第2章系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 第2章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 2.1 由原理圖畫功能方框圖 2.2 系統(tǒng)數(shù)學模型的建立 2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(系統(tǒng)函數(shù)) 2.4 系統(tǒng)數(shù)學模型的試驗測定 2.5 系統(tǒng)的模擬第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1 由系統(tǒng)原理圖畫功能圖 為了建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，往往需要由系統(tǒng)的原理圖畫出系統(tǒng)的功能方框圖。 控制系統(tǒng)數(shù)學模型的建立，可以按照圖2.1-1的基本步驟進行。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 例2.1-1 試由圖2.1-2所示水位控制系統(tǒng)原理圖畫出其功能方框圖，并確定其控制方式。解：由圖2.1-2可知 水箱為被控對象； 水位實際高度H y為被控量； 用水Q2 、進水壓力、環(huán)境溫度

2、等為擾動量； 浮子為測量裝置； 電位計為比較計算裝置； 電動機、變速齒輪、控制閥為執(zhí)行裝置； 由于電位計與電路底板的接點位置與水位的期望高度 H f 相對應，故為被控量。此系統(tǒng) 的功能圖如圖2.1-3所示。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 由圖2.1-3可知，此系統(tǒng)屬于“按偏差調(diào)節(jié)”的閉環(huán)負反饋控制系統(tǒng)。實際控制過程如下： 當用水Q2使水箱的實際水位高度H y 與期望水位高度H f出現(xiàn)偏差（由電位計與電路底板的接點位置設定），被浮子測量后，通過杠桿帶動比較電位計的滑動觸點，直接改變電動機電樞電壓的極性和大小，經(jīng)過變速齒輪改變進水控制閥的開啟或關閉程度，調(diào)節(jié)進水量Q1的大小，使水箱的實際水位高度H y

3、 與期望水位高度H f 的偏差減小直至消除，H y = H f時，使電位計的滑動觸點與電路底板的零電位相等，電動機因電樞電壓為0而停轉，系統(tǒng)處于一種新的平衡狀態(tài)。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖的步驟 根據(jù)例2.1-1的求解過程，可歸納 “ 由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖 ” 的步驟如下： 1）由系統(tǒng)原理圖確定被控對象，這是由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖的主要矛盾，是關鍵； 2）由被控對象找到被控量、擾動量、控制裝置與給定量； 3）對照三種基本控制方式的功能方框圖模式，即可完成系統(tǒng)功能方框圖的繪制。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型2.2 系統(tǒng)數(shù)學模型的建立 由系統(tǒng)的功能方框圖及各功能方框的輸

4、入輸出動態(tài)關系，可以從入到出建立系統(tǒng)的微分方程組，消去中間變量后，就可得到系統(tǒng)的微分方程。這是一個最基本的方法，也是最笨的方法。 對于線性系統(tǒng)，還可以利用Laplase變換，把系統(tǒng)的功能方框圖變?yōu)閯討B(tài)結構圖，通過等效化簡，消去中間變量，直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）；或者把系統(tǒng)的功能方框圖變?yōu)樾盘柫鲌D，通過Mason公式直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。 此外，還可用試驗測定的方法建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型2.2.1 基本方法 1.一般非線性數(shù)學模型的線性化 一般而言，實際控制系統(tǒng)的元件都含有不同程度的非線性特性，如果采用非線性微分方程描述系統(tǒng)，就會導致求解過程的許多

5、困難。因此，只要不是典型的非線性問題，只要分析方法不使系統(tǒng)產(chǎn)生太大的誤差，則允許在一定條件下將一般非線形模型近似為線性模型。 小偏差法（小增量法）是常用的近似方法。小偏差法的前提條件是：系統(tǒng)僅在平衡工作點附近的小范圍工作；小偏差法的實質(zhì)是在平衡工作點附近足夠小的范圍內(nèi)，用平衡點的切線來取代原來連續(xù)變化函數(shù)的非線性特性。小偏差法的示意圖如圖2.2-1所示。)(i00i00)(aiiididintiii第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 1）單變量非線性函數(shù)的線性化：若對連續(xù)的非線性函數(shù)y = f（x），在工作點A（x0,y0）附近展成Talor級數(shù) （2.2-1） 考慮y0 = f（x0），有 （2.2

6、-2） 令 ，當增量很小時，可以忽略的高次冪項，有如下近似 （2.2-3） 2）雙變量非線性函數(shù)的線性化：若是有兩個或兩個以上變量的非線性系統(tǒng)，可以采用與上述單變量線性化基本相同的方法。 設非線性函數(shù) y = f（x1 ，x2），同樣可在某工作點（x10，x20），用Talor級數(shù)展開，以同樣的方法可求得 yk1x1+ k2x2 （2.2-4）202200)(|!21)(|)()(00 xxxdydxxxdydxfxfyxxxx202200)(|!21)(|00 xxxdydxxxdydyyxxxxxxxyyy00,)|(0 xxxdydkxky第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 3）注意事項：在上述

