感悟數(shù)學(xué)研究的發(fā)展。近兩千年來(lái)，人們始終是用靜止的觀點(diǎn)來(lái)研究幾何的有關(guān)問(wèn)題。直到1872年，德國(guó)大數(shù)學(xué)家克萊因，發(fā)表了著名的愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)，他在這個(gè)演說(shuō)中首次提出要從運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)研究幾何問(wèn)題，這是一個(gè)里程碑式的論斷，它改變了人們舊有的思維方式，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)探索認(rèn)識(shí)圖形與幾何的性質(zhì)，欣賞與設(shè)計(jì)圖案，

25、從此圖形與幾何成為培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生空間觀念和思維能力的重要內(nèi)容。(2)豐富學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生空間觀念與幾何直觀能力的建立和培養(yǎng)。在現(xiàn)實(shí)的生活中，存在著大量圖形變化或變換的現(xiàn)象，對(duì)于這些變化或變換的現(xiàn)象，學(xué)生自己本身也有豐富的體驗(yàn)體會(huì)。如坐電梯、地鐵，看到鐘面那個(gè)指針，自行車的車輪，風(fēng)車，電扇的扇葉等都在轉(zhuǎn)動(dòng)，這些生活中的現(xiàn)象、圖形的變換也為學(xué)生學(xué)習(xí)圖形的運(yùn)動(dòng)，提供了豐富多彩的現(xiàn)實(shí)背景。讓學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和把握這些生活中的平移旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)、研究并確認(rèn)圖形的性質(zhì)，有助于建立和培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。2.圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)內(nèi)容按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，小學(xué)一到六年級(jí)中，圖形的運(yùn)動(dòng)主要

26、指合同運(yùn)動(dòng)，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱，還有簡(jiǎn)單圖形擴(kuò)和縮的知識(shí)內(nèi)容。通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)中大量的圖形運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，能以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)圖形，欣賞與設(shè)計(jì)圖案。(1) 課程標(biāo)準(zhǔn)第一學(xué)段中的教學(xué)要求是，學(xué)生能借助日常生活中對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱，并認(rèn)識(shí)兩個(gè)圖形具有平移或軸對(duì)稱的關(guān)系。教學(xué)中，教師要提供大量豐富的圖形運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，如風(fēng)車、鐘面的指針等，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)充分地觀察、想象和運(yùn)用日常生活中已經(jīng)積累的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)，去了解、歸納、發(fā)現(xiàn)什么是平移，什么是旋轉(zhuǎn)，什么是軸對(duì)稱及各種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。特別是修訂后的課標(biāo)，提倡讓老師們?nèi)ソM織學(xué)生收集生活當(dāng)中的一些現(xiàn)象、

27、圖案，然后引導(dǎo)學(xué)生去觀察，組織學(xué)生進(jìn)行交流，從中發(fā)現(xiàn)圖形的特點(diǎn)，并提倡他們畫(huà)出來(lái)，或鼓勵(lì)學(xué)生自己去設(shè)計(jì)平移、旋轉(zhuǎn)及軸對(duì)稱圖形，不但使學(xué)生了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱，而且能認(rèn)識(shí)兩個(gè)圖形是否具有平移或軸對(duì)稱的關(guān)系。(2) 課程標(biāo)準(zhǔn)第二學(xué)段中，圖形的運(yùn)動(dòng)教學(xué)內(nèi)容主要有以下幾方面。·按要求在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，會(huì)補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形。·能利用方格紙按一定比例將簡(jiǎn)單圖形放大或縮小。·綜合運(yùn)用圖形的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行圖案的欣賞與設(shè)計(jì)在第一、二學(xué)段，方格紙是學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形運(yùn)動(dòng)很好的平臺(tái)，利用它可以準(zhǔn)確地描述圖形的位置，定量刻面圖形的運(yùn)動(dòng)，這樣的描述和刻畫(huà)又能加深學(xué)生對(duì)圖形

