理論力學10質點運動微分方程

1、10 質點運動微分方程質點運動微分方程 在靜力學中，我們研究了力系的簡化和平衡問題，但沒有研究物體在不平衡力系作用下將如何運動。在運動學中，我們僅從幾何學的角度描述了物體的運動規(guī)律及其特征，并未涉及物體的質量(mass)及其所受的力。因此，靜力學和運動學都是從不同的側面研究了物體的機械運動。 動力學(dynamics)則將對物體的機械運動進行全面分析，不僅分析物體的受力和物體的運動，而且通過動力學定理將二者聯(lián)系起來。因此，動力學是研究物體的機械運動與作用力之間關系的科學。 動力學研究的兩類力學模型是：質點（particle）和質點系（system of particles）。所謂質點，是指具有

2、一定質量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。例如，在研究地球環(huán)繞太陽的運行規(guī)律時，就可以不考慮地球的形狀和大小尺寸，而把它抽象為一個質量集中于質心（center of mass）的質點；所謂質點系，是指由有限個或無限個有一定聯(lián)系的質點所組成的系統(tǒng)。這樣，任何物體（包括固體、液體、氣體）都可以看作是某個質點系。剛體則是各質點之間距離保持不變的特殊質點系。 動力學可分為質點動力學和質點系動力學。前者是后者的基礎。 第一定律（慣性定律）第一定律（慣性定律）10. .1 動力學基本定律動力學基本定律 不受任何力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。 首先，定律指出不受力作用的質點（包括受平衡力系

3、作用的質點），不是處于靜止狀態(tài)，就是保持勻速直線運動。這種性質稱為慣性（inertia）。第一定律闡述了物體作慣性運動的條件，故又稱為慣性定律。 其次，定律還指出，若質點的運動狀態(tài)發(fā)生改變，必定是受到其他物體的作用，這種機械作用就是力。 第二定律（力與加速度關系定律）第二定律（力與加速度關系定律）maf （10-1） 式（10-1）稱為質點動力學基本方程。當質點同時受多個力作用時，式（10-1）右端的f應理解為是這些力的合力，即 ff 由該定律可知，以同樣的力作用在不同質量的質點上，質量愈大的質點獲得的加速度愈小，也就不易改變它的運動狀態(tài)。這就說明了較大的質量具有較大的慣性。因此，質量是質點慣

4、性的度量。 f a m v 圖 10-1 質點的質量與加速度的乘積，等于作用于質點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。 設質點m的質量為m，所受的力為f，由于力f的作用所產生的加速度為a，如圖10-1所示。則此定律可表示為 在第二定律中，力與加速度是瞬時關系，即只要某瞬時作用在質點上的合力不為零，則在該瞬時必有確定的加速度；沒有力作用或作用的合力為零，則加速度為零。 在地球表面，物體受重力g作用而產生的自由落體加速度 g稱為重力加速度。設物體的質量為m ，根據(jù)第二定律則有： ;gmmggg （10-2） 在國際單位制中質量，長度和時間的單位被作為基本單位。質量的單位為千克(kg) ,長度的

5、單位為米(m) ，時間的單位為秒(s)。力的單位是導出單位，即使質量為1 kg的物體的物體獲得1 m / s2的加速度的力，稱為1牛頓(n)。即 1 n=1 kg 1m / s2 第三定律（作用與反作用定律）第三定律（作用與反作用定律） 兩質點相互作用時，兩質點間相互作用力，總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，分別作用在這兩質點上。 這個定律不僅適用平衡的物體，而且也適用于任何運動的物體。在動力學問題中，這一定律仍然是分析兩個物體相互作用關系的依據(jù)。 動力學基本定律中所說的靜止，速度，加速度等都只是相對于某種參考系而言的。使動力學基本定律正確成立的參考系稱為慣性參考系。在一般的工程技術問題中

