高中數(shù)學解題思維策略

1、第 122 頁 共 122 頁一、高中數(shù)學解題的思維策略導 讀數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進行有效的訓練，本策略結(jié)合數(shù)學教學的實際情況，從以下四個方面進行講解：一、數(shù)學思維的變通性 根據(jù)題設的相關知識，提出靈活設想和解題方案二、數(shù)學思維的反思性 提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。三、數(shù)學思維的嚴密性 考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤。四、數(shù)學思維的開拓性 對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題目運用多種不同的解法。什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。策略的即時性、針對性、實用性，已在教學實踐中得到了全面驗證。第一講 數(shù)學思

2、維的變通性一、概念數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進行以下幾個方面的訓練： （1）善于觀察 心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學題，都包含一定的數(shù)學條件和關系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找

3、到解題方法。例如，求和.這些分數(shù)相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且，因此，原式等于問題很快就解決了。（2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組.這個方程指明兩個數(shù)的和為，這兩個數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達定理，、是一元二次方程 的兩個根，所以或.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。（3）善于將問題進行轉(zhuǎn)化數(shù)學家g . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學解題是命題的連續(xù)變換?？梢?，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才

4、能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關系。例如，已知,求證、三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。恰當?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉(zhuǎn)化，是

5、數(shù)學思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應的思維訓練。 二、思維訓練實例（1） 觀察能力的訓練 雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1 已知都是實數(shù)，求證 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而xyo圖121左端可看作是點到原點的距離公式。根據(jù)其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設如圖121所示，則 在中，由三角形三邊之間的關系知： 當且僅當o在ab上時，等號成立。 因此，

6、思維障礙 很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不牢固。因此，平時應多注意數(shù)學公式、定理的運用練習。例2 已知，試求的最大值。解 由 得又當時，有最大值，最大值為思路分析 要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。思維障礙 大部分學生的作法如下：由 得 當時，取最大值，最大值為這種解法由于忽略了這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤。因此，要

7、注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應的圖像著手。例3 已知二次函數(shù)滿足關系，試比較與的大小。xyo2圖122思路分析 由已知條件可知，在與左右等距離的點的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關于直線對稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。解 （如圖122）由，知是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線它與距離越近的點，函數(shù)值越小。思維障礙 有些同學對比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的表達式不確定無法代值，所以無法比較。

8、出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。（2） 聯(lián)想能力的訓練例4 在中，若為鈍角，則的值(a) 等于1 (b)小于1 (c) 大于1 (d) 不能確定思路分析 此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。解 為鈍角，.在中且故應選擇（b）思維障礙 有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運用基本公式。例5 若思路分析 此題一般是通過因式分解來證。但

9、是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。證明 當時，等式 可看作是關于的一元二次方程有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ，根據(jù)韋達定理就有： 即 若，由已知條件易得 即,顯然也有.例6 已知均為正實數(shù),滿足關系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:思路分析 由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設所對的角分別為、則是直角，為銳角，于是 且當時，有于是有即 從而就有 思維阻礙 由于這是一個關于自然數(shù)的命題，一些學生都會想到用數(shù)學歸納法來證明，難以進行數(shù)與

10、形的聯(lián)想，原因是平時不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學代數(shù)，學幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來。（3） 問題轉(zhuǎn)化的訓練我們所遇見的數(shù)學題大都是生疏的、復雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉(zhuǎn)化的訓練是很必要的。 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 例11 已知求證、中至少有一個等于1。思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。、中至少有一個為1，也就是說中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。證明 于是 中至少

11、有一個為零，即、中至少有一個為1。思維障礙 很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。例12 直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點在軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個頂點為，問在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點的距離等于該點到直線的距離。思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應在拋物線 （1）是，又從已知條件可得橢圓的方程為 （2）因此，問題轉(zhuǎn)化為當方程組（1）、（2）有四個不同的實數(shù)解

12、時，求的取值范圍。將（2）代入（1）得： （3）確定的范圍，實際上就是求（3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組： 在的條件下，得 本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。 逆向思維的訓練逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13 已知函數(shù)，求證、中至少有一個不小于1.思路分析 反證法被譽為“數(shù)學家最精良的武器之一”，它也是中學數(shù)學常用的解題方法。當要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法。證明 （反證法）假設原命題不成立，