28、運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)和理解。如按要求在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形，而且經(jīng)過(guò)平移或者旋轉(zhuǎn)后能畫(huà)出一個(gè)新的圖形，會(huì)補(bǔ)全一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這種圖形的運(yùn)動(dòng)，對(duì)小學(xué)生認(rèn)識(shí)還是比較抽象的，有一定的難度的，如何把抽象的空間意識(shí)，轉(zhuǎn)化為這種具體的，容易操作的教與學(xué)的過(guò)程，方格紙是學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形、定量刻畫(huà)圖形的很好平臺(tái)，教師要充分利用它能準(zhǔn)確描述和刻畫(huà)圖形位置的優(yōu)勢(shì)，來(lái)加深學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)和理解。另外，課程標(biāo)準(zhǔn)只要求圖形沿水平或豎直方向平移，以及圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)900，不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度。通過(guò)方格紙，也能夠幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)和理解圖形的這個(gè)基本特征，能更好地使學(xué)生來(lái)認(rèn)識(shí)和描述空間圖形的變化過(guò)程，有

29、效地幫助學(xué)生建立空間觀念，教師在教學(xué)中要不斷地積累經(jīng)驗(yàn)。第二學(xué)段要求研究圖形的相似運(yùn)動(dòng)，即將圖形放大或縮小。這里的“放大或縮小”不是嚴(yán)格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來(lái)的圖形形狀相同而大小不同。這將為初中學(xué)段研究圖形的相似運(yùn)動(dòng)和位似運(yùn)動(dòng)奠定基礎(chǔ)。第二學(xué)段還有一個(gè)內(nèi)容，就是要學(xué)生了解圖形運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，并能夠在方格紙上按要求畫(huà)出運(yùn)動(dòng)后的圖形，這些知識(shí)技能和經(jīng)驗(yàn)是圖案欣賞與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。圖案的欣賞與設(shè)計(jì)，為學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看世界、看生活提供了機(jī)會(huì)，也可以進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的美和數(shù)學(xué)的價(jià)值。如課程標(biāo)準(zhǔn)案例35，一個(gè)由幾塊積木拼成的一個(gè)圖形，然后讓學(xué)生先觀察，在打亂原來(lái)的圖形，讓學(xué)生再去重新進(jìn)行

30、復(fù)原，在這個(gè)過(guò)程中，他就要綜合地運(yùn)用平移和旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，并且還要讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言或自己的方式去記錄他復(fù)原的步驟和過(guò)程，不但培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，而且也是他們對(duì)美的一種感受。同時(shí)，教學(xué)中還要注意，在欣賞或設(shè)計(jì)一個(gè)圖案時(shí)，不同的學(xué)生會(huì)有不同的感受、不同的解釋、不同的想象，只要是合理的教師都應(yīng)予以肯定，并進(jìn)行交流與分享。要求學(xué)生要用自己的語(yǔ)言表達(dá)圖案中的圖形運(yùn)動(dòng)關(guān)系，從而使學(xué)生更好地體會(huì)圖形的運(yùn)動(dòng)在圖案欣賞和設(shè)計(jì)中的作用。3.圖形運(yùn)動(dòng)的教學(xué)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)圖形的運(yùn)動(dòng)這部分內(nèi)容具體的教學(xué)目標(biāo)變化不大，但也確實(shí)存在著一些細(xì)微的變化，如在第一學(xué)段，修訂后更加關(guān)注能辨認(rèn)簡(jiǎn)單圖形平移后的圖形，但在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單

31、的軸對(duì)稱圖形這個(gè)要求已經(jīng)去掉了。在第二學(xué)段，修訂前它強(qiáng)調(diào)要畫(huà)出軸對(duì)稱變化后的圖形，那么在修訂后要求是補(bǔ)全這個(gè)軸對(duì)稱圖形。這微小的變化，說(shuō)明這一部分的要求是稍微有點(diǎn)兒降低難度，更強(qiáng)調(diào)了觀察和操作，讓學(xué)生能夠積累數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程中，逐步去建立和培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。4.圖形運(yùn)動(dòng)的教學(xué)策略與方法圖形的運(yùn)動(dòng)的教學(xué)一般采用如下幾種教學(xué)策略。一是要注重結(jié)合生活中的實(shí)例，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)的觀察和比較中，來(lái)認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)。二是借助操作活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，即讓學(xué)生在圖形的運(yùn)動(dòng)中來(lái)體會(huì)圖形變換的特征，如給學(xué)生一定的時(shí)間，讓他們自己動(dòng)手去畫(huà)一畫(huà)，去想一想，提高對(duì)圖形變換的認(rèn)識(shí)能力。三是在教學(xué)中

