正弦定理和余弦定理考點(diǎn)與提醒歸納

1、正弦定理和余弦定理考點(diǎn)與提醒歸納、基礎(chǔ)知識(shí)1. 正弦定理聶=sinc=2R(R為mbc外接圓的半徑).(1)a= 2Rsin A, b= 2Rsin B, c = 2Rsin C;正弦定理的常見變形a(2)sin A = 2Rbcsin B=環(huán)，sin C = 2R；asin A在厶ABC中，A+ B + C = n 變形:A+ B n C2 = 2 2.(3)a : b : c= sin A : sin B : sin C;a + b+ csin A+ sin B + sin C2. 余弦定理a(3)S= ?r(a + b+ c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑 ).二、常用結(jié)論匯總一一規(guī)律多一點(diǎn)

2、1. 三角形內(nèi)角和定理= b2 + c2 2bccos A;b2= c2+ a2 2cacos B;c2= a2 + b2 2abcos C.3. 三角形的面積公式1(1)Saabc = aha(ha為邊 a 上的咼);111(20 abc = ?abs in C = bcs in A= acs in B;2. 三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A+ B) = sin C; (2)cos(A + B)= cos C;A+ BC ,八 A + B . C(3)sin 廠=cos§ (4)cos= sin?3. 三角形中的射影定理在 ABC 中，a= bcos C + ccos B;

3、b= acos C + ccos A; c= bcos A+ acos B.4. 用余弦定理判斷三角形的形狀在厶ABC中，a, b, c分別為角A, B, C的對(duì)邊，當(dāng)b2 + c2 a2>0時(shí)，可知A為銳角; 當(dāng)b2 + c2 a2= 0時(shí)，可知 A為直角；當(dāng)b2 + c2 a2<0時(shí)，可知 A為鈍角.第一課時(shí)正弦定理和余弦定理（一）考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形考法（一）正弦定理解三角形典例（1）（2019江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 ）在厶ABC中，a = 3, b = 2, A = 30°貝U cos B =1 n設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c.若

4、a= 3, sin B =，C =石，則b =解析 由正弦定理可得 sin B = bSinA = 2X sin B + sin C3* 30 = 3 va = 3>b= 2, ab<a,即 B 為銳角,cos B=1 si n2B=2 .2/ sin B= *且 B (0, n)r 5 n 吐石nn2 n又v C = 6, B= 6, A = n B C=.一a b又a = 3,由正弦定理得而=耐，即二卑,解得b= 1.2 nnsin sin36答案電 （2）1考法（二）余弦定理解三角形典例（1）（2019山西五校聯(lián)考）在厶ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c

5、,若bcos A+ acos B= c2, a= b= 2，則 ABC 的周長(zhǎng)為（）A . 7.5B . 7C. 6（2）（2018泰安二模）在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為c ba, b, c,且,2c a=sin A，則角B =解析(1) Tbcos A + acosB = c2,.由余弦定理可得b2+ c2 a2a2+ c2 b2 2b 2bc +a 2ac = c,整理可得 2c2= 2c3，解得 c= 1,UAABC 的周長(zhǎng)為 a + b + c= 2 + 2+ 1= 5.c b(2)由正弦定理可得sin A2c a sin B + sin Cb+ c''

6、c2 b2= ：j2ac a2,.c2+ a2 b2= 2ac, cosa2 + c2 b2 衛(wèi)2ac= 2，n'0<B< n B= 4.n答案(1)D(2)4題組訓(xùn)練ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,若 b2= ac, c= 2a,則 cos C=()2rB 罷B - 43C.33D - 3解析：選B由題意得，b2= ac= 2a2,即 b = 2a,a2 + b2 c2 a2 + 2a2 4a2羽-cos C =2ab = 2ax ,2a = 4 .2厶 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c.已知 sin B + si

7、n A(sin C cos C) = 0, a =2, c= .2C =()nnA.祗B.6nnC.4D.3解析：選 B 因?yàn)?sin B+ sin A(sin C cos C) = 0,所以 sin (A + C)+ sin Asi n C sin Acos C= 0,所以 sin Acos C + cos As in C+ sin As in C sin Acos C= 0，整理得 sin C(sin A + cos A) = 0.因?yàn)閟in C豐0,所以 sin A + cos A = 0，所以 tan A= 1,因?yàn)锳 (0,n,所以A =于廠返V2 x計(jì)由正弦定理得c siA21si

8、n C=a =2= 2,n又 0vC v4,所以c=n3.在 ABC 中，角 A, B, C 所對(duì)的邊分別為 a, b, c,已知 sin2B + sin2C= sin2A + sin BsinC.(1) 求角A的大小；1(2) 若 cos B = 3, a= 3,求 c 的值.解：由正弦定理可得b2+ c2= a2 + bc,由余弦定理得cos A=b2+ c2 a22bcn因?yàn)锳 (0, n)所以A = 3.J3(2)由(1)可知 sin A=2,因?yàn)閏os B = 3 B為ABC的內(nèi)角，所以 sin B= 2,故 sin C= si n(A + B)= sin Acos B+ cos A

