第23全國中學(xué)生物理競賽決賽試題與詳細(xì)解答

1、 第23屆全國中學(xué)生物理競賽決賽試題2006年11月 深圳 理論試題一、建造一條能通向太空的天梯，是人們長期的夢想當(dāng)今在美國宇航局（nasa）支持下，洛斯阿拉莫斯國家實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家已在進(jìn)行這方面的研究一種簡單的設(shè)計(jì)是把天梯看作一條長度達(dá)千萬層樓高的質(zhì)量均勻分布的纜繩，它由一種高強(qiáng)度、很輕的納米碳管制成，由傳統(tǒng)的太空飛船運(yùn)到太空上，然后慢慢垂到地球表面最后達(dá)到這樣的狀態(tài)和位置：天梯本身呈直線狀；其上端指向太空，下端剛與地面接觸但與地面之間無相互作用；整個天梯相對于地球靜止不動如果只考慮地球?qū)μ焯莸娜f有引力，試求此天梯的長度已知地球半徑r0 = 6.37 ×106 m ，地球表面處的重力

2、加速度 g = 9.80 m·s2 二、la2r如圖所示，一內(nèi)半徑為r的圓筒（圖中2r為其內(nèi)直徑）位于水平地面上筒內(nèi)放一矩形物矩形物中的a 、b是兩根長度相等、質(zhì)量皆為m 的細(xì)圓棍，它們平行地固連在一質(zhì)量可以不計(jì)的，長為l = r的矩形薄片的兩端初始時矩形物位于水平位置且處于靜止?fàn)顟B(tài)，a 、b皆與圓筒內(nèi)表面接觸已知a 、b與圓筒內(nèi)表面間的靜摩擦因數(shù)都等于1現(xiàn)令圓筒繞其中心軸線非常緩慢地轉(zhuǎn)動，使a逐漸升高1矩形物轉(zhuǎn)過多大角度后，它開始與圓筒之間不再能保持相對靜止？答：_（只要求寫出數(shù)值，不要求寫出推導(dǎo)過程）2如果矩形物與圓筒之間剛不能保持相對靜止時，立即令圓筒停止轉(zhuǎn)動令表示a的中點(diǎn)和b

3、的中點(diǎn)的連線與豎直線之間的夾角，求此后等于多少度時，b相對于圓筒開始滑動（要求在卷面上寫出必要的推導(dǎo)過程最后用計(jì)算器對方程式進(jìn)行數(shù)值求解，最終結(jié)果要求寫出三位數(shù)字）三、由于地球的自轉(zhuǎn)及不同高度處的大氣對太陽輻射吸收的差異，靜止的大氣中不同高度處氣體的溫度、密度都是不同的對于干燥的靜止空氣，在離地面的高度小于20 km的大氣層內(nèi)，大氣溫度te 隨高度的增大而降低，已知其變化率 = 6.0 × 103 k·m1z為豎直向上的坐標(biāo)現(xiàn)考查大氣層中的一質(zhì)量一定的微小空氣團(tuán)（在確定它在空間的位置時可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理），取其初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)（z = 0），這時氣團(tuán)的溫度t 、密度 、壓強(qiáng)p

4、都分別與周圍大氣的溫度te 、密度e 、壓強(qiáng)pe 相等由于某種原因，該微氣團(tuán)發(fā)生向上的小位移因?yàn)榇髿獾膲簭?qiáng)隨高度的增加而減小，微氣團(tuán)在向上移動的過程中，其體積要膨脹，溫度要變化（溫度隨高度變化可視為線性的）由于過程進(jìn)行得不是非?？?，微氣團(tuán)內(nèi)氣體的壓強(qiáng)已來得及隨時調(diào)整到與周圍大氣的壓強(qiáng)相等，但尚來不及與周圍大氣發(fā)生熱交換，因而可以把過程視為絕熱過程現(xiàn)假定大氣可視為理想氣體，理想氣體在絕熱過程中，其壓強(qiáng)p與體積v滿足絕熱過程方程pv = c 式中c和都是常量，但與氣體種類有關(guān)，對空氣， = 1.40 已知空氣的摩爾質(zhì)量 = 0.029 kg mol1 ，普適氣體恒量r = 8.31 j ( k m