32、，教師要注重從運(yùn)動(dòng)變化的角度，引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖案并設(shè)計(jì)圖案。四是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，注重圖形的運(yùn)動(dòng)和相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，建立和培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的空間想象力解決問(wèn)題的能力。如從運(yùn)動(dòng)變換的角度來(lái)認(rèn)識(shí)圖形，像長(zhǎng)方形沿著長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)就可以成為一個(gè)圓柱體，就是柱體的形成，它體現(xiàn)了和圓柱體之間的聯(lián)系。再如從運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)理解度量，把兩個(gè)完全一樣的三角形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)平移就可以拼成一個(gè)平行四邊形，用它來(lái)推導(dǎo)公式效果會(huì)更佳。專題六 圖形與位置內(nèi)容分析與教學(xué)建議日常生活中常常需要確定物體的位置，學(xué)習(xí)“圖形的位置”，可以使學(xué)生更好地把握生活的空間。通過(guò)學(xué)習(xí)確定圖形位置的方法，運(yùn)用不同的方法確定物體的位置，可以發(fā)展學(xué)生的空間觀念

33、和推理能力。本專題主要對(duì)圖形位置的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施進(jìn)行分析并提出教學(xué)建議。1.從整體上把握?qǐng)D形位置的教學(xué)內(nèi)容圖形與位置的教學(xué)內(nèi)容，課程標(biāo)準(zhǔn)確定物體位置的方式是按照兩條線索來(lái)開(kāi)始的：一是確定物體的相對(duì)位置，它是通過(guò)“上、下、左、右、前、后” 來(lái)描述物體的相對(duì)位置，它與觀察者和參照物有關(guān)；二是辨認(rèn)方向和使用路線圖，它是通過(guò)“東、南、西、北”的絕對(duì)位置確定的，它不受觀察者的影響，只與參照物有關(guān)。生活中兩種確定位置的方式都有應(yīng)用，不同場(chǎng)合下它們會(huì)帶來(lái)不同的便利。課程標(biāo)準(zhǔn)要求在第一學(xué)段教學(xué)中，教師要讓學(xué)生首先認(rèn)識(shí)上、下、前、后和左、右這些基本的位置，如誰(shuí)在誰(shuí)的前面，誰(shuí)在誰(shuí)的后面，誰(shuí)在誰(shuí)的左面

34、，誰(shuí)在誰(shuí)的右面，什么東西在上面，什么東西在下面等實(shí)例進(jìn)行描述。然后由于小學(xué)生在日常生活中已經(jīng)有用數(shù)對(duì)確定位置的經(jīng)驗(yàn)，如確定教室里、電影院中某人的座位等，都是通過(guò)第幾行、第幾個(gè)，第幾排、第幾個(gè)來(lái)描述這些座位的位置，教師就可以通過(guò)學(xué)生熟悉的這些例子，讓學(xué)生明白這都是通過(guò)一數(shù)對(duì)來(lái)確定物體的位置，進(jìn)而達(dá)到“能在方格紙上用數(shù)對(duì)（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)”的要求，但要引起注意的是要強(qiáng)調(diào)學(xué)生在確定數(shù)對(duì)時(shí)兩數(shù)的位置順序。這種確定物體位置的方法將為學(xué)生到初中學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來(lái)表示幾何圖形的位置奠定基礎(chǔ)。，例如一位教師講授用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置，他是這樣設(shè)計(jì)的：先讓第三排的所有學(xué)生站起