7、小偏差線性化過程中，要注意以下幾點 線性化參數(shù)ki的計算只適于小偏差情況； 入、出變量與系統(tǒng)的實際變化不能太大； 非線性特性必須連續(xù)可微； 典型非線性化問題需用第7章專門方法。 4）應用舉例： 例2.2-1 設三相橋式可控晶閘管整流電路的輸入為觸發(fā)延遲角 ，輸出為整流電壓Ud ，二者的非線性關系為 ， 式中U2為交流電源的相電壓有效值，U0 為 時的整流電壓。試對此表達式，在參考工作點（0 ，Ud0 ）附近，進行局部線性化處理。coscos34. 202UUUd第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 解：由單變量非線性函數(shù)的線性化方法有 Ud = Ud - Ud 0 ks = ks ( - 0) 式中 有

8、 Ud = ks 若按約定省略增量符號 ，可得 Ud = ks ， 即：線性化處理后，Ud 將隨控制角 的ks倍線性變化。 2. Laplace變換與傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)） 1）Laplace變換（詳細介紹見第5章）： 定義：對于一個t 0時有定義的連續(xù)時間函數(shù) f(t) ，若積分 在復變量s的某區(qū)域內(nèi)收斂，則f(t)的單邊拉氏正變換為 （2.2-5） 其中f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)，復變量 。00cos|0UddUkds00cosU0)()(tdetfsFtsjstdetft s0)(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 f (t)的單邊拉氏正變換記為 ，而 f (t) 的拉氏逆變換則為 ，記為

9、 f (t)的單邊拉氏正變換與逆變換構成一組變換對，可以簡記為 。 一般，進行拉氏正變換時需：將自變量 t s ，將自變量的函數(shù) f (小寫) F ( 大寫)。 常用性質(zhì)如下： 線性性質(zhì)：若 f(t)=a f1(t)+ b f2(t) ，則 F(s)=a F1(s)+ b F2(s) （2.2-6） 微分性質(zhì)：若 ，則 （2.2-7）常用的一階微分性質(zhì)為 （2.2-8） F(s) = f (t)dsesFjtfjjst)(21)( F(s)f (t) =-1)()(sFtfF(s) = f (t)0()()()1(10knnkknnnfssFstdtfd)0()()(fssFtdtdf第 2

10、章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 終值定理：若 ，且 存在，則有 （2.2-9） 常用的單邊拉氏變換對如下： ，即 ； ，即 ； ，即 ； ，即 。 2) 用拉氏變換求解線性微分方程 用拉氏變換求解線性微分方程，可將系統(tǒng)的微、積分(高等)運算簡化為代數(shù)(初等)運算，為工程計算和分析提供很大的方便F(s) = f (t)(f)(lim)(lim0sFstfst1)()()()()(000000tdttdettdttdetttsts1)(tstdetdetdttdetttststs1)()()(00000st1)(2000001)()()()(stdetttdetdtttdetttttststs21)(stts

11、tdetdeetdetetetststtstt1)()(0)(00stet1)(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 用拉氏變換求解微分方程的步驟 先將系統(tǒng)的微分方程進行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，計算中的初始值應取系統(tǒng)在t = 0- 時的對應值； 再求解代數(shù)方程，得到系統(tǒng)輸出量的象函數(shù)表達式； 最后將輸出量的象函數(shù)表達式展成部分分式，用部分分式法求拉氏反變換（見第5章），即得系統(tǒng)微分方程的時域解。 應用舉例 例2.2-3 RC網(wǎng)絡如圖2.2-3所示，若開關閉合前，電容的初始電壓為UC (0-)，開關 s 在0時刻瞬間閉合后，試求電容C兩端的電壓uC (t) 。st = 0U0Ri(t)Cuc

12、(t)第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型解：開關S在0時刻閉合瞬間，網(wǎng)絡微分方程為 （2.2-10）對式（2.2-10）兩邊取拉氏變換，得 （2.2-11）整理（2.2-11）式，可得輸出量的象函數(shù)表達式 （4.2-12）對（2.2-12）式兩邊求拉氏反變換，得 （2.2-13） （3）傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)） 一定條件下，拉氏變換可以把系統(tǒng)微分方程變?yōu)閺妥兞?s 的代數(shù)方程，使計算與分析過程簡化，并把系統(tǒng)的時域數(shù)學模型變?yōu)橄到y(tǒng)的復頻域數(shù)學模型傳遞函數(shù) ( 系統(tǒng)函數(shù) ) 經(jīng)典控制理論中十分重要的常用數(shù)學模型。)()()(0tUtutdtudRCcc01)()0()(UssUUsUsRCccc1)0(1)0

13、() 1()(1000sRCusUsUsRCusRCsUsUcRCcctctcRCRCeueUtUtu11)0()()(00第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）的定義 所謂傳遞函數(shù)，即線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。傳遞函數(shù)也可定義為：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)單位沖激（脈沖）響應的拉氏變換。 若一般線性定常系統(tǒng)的微分方程表達式為： （2.2-14） 式中：y(t)為系統(tǒng)的輸出量，f (t)為系統(tǒng)的輸入量。 在初始狀態(tài)為零時，對（4.2-14）式兩邊求拉氏變換 得： （2.2-15） 即 （2.2-16） 式（2.2-16）中，Y(s)