5、ol )1 試在上述條件下定量討論微氣團(tuán)以后的運(yùn)動設(shè)重力加速度g = 9.8 m·s2 ，z = 0處大氣的溫度te0 = 300 k 四、圖1中k為帶電粒子發(fā)射源，從中可持續(xù)不斷地射出質(zhì)量、電荷都相同的帶正電的粒子流，它們的速度方向都沿圖中虛線oo ，速度的大小具有一切可能值但都是有限的當(dāng)粒子打在垂直于oo的屏nn 上時，會在屏上留下永久性的痕跡屏內(nèi)有一與虛線垂直的坐標(biāo)軸y ，其原點(diǎn)位于屏與虛線的交點(diǎn)o處，y的正方向由o指向n 虛線上的a 、b兩處，各有一電子閥門a和b 閥門可以根據(jù)指令開啟或關(guān)閉開始時兩閥門都處于關(guān)閉狀態(tài)，擋住粒子流m 、m 是兩塊較大的平行金屬平板，到虛線oo的

6、距離都是d ，板m接地在兩板間加上如圖2所示的周期為2t的交變電壓u ，u 的正向最大值為2u ，負(fù)向最大值為u 已知當(dāng)帶電粒子處在兩平板間的空間時，若兩平板間的電壓為u ，則粒子在電場作用下的加速度a 、電壓u 的半周期t和平板到虛線的距離d滿足以下關(guān)系at2 = dkomn n y ombaabllll圖1t / t02 4 6 8 10 12 u2uu圖2已知ab間的距離、b到金屬板左端的距離、金屬板的長度以及金屬板右端到屏的距離都是l 不計(jì)重力的作用不計(jì)帶電粒子間的相互作用打開閥門上的粒子被閥門吸收，不會影響以后帶電粒子的運(yùn)動只考慮mm 之間的電場并把它視為勻強(qiáng)電場1假定閥門從開啟到關(guān)

7、閉經(jīng)歷的時間比t小得多，可忽略不計(jì)現(xiàn)在某時刻突然開啟閥門a又立即關(guān)閉；經(jīng)過時間t ，再次開啟閥門a又立即關(guān)閉；再經(jīng)過時間t ，第3次開啟閥門a同時開啟閥門b ，立即同時關(guān)閉a 、b 若以開啟閥門b 的時刻作為圖2中t = 0的時刻，則屏上可能出現(xiàn)的粒子痕跡的y坐標(biāo)（只要寫出結(jié)果，不必寫出計(jì)算過程）為_2假定閥門從開啟到關(guān)閉經(jīng)歷的時間 = ，現(xiàn)在某時刻突然開啟閥門a ，經(jīng)過時間立即關(guān)閉a ；從剛開啟a的時刻起，經(jīng)過時間t ，突然開啟閥門 b ，經(jīng)過時間關(guān)閉b 若以剛開啟閥門b 的時刻作為圖2中t = 0的時刻，則從b處射出的具有最大速率的粒子射到屏上所產(chǎn)生的痕跡的y坐標(biāo)（只要寫出結(jié)果，不必寫出計(jì)

8、算過程）為_具有最小速率的粒子射到屏上所產(chǎn)生的痕跡的y坐標(biāo)（只要寫出結(jié)果，不必寫出計(jì)算過程）為_2dpzbqox五、如圖所示，坐標(biāo)系oxyz的x軸和z軸都位于紙面內(nèi)，y軸垂直紙面向里兩無限大金屬極板p和q分別位于x = d和x = d處磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b的勻強(qiáng)磁場的方向平行于oxz坐標(biāo)平面，與z軸的夾角為 在坐標(biāo)原點(diǎn)o處，有一電荷為q（0）、質(zhì)量為m的帶電粒子，以沿y軸正方向的初速度v0開始運(yùn)動不計(jì)重力作用1若兩極板間未加電場，欲使該粒子在空間上恰好能到達(dá)極板（但與板不接觸），則初速度v0應(yīng)為多大？所需最短時間t0是多少？2若在兩極板間沿x軸正方向加上一場強(qiáng)為e的勻強(qiáng)電場，使該粒子能在第1問中