35、來(lái)，然后坐下，接著又讓第四列的學(xué)生都站起來(lái)，再坐下，然后老師問(wèn)一個(gè)很關(guān)鍵問(wèn)題，有誰(shuí)兩次都站起來(lái)了，此時(shí)，只有一名同學(xué)兩次都站起來(lái)了，這就是數(shù)對(duì)確定了他的位置，他的位置必須有兩個(gè)要素，即第三排同時(shí)又是第四列，也就是兩條直線確定一個(gè)交點(diǎn)，這樣就讓學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解，變得更深刻了。課程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段中，提出的教學(xué)內(nèi)容主要有以下幾方面。·在方位的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步定量地刻畫(huà)物體的位置。·方位在具體問(wèn)題中的應(yīng)用。·用有序數(shù)對(duì)確定物體的位置。上面三條教學(xué)內(nèi)容是確定物體位置的第二條線索，它是通過(guò)認(rèn)識(shí)四個(gè)基本方向，會(huì)用方向詞來(lái)描述物體所在的方向和簡(jiǎn)單的路線，即能夠用方向、距離來(lái)描述

36、確定物體的位置。例如，（課程標(biāo)準(zhǔn)附錄2例16），根據(jù)下圖（略）中所標(biāo)的位置回答下列問(wèn)題。(1)熊貓館在猴山的哪個(gè)方向上？(2)大象館在海洋館的哪個(gè)方向上？這兩個(gè)問(wèn)題主要涉及“東、南、西、北”四個(gè)方向，但參照物不同，分別以猴山、海洋館為觀察中心，這樣的變化有助于學(xué)生熟悉和運(yùn)用方位描述及刻畫(huà)物體的位置。結(jié)合圖形還可以提出其他問(wèn)題，如“大象館、百鳥(niǎo)園分別在獅虎山的哪個(gè)方向？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更多關(guān)于方位的思考和描述。確認(rèn)方向、描述和畫(huà)路線圖、使用路線圖及用比例尺定量刻畫(huà)物體的位置，都將為學(xué)習(xí)極坐標(biāo)打下基礎(chǔ)。如課程標(biāo)準(zhǔn)要求“了解比例尺；在特定的情境中，會(huì)按給定的比例進(jìn)行圖上距離與實(shí)際距離的換算”，這為定量

37、刻畫(huà)物體的位置奠定基礎(chǔ),還有要求“根據(jù)物體相對(duì)于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置”，這實(shí)際上也是用數(shù)對(duì)表示位置，是極坐標(biāo)的雛形。課程標(biāo)準(zhǔn)還要求“會(huì)描述簡(jiǎn)單的路線圖”，這是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。其中路線圖就是從初始點(diǎn)出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的行徑，由于描述路線圖的過(guò)程中參照點(diǎn)不斷變化，隨之需要確定的方向、距離也不斷變化，所以正確地描述路線圖對(duì)學(xué)生具有挑戰(zhàn)性。描述線路圖的活動(dòng)，不僅能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)方位的理解和認(rèn)識(shí)，而且有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的關(guān)趣，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的建立和發(fā)展。2.掌握?qǐng)D形與位置的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施要使學(xué)生很好地掌握?qǐng)D形與位置的教學(xué)內(nèi)容，教師在講授這部分內(nèi)容時(shí)，要進(jìn)行有針對(duì)的教學(xué)

38、設(shè)計(jì)和有效實(shí)施，達(dá)到讓學(xué)生建立、發(fā)展空間觀念的目的。(1)要充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的空間知識(shí)主要來(lái)自于豐富的現(xiàn)實(shí)原型，圖形的位置與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系是非常密切的，其實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)圖形位置的教學(xué)要求，也體現(xiàn)了這個(gè)特點(diǎn)，即對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都是讓學(xué)生緊密結(jié)合教室里、校園內(nèi)、電影院中、上學(xué)的路上等學(xué)生熟悉的情境中進(jìn)行的，也就是盡量選擇在學(xué)生熟悉情境中進(jìn)行的，而且給學(xué)生呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，也是他們熟悉的，身邊的事情，因而學(xué)生也感興趣，使他們處在空間，了解空間，這更有利于建立、培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。如一位老師在講授東南西北時(shí)，他就把學(xué)生帶著學(xué)生在操場(chǎng)上，因?yàn)閷W(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是太陽(yáng)從東方升起，老師就從學(xué)生最

