初三數(shù)學二次根式

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載初三數(shù)學二次根式21 1二次根式教學重難點關(guān)鍵1重點：形如a （a 0）的式子叫做二次根式， “”稱為二次根號2 難點與關(guān)鍵：要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)a （ a 0）是一個非負數(shù)；（a ） 2=a（ a 0） ; 反之 :a=（a ）2（ a 0）a2 a（a 0）議一議：1-1 有算術(shù)平方根嗎？20 的算術(shù)平方根是多少？3當 a<0，a 有意義嗎？例 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2331 、 x （x>0 ）、0 、1x42、- 2、1、x y （x 0， y? 0）xy分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次

2、根號 “”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0解：二次根式有：2、x （ x>0）、 0 、 - 2、 xy （ x 0，y 0）；不是二次根式的有： 33、1 、 42 、x1xy例 2 當 x 是多少時，3x1 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以 3x-1 0， ? 3x1才能有意義解：由 3x-1 0，得： x1當 x 1 時，3x1 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義33例 3 當 x 是多少時，2x3 +1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？x1分析 ：要使2x3 +1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足2x 3 中的 0 和1x1x1中的 x+1 0優(yōu)秀學習資料歡迎下載解：依

3、題意，得2x30x 10由得： x-3由得： x -12當 x - 3 且 x -1 時，2x3 + 11在實數(shù)范圍內(nèi)有意義2x例 4計算1（3 ）22（ 35 ） 23（5 ）24（7 ） 2262分析：我們可以直接利用（a ） 2=a（ a 0）的結(jié)論解題解：（3 ）2=3 ，（35 ） 2=32·（5 ） 2=32·5=45，22（5）25，（72( 7)276=） =22624例 5計算1（ x 1 ） 2（ x 0） 2（ a2 ） 23（ a22a 1 ）24（ 4x2 12 x9分析：（ 1）因為 x 0，所以 x+1>0 ；（ 2） a20；（ 3）

4、a2+2a+1=（ a+1） 0；（ 4） 4x2-12x+9= （ 2x） 2-2· 2x · 3+32=（ 2x-3 ） 2 0所以上面的 4 題都可以運用（a ） 2=a（ a0）的重要結(jié)論解題解：（ 1）因為 x 0，所以 x+1>0（x1 ） 2=x+12222（ 2） a 0，（a ） =a22（ 3） a +2a+1=（ a+1）又（ a+1）2 0， a2+2a+1 0 ，a2 2a 1 =a2+2a+1（ 4） 4x2-12x+9= （ 2x ）2-2·2x· 3+32=（ 2x-3） 2又（ 2x-3 ） 2 0例6 化簡（1）

5、9（2）( 4)2（3）25（4）( 3)2分析：因為（ 1）9=-3 2，（ 2）（ -4）2=42，（ 3）25=52，（4）（ -3）2=32，所以都可運用（ a 0）去化簡解：（1）9 =32 =3（2）( 4)2 =42 =4） 2a2 =a優(yōu)秀學習資料歡迎下載（3） 25 = 52 =5（4） ( 3)2 = 32 =3 4x2 -12x+9 0，（4x2 12x9 ） 2=4x 2-12x+9212二次根式的乘除教學重難點關(guān)鍵a ·b aba ·b ab（ a 0， b 0），ab =a ·b （ a 0，b 0）（ a 0， b 0）ab （a&l

6、t;0,b<0） = a ba =a （ a 0， b>0），a =a （ a 0， b>0）bbbb最簡二次根式的運用1被開方數(shù)不含分母；2被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式例 1計算（1） 5× 7（ 2）1× 9 （3） 9× 27（ 4）1 × 632分析： 直接利用a ·b ab （ a 0， b 0）計算即可解：（1） 5 ×7 =35（ 2）1× 9=19 =333（3） 9× 27= 9 2792 3=9 3（ 4）1×

7、 6=16 = 322例2化簡（ 1）9 16（ 2）（ 4）9x2 y2（5）1681（ 3）81 10054分析：利用 ab =a ·b （ a 0， b0）直接化簡即可解：（ 1）916 =9 ×16 =3× 4=12（ 2） 16 81 = 16 × 81 =4× 9=36（ 3）81100=81× 100=9× 10=90（4） 9x2 y2=32×x2 y2 =32 × x2 ×y2 =3xy優(yōu)秀學習資料歡迎下載（5） 54 =9 6 =32×6 =36例 3 計算：（ 1

8、）12（2）31（ 3）11（ 4）643284168分析 ：上面4 小題利用a =a （ a 0， b>0）便可直接得出答案bb解：（ 1） 12=12=4 =2（ 2）31=313 834 =3 ×=23332828211111164 =264648 =22（ 3）=（ ）=4164164488例 4 化簡：3（ 2）64b2（3）9x（ 4）5x（1）9a264y2169y264分析：直接利用a =a （ a0， b>0 ）就可以達到化簡之目的bb解：（ 1）333（ 2）64b264b28b=6489a2 =9a23a649x9x3 x5x5x5x（ 3）64 y