9、所求得的時間t0到達(dá)極板，則該粒子的初速度v0應(yīng)為多大？若 = ，求粒子到達(dá)極板時粒子的坐標(biāo)六、在高能物理中，實(shí)驗(yàn)證明，在實(shí)驗(yàn)室參考系中，一個運(yùn)動的質(zhì)子與一個靜止的質(zhì)子相碰時，碰后可能再產(chǎn)生一個質(zhì)子和一個反質(zhì)子，即總共存在三個質(zhì)子和一個反質(zhì)子試求發(fā)生這一情況時，碰前那個運(yùn)動質(zhì)子的能量（對實(shí)驗(yàn)室參考系）的最小值（即閾值）是多少已知質(zhì)子和反質(zhì)子的靜止質(zhì)量都是m0 = 1.67 × 1027 kg 不考慮粒子間的靜電作用第23屆全國中學(xué)生物理競賽決賽參考解答一、要使天梯相對于地球靜止不動，由地面伸向太空，與地面之間無相互作用力，這樣的天梯的下端只能位于赤道上某處，且天梯與該處地球表面垂直，

10、并與地球同步轉(zhuǎn)動如圖1所示lr1r0o圖1從坐標(biāo)原點(diǎn)與地球中心固連、坐標(biāo)軸指向恒星的慣性參考系來看，天梯和地球一起勻速轉(zhuǎn)動天梯所受的外力只有地球的萬有引力把天梯看作是由線密度為的許多非常小的小段組成，則每小段到地球中心的距離不同，因而所受地球引力的大小也不同，其中與地心的距離為ri1 到ri 間的長度為ri 的小段所受地球引力為f i = g （1）整個天梯所受的地球引力f就等于每小段所受地球引力之和，即f = = （2）符號表示對所有小段求和因ri = ri ri1 是個小量，注意到riri1 = ri( ri ri ) r ，因此 用r0表示地球半徑，也就是天梯下端到地心的距離，rl 表示

11、天梯上端到地心的距離，則r0 = r0 ，rn = rl ，代入（2）式得f = gm( ) （3） 整個天梯的質(zhì)量m = ( rl r0 ) （4） 天梯的質(zhì)心位于天梯的中點(diǎn)，它到地心的距離rc = r0 + （5） 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，有f = mrc ( )2 （6） 式中t為地球自轉(zhuǎn)的周期由（3）、（4）、（5）、（6）式可得( rl r0 ) ( r + r0rl ) = 0 rl r0 = 0 ，表示天梯無長度，不符合題意，符合題意的天梯長度滿足的方程為r + r0rl = 0 （7）因?yàn)間m = rg ，所以得r + r0rl = 0 （8）【從跟隨地球一起轉(zhuǎn)動的參考系看，也可得到

12、（8）式這時，天梯在地球引力和慣性離心力的作用下，處于平衡靜止?fàn)顟B(tài)，地球引力仍為（3）式，天梯所受的慣性離心力可由下面的方法求得：仍把天梯看作由很多長度為ri的小段組成，則第i小段受的慣性離心力為f i = ri( )2 ri （4）對所有小段求和，就得到整個天梯所受的慣性離心力f = =( )2 riri （5）o r0 rlry( )2 rl( )2 r0圖2（5）式中所示的和可以用圖2過原點(diǎn)的直線y = ( )2 r下的一個帶陰影的梯形面積來表示，即f = ( )2 ( rl r0 ) （6）因?yàn)榈厍蛞εc慣性離心力平衡，由（3）式和（6）式可得 gm ( ) =( )2 ( rl r0

13、 ) （7）因?yàn)間m = rg ，化簡（7）式最后也能得到（8）式】解（8）式得rl = （9）根號前取正號，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，注意到t = 8.64 ×104 s ，得rl = 1.50 ×108 m （10）所以天梯的長度l = rl r0 = 1.44 ×108 m （11）二、190 °2當(dāng)矩形物處于豎直位置即 = 0° 時，b不會滑動，矩形物靜止當(dāng)圓筒緩慢轉(zhuǎn)動使剛超過0° 時，a將離開圓筒內(nèi)表面而開始傾倒，按題意此時圓筒已停止轉(zhuǎn)動假定b仍不動，此后，a在豎直平面內(nèi)從靜止開始繞b做圓周運(yùn)動圓周運(yùn)動的徑向方程（牛頓第二定律）為 m