39、熟悉的辨別東來(lái)開(kāi)始，讓學(xué)生站在操場(chǎng)上去找哪邊是東，又問(wèn)操場(chǎng)的東面有什么，以此來(lái)鞏固對(duì)東這個(gè)方向的認(rèn)識(shí)，接著認(rèn)識(shí)西，因?yàn)樘?yáng)從西邊落下，也是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，然后讓學(xué)生又借助學(xué)生熟悉的校園環(huán)境來(lái)鞏固西，最后讓學(xué)生面向東，伸開(kāi)雙手，讓他去想象，前面是東，后面是西，此時(shí)學(xué)生左面 ，右面又分別是哪個(gè)方向，在操場(chǎng)的北面、南面，又分別有什么建筑物，接著又讓學(xué)生面向南呢，面向西呢，面向北呢，分別指出他的前面、后面、左面、右面都是什么方向，通過(guò)這樣的辨識(shí)練習(xí)，有效鞏固了學(xué)生對(duì)東南西北，前后左右的認(rèn)識(shí)。(2) 讓學(xué)生經(jīng)歷生活體驗(yàn)。學(xué)生經(jīng)歷生活體驗(yàn)主要指：回憶、觀察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理和表示等活動(dòng)

40、過(guò)程。因?yàn)榘l(fā)展學(xué)生的空間觀念，它的途徑是多樣的，只有讓學(xué)生經(jīng)歷多樣化的活動(dòng)過(guò)程，多給學(xué)生一些空間，讓他在自己親身經(jīng)歷的過(guò)程中積累圖形的位置概念，才能使學(xué)生有效建立和發(fā)展自己的空間觀念。(3) 倡導(dǎo)自主探索與合作交流的教學(xué)方式。由于以被動(dòng)聽(tīng)講練習(xí)的學(xué)習(xí)方式，很難形成空間觀念，要培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，必需讓學(xué)生參與大量的實(shí)踐活動(dòng)，讓他們通過(guò)自主探索、合作交流的方式，才更有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。如描述物體的位置，用行與列，方向與距離，使它有唯一確定性，但描述物體的位置還具有相對(duì)性，于是，教師在教學(xué)中若讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這種相對(duì)性，就應(yīng)用自主探索與合作交流的教學(xué)方式。如上面案例中，教師讓學(xué)生指出猴山在象房的

41、什么方向，接著又問(wèn)象房在猴山的什么方向，讓學(xué)生觀察并討論從中你發(fā)現(xiàn)了什么，經(jīng)過(guò)學(xué)生探究研討發(fā)現(xiàn)，若不規(guī)定觀測(cè)點(diǎn)的話，猴山與象房處在相對(duì)的位置，即突出觀測(cè)點(diǎn)的不同，物體位置的描述也不同。又如上海在北京南偏東30度方向，若換一種描述，也可以說(shuō)北京在上海北偏西的30度方向，加強(qiáng)這樣的對(duì)比，也能使學(xué)生感悟到觀測(cè)點(diǎn)的重要性，這也有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。專題七 關(guān)于圖形與幾何的總體建議小學(xué)“圖形與幾何”的課程內(nèi)容，是以建立和培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀為核心展開(kāi)的，主要包括：空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的測(cè)量；圖形的運(yùn)動(dòng)；圖形的位置等內(nèi)容。修訂后的課程標(biāo)準(zhǔn)較課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿在這部分內(nèi)容結(jié)構(gòu)上沒(méi)有大的變化

42、，但在各學(xué)段內(nèi)容設(shè)置上稍有調(diào)整。在第一學(xué)段，刪除圖形測(cè)量中“能用自選單位估計(jì)和測(cè)量圖形的面積”，認(rèn)識(shí)“平方千米、公頃”和在圖形的位置中會(huì)看簡(jiǎn)單的路線圖等內(nèi)容。增加或調(diào)整的內(nèi)容主要有：在圖形的測(cè)量中將“結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)面積，體會(huì)并認(rèn)識(shí)面積單位平方厘米、平方分米、平方米，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算。”將平方千米和公頃的認(rèn)識(shí)移到第二學(xué)段，并降低了要求。第二學(xué)段刪除的內(nèi)容有“了解兩點(diǎn)確定一條直線和兩條相交直線確定一個(gè)點(diǎn)”。將“了解兩點(diǎn)確定一條直線”放在第三學(xué)段，作為進(jìn)行演繹證明的基本事實(shí)之一。增加了“通過(guò)觀察、操作，認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形和圓；知道扇形，會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓(圖形的認(rèn)識(shí))”，“知道面積單位平方千米、公頃”