9、2=64 y28y（ 4）169y 2 =169 y213 y9x9x例 5已知6x6x，且 x 為偶數(shù)，求（ 1+x ）x25x 4 的值x2 1分析： 式子a = a ，只有 a 0， b>0 時才能成立b b因此得到9-x 0 且 x-6>0 ，即 6<x 9，又因為x 為偶數(shù)，所以x=89x0x9解：由題意得6，即x6x06<x 9x 為偶數(shù)x=8原式 =（ 1+x）( x4)(x1)x4x4(1 x)( x 4)(x1)(x1)=（ 1+x）=（ 1+x ）(x=x11)當 x=8 時，原式的值 =49 =6優(yōu)秀學習資料歡迎下載例 3觀察下列各式，通過分母有理

10、數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：1=1(21)212 -1，2 121)(21)2=(11=1(32)323- 2，3(32)(32)3=22同理可得：1=4 -3 ，43從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算1+1+1+1）（2002 +1）的值（32420022132001分析： 由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的解：原式 =（ 2 -1+ 3 -2+ 4 - 3 + 2002 - 2001）×（2002 +1）=（ 2002 -1）（ 2002+1）=2002-1=200121.3二次根式的加減重難點關(guān)鍵二次根式加減

11、時，可以先將二次根式化成最簡二次根式， ?再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并例 1計算（1）8 +18（ 2）16 x +64x分析 ：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并解：（ 1）8 +18 =22 +32 =（2+3）2 =52（2） 16x +64x =4x +8x =（ 4+8）x =12x例 2計算（1） 3 48 -9112（ 2）（48+ 20 ）+（ 12-5 ）+33解：（ 1） 3481-9+3 12 =12 3 -3 3 +6 3 =（ 12-3+6） 3 =15 33（2）（48+20 ）+（12-5）=48 +20+1

12、2-5優(yōu)秀學習資料歡迎下載=43+25+23-5=63+52 2例 3已知 4x +y -4x-6y+10=0 ，求（2 x 9x3+y2x） -（ x21-5xy ）的值y3xx分析： 本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1 ） 2+（ y-3） 2=0，即 x= 1 ，y=3 其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，?再合并同類2二次根式，最后代入求值解： 4x2+y 2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y 2-6y+9=0（2x-1 ）2+（y-3 ） 2=0 x=1 ， y=32原式 =2 x 9x +y2x -x21+5xy =2xx +

13、 xy -x x +5xy =xx +6 xy3y3xx當 x= 1 ， y=3 時，2原式=1×1 +63 =2+3 62224例 4 若最簡根式3a b 4a3b 與根式 2ab2b36b2是同類二次根式，求a、 b 的值（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；?事實上，根式 2ab2b36b2不是最簡二次根式， 因此把 2ab2b36b2 化簡成 |b|· 2a b6 ，才由同類二次根式的定義得3a-?b=?2， 2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式2ab2b36b2 化為最簡二次根式：2b

14、36b22(2a1 6) =|b|·2a b62ab=b4a3b2ab62a4b6 a=1， b=1由題意得3ab2b23a例 5計算（1）（5 +6）（3-5 ）（2）（10 +7 ）（10 -7 ）分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立解：（ 1）（ 5 +6）（ 3-5）=3 5-（5 ）2+18-65 =13-3 5（2）（ 10 + 7 ）（10- 7）=（10 ） 2-（7 ） 2=10-7=3優(yōu)秀學習資料歡迎下載例 6已知 xb =2- x a ，其中 a、b 是實數(shù)，且 a+b 0，a b化簡x1x +x1x ，并求值x1xx1x分

15、析 ：由于（x1 +x ）（x1 -x ） =1 ，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x 的值，代入化簡得結(jié)果即可解：原式 =( x 1x)2+( x 1x )2x 1x)( x1x)x1x )(x1x)( x 1x )2( x 1x )2x(x1) +x+2x( x 1) =4x+2=1)+( x 1)x=（x+1 ） +x-2( xxxbxa b（x-b ） =2ab-a（ x-a）=2-babx-b 2 =2ab-ax+a2（ a+b） x=a2+2ab+b2（ a+b） x=（ a+b） 2a+b 0 x=a+b原式 =4x+2=4 （ a+b