14、表示輸出量的拉氏變換，F(xiàn)(s)表示輸入量的拉氏變換，G(s)表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞系數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）；多數(shù)情況下，取 a 0 = 1 。 )()()(11101110sGasasasabsbsbsbsFsYnnnnmmmm)()()()()()()()(1111011110tfbtdtfdbtdtfdbtdtfdbtyatdtydatdtydatdtydammmmmmnnnnnn)()()()()()()()(11101110sFbssFbsFsbsFsbsYassYasYsasYsammmmnnnn第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 關于傳遞函數(shù)的幾點說明 由于拉氏變換是一種線性積分運算，而傳遞函數(shù)又是

15、從拉氏變換得來的，因此傳遞函數(shù)的概念只能用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入信號以及初始狀態(tài)無關，但是，改變輸入、輸出信號的作用點，將會使同一系統(tǒng)得到不同分子的傳遞函數(shù)（分母不變）； 由于傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律，不能直接求系統(tǒng)的零輸入響應，但是可以通過拉氏反變換由傳遞函數(shù)得到系統(tǒng)微分方程，再對系統(tǒng)微分方程求非零初始條件下的拉氏變換，得到零輸入響應與零狀態(tài)響應之和的拉氏變換，最后經(jīng)拉氏反變換即可得到零輸入響應、零狀態(tài)響應與完全響應； 由于系統(tǒng)的慣性及能源的限制，使傳遞函數(shù)分子多項式的階次m小于或等于

16、分母多項式的階次n，即 n m ； 多輸入多輸出系統(tǒng)多變量之間的關系不可能只用一個傳遞函數(shù)來表征，必須用傳遞函數(shù)矩陣來表示（詳見第8章）第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 傳遞函數(shù)的幾種表達形式 真有理分式表達式式（2.2-16）在ai 、b j 均為實數(shù)，且n m 時，即為傳遞函數(shù)的真有理分式表達式，其中 n為系統(tǒng)的階次，分母為系統(tǒng)的特征多項式，若n = m則需用多項式除法把式（2.2-16）（假分式）化為真有理分式與商之和的形式，一般由多項式除法得到的商都與(t)信號有關； 零、極點表達式把式（2.2-16）的分子、分母多項式都分解為單因子因式的乘積，即得到傳遞函數(shù)的零、極點表達式 （2.2-17

17、） 其中Kg = b0 /a0 （a0 = 1）為系統(tǒng)的傳遞系數(shù)或根增益， zj 為系統(tǒng)的零點，p i 為系統(tǒng)的極點；niimjjgpszsKsFsYsG11)()()()()(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 典型環(huán)節(jié)表達式式（2.2-16）的分子、分母多項式都可化為典型環(huán)節(jié)的形式，從而得到典型環(huán)節(jié)表達式 （2.2-18） 式（2.2-18）的分子中：K 為放大環(huán)節(jié)， 為一階微分環(huán)節(jié)（可能有幾個），而二階微分環(huán)節(jié)則為 （也可能有幾個）； 式（2.2-18）的分母中： 為積分環(huán)節(jié)（v為整數(shù)，表示積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，v 0時表示有純微分環(huán)節(jié)）， 為慣性環(huán)節(jié)（可能有幾個）， 為二階振蕩環(huán)節(jié)（也可能有幾個）；

18、令 、 ，式（2.2-18）可變成式（2.2-17），有 )12)(1()12)(1()1()1()()()(22222122222111sTsTsTssssKsTsKsFsYsGniimjj) 1(1s) 12(22222sss) 1(1sT) 12(22222sTsTjjz1iipT1niimjjgpzKK11)(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 常見元部件的傳遞函數(shù) 比例（放大）環(huán)節(jié)比例（放大）環(huán)節(jié)結構圖如圖2.2-4所示， 微分方程為 （ t 0 ） 式中：K為比例系數(shù)或增益，是一個常數(shù)。 傳遞函數(shù)為 (2.2-19)()(tfKtyKsFsYsG)()()(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 慣性

19、環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)結構圖如圖2.2-5所示， 微分方程為 （ t 0 ） 式中 T為時間常數(shù)。 傳遞函數(shù)為 (2.2-20) 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)結構圖如圖2.2-6所示， 微分方程為 （ t 0 ） 傳遞函數(shù)為 (2.2-21)()()(tftytdtydT11)()()(TssFsYsGtdtfty)()(ssFsYsG1)()()(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 例 2.2-5 試求圖2.2-7中，通過減速器 與輸出軸相連的伺服電動機的輸出軸 轉角y 與電動機電樞電壓 U f 之間的 傳遞函數(shù)。 解：忽略電磁慣性和機械慣性的影響， 設初始狀態(tài)為零，由圖2.2-7有電動機轉 速 ,減速器輸出轉速 可得