43、和“通過(guò)操作，了解圓的周長(zhǎng)與直徑的比為定值，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式,探索并掌握?qǐng)A的面積公式,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”等內(nèi)容。1.圖形的認(rèn)識(shí)正確理解與把握課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)圖形認(rèn)識(shí)的要求，掌握這部分內(nèi)容結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，對(duì)于課程的實(shí)施和目標(biāo)的達(dá)成具有十分重要的作用。（1）明確圖形認(rèn)識(shí)的對(duì)象。在第一學(xué)段，課程標(biāo)準(zhǔn)要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體”，“能通過(guò)實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體”，“能辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、同等簡(jiǎn)單圖形”等，其中既涉及對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的認(rèn)識(shí)，也涉及經(jīng)過(guò)抽象后的三維圖形和二維圖形。在第二學(xué)段中，認(rèn)識(shí)的圖形增加了線段、射線和直線等一維圖

44、形；對(duì)角的認(rèn)識(shí)擴(kuò)大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)從一般三角形到等腰三角形、等邊三角形和直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等；三維圖形的認(rèn)識(shí)對(duì)象增加了圓錐。課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于“圖形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容結(jié)構(gòu)的安排，既體現(xiàn)了從生活到數(shù)學(xué)、從直觀到抽象、從整體到局部的特點(diǎn)，又是三維、二維、一維圖形交替出現(xiàn)，呈現(xiàn)目標(biāo)要求逐漸提高。（2）明確圖形認(rèn)識(shí)的要求。圖形認(rèn)識(shí)的要求主要包括兩方面，一是對(duì)圖形自身特征的認(rèn)識(shí)，二是對(duì)圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。對(duì)圖形自身的特征認(rèn)識(shí)，是進(jìn)一步研究圖形的基礎(chǔ)。在三個(gè)學(xué)段中，認(rèn)識(shí)同一個(gè)或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從“辨認(rèn)”到“初步認(rèn)識(shí)”，再?gòu)摹罢J(rèn)識(shí)”到

45、“探索并證明”。如對(duì)于長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學(xué)段要求“辨認(rèn)”，第二學(xué)段要求“認(rèn)識(shí)”，第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖。又如對(duì)于平行四邊形，第一學(xué)段要求“辨認(rèn)”，第二學(xué)段要求“認(rèn)識(shí)”，第三學(xué)段要求“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理”。再如關(guān)于“視圖”，第一學(xué)段要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體”，第二學(xué)段要求“能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖”，第三學(xué)段要求“會(huì)畫(huà)直棱柱、圓柱、圓錐，球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡(jiǎn)單物體的視圖，會(huì)根據(jù)視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體”。這種要求的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認(rèn)識(shí)過(guò)程，

46、也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，逐漸深入，循序漸進(jìn)。還如對(duì)圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。第一學(xué)段的“了解直角、銳角和鈍角”，第二學(xué)段的“體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短”“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系”“了解三角形兩邊之和大于第三邊”，第三學(xué)段的“會(huì)比較線段的長(zhǎng)短”“能比較角的大小”等，都是對(duì)圖形大小關(guān)系研究的不同要求。（3）明確認(rèn)識(shí)圖形的方式與途徑。課程標(biāo)準(zhǔn)中較多地使用“通過(guò)觀察、操作，認(rèn)識(shí)”“結(jié)合實(shí)例（生活情境）了解”“通過(guò)實(shí)物和具體模型，了解”的表述，這實(shí)際上明確了認(rèn)識(shí)圖形的過(guò)程和方式。圖形是人類長(zhǎng)期通過(guò)對(duì)客觀物體的觀察逐漸抽象