13、即、都小于1。則 得 ，與矛盾，所以假設不成立，即、中至少有一個不小于1。 一題多解訓練 由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓練，可使學生認真觀察、多方聯(lián)想、恰當轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學思維的變通性。例14 已知復數(shù)的模為2，求的最大值。解法一（代數(shù)法）設解法二（三角法）設yxoi-2i圖123z則 解法三（幾何法）如圖123 所示，可知當時，解法四（運用模的性質(zhì)）而當時，解法五（運用模的性質(zhì)） 又第二講 數(shù)學思維的反思性一、概述數(shù)學思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信

14、。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設，獲得獨特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關。本講重點加強學生思維的嚴密性的訓練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓練實例(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。 例1 已知，若求的范圍。錯誤解法 由條件得 ×2得 ×2得 +得 錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時受制約的。當取最大（?。┲禃r，不一定取最大（小）值，因而整個解題思路是錯誤的。正確解法 由題意有解得：把和的范圍代入得 在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎知識，才能反

15、思性地看問題。例2 證明勾股定理：已知在中，求證錯誤證法 在中，而，即錯誤分析 在現(xiàn)行的中學體系中，這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。(2) 驗算的訓練驗算是解題后對結(jié)果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強思維的反思性。例3 已知數(shù)列的前項和，求錯誤解法 錯誤分析 顯然，當時，錯誤原因，沒

16、有注意公式成立的條件是因此在運用時，必須檢驗時的情形。即：例4 實數(shù)為何值時，圓與拋物線有兩個公共點。錯誤解法 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 因為有兩個公共點，所以方程有兩個相等正根，得 解之，得錯誤分析 （如圖221；222）顯然，當時，圓與拋物線有兩個公共點。xyo圖222xyo圖221要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負根；或有兩個相等正根。當方程有一正根、一負根時，得解之，得因此，當或時，圓與拋物線有兩個公共點。思考題：實數(shù)為何值時，圓與拋物線，（1） 有一個公共點；（2） 有三個公共點；（3） 有四個公共點；（4） 沒有公共點。養(yǎng)成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思

17、性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。(3) 獨立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例5 30支足球隊進行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？解 因為每場要淘汰1個隊，30個隊要淘汰29個隊才能決出一個冠軍。因此應安排29場比賽。思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方

18、法是：30支隊比賽，每次出兩支隊，應有15742129場比賽。而上面這個解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個隊，要淘汰29支隊，那么必有29場比賽。例6 解方程考察方程兩端相應的函數(shù)，它們的圖象無交點。所以此方程無解。例7 設是方程的兩個實根，則的最小值是（ ）思路分析 本例只有一個答案正確，設了3個陷阱，很容易上當。利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得：有的學生一看到，常受選擇答案（a）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。原方程有兩個實根，當時，的最小值是8；當時，的最小值是18；這時就可以作出正確

19、選擇，只有（b）正確。第三講 數(shù)學思維的嚴密性二、概述在中學數(shù)學中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤。數(shù)學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，論證的嚴密性是數(shù)學的根本特點之一。但是，由于認知水平和心里特征等因素的影響，中學生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：概念模糊 概念是數(shù)學理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。

20、數(shù)學中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。例如，“函數(shù)是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判斷。推理錯誤 推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴密。例如，解不等式解 或 這個推理是錯誤的。在由推導時，沒有討論的正、負，理由不充分，所以出錯。二、思維訓練實例思維的嚴密性是學好數(shù)學的關鍵之一。訓練的有效途徑之一是查錯。(1) 有關概念的訓練概念是抽象思維的基礎，數(shù)學推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎知識的前提?！敝袑W數(shù)學教學大綱（試行草案）例1、 不等式 錯誤解法 錯誤分析 當時，真數(shù)

21、且在所求的范圍內(nèi)（因 ），說明解法錯誤。原因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴密性。正確解法 例2、 求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。錯誤解法 設所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為，消去得：整理得 直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為錯誤分析 此處解法共有三處錯誤：第一，設所求直線為時，沒有考慮與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只

22、有一個交點”的關系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密。正確解法 當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。當所求直線斜率為零時，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個交點。設所求的過點的直線為則， 令解得所求直線為綜上，滿足條件的直線為：(2) 判斷的訓練造成判斷錯誤的原因很多，我們在學習中，應重視如下幾個方面。注意定理、公式成立的條件數(shù)學上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯誤。例3、 實數(shù)，使方程至少有一個