16、） +2貼近中考20XX 年天津 市中考數(shù)學試卷5. 已知 a2 ，則代數(shù)式 2aaA ）a的值等于（aaA.3B.342C.423D.4220XX 年天津 市中考數(shù)學試卷8若 m40 4，則估計 m 的值所在的范圍是（B）A 1 m 2B 2 m 3C 3 m 4D 4 m 520XX 年天津 市中考數(shù)學試卷x20093若 x， y 為實數(shù)，且x 2y 20 ，則的值為（B）yA 1B 1C 2D 211化簡：188 =220XX 年天津 市中考數(shù)學試卷（ 8）比較2， 53C， 7的大小，正確的是（）3333（A）257（B）275（C）725（D）572優(yōu)秀學習資料歡迎下載練習21.1二

17、次根式：2.當 _ 時，x212 x 有意義。3.若m1有意義，則 m 的取值范圍是。m15.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： x49_, x22 2x2_ 。7.已知x222x ，則 x 的取值范圍是。8.化簡：x22x1 x1 的結(jié)果是。9.當 1x5 時，x125_ 。x10.把 a1 的根號外的因式移到根號內(nèi)等于。a11.使等式x1x 1x1x 1 成立的條件是。12.若 ab1 與 a2b4 互為相反數(shù)，則a2005b_。13.在式子xx0 ,2,y1 y2,2xx0,33,x21, x y 中，二次根2式有（）14.A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個下列各式一定是二次根式的是（）A.7

18、B.3 2mC.a21D.ab15.若 2a3，則22a2等于（）a3A. 52aB.12a C.2a5D.2a116.若 Aa24，則A（）4A. a24 B.a22 C.a22D.a222417.若 a1 ，則1a3 化簡后為（）A.a1a1B.1a1aC.a11aD.1aa1優(yōu)秀學習資料歡迎下載18.能使等式xx成立的 x 的取值范圍是（）x2x2A.x2B.x0C.x 2 D.x 219.計算：2a212a2）1的值是（A. 0B.4a 2C.2 4a D.2 4a 或 4a221.若xyy24 y40 ，求 xy 的值。22. 當 a 取什么值時，代數(shù)式2a11取值最小，并求出這個最

19、小值。23. 去掉下列各根式內(nèi)的分母：1 .32 y2 .x1x 05 xx 13xx125. 已知 a, b 為實數(shù)，且1ab11b0 ，求 a2005b2006 的值。優(yōu)秀學習資料歡迎下載21.2二次根式的乘除1.當 a 0 ， b0時，ab3_ 。2.若 2m n 2和33m 2n2 都是最簡二次根式，則 m_,n_ 。4.計算：483 273_ 。7.已知 xy0 ，化簡二次根式 xy的正確結(jié)果為（）x2A.yB.yC.yD.y8.對于所有實數(shù) a, b ，下列等式總能成立的是（）A.ab2B.a2b2a ba bC.a2b22b2D.2a ba2a b9.2 3 和3 2的大小關(guān)系是

20、（）A.2 332 B.2332C.2332D.不能確定10.對于二次根式x29 ，以下說法中不正確的是（）A. 它是一個非負數(shù)B.它是一個無理數(shù)C. 它是最簡二次根式D.它的最小值為 311. 計算：2 .5 x 3 x36 . 2ab53a3b 3 bb2a3 .5 ab4 a3ba0,b04 . a3b6ab a0,b0優(yōu)秀學習資料歡迎下載12. 化簡：1 . a3b5 a 0,b 02 .xy3 . a3a21xya13. 把根號外的因式移到根號內(nèi)：1.512 . 1 x15x121.3二次根式的加減2.下面說法正確的是（）A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B. 8 與 8

21、0 是同類二次根式C. 2 與 1 不是同類二次根式50D. 同類二次根式是根指數(shù)為 2 的根式3.與 a3b 不是同類二次根式的是（）A.abB.bC.1D.b2aaba34.下列根式中，是最簡二次根式的是（）A.0.2bB.12a12bC.x2y2D.5ab25.若 1x2 ，則44 xx2x22 x1 化簡的結(jié)果是（）A.2x 1B.2x1C. 3D. -36.若 18x2 xx210，則 x 的值等于（）2x優(yōu)秀學習資料歡迎下載A. 4B.2C. 2D.47.若3的整數(shù)部分為x ，小數(shù)部分為 y ，則 3x y 的值是（）A.333B.3 C.1D. 39.在 8,12,18, 20中，與 2 是同類二次根式的是。10.若最簡二次根式 a 1 2a 5 與3b4a 是同類二次根式，則 a_, b _ 。11. 一個三角形的三邊長分別為8cm, 12cm, 18cm ，則它的周長是cm 。12.若最簡二次根式 34a21與 26a21 是同類二次根式，則 a_ 。2313.已知 x32, y32 ，則 x3 yxy3_ 。14.已知 x3 ，則 x2x1 _ 。315.3 220003 22001_ 。16.計算：.212 3115 1248.48 54