20、（2.2-22） 式（2.2-22）中：K1 、K2為比例常數(shù)，又 ， 代入式（2.2-22)可得： ，初始狀態(tài)為零時，對此式兩邊求拉氏變換得 式中：K = K1K2，為比例常數(shù)。 所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （2.2-23）fmK U1mK2fKKU21tddyfyKKtddU21)(U)(U)(21sKsKKssffysKsssGfy)(U)()(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)有理想理想微分、一階一階微分與二階二階微分三種。 理想（純）微分環(huán)節(jié)的結構圖如圖2.2-8所示， 微分方程為 （ t 0 ） 傳遞函數(shù)為 （2.2-24） 例 2.2-6 若測速發(fā)電機的輸出電壓為u(

21、t),轉軸的轉角為(t)，則測速發(fā)電機的微分方程為u(t)=K t(t)，其中(t)= 為所測轉軸的角速度，試求其傳遞函數(shù)。tdtfdty)()(ssFsYsG)()()(tdtd)(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 解：在零初始狀態(tài)下對已知測速發(fā)電機的微分方程兩邊求拉氏變換，可得 U(s)= K t(s)= K t s(s) （2.2-25） 有兩種傳遞函數(shù)為 （2.2-26） 與 （2.2-27） 測速發(fā)電機兩種傳遞函數(shù)的結構圖如圖2.2-9 a.和 b.所示。tKssUsG)()()(sKssUsGt)()()(Kt(s)U(s)Kts(s)U(s)第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 一階微分環(huán)節(jié)的結

22、構圖如圖2.2-10所示。 微分方程為 （2.2-28） 式中 t 0 ，為時間常數(shù)。 傳遞函數(shù)為 （2.2-29） 二階微分環(huán)節(jié)的結構圖如圖2.2-11所示， 微分方程為 （2.2-30） 傳遞函數(shù)為 （2.2-31） )()()(tftdtfdty1)()()(ssFsYsG)()(2)()(222tftdtfdtdtfdty12)()()(22sssFsYsG第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 振蕩環(huán)節(jié)結構圖如圖2.2-12所示， 微分方程為 （2.2-32） 式中： t 0 ， T為時間常數(shù)，為阻尼比。 傳遞函數(shù)為 （2.2-33） 或為 （2.2-34） 式中： 為振蕩環(huán)節(jié)的固有振蕩角頻率。

23、 振蕩環(huán)節(jié)的兩個極點為 ，當 時，單位階躍響應為 （t 0）)()()(2)(222tftytdtydTtdtydT121)()()(22sTsTsFsYsG2222)()()(nnnsssFsYsGTn122 , 11nnjp)()(ttf)1arctan1(sin11)(222tetyntn第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 延遲環(huán)節(jié)結構圖如圖2.2-13所示， 微分方程形為 傳遞函數(shù)為 （2.2-35） 3.建立系統(tǒng)微分方程的基本方法 1）由微分方程組建立系統(tǒng)微分方程 一般線性系統(tǒng)微分方程的建立，大致分為以下三步： 確定輸入、輸出與中間變量：根據(jù)實際工作情況，確定元件的輸入量（給定量和擾動量）、

24、輸出量（被控量，也稱為系統(tǒng)響應）與中間變量（輸入、輸出變量以外的變量）； 由系統(tǒng)各部分的動態(tài)關系建立微分方程組； 消除中間變量，得到系統(tǒng)的微分方程。R (s)C (s)se)()(tftysesFsYsG)()()(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 例 2.2-7 試對圖2.2-14所示R、L、C串聯(lián)電路，寫出輸入、輸出電壓之間的微分方程。 解：首先確定系統(tǒng)輸入量為輸入電壓ui (t) ，輸出量為輸出電壓uo (t) ，中間變量為電流i(t)。 再由KVL及VAR，從入到出列寫電路的微分方程組。 最后消去中間變量i (t)，即得到系統(tǒng)的微分方程。代式(2)、(3)入式(1)有 , 由式(4)有 圖2

25、.2-14 R、L、C串聯(lián)電路 )4()(1)()()3()()()2()()()1 ()()()()(ocRLiCRLtdtiCtututiRtudttidLtututututu)()()()(tututiRtdtidLic第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 可得 （2.2-36） 令T1= L / R ，T2=R.C ，則式（2.2-36）可寫成系統(tǒng)微分方程的一般形式如下 （2.2-37） 例 2.2-8 圖2.2-15為某個彈簧、質(zhì)量和阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)，試寫出外力F 與質(zhì)量m 的位移 x 之間的微分方程。 解：首先確定輸入量為外力F，輸出量為位移x ，中間變量為加速度 a ； 再根據(jù)牛頓

26、定律列寫微分方程組，有tdtudCtic)()()()()()(22tututdtudCRtdtudLCiooo)()()()(22221tututdtudTtdtudTTiooomkFxf機械位移系統(tǒng) 第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 其中 F k和Ff 分別為彈簧和粘性阻尼器的反作用力，a 為加速度，k 為彈簧的彈性系數(shù)，f 為粘性阻尼器的阻尼系數(shù)。 最后消去中間變量a ，可得到系統(tǒng)的微分方程。具體過程如下： 代式 (2)、(3) 入式 (1)，有 , 考慮 a = 有 ，即 例 2.2-9 試求出圖2.2-16所示的他勵直流電動機電樞電壓與電機轉速之間的微分方程。 ) 3 (/) 2()1 (