23、實根。錯誤解法 方程至少有一個實根，或錯誤分析 實數(shù)集合是復數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法 設是方程的實數(shù)根，則由于都是實數(shù)，解得 例4 已知雙曲線的右準線為，右焦點,離心率,求雙曲線方程。錯解1 故所求的雙曲線方程為錯解2 由焦點知故所求的雙曲線方程為錯解分析 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會產(chǎn)生錯誤解

24、法。正解1 設為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為，右焦點，離心率，由雙曲線的定義知 整理得 正解2 依題意，設雙曲線的中心為則 解得 所以 故所求雙曲線方程為 注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用我們知道：如果成立，那么成立，即，則稱是的充分條件。如果成立，那么成立，即，則稱是的必要條件。如果，則稱是的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學習中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。例5 解不等式錯誤解法 要使原不等式成立，只需 解得錯誤分析 不等式成立的充分必要條件是：或 原不等式的解法只考慮了

25、一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯誤解法的實質(zhì)，是把充分條件當成了充分必要條件。正確解法 要使原不等式成立，則·p·c(3,0)yxo圖321 mn或，或原不等式的解集為 例6（軌跡問題）求與軸相切于右側(cè)，并與也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯誤解法 如圖321所示，已知c的方程為設點為所求軌跡上任意一點，并且p與軸相切于m點，與c相切于n點。根據(jù)已知條件得，即化簡得 錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條

26、件的點的坐標并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴密性。例7 設等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.錯誤解法 錯誤分析 在錯解中，由時，應有在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進行整理變形。正

27、確解法 若，則有但，即得與題設矛盾，故.又依題意 可得 即因為，所以所以所以 說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標準而痛失2分。避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進行推理，這就會使思維出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象。o·圖322例8 （如圖322），具有公共軸的兩個直角坐標平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。錯誤解法 依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點坐標是因為二面角等于，且所以設焦點在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而所以所以點是所求射影的焦點

28、。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為。正確解法 在內(nèi)，設點是曲線上任意一點o·圖323mnh（如圖323）過點作，垂足為，過作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設，則 因為點在曲線上，所以即所求射影的方程為 (3) 推理的訓練數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使

29、用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。例9 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的最遠距離是，求這個橢圓的方程。錯誤解法 依題意可設橢圓方程為則 ，所以 ，即 設橢圓上的點到點的距離為，則 所以當時，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯解分析 盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當時，有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮到的取值范圍。事實上，由于點在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時，應分類討論。即：若，則當時，（從而）有最大值。于是從而解得所以必有，此時當時

30、，（從而）有最大值，所以，解得于是所求橢圓的方程為例10 求的最小值錯解1 錯解2 錯誤分析 在解法1中，的充要條件是即這是自相矛盾的。在解法2中，的充要條件是這是不可能的。正確解法1 其中，當正 確 解 法2 取正常數(shù)，易得其中“”取“”的充要條件是因此，當?shù)谒闹v 數(shù)學思維的開拓性一、概述數(shù)學思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解

31、來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發(fā)學習數(shù)學的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法例如 已知復數(shù)滿足，求的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：運用復數(shù)的代數(shù)形式；運用復數(shù)的三角形式；運用復數(shù)的幾何意義；運用復數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式）；運用復數(shù)的模與共軛復數(shù)的關系；（數(shù)形結(jié)合）運用復數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓與有公共點時，的最大值。(2) 一題的

32、多種解釋例如，函數(shù)式可以有以下幾種解釋：可以看成自由落體公式可以看成動能公式可以看成熱量公式又如“1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?”可以變換為：，等等。1 思維訓練實例例1 已知求證：分析1 用比較法。本題只要證為了同時利用兩個已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。證法1 所以 分析2 運用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范。證法2 要證 只需證 xm·yd圖421o即 因為 所以只需證 即 因為

33、最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 運用綜合法（綜合運用不等式的有關性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進行推理、運算，從而達到證明需求證的不等式成立的方法）證法3 即 分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關系中的平方關系條件，具有進行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運算關系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運算關系，給證明帶來方便。證法4 可設 分析5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件可看作是以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)系到點到直線距離公式，可得下面證法。證法5 （如圖4-2-1）因為直線經(jīng)過圓的圓心o，所以圓上任意一點到直線的距離都小于或

