不等式的應(yīng)用最值問題

1、學習必備歡迎下載不等式的應(yīng)用最值問題教學目標1深刻理解不等式中，兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一定理，即平均值定理2熟練應(yīng)用平均值定理，求某些問題的最值3培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)，以及對數(shù)學思想方法的理解和運用，提高學生靈活運用所學知識解決問題的能力教學重點與難點平均值定理適用的條件，及其變形使用教學過程設(shè)計（一）不等式平均值定理的功能師：不等式平均值定理的內(nèi)容是：若干個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)即：如果 a1，a2， a3， an R+且 n N+， n 1，那么在高中階段，我們只要求同學掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)請同學用數(shù)學表達式表示

2、上述定理（教師板書）師：由兩個不等式的結(jié)構(gòu)來看，它們的功能是：從左往右可以把和的形式縮小為積的形式；從右往左可以把積的形式擴大為和的形式為了使用方便，通常把不等式變形為由于平均值定理在特殊形式下，可以進行放縮變換，因而它在數(shù)學中，可以作為用綜合法證明不等式的依據(jù)，還可以作為求最值問題的工具學習必備歡迎下載今天，我們主要研究應(yīng)用平均值定理求最值的問題（二）應(yīng)用平均值定理求函數(shù)的最值例 1當 0 x 2 時，求函數(shù)y=x（ 2-x ）的最大值師：函數(shù)y=x （2-x ）是積的形式，求最大值實質(zhì)是要做什么樣的轉(zhuǎn)化？生：可以使用平均值定理把積的形式轉(zhuǎn)化成和的形式師：平均值定理是對正數(shù)而言的，由于x，

3、2-x 都是正數(shù)，所以在什么條件下“”取“=”號？生：當且僅當x=2-x ，即 x=1 時，取等號此時，y 的最大值為1師：把積的形式化為和的形式，這個和應(yīng)該為定值才行從而求出最小值（教師板書）解：由 x 1，知 x-1 0則學習必備歡迎下載中等號成立所以當 x=2 時， y 的最小值為6師：運用平均值定理求函數(shù)的最值時，必須要有和的定值或積的定值出現(xiàn)即，當且僅當a=b 時取“ =”號（定值），當且僅當a=b=c 時，取“ =”號不等式可以在求函數(shù)的最大值時使用，當且僅當a=b 時，取“ =”號值），當且僅當a=b=c 時，取“ =”號不等式，可以在求函數(shù)的最小值時使用例 2中對函數(shù)式的運算結(jié)

4、構(gòu)稍做變化，就可以使用定理了例 3填空題：師：請同學來分析（1）生甲：由于x0，則學習必備歡迎下載生乙：我的做法與甲同學不一樣由于 x 0，則師：甲、乙兩位同學對函數(shù)式的變形采取了不同的方法，但都得到了定積，誰是誰非呢？師：分析的很好！在拆、湊函數(shù)式的時候，除了要考慮能否得到“定積”或“定和”以外，還要顧及使用平均值定理后，能否取“ =”號這一條件如果思維不嚴密，就會出現(xiàn)錯誤由學生自己解（2）（板書如下）y=x2·（ 5-2x ）=x · x·（ 5-2x ）如果學生的板書有漏洞或錯誤，教師可以邊糾正，邊總結(jié)應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的步驟如果學生板書沒有問題，教師

5、可以請學生總結(jié)步驟并進行適當?shù)囊龑Щ蜓a充應(yīng)用平均值定理求函數(shù)的最值，要注意的問題有：學習必備歡迎下載（ 1）函數(shù)式中諸元素是否為正數(shù)；（ 2）諸元素的和或積是否為定值；（ 3）判斷“ =”是否成立（三）靈活運用平均值定理求最值師：此題為三角函數(shù)求最值的問題，應(yīng)從何處入手？用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，應(yīng)從配、湊和為定值入手師：函數(shù)式中涉及到正、余弦兩種三角函數(shù)，可以利用同角的平方關(guān)系進行轉(zhuǎn)化（ 2sin 2 x+cos 2x+cos 2x）為定值；即可求出y2 的最大值師：對函數(shù)式的變形是靈活多樣的，但宗旨都是使和或積為定值例 5 若正數(shù) x， y 滿足 6x+

6、5y=36，求 xy 的最大值教師可以先讓學生進行討論，然后再請一位同學發(fā)言生：已知是兩正數(shù)和的等式要求兩數(shù)積的最大值，可以由學習必備歡迎下載（板書如下）解：由于x， y 為正數(shù)，則6x， 5y 也是正數(shù)，所以當且僅當6x=5y 時，取“ =”號師：函數(shù)式中含有根式，不容易看出定積是否存在，用什么方法解決這個問題？生：可以先用換元法把根式去掉，再把函數(shù)式進行轉(zhuǎn)化師：換元法是常用的數(shù)學思想方法，能幫助我們把復雜問題簡單化（四）不等式在應(yīng)用問題中的應(yīng)用例 7已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值師：經(jīng)過審題可以看出，長方體的全面積S 是定值

7、因此最大值一定要用S 來表示首要問題是列出函數(shù)關(guān)系式生：設(shè)長方體體積為y，其長、寬、高分別為a， b，c，則 y=abc由于 a+b+c 不是定值，所以肯定要對函數(shù)式進行變形生：我受例4 的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以利用平均值定理先求出y2 的最大值，這樣解法如下：解：設(shè)長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a， b， c，則y 的最大值也就可以求出來了學習必備歡迎下載y=abc ， 2ab+2bc+2ac=S而y2=（abc ） 2=（ ab）（ bc）（ ac）當且僅當ab=bc=ac，即 a=b=c 時，上式取“ =”號， y2 有最小值師：對應(yīng)用問題的處理，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，列好函數(shù)關(guān)

8、系式是求最值的基本保證。（五）布置作業(yè)：1選擇題：（ 1）設(shè) a， b 為實數(shù)，且a+b=3，那么2a+2b 的最小值是。（ 2）設(shè) a 0， b0，且 2a+5b=200，那么 lg a+lg bA當 a=50 ， b=20 時，取最大值5B當 a=50， b=20 時，取最大值3C當 a=50， b=20 時，取最小值5D當 a=50 ， b=20 時，取最小值3（3）x，y是滿足滿足2x+y-1=0的正實數(shù)，。那么x2y。2填空題：學習必備歡迎下載3當 0 x 1 時，求 y=x2（ 1-x ）的最大值。5用一塊正方形的白鐵片，在它的四個角各剪去一個相等的小正方形，制成一個無蓋的盒子，問

9、當小正方形的邊長為多大時，制成的盒子才有最大的體積？并求出這個體積。材料每平方米 3 元，用作側(cè)面的材料每平方米 2 元，問怎樣設(shè)計容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不計拼接時用料和其它損耗）。作業(yè)答案或提示：1選擇題：（1） B；（ 2） B；（ 3）B。5設(shè)大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為x，盒子的體積是學習必備歡迎下載課堂教學設(shè)計說明本課以平均值定理的應(yīng)用為主線，例 1，例 2 從抓典型思路入手，引導學生積極參與，使學生掌握求最值的一般方法，例 3，例 4 則是通過對典型錯誤的辨析和糾正，加深了學生對定理條件的理解，進一步激發(fā)了學生的學習興趣，提高了思維的嚴謹性，在此基礎(chǔ)上，例 5，例 6 則突出了化歸轉(zhuǎn)化和換元法在解題中的作用，使學生認