27、tdxdfFxkFamFFFfkfkamtdxdfxkF22tdxd22tdxdmtdxdfxkFFxktdxdftdxdm22第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型解：圖2.2-16中 R a為電樞電阻； La為電樞電感；Mm為電動機電磁轉矩； ML為電動機轉軸上的負載轉矩； Mo 為擾動輸入的負載轉矩； f1為電動機轉軸上的粘性摩擦系數(shù)； f2為電動機負載轉軸上的粘性摩擦系數(shù)； J1為電動機轉子的轉動慣量； J2為負載轉軸上的轉動慣量； 1/i = Z1/ Z2 為變速比。 首先確定給定輸入為電樞電壓ua 、擾動輸入為負載轉矩Mo ，輸出量為電動機轉速m ； 再按電路和牛頓定律列寫微分方程組：有電樞回

28、路電壓平衡方程組為 式中，ia 為電樞電流；ea 為電動機的反電動勢；Ce 為反電動勢系數(shù)。 轉軸轉矩平衡方程組為 )2()()()1()()()()(tCtetutdtidLtiRtemeaaaaaaa第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 式中，J為折合到電動機轉軸上總的轉動慣量，J=J1+J2/i 2 ； f 為折合到電動機轉軸上總的粘性摩擦系數(shù)，f = f1 + f2 / i 2 ；Cm 為電動機的電磁轉矩系數(shù)。 最后消去中間變量ea、ia、Mm(t)、ML(t)，可得到系統(tǒng)的微分方程： （2.2-38） 在實際工程中,我國交流電源的頻率僅為50Hz，使得電動機的電樞電感La很小，一般可以忽略與L

29、a有關的項，這時式（2.2-38）可簡化為 （2.2-39） 式（2.2-39）中， 為電動機的時間系數(shù)， 與 為電動機的傳遞系數(shù)；若再忽略與R a有關的項 ，則 可簡化為 （2.2-40）)5()(1)()4()()()3()()()()(tMitMtiCtMtftMtMtdtdJoLammmLmmt dtdMiLitMRtuCtfRCCt dtdfLJRt dtdJLoaoaammamemaama)(/ )()()()()()()(22)()()()(21tMktukttdtdToammmfRCCJRTameamfRCCCkamem1ifRCCRkamea)(2)()(tutCame第 2

30、 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 2）由功能方框圖建立系統(tǒng)微分方程 由功能方框圖建立控制系統(tǒng)的微分方程，一般可分為以下三步： 首先由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)的功能方框圖，明確輸入、輸出變量與中間變量； 再分別列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程； 最后消去中間變量，得到總輸出量與輸入量之間的系統(tǒng)微分方程。 在列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程時，要注意信號傳送的單向性前一個方框的輸出是后一個方框的輸入；要按信號傳送順序從左到右列寫，且 左出 = 右入、“上式出”為“下式入”。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 例 2.2-10 圖2.2-17為閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)原理圖，試寫出該控制系統(tǒng)的微分方程。 解：首先由原理圖畫系統(tǒng)功能圖如圖

31、2.2-18所示（未考慮負載擾動），并確定輸入為給定電壓Ug、輸出為電動機轉速 n，中間變量為U f 、U d 與U k 。 再由圖2.2-18分別列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程如下 比較放大：由I1 +I2 - I3 = 0有 當 R01 = R02 時，得 （2.2-41） 式中 K1 = R12 / R01 為放大器的反饋放大系數(shù)； 圖圖2.2-18 閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的功能圖閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的功能圖 0120201RURURUkfg)()(1020112fgfgkUUKRURURU第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 可控整流放大： Ud = Ks Uk （2.2-42） 其中 Ks 為可控

32、整流放大的電壓放大系數(shù)。 直流電動機：在不計電樞電阻、電感與負載擾動時，根據(jù)例2.2-9求出的直流電動機微分方程式（2.2-39）可得： （2.2-43） 反饋環(huán)節(jié)（測速發(fā)電機）：由測速發(fā)電機輸出電壓U f 與轉速n 成正比(見例2.2-6)，有 （Ks f 為 比例系數(shù)） （2.2-44） 最后消去中間變量Uf 、Ud 與Uk，可得到系統(tǒng)的微分方程： （2.2-46） 當系統(tǒng)穩(wěn)定時，閉環(huán)系統(tǒng)的靜態(tài)方程式為 （2.2-47）)(1)()(tUCtntdtdnTdemnKUfsf)()1 ()()(1tuKCKtntdtndKTgkegkm)()1 ()(tuKCKtngkeg第 2 章 系統(tǒng)的