14、= mgcost （1）這里v 表示a的速度t是剛性薄片對a的作用力，規(guī)定其方向從b到a為正根據(jù)能量守恒，有 mgl (1cos ) = mv2 （2）聯(lián)立（1）、（2）式，得120°30°oab t = mg ( 3cos2 ) （3）如果令 t = 0 ，可得 = arccos ( ) = 48.2°顯見， 48.2° 時，作用力是徑向正向，對a是推力； 48.2° 時，作用力是徑向反向，對a是拉力現(xiàn)在再來看前面被假定不動的b是否運(yùn)動我們可以在b處畫圓筒內(nèi)表面的切面，它與水平面成30° 夾角因?yàn)榧俣╞不動，其加速度為零，所以b在垂

15、直于切面方向的受力方程為fmgcos30°tcos ( 30° ) = 0 （4）這里f 是圓筒內(nèi)壁對b的支持力由（4）式和（3）式可以論證，如果在等于60°（a 將與圓筒相碰）之前b不動，則f 必將始終不等于零，這就是說，在b開始滑動以前，b不會離開筒壁b對筒壁的正壓力是f 的反作用力，大小和f 相同式中的t是剛性薄片對b的作用力，它和（1）式中的t大小相等（因薄片質(zhì)量不計(jì)）由于 =1，所以最大靜摩擦力fmax 的大小就等于正壓力fmax = f = mgcos30° + tcos ( 30° ) （5）其方向是沿切面方向沿切面方向除摩擦力外

16、，b還受到其他力f = mgsin30° + tsin ( 30° ) （6）只要f 不大于最大靜摩擦力，b就不滑動這個條件寫出來就是f fmax （7）b滑動與否的臨界點(diǎn)就應(yīng)由f = fmax 求出，即mgcos30° + tcos ( 30° ) = mgsin30° + tsin ( 30° ) （8）將（3）式的t代入（8）式，化簡后得方程( 3cos 2 ) cos + ( 2 + )sin + 1 = 0 （9）這個方程可用數(shù)值求解，即取不同的值代入逐步逼近，最后可得 = 54.9 ° （10） 超過此值，b將開

17、始滑動三、設(shè)微氣團(tuán)中空氣的質(zhì)量為m ，當(dāng)其位移為z時，氣團(tuán)的體積為v ，氣團(tuán)內(nèi)氣體的密度為 ，氣團(tuán)周圍大氣的密度為e 氣團(tuán)受到豎直向下的重力 mg = vg 和豎直向上的浮力ve g作用，若氣團(tuán)的加速度為 ，則由牛頓第二定律有m = vg + ve g = v( e ) g （1）或有 = g （2）根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程 pv = rt （3）可知?dú)怏w的密度 = = （4）利用（4）式，注意到p = pe ，（2）式可化成 = g （5）周圍大氣在z處的溫度te 等于z = 0處的溫度te0 加從0到z溫度的增量，即te = te0 + z （6）若氣團(tuán)中氣體溫度隨高度的變化率為 ，根據(jù)題意，

18、有t = t0 + z （7）t0為氣團(tuán)位于初始位置時氣團(tuán)中氣體的溫度根據(jù)題意te0 = t0 ，把（6）、（7）式代入（5）式得 = ( ) z （8）在（8）式中，若( ) 0 ，則加速度方向向下，作用于氣團(tuán)的力有使氣團(tuán)回到初始位置的趨勢，這樣，大氣層中的大氣就處于穩(wěn)定狀態(tài)；反之，氣團(tuán)將遠(yuǎn)離其初始位置，大氣層中的大氣處在不穩(wěn)定狀態(tài)因周圍大氣溫度隨高度的變化率是已知的，故只要知道氣團(tuán)中氣體溫度隨高度的變化率，便可對氣團(tuán)的運(yùn)動作出判斷大氣的壓強(qiáng)隨高度的增加而減小，在高度為z 和z +z處的壓強(qiáng)差pe = egz （9）式中e為z處的空氣的密度，與溫度、壓強(qiáng)有關(guān)，由（4）式表示式中負(fù)號表示高度增