34、等于圓半徑1，即 簡評 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當進行選擇。例2 如果求證：成等差數(shù)列。分析1 要證，必須有成立才行。此條件應從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。證法1 故 ，即 成等差數(shù)列。分析2 由于已知條件具有輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運算帶來便利。證法2 設則于是，已知條件可化為：所以成等差數(shù)列。分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式的結(jié)構(gòu)特點引人注目，提供了構(gòu)造一個適合

35、上述條件的二次方程的求解的試探的機會。證法3 當時，由已知條件知即成等差數(shù)列。當時，關于的一元二次方程：其判別式故方程有等根，顯然1為方程的一個根，從而方程的兩根均為1，由韋達定理知 即 成等差數(shù)列。簡評：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。例3 已知，求的最小值。分析1 雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個字母，但已知條件恰有的關系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。解法1 設，則二次項系數(shù)為故有最小值。當時， 的最小值為分析2 已知的一次式兩邊平方

36、后與所求的二次式有密切關聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法2 即即 當且僅當時取等號。 的最小值為分析3 配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達到求最值的目的。解法3 設 當時，即的最小值為11oxy圖422分析4 因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。解法4 如圖422，表示直線表示原點到直線上的點的距離的平方。顯然其中以原點到直線的距離最短。此時，即所以的最小值為注 如果設則問題還可轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點時，半徑的最小值。簡評 幾種解法都有特點和代表性。解法1是基本方法

37、，解法2、3、4都緊緊地抓住題設條件的特點，與相關知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。例4 設求證：分析1 由已知條件為實數(shù)這一特點，可提供設實系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個虛根的條件下，它們是一對共軛虛根，運用韋達定理可以探求證題途徑。證法1 設當時，可得與條件不合。于是有 該方程有一對共軛虛根，設為，于是又由韋達定理知 分析2 由于實數(shù)的共軛復數(shù)仍然是這個實數(shù)，利用這一關系可以建立復數(shù)方程，注意到這一重要性質(zhì)，即可求出的值。證法2 設當時，可得與條件不合，則有 ，即 但 而 即分析3 因為實數(shù)的倒數(shù)仍為實數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進行運

38、算的形式。再運用共軛復數(shù)的性質(zhì)，建立復數(shù)方程，具有更加簡捷的特點。證法3 即從而必有簡評 設出復數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運算量大，較繁?，F(xiàn)在的三種證法都應用復數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強，思路都建立在方程的觀點上，這是需要體會的關鍵之處。證法3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。例5 由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦的中點的軌跡方程。分析1 （直接法）根據(jù)題設條件列出幾何等式，運用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關弦中點的一些性質(zhì)，圓心和弦中點的連線垂直于弦，可得下面解法。解法1

39、 如圖423，設弦的中點的坐標為，連接，則，在中，由兩點間的距離公式和勾股定理有整理，得 其中圖423pmbaoyx分析2 （定義法）根據(jù)題設條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2 因為是的中點，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,半徑為該圓的方程為：化簡，得 其中分析3 （交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點軌跡問題。因為動點可看作直線與割線的交點，而由于它們的垂直關系，從而獲得解法。解法3 設過點的割線的斜率為則過點的割線方程為：.且過原點，的方程為 這兩條直線的交點就是點的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中分析4 （參數(shù)法）將動點坐標表示成某一中間變量（參

40、數(shù)）的函數(shù)，再設法消去參數(shù)。由于動點隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動點的坐標是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4 設過點的割線方程為：它與圓的兩個交點為，的中點為.解方程組 利用韋達定理和中點坐標公式，可求得點的軌跡方程為：其中分析5 （代點法）根據(jù)曲線和方程的對應關系：點在曲線上則點的坐標滿足方程。設而不求，代點運算。從整體的角度看待問題。這里由于中點的坐標與兩交點通過中點公式聯(lián)系起來，又點構(gòu)成4點共線的和諧關系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5 設則兩式相減，整理，得 所以 即為的斜率，而對斜率又可表示為化簡并整理，得 其中簡評 上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中