47、出來(lái)的，抽象的核心是把物體的外部形象用線條描繪在二維平面上。如點(diǎn)是位置的抽象，即在幾何中用“點(diǎn)”來(lái)標(biāo)記一個(gè)物體的位置（如地圖上用點(diǎn)表示城市）；線是路徑的抽象，即把“從一個(gè)地方走到另一個(gè)地方的路徑”抽象為“線段，或折線段、曲線段”。又如觀察一張書(shū)桌，它占據(jù)一定的空間，有長(zhǎng)短、寬窄和高矮，這些反映到我們的腦子里就有了形狀的概念，就抽象成幾何圖形。繼續(xù)觀察，發(fā)現(xiàn)桌面上有四個(gè)相等的角，兩兩相等的對(duì)邊，長(zhǎng)和寬不相等。黑板、書(shū)本、門(mén)窗都具有這些相同的特征，于是就形成了“長(zhǎng)方形”的概念?！伴L(zhǎng)方形”已不再是某個(gè)具體的物體，而是抽象了的圖形。正如前面指出的那樣，圖形的認(rèn)識(shí)需要經(jīng)歷抽象的過(guò)程，有時(shí)這樣的過(guò)程還是較

48、為漫長(zhǎng)的，因?yàn)閷W(xué)生往往難以一次性地真正完成這樣的抽象。如對(duì)于角的概念，雖然小學(xué)就有接觸，但在初中探討角的軸對(duì)稱性時(shí)，有的學(xué)生會(huì)認(rèn)為“角不是軸對(duì)稱圖形”，因?yàn)椤敖堑膬蛇吅孟癫灰粯娱L(zhǎng)”，這反映了這些學(xué)生對(duì)“角”的認(rèn)識(shí)沒(méi)有達(dá)到抽象的水平。2.圖形的測(cè)量對(duì)于圖形，人們往往首先關(guān)注它的大小。一般的，一維圖形的大小是長(zhǎng)度，二維圖形的大小是面積，三維圖形的大小是體積。圖形的大小是可以度量的，度量的關(guān)鍵是設(shè)立單位，而度量的實(shí)際操作就是測(cè)量。圖形測(cè)量的相關(guān)知識(shí)對(duì)每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)和適應(yīng)未來(lái)的生活都是有用的，測(cè)量過(guò)程中蘊(yùn)涵的方法和思想有助于學(xué)生提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。粗略地了解人類對(duì)圖形進(jìn)行測(cè)量的歷史，可以更好

49、地認(rèn)識(shí)與了解測(cè)量的意義和作用。如在談到幾何學(xué)的產(chǎn)生時(shí)，埃及人的貢獻(xiàn)總是被提及并被詳盡地介紹。埃及位于非洲的北部，每年尼羅河水泛濫，洪水過(guò)后留下的淤泥形成肥沃的土壤，同時(shí)也帶來(lái)土地要重新測(cè)量的需求，土地測(cè)量的需要就使圖形成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。埃及人創(chuàng)造出一套有效的土地面積測(cè)量的方法以及面積計(jì)算的公式，包括三角形、長(zhǎng)方形和梯形，還包括圓面積的近似計(jì)算公式。課程標(biāo)準(zhǔn)中“圖形的測(cè)量”的課程內(nèi)容主要安排在小學(xué)第一、第二學(xué)段，其要求主要包括：體會(huì)測(cè)量的意義，體會(huì)并認(rèn)識(shí)度量的單位及其實(shí)際意義，了解測(cè)量的一些基本方法，掌握一些基本圖形的長(zhǎng)度（包括周長(zhǎng)）、面積和體積的測(cè)量方法和公式，在具體問(wèn)題中進(jìn)行恰當(dāng)?shù)墓罍y(cè)。（1）使學(xué)生體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性。課程標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段要求“結(jié)合生活實(shí)際，經(jīng)歷用不同方式測(cè)量物體長(zhǎng)度的過(guò)程，體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性”。這種要求對(duì)面積、體積的單位也同樣適用。其中度量單位是度量的核心，度量單位的統(tǒng)一是使度量從個(gè)別的、特殊的測(cè)量活動(dòng)成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應(yīng)用和交流的前提。因此，在課程的實(shí)施過(guò)程中，應(yīng)該為學(xué)生提供必要的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生選擇不同的方法進(jìn)行測(cè)量，并在相互交流的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)單位的選擇對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，進(jìn)而體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性。（2）使學(xué)生理解與把握度量單位的實(shí)際意義