9、s in B=1 , 1X 2/2 = V|+/2=23 十 23 =6由正弦定理 7 = 得sin A sin Casin C 3 x ' 3 + 2 .'2.2*6c= 1 +sin A叮333 x 62考點(diǎn)二判定三角形的形狀典例 設(shè)厶ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,若bcos C+ ccos B = asinA,則厶ABC的形狀為()A .銳角三角形B .直角三角形C.鈍角三角形D .不確定sin A a(2)在厶 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,若 =；,(b + c+ a)(b+ c a)=sin b c3bc,

10、則厶ABC的形狀為()A .直角三角形B .等腰非等邊三角形C.等邊三角形D .鈍角三角形解析法一：因?yàn)?bcos C+ ccos B= asin A,由正弦定理知 sin Bcos C + sin Ceos B = sin Asi n A,得 sin(B+ C) = sin Asin A.又 sin(B+ C) = sin A, 得 sin A = 1,n即A= 2，因此 ABC是直角三角形.a2 + b2 c2a2 + c2 b2 2a2法二：因?yàn)?bcos C + ccos B = b面+ c 莎 =芮=a，所以 as in A = a,即卩nsin A = 1,故A=，因此 ABC是直

11、角三角形.,_ sin A a 嚴(yán)產(chǎn)a a 嚴(yán)產(chǎn).(2)因?yàn)?一，所以匚=一，所以b= c.sin Beb c又(b + c+ a)(b+ c a)= 3bc,所以 b2 + c2 a2= bc,所以A = b2+ J a2 = _bc = 1所以 cos A= 2bc = 2bc= 2.因?yàn)锳 (0, n,所以A = n 所以 ABC是等邊三角形.答案(1)B(2)C變透練清1. 變條件 若本例(1)條件改為"asin A + bsin B<csin C”，那么 ABC的形狀為解析：根據(jù)正弦定理可得a2+ b2<c2,a2 + b2 c2由余弦定理得cos C=<

12、0,故C是鈍角，2ab所以ABC是鈍角三角形.答案：鈍角三角形2. 變條件 若本例 條件改為"c acos B = (2a b)cos A"，那么厶 ABC的形狀為解析：因?yàn)?c acos B= (2a b)cos A,C= n (A+ B),所以由正弦定理得 sin C sin Acos B= 2sin Acos A sin B - cos,所以 sin Acos B + cos Asin B sin Acos B= 2sin Acos A sin Bcos A,所以 cos A(sin B sin A)= 0,所以 cos A= 0 或 sin B= sin A,n所以

13、A = 2或B= A或B = n A（舍去），所以ABC為等腰或直角三角形.答案：等腰或直角三角形cos A b3. 變條件若本例條件改為“ 一A = -= 2”，那么 ABC的形狀為cos b a解析：因?yàn)樨M驚=-，由正弦定理得 豈黔=snA，所以sin 2A= sin 2B由£ = , 2,可知nn-，所以AM B.又因?yàn)锳, B （0, n ）所以2A= n 2B，即A + B =-,所以C =刁于是ABC是直角三角形.答案：直角三角形課時(shí)跟蹤檢測(cè)1. 在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 Sin A cos B “一“、，a, -, c.若 廠，貝U B的大小為A.

14、 30°45°C. 60°90°解析：選B 由正弦定理知,sin A cos B sin A= sin B''sin B= cos B,.B = 45°.2.在 ABC中，內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為 a, -, c.已知-=40, c= 20, C= 60°則此三角形的解的情況是（）A 有一解B 有兩解C.無(wú)解D .有解但解的個(gè)數(shù)不確定解析：選C由正弦定理得sin b sin C40 X十bsi n C 2-廠 sin B=c =20= ' - 3>1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.a3. （2

15、018重慶六校聯(lián)考）在厶ABC中，cos B = -（a, b, c分別為角 A, B, C的對(duì)邊），則c ABC的形狀為（）A 直角三角形B 等邊三角形C.等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形aaCsin Bcos A = sin B，即 sin B(sin Acos C + sin Ccos A) = in B.tsin Bm 0,1n 即 sin B= 2.SbA>B，即 B為銳角， B= 6.6. (2019山西大同聯(lián)考)在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,若2(bcos A + acos B)= c2, b = 3,3cos A = 1,則 a =()

16、A. .5B . 3C. 10D. 4解析：選B 由正弦定理可得 2(sin Bcos A+ sin Acos B) = csin C,'2(sin Bcos A + sin Acos B) = 2sin(A+ B)= 2sin C,+ c2 b2 a解析：選A 因?yàn)閏os B= c，由余弦定理得2ac= c，整理得b2 + a2 = c2,即卩C為直角，則 ABC為直角三角形.4. 在 ABC 中，a, b, c 分別是內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊.若 bsin A= 3csin B, a= 3,cos B= 3，貝V b =（）A. 14B . 6C. 14D. .61si n(A