33、數(shù)學模型2.2.2 動態(tài)結構圖的等效變換 1. 控制系統(tǒng)的結構圖表示 1） 組成結構圖的基本單元 一般的，控制系統(tǒng)的方框圖由信號線、比較點（綜合點）、引出點（測量點）、方框（環(huán)節(jié)）四種基本單元組成，如圖2.2-19所示。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 信號線：帶箭頭的直線，線旁標記為傳遞的信號，箭頭為傳遞方向，如圖2.2-19 a.所示； 比較點（綜合點、和點）：對兩個以上信號進行加減運算，“+”號表示相加，“-”號表示相減，如圖2.2-19 b.所示； 引出點（測量點、分點）：表示信號引出或測量的位置，從同一個引出點引出的信號完全相同，如圖2.2-19 c.所示； 方框（環(huán)節(jié)、子系統(tǒng)）：方框表示

34、信號的入、出動態(tài)關系（元部件、子系統(tǒng)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)），方框的輸出信號為輸入信號與傳遞函數(shù)的乘積，如圖2.2-19 d.所示。 2） 控制系統(tǒng)結構圖的繪制 在建立控制系統(tǒng)的功能圖的基礎上，對每個功能的入、出動態(tài)關系式明確后，即可通過拉氏變換得到每個功能方框的傳遞函數(shù)，用每個功能方框的傳遞函數(shù)取代原功能方框，功能圖就變成了控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 例 2.2-11 試由圖2.2-17閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的原理圖，畫出系統(tǒng)的動態(tài)結構圖，并求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。 解：首先由原理圖畫系統(tǒng)功能圖如圖2.2-18，利用例2.2-10的有關結果，即 比較放大： ； 可控整流放大：

35、 Ud / Uk = Ks； 直流電動機： ； 反饋環(huán)節(jié)（測速發(fā)電機）： ； 再分別求拉氏變換（零初始條件下），得到每個功能方框的傳遞函數(shù) 比較放大： ；可控整流放大： ； 直流電動機： ； 反饋環(huán)節(jié)（測速發(fā)電機）： 。 最后用每個方框的傳遞函數(shù)取代原功能方框，即得系統(tǒng)動態(tài)結構圖如圖2.2-20所示。1)(KUUUfgk)(1)()(tUCtntdtdnTdemfsfKnU1)()()(KsUsUsUfgkskdKsUsU)()(111)()(sTCsUsNmedfsfKsNsU)()(第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 由系統(tǒng)動態(tài)結構圖，易得閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 (s) = 令 Kg =

36、 Ks K1 、 Kk = Ksf Ks K1 /Ce 得 (s)= ，其中 。 等效變換應遵循的原則是：變換前后信號傳遞的數(shù)學關系不能改變。sfsmesgKKKsTCKKsUsN11) 1()()(1)1 (/)()(sTKKsTCKsUsNkmeggkmkegKTTKCKK1,)1 (第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 3）結構圖等效變換的三條基本法則 串聯(lián)相乘：圖2.2-21表示由n個子系統(tǒng)串聯(lián)組成的復合系統(tǒng)。 （2.2-48） 并聯(lián)相加：圖2.2-22表示由n個子系統(tǒng)并聯(lián)組成的復合系統(tǒng)。 復合系統(tǒng)的輸入即各子系統(tǒng)的輸 入，而復合系統(tǒng)的輸出則為各子 系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，即 (2.2-49) 回路吸

37、收：反饋回路一般如圖2.2-23 a.所示。niinsGsGsGsGsFsYsG121)()()()()()()(niisGsFsYsG1)()()()(圖2.2-22 n 個子系統(tǒng)并聯(lián) 第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 由圖2.2-23 a.有 對以上(1)、(2)、(3)式消去中間變量E (s)、 B (s) 可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (2.2-50) 即：反饋回路的方框圖可吸收為圖2.2-23 b.的形式（負號對應正反饋，正號對應負反饋）。 一般，G (s) 為前向通道傳遞函數(shù)，H (s) 為反饋通道傳遞函數(shù)，G (s)H (s) 為開環(huán)傳遞函數(shù)， (s) 為閉環(huán)傳遞函數(shù)。 )3()()()()2(

38、)()()()1 ()()()(sGsEsYsHsYsBsBsFsE)()(1)()()()(sHsGsGsFsYs第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 4）分、和點的等效移動 和點的前移：和點從某個方框的輸出端移到輸 入端即和點的前移，如圖2.2-24所示。 和點的后移：和點的后移與前移是可逆的，類 似從圖2.2-24 b.變換成圖2.2-24 a.， 此處不再重復。 和點之間的移動：圖2.2-25給出了兩個相鄰和 點相互交換移動的等效變換。 第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 分點的前移：分點從某個方框的輸出端移到輸入端即分點的前移，如圖2.2-26所示。 分點的后移：分點的后移與分點的前移是可逆的，即由圖

39、2.2-26 b.變換成 a.，此處不再重復。 第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 分、和點的易位：由于分、和點易位會增加系統(tǒng)的分、和點數(shù)目，使問題更加復雜，除非必需，一般不采用這種變換。圖2.2-27給出了分、和點易位的等效變換，以備必需。 5）應用舉例 例2.2-12 應用結構圖等效變換方法求取圖2.2-28的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 解：由題，按照先串、并，后吸收，依次由內(nèi)向外的變換過程如圖2.2-29所示)()()()()()()()(1)()()(s) 63215432321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsG第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 2.2.3 信號流圖與Maso