19、加時，大氣壓強(qiáng)是減小的把（4）式代入（9）式得pe = gz （10）質(zhì)量為m 的氣團(tuán)在上升過程中，其壓強(qiáng)將隨周圍大氣的壓強(qiáng)的減小而減小，體積要增大，氣團(tuán)對周圍空氣做功因?yàn)檫^程是絕熱的，氣團(tuán)的內(nèi)能要減少，因而溫度要降低，溫度、壓強(qiáng)的變化應(yīng)滿足絕熱過程的規(guī)律試題給出的絕熱過程方程是關(guān)于壓強(qiáng)與體積間的關(guān)系，利用理想氣體狀態(tài)方程，可把絕熱過程方程表示為溫度與壓強(qiáng)間的關(guān)系由（3）式得v = （11）把（11）式代入pv = c得t = （12）當(dāng)氣團(tuán)的壓強(qiáng)由p 變到 p + p時，氣團(tuán)的溫度將由t變到t +t 由（12）式t +t = ( p + p ) 利用二項(xiàng)式定理，忽略p的高次方項(xiàng)，并注意到（1

20、2）式得t +t = + (p ) = t + p故有t = p （13）根據(jù)題意，p = pe ，p = pe ，由（7）式、（10）式和（13）式得 = （14）已知 = 6.0 × 103 k·m1 ，代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得 =9.8 × 103 k·m1當(dāng)z不是很大時，有te0 +（ + ) z te0故有 = （15）代入題給的有關(guān)數(shù)據(jù)得 = 9.8 × 103 k·m1 （16）負(fù)號表示高度增加時，氣團(tuán)的溫度要下降可見 ( ) 0 ，作用于氣團(tuán)的合力的方向與氣團(tuán)位移的方向相反，指向氣團(tuán)的初始位置，氣團(tuán)發(fā)生向上位移后，將要回到初

21、始位置當(dāng) z 不是很大時，（8）式中的te可以用te0代替，可知?dú)鈭F(tuán)將在初始位置附近做簡諧振動振動的圓頻率 = （17）代入數(shù)據(jù)，得 = 1.1 × 102 s1 （18）四、1y1 = 0.3d ，y2 = 0.9d 2y = 0.138d ，y = 0.138d 附參考解法：1當(dāng)閥門a第1次開啟時，具有各種速率的粒子（稱之為第一批粒子）從a處進(jìn)入ab之間，在a第2次開啟時刻，第一批粒子中速率為 v1 = （1）的粒子正好射到b處，被閥門b擋住與此同時，第二批具有各種速率的粒子從a處進(jìn)入ab之間在閥門a第3次開啟的時刻，第一批進(jìn)入ab間的粒子中速率為 v2 = = v1 （2）的粒

22、子與第二批進(jìn)入ab間的粒子中速率為v1的粒子同時到達(dá)b處因此時閥門b已開啟，這些粒子都從b處沿虛線射向兩平行板，而第三批進(jìn)入ab間的粒子在它們到達(dá)b處時，被b擋住由此可知，能從b處射向兩平行板的粒子具有v1和v2兩種不同的速率根據(jù)題意，粒子從b處射出的時刻為t = 0 ，故速率為v1的粒子在時刻 t1 = = t 進(jìn)入兩平行板之間，由本題圖2可知，兩板間的電壓 u = u 粒子在兩板間的電場作用下的加速度為a ，粒子通過兩板經(jīng)歷的時間為 t1 = = t 在t1時間內(nèi)粒子在y方向獲得的分速度和位移分別為 v1y = at1 = at （3） y1 = a (t1 )2 = at2 （4）因at

23、2 = d ，故| y1 | = d d ，表明速率為v1的粒子能穿出平板，粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動在從射出平板至射到屏的時間內(nèi)，粒子在y方向的位移 y1 = v1y = at2 （5）粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡的y坐標(biāo)為y1 = y1 +y1 = at2 at2 = at2 = 0.3d （6）速率為v2 的粒子在時刻 t2 = = 2t 進(jìn)入兩平行板之間，由本題圖2可知，兩板間的電壓 u = 2u 粒子在電場作用下的加速度為2a ，粒子通過兩板經(jīng)歷的時間為 t2 = = 2t 因?yàn)閮砂彘g的電壓在時間t2內(nèi)由2u變?yōu)閡，粒子的加速度亦將從2a變成a ，由此可求得在t2時間內(nèi)粒子在y方向獲得的分速度