6、，如果忽略地球的自轉和公轉而不致帶來大的誤差時，可以近似地把固結于地球上的參考系看作慣性參考系。在以后如無特別說明，我們均取固定在地球上的參考系作為慣性參考系。10. .2 質點運動微分方程質點運動微分方程 牛頓第二定律，建立了質點的加速度與作用力的關系。當質點受到n個力 f1， ， fn 。作用時，式（10-1）寫成 fam (10-3) 將式（10-3）中的加速度表示為位置參數(shù)的導數(shù)形式，就得到各種形式質點運動微分方程。 10.2.1 矢量形式 設質點m的質量為m，作用于其上的合力為： ff矢徑為r，加速度為a ，如圖10-2所示。 oxyzrm ( x , y , z )fv圖10-2由

7、運動學知： 22ddtra 代入式（10-3）得fr22ddtm（10-4） 式（10-4）即為質點運動微分方程的矢量形式。 10.2.2 直角坐標形式 把式（10-4）投影到直角坐標系oxyz的三個坐標軸上（見圖10-2），并注意到 xtxax 22ddytyay 22dd22ddzzaztxxffyyffzzff得質點運動微分方程的直角坐標形式： zyxfzmfymfxm (10-5) 10.2.3 自然坐標形式 設已知質點m的軌跡曲線如圖10-3所示。以軌跡曲線上質點所在處為坐標原點，取自然軸系，并把式（10-3）向各軸投影，由運動學知： 222d;0;dnbnbnbsvaaafffff

8、ft2220nnbbd smamfdtvmamfmaf分別表示加速度a和力f在自然軸軸上的投影，則 (10-6) 式（10-6）稱為質點運動微分方程的自然坐標形式。在運動軌跡己知的情況下，宜采用自然形式的方程。 n m (+) () b 圖 10-3 10. .3 質點動力學的兩類基本問質點動力學的兩類基本問題題 第一類問題己知質點的運動，求作用于質點上的。 若己知質點的運動軌跡，選擇相應坐標系，列出質點的運動方程，運用微分運算，便可求得加速度在坐標軸上的投影，由質點運動微分方程求出要求的力。因此，求解第一類問題歸結為微分問題。 第二類問題己知作用在質點上的力，求質點的運動。 這類問題的求解歸

9、結為質點運動微分方程的積分。如作用于質點上的力是常力，或力為時間、位置坐標、速度的簡單函數(shù)，積分一般不會有困難；如果該函數(shù)關系比般復雜，會使積分計算遇到困難，甚至有時只能求得近似解。此外，要確定積分常數(shù)，還需給出質點運動的初始條件，即質點t = 0時的初始位置，初始速度等。 例10-1 小球質量為m，懸掛于長為l的細繩上。小球在鉛垂面內擺動時，在最低處時速度的大小為v ；擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為j ，如圖10-4所示，此時小球速度為零。試計算小球在最低與最高位置時繩的拉力。2/navl由質點運動微分方程沿法向投影式： 21/nfmgmamvl 解：小球作圓周運動，受有重力g = m g和

10、線的拉力 f 作用，在最低處有法向加速度為： 繩的拉力為： 221/(/ )fmgmvlm gvl最高處j角時，速度為零，法向加速度為零，則其運動微分方程沿法向投影式為： o jf1 f2 v mg mg v=0 圖 10-4 0cos2nmamgfjjcos2mgf 繩的拉力 解：本題屬于第一類基本問題，采用直角坐標形式的質點運動微分方程進行求解。 小球在任一瞬時所受主動力未知，可假設它在坐標軸上的投影為f x和f y，對小球的運動方程求導，求出m點的加速度在固定坐標軸上的投影：2222cossinxatxybty 由式（10-5）求得作用力f在坐標軸上的投影： 22xyfmxmxfm ym