41、解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過定點且與二次曲線交于兩點，求中點的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對于解法5通常利用可較簡捷地求出軌跡方程，比解法4計算量要小，要簡捷得多。二、解密數(shù)學思維的內(nèi)核數(shù)學解題的思維過程數(shù)學解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。 對于數(shù)學解題思維過程，g . 波利亞提出了四個階段*（見附錄），即弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧。這四個階段思維過程的實質(zhì)，可以用下列八個字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。第一階段：理解問題是解題思維活動的開始。第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的

42、核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。 第三階段：計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。數(shù)學解題的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達到解決原題的

43、目的?；谶@樣的認識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。一、 熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，順利地解出原題。一般說來，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認識和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識和題型：按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應充分

44、聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。（二）、全方位、多角度分析題意：對于同一道數(shù)學題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認識。因此，根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗，適時調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。（三）恰當構(gòu)造輔助元素：數(shù)學中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點、線、面、體），構(gòu)

45、造算法，構(gòu)造多項式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學模型等等。二、簡單化策略所謂簡單化策略，就是當我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復雜、難以入手的題目時，要設法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。簡單化是熟悉化的補充和發(fā)揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進行的，只是著眼點有所不同而已。解題中，實施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當分解結(jié)論等。1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：在

46、些結(jié)構(gòu)復雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實現(xiàn)復雜問題簡單化的一條重要途徑。2、分類考察討論：在些數(shù)學題，解題的復雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當?shù)姆诸悩藴?，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實現(xiàn)復雜問題簡單化。3、簡單化已知條件：有些數(shù)學題，條件比較抽象、復雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已知條件，甚至暫時撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能

47、起到穿針引線的作用。4、恰當分解結(jié)論：有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個比較簡單的部分，以便各個擊破，解出原題。三、直觀化策略：所謂直觀化策略，就是當我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時，要設法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。（一）、圖表直觀： 有些數(shù)學題，內(nèi)容抽象，關系復雜，給理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復雜性，使正常的思維難以進行到底。對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復雜關系條

48、理化，使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。（二）、圖形直觀：有些涉及數(shù)量關系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計算量偏大。這時，不妨借助圖形直觀，給題中有關數(shù)量以恰當?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。（三）、圖象直觀：不少涉及數(shù)量關系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關，靈活運用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便，巧妙的解法。四、特殊化策略所謂特殊化策略，就是當我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。五、一般化策略所謂一般化策略

49、，就是當我們面臨的是一個計算比較復雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問題時，要設法把特殊問題一般化，找出一個能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題。六、整體化策略所謂整體化策略，就是當我們面臨的是一道按常規(guī)思路進行局部處理難以奏效或計算冗繁的題目時，要適時調(diào)整視角，把問題作為一個有機整體，從整體入手，對整體結(jié)構(gòu)進行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。七、間接化策略所謂間接化策略，就是當我們面臨的是一道從正面入手復雜繁難，或在特定場合甚至找不到解題依據(jù)的題目時，要隨時改變思維方向，從結(jié)論（或問題）的反面進行思考，以便化難為易解出原題。數(shù)學解題

50、思維過程 數(shù)學解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。在數(shù)學中，通?？蓪⒔忸}過程分為四個階段：第一階段是審題。包括認清習題的條件和要求，深入分析條件中的各個元素，在復雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識信息，建立習題的條件、結(jié)論與知識和經(jīng)驗之間的聯(lián)系，為解題作好知識上的準備。 第二階段是尋求解題途徑。有目的地進行各種組合的試驗，盡可能將習題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗后作修正，最后確定解題計劃。 第三階段是實施計劃。將計劃的所有細節(jié)實際地付諸實現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對比后修正計劃，然后著手敘述解答過程的方法，并且

51、書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識。將新知識和經(jīng)驗加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問題是解題思維活動的開始。第二階段的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段的計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。通過以下

52、探索途徑來提高解題能力：（1） 研究問題的條件時，在需要與可能的情況下，可畫出相應圖形或思路圖幫助思考。因為這意味著你對題的整個情境有了清晰的具體的了解。（2） 清晰地理解情境中的各個元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。（3） 深入地分析并思考習題敘述中的每一個符號、術語的含義，從中找出習題的重要元素，要圖中標出（用直觀符號）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現(xiàn)。（4） 盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目。（5） 仔細考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？（6） 認真研究題目提出的目標。通過目標找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。（7） 如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