40、n公式 1. 信號流圖 1）信號流圖的表示與傳輸規(guī)則： 系統(tǒng)的信號流圖由節(jié)點和有向線段組成，是系統(tǒng)結構圖的一種簡化表示形式，具有與結構圖相同的等效化簡法則。在信號流圖中，用節(jié)點來表示信號（通常用小圓圈表示），用有向線段來表示信號的傳輸方向和傳輸關系。 由于節(jié)點變量的設置是任意的，因此一個系統(tǒng)的信號流圖并不是唯一的，可以有多種畫法。 信號流圖的表示與傳輸規(guī)則如圖2.2-32所示。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）信號流圖的常用術語源節(jié)點（源點）：只有輸出支路的輸入節(jié)點，表示整個系統(tǒng)的輸入變量（圖2.2-33的 x 1）。匯節(jié)點（匯點）：只有輸入支路的輸出節(jié)點，表示整個系統(tǒng)

41、的輸出變量（圖2.2-33的 x 6）?；旌瞎?jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點，表示系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量。圖2.2-33中的 x 2、x 3、x 4、x 5 都是混合節(jié)點，混合節(jié)點具有“先入后出”或“先和后分”的特點。前向通道（前向通路）：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的所有傳遞通路，每個節(jié)點在一條通道中最多只能被通過一次。在圖4.2-33中，從源點x 1 到匯點x 2 共有兩條前向通道，分別為 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 和 x 1 x 2x 5 x 6 。環(huán)路（回路）：如果通道的起點和終點為同一個點，并且與途經(jīng)的其余節(jié)點只相遇一次，則稱該通路為環(huán)路或回路。互不接觸環(huán)路：無公共

42、節(jié)點或支路的環(huán)路。 前向通道增益（通道增益）： 前向通道途經(jīng)各支路傳輸增益 (含符號)的乘積，常用p k 表示。 環(huán)路增益：環(huán)路途經(jīng)各支路傳 輸增益（含符號）的乘積，通 常用L i 表示。 第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 2.由結構圖信號流圖 1）信號流圖與結構圖的對應關系 信號流圖與結構圖的對應關系如圖2.2-34所示。 2）由結構圖信號流圖 利用信號流圖與結構圖的對應關系，可直接由系統(tǒng)的結構圖畫出系統(tǒng)的信號流圖。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 例 2.2-14 將圖2.2-35 a所示的結構圖畫為信號流圖。 解：利用圖2.2-34中信號流圖與結構圖的對應關系，可直接畫出信號流圖如圖2.2-35 b

43、.所示。a. 原結構圖 b. 對應的信號流圖圖2.2-35 由結構圖信號流圖 3. Mason公式及其應用 利用Mason公式，可由信號流圖求出系統(tǒng)的傳輸函數(shù)(s)。1）Mason公式： (2.2-52)式中， (2.2-53)mkkkPs1)(rqprqpjnmnmjLLLLLL,1第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 為系統(tǒng)信號流圖的特征式； 表示信號流圖中所有回路 的傳輸函數(shù)之和； 表示信號流圖中所有兩個互不接觸回路的回路傳輸函數(shù) 的乘積之和； 表示所有三個互不接觸回路的回路傳輸函數(shù)的乘積之和； p k 表示第 k 條前向通道的傳輸函數(shù)，共m條（m 1）； 是 中除去所有與第k條前向通道相接觸的回

44、路所在的項以后 的余式。jjLnmnmLL,rqprqpLLL,k2）Mason公式的應用例 2.2-16 試求出圖2.2-36所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(混合節(jié)點為“先和 后分”)。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 解：由圖可知，此系統(tǒng)信號流圖共有兩條前向通道，即 p1 = a b c d e , p2 = k d e ； 共有6個回路，回路增益分別為 L1 = - a f 、L 2 = - b g 、 L 3 = - c h 、L 4 = - d i 、L 5 = - e j 、L 6 = - k h g f ； 共有7對兩不接觸回路，即 L1 L3 、 L1 L4 、L1 L5 、L2 L4 、L2

45、L5 、L3 L5 、L5 L6 ； 只有一組三不接觸回路，即L1 L3 L5 ； 且所有回路均前向通道 p1有接觸，使 1=1；但回路L2與前向通道p 2沒有接觸，使2=1- L2 =1+ bg ；得 =1- L1- L2- L3- L4- L5- L6+ L1 L3+ L1 L4+ L1 L5+ L2 L4+ + L2 L5+ L3 L5+ L5 L6- L1 L3 L5第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 即 =1+af+ bg+ch+ch+ ej+ khgf + afch+afdi+ afej+ + bgdi+ bgej+ chej + ejkhgf + afchej 由Mason公式有 (s)