11、 y 故力f 的大小為：mryxmfffyx222222 o x v m y f x y 圖 10-5 例10-2 設質點m在固定平面內運動，如圖10-5所示。己知質點的質量是m，運動方程是： ， sinybt ，其中，a，b和都是常量。求作用于質點的力f。 cosxatr 是質點 m 到原點o 的距離(稱為極距)，f 的余弦方向是cos(, )cos(, )yxffxyfrfr f if j作用力22()xyffm xym fijijr可見，力f 與 m點的矢徑 r 的方向相反，也就是說 f 指向原點o。這種作用線恒通過固定點的力稱為有心力。而這個固定點則稱為力心。 以上兩例都是動力學的第一

12、類基本問題，由此可歸納出求解第一類問題的步驟如下： （1） 取研究對象并視為質點； （2）分析質點在任一瞬時的受力，并畫出受力圖； （3） 分析質點的運動，求質點的加速度； （4） 列質點的運動微分方程并求解。 例10-3 以初速v0自地球表面豎直向上發(fā)射一質量為 m 的火箭，如圖10-6所示。若不計空氣阻力，火箭所受引力 f 之大小與它到地心距離的平方成反比，求火箭所能到達的最大高度。 解：（1）取火箭為對象，視為質點。 （2）受力分析，火箭在任意位置 x 處，僅受地球引力f 作用。由題意知，f 的大小與 x2 成反比，設 u 為比例系數(shù)，則有：當火箭處于地面時，即 x = r 時 f =

13、m g ，由式(a)可得 u = mgr 2，于是火箭在任意位置 x 處所受地球引力 f 的大小為 2ufx(a)22mg rf = x(b) o r f x h m x 圖 10-6 （3）列運動方程求解，由于火箭作直線運動，火箭的直線運動微分方程式為： 2222ddxmg rmtx (c)分離變量積分式(c) 22ddddddddddxvvxvvttxtx 因為22ddvmg rmvxx 22ddxvvg rx (d)初始條件為：當 t = 0 時，x = r ，v = v 0 ；當火箭到最大高度 h 時，x m a x = r + h，v = 0；對式 (d) 積分得：0022ddr h

14、vrxvvg rx2201112vg rrrh火箭能達到的高度h20202v rhg rv(e)0220vgr 討論：欲使火箭脫離地球引力，所需初速度 v0 應多大？ 欲使火箭不受地球引力作用，必須要求 x = r +h ，由于r為常量，由式（e）知，即要求grv20即（f）23s/km108 . 9gkm6370r將及代入式（f）得v0 = 11.2 km / s這就是火箭脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度，稱為第二宇宙速度或逃逸速度。 例10-4 在重力作用下以仰角a初速 v0 拋射一質點（見圖10-7）。假設空氣阻力與速度一次方成正比，與速度方向相反( f = -gv) ， g為阻力系數(shù)。求

15、拋射體的運動方程。 解：這是二個自由度的平面曲線運動。求質點的運動方程，屬于第二類問題。應用直角坐標形式的質點運動微分方程進行求解。 （1）以質點作為研究對象。 （2）受力分析：質點在任意位置處受重力g和阻力f作用。 （3）列運動方程求解：coscosmxfvxgg sinsinmyfgvmgymggg a f g v v0 x y 圖 10-7 令： mg gyyxx0(a)其一般解為：tgeddyeccxtt2121(b)初始條件(當t = 0 時 )： 000,0;cos,sinxyxvyvaa代入式(b) 得： 1212202000cossinccddgcvdvaa(c)將式(d)代入式(b) ，得運動方程： aatgegvyevxtt1sin1cos00這就是質點的運動方程，也可看成以時間 t 為參數(shù)的軌跡方程式。 aagvddvccsincos021021(d) 例10-5 如圖10-8（a）所示一彈性桿。下端固定，上端有一質量為 m 的物塊，使其質量塊偏離原位置 a 后釋放。質量塊在桿的彈性恢復力下開始振動，桿的質量不計。試求質量塊的運動規(guī)律。 解：取質量塊為研究對象，并視其為質點。質量塊