17、 + C)= 2解析：選 D Tbs in A = 3csin B? ab= 3bc? a= 3c? c= 1 ,.b2= a2+ c2 2accos B= 9 + 1 2 x 3 x 1X |= 6,.b= .6.5. （2019莆田調(diào)研）在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a,b, c, 若 asin Bcos C1+ csin Bcos A =尹，且 a>b,則 B =()nnA-6B.32 n5 nC.亍D.56解析：選 A Tas in Bcos C+ csin1Bcos A= 2b,.根據(jù)正弦定理可得sin Asi n Bcos C + sin2sin C= csin

18、 C,：sin C>O,：c= 2，由余弦定理得a2 = b2 + c2-2bccosA = 32 + 22-12X 3 x 2X 3= 9,a= 3.7. 在 ABC 中，AB =羽，A= 75° B= 45° 貝U AC=.解析：C = 180° 75°-45°= 60°AB AC由正弦定理得snC=sab即 sin 60 = sin 45，。解得 AC = 2.答案：218. 設(shè) ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,且 a = 2, cos C=-4, 3sin A =2sin B,貝U c=.解

19、析：v3si n A= 2sin B ,.3a= 2b.又'a= 2,.b= 3.由余弦定理可知 c2 = a2+ b2 2abcos C,1c2 = 22 + 32 - 2 X 2 X 3x - = 16,.c= 4.4答案：49. （2018浙江高考）在厶ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為a, b, c.若a= . 7, b =2, A = 60° 則 sin B=,c=解析：由正弦定理孟=snB ,得 sin B= b - siA = 27x 識(shí)呼.由余弦定理 a2= b2 + c2- 2bccos A ,得 7 = 4+ c2- 4c x cos 60°

20、 ,即 c2- 2c- 3= 0,解得 c= 3 或 c=- 1（舍去）.答案：亠21 310. 在厶ABC中，a , b , c分別為角 A , B , C所對(duì)的邊，sin A , sin B , sin C成等差數(shù) 列，且 a = 2c ,貝U cos A=.解析：因?yàn)閟in A , sin B , sin C成等差數(shù)列，所以 2sin B = sin A + sin C.由正弦定理得9 2223b2+ c2-a2 4c+ c_ 4ca+ c = 2b，又因?yàn)?a= 2c,可得 b = qc,所以 cosA=2bc2 x |c214.1答案：-111. 在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的

21、對(duì)邊分別為 a, b, c,且A = 2B.(1)求證：a = 2bcos B;若b = 2, c= 4, 求 B的值.解：證明：因?yàn)锳= 2B,所以由正弦定理 一豈=-，得一備=一%,sin A sin B'sin 2B sin B'所以 a= 2bcos B.由余弦定理，a n由于A為ABC的內(nèi)角，所以A=.由已知 2asin A= (2b + c)sin B + (2c+ b)sin C,結(jié)合正弦定理，得2sin2A= (2sin B+ sin C)sin B + (2sin C + sin B)sin C,= b2+ c2- 2bccos A,因?yàn)?b= 2, c= 4

22、, A = 2B,3 所以 16cos2B= 4 + 16- 16cos 2B,所以 cos2B= 4,因?yàn)?A + B = 2B + B< n所以B<n所以cos b22 n 3 即 sin2A= sin2B+sin2c+sin Bsin C=sin2盯3.，所以b=n12. (2019綿陽(yáng)模擬)在厶ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角 A , B , C的對(duì)邊，且 2asin A = (2b + c)sin B + (2c+ b)sin C.求A的大小；(2)若sin B+ sin C = 1,試判斷 ABC的形狀.解：(1)由已知，結(jié)合正弦定理，得 2a2 = (2b+ c)b

23、+ (2c+ b)c,即 a2 = b2 + c2 + bc.又由余弦定理，得 a2= b2+ c2- 2bccos A,1所以 bc=- 2bccos A, 即卩 cos A=又由 sin B + sin C= 1,得 sin2B+ sin2C + 2sin Bsin C= 1,1所以 sin Bsin C= 4，結(jié)合 sin B+ sin C = 1,” 1解得 sin B = sin C= q.nn因?yàn)?B + C= n A= 3,所以 B = C= 6，所以ABC是等腰三角形.A+ B1. （2019鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)）在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.若2cos-Q

24、-cos 2C = 1,4sin B = 3sin A, a b = 1,貝U c 的值為()B. 7A. 13C. 37A+ B解析：選 A 由 2cos匕 cos 2C = 1,得 1 + cos(A+ B) (2cos2C 1) = 2 2cos2C 1cos C= 1，即 2cos2C + cos C 1= 0，解得 cos C = q或 cos C = 1(舍去).由 4sin B = 3sin A 及正弦定理，得4b= 3a，結(jié)合ab= 1,得a=4, b=3.由余弦定理，知c2=a? + b22abcosC=4? + 32 2X 4x 3X 舟=13,所以 c= ,13.2. (2019長(zhǎng)春模擬)在厶ABC中，內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,且c= . 3,2snA= tanC，若 sin(A B)+ sin C = 2sin 2B,貝U a+