46、 =rqprqpjnmnmjLLLLLLpp,22111 由此例可知，Mason公式在遇到系統(tǒng)有多條前向通道，有多個回路，而且回路與回路之間、回路與通道之間存在互不接觸情況時，必須仔細確定 pk 、k 和 。， 第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）2.3.1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 在圖2.3-1中，如果斷開H(s)輸出端與和點的連接，則稱前向通路與反饋通路的傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，即：開環(huán)傳遞函數(shù)= B(s) / E(s)。 由圖2.3-1及回路吸收法則可知：當干擾N(s)不作用時， (s) = 其中 (s) 的分母為： （2.3-

47、1） 式（2.3-1）稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征式。 )()()(1)()(2121sHsGsGsGsG )()()(1)(21sHsGsGsD 第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型2.3.2 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 1. 輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 在圖2.3-1中，當干擾N(s)不作用時，圖2.3-1可化為圖2.3-2 a。 由圖2.3-2 a.可得： （4.3-2） 為輸入信號作用下系統(tǒng)輸出對輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)。)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsFsYsFY)(sFY第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 2. 干擾信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 在圖2.3-1中，當輸入F(s)不作用時

48、，圖2.3-1可化為圖2.3-2 b。由圖2.3-2 b.可得: （2.3-3） 為干擾信號作用下系統(tǒng)輸出對干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 ）系統(tǒng)的總輸出 利用線性系統(tǒng)的疊加原理，由式（2.3-2）和式（2.3-3）可得到系統(tǒng)總輸出為各外作用下輸出的總和，即 （2.3-4）)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsYsNY)(sNY)()()()()(sNssFssYNYFY)()()(1)()()()()(1)()()(2122121sHsGsGsNsGsHsGsGsRsGsG第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型2.3.3 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 在對系統(tǒng)進行分析時，不僅要研究輸入和干擾信號對輸出信

49、號的影響，還要研究控制過程中輸入和干擾信號對誤差的影響，研究誤差信號的變化規(guī)律。穩(wěn)態(tài)誤差的大小直接反映了系統(tǒng)的控制精度。在圖2.3-1中，誤差函數(shù) E(s)= R(s)- B(s) （2.3-5） 1. 輸入信號作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 在圖2.3-1中，當干擾 N (s) 不作用時，圖2.3-1可化為圖2.3-3 a。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 由圖2.3-2 a可得： （2.3-6） 為輸入信號作用下系統(tǒng)誤差對輸入的傳遞函數(shù)。2. 干擾信號作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 在圖2.3-1中，當輸入 F(s)不作用時，圖2.3-1可化為圖2.3-3 b (由于圖2.3-1中的負反饋符號不宜越過和點，

50、故保留在 H(s)方框內(nèi))。由圖2.3-3 b 可得 EN (s) （2.3-7） EN (s) 為干擾信號作用下系統(tǒng)誤差對干擾的傳遞函數(shù)。3. 系統(tǒng)的總誤差 利用線性系統(tǒng)的疊加原理有系統(tǒng)的總誤差 E(s) = EF (s) F (s) +EN (s) N (s) （2.3-8）)()()(11)()()(21sHsGsGsFsEsFE)(sFE)()()(1)()()()(212sHsGsGsHsGsNsE)()()(1)()()()()()(1)(21221sHsGsGsNsHsGsHsGsGsF第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型2.4 系統(tǒng)數(shù)學模型的試驗測定 2.4.1 試驗測定數(shù)學模型的主要方

51、法 由于用試驗測定法建立的系統(tǒng)模型是通過對系統(tǒng)輸入、輸出試驗數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理后得到的，所以試驗測定法一般只用于建立被測對象的輸入輸出模型，這種方法只對被測對象或系統(tǒng)的外部特性進行測試和描述，而不考慮其內(nèi)部的復雜結構。 為了獲得被測對象或系統(tǒng)的動態(tài)特性，必須對被研究的過程給以激勵，使之處于動態(tài)響應狀態(tài)。根據(jù)所加激勵信號和分析方法的不同，試驗測定法可以分為以下幾種： 1. 時域測定法 時域測定法是在被測對象或系統(tǒng)的輸入端加入階躍擾動信號或者脈沖信號，在輸出端測量輸出隨時間變化的階躍響應曲線或者脈沖響應曲線，然后對輸出響應的曲線進行分析，從而使被研究對象或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)得到確定。 這種方法采用的儀器簡單，測試工作量小，但測量精度不高。第 2 章 系統(tǒng)的數(shù)學模型 2. 頻域測定法 頻域測定法是在被測對象或系統(tǒng)的輸入端加入不同頻率的等幅正弦波，通過對輸入與輸出信號的幅值比和相位差的測量，得到被測對象或系統(tǒng)的頻率特性曲線，經(jīng)過認真分析即可確定被研究對象或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 這種方法需要專門的超低頻測試設備，測試與分析的工作量都較大，但測試的精度一般要比時域測定法高。 3. 統(tǒng)計相關測定法 統(tǒng)計相關測定法是在被測對象或系統(tǒng)的輸入端施加某種隨機信號，記錄被