24、和位移分別為 v2y = 2at at = at （7） y2 = ( 2a )t 2 + ( 2at )t at 2 = at 2 （8）因at2 = d ，故 y2 = d d ，表明速率為v2的粒子亦能穿出平板粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動在從射出平板至射到屏的時間內(nèi)，粒子在y方向的位移 y2 = v2y = 2at2 （9）粒子打在屏上產(chǎn)生的痕跡的y坐標(biāo)為y2 = y2 +y2 = at2 + 2at2 = at2 = 0.9d （10）即粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡是兩個點(diǎn)，它們的y坐標(biāo)分別為y1和y2 2由于閥門從開啟到關(guān)閉要經(jīng)歷一段時間，在閥門a開啟到關(guān)閉經(jīng)歷的時間間隔內(nèi)的不同時刻，都有各種不

25、同速率的粒子從a處進(jìn)入ab間，有的早進(jìn)入，有的晚進(jìn)入由于閥門b從開啟到關(guān)閉也要經(jīng)歷一段時間 ，粒子可能在最早的時刻即t = 0的時刻從b處射出，也可能在最晚的時刻即t = 時刻從b處射出在a剛開啟的時刻從a處射入ab間，并在t = 時刻從b處射出的粒子的速率最小，這最小速率為vmin = （11）在閥門a剛要關(guān)閉時刻從a處射進(jìn)ab間，并在t = 0的時刻從b處射出的粒子的速率最大，這最大速率為vmax = （12）在t = 0時刻從b處射出的速率為vmax的粒子在時刻t1 = = t 進(jìn)入兩平板之間，在時刻t1 = t1 + = 2t 2離開兩平板由本題圖2可知，在t 到t時間內(nèi)，兩板間的電壓

26、為2u ，在t到2t 2時間內(nèi)，兩板間的電壓為u ，與電壓對應(yīng)的粒子的加速度分別為2a和a 在粒子通過平板的時間內(nèi)，粒子在y方向獲得的分速度和位移分別為 v1y = 2a a (t 2 ) = at + 4a （13） y1 = ( 2a ) 2 + ( 2a ) (t 2 ) a (t 2 )2 = at 2 + 4at 5a2 （14）粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動從射出平板至射到屏的時間內(nèi)，粒子在y方向的位移 y1 = v1y = (at + 4a ) (t ) = at2 + 5at 4a2 （15）粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡的y坐標(biāo)為y1 = y1 +y1 = at2 + 9at 9a2 （16

27、）根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)得y1 = 0.138d （17）在t = 時刻從b處射出的速度為vmin的粒子在時刻t2 = + = t + 2進(jìn)入兩平板之間，在時刻t2 = t2 + = 2t + 3離開兩平板由本題圖2可知，在t + 2到2t時間內(nèi)，兩板間的電壓為u ，在2t到2t + 3時間內(nèi)，兩板間的電壓為2u ，與電壓對應(yīng)的粒子的加速度分別為a和2a 在粒子通過平板的時間內(nèi)，粒子在y方向獲得的分速度和位移分別為 v2y = a (t 2 ) + ( 2a )3 = at + 8a （18） y2 = a (t 2 )2 a (t 2 ) 3 + ( 2a ) ( 3 ) 2 = at 2 at

28、 + 13a2 （19）粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動在從射出平板至射到屏的時間內(nèi)，粒子在y方向的位移 y2 = v2y = (at + 8a ) (t + ) = at2 + 7at + 8a2 （20）粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡的y坐標(biāo)為y2 = y2 +y2 = at2 + 6at + 21a2 （21）根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)得y2 = 0.138d （22）由以上分析可知，速率最小和速率最大的粒子打在屏上產(chǎn)生的痕跡是位于y軸上的同一點(diǎn)五、解法一1平行板間僅有磁場，帶電粒子初速度v0的方向垂直于磁場，在洛倫茲力的作用下，粒子將在垂直于磁場方向的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，圓周半徑r0 = （1）軌道平面與ox

29、z坐標(biāo)平面的交線如圖1中nn 所示要使粒子剛能到達(dá)極板q（與板剛未接觸），圓心c應(yīng)是on 的中點(diǎn)，有2dpzbqoxc圖1nn cn = r0 = （2）由（1）、（2）式得v0 = （3）粒子由o經(jīng)過半個圓周到達(dá)n ，所經(jīng)歷的最短時間為圓周運(yùn)動的半個周期t0 = = （4）zzby ，yxo圖2ev02以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，順時針轉(zhuǎn)動角，建立新坐標(biāo)系oxyz ，如圖2所示在新坐標(biāo)系中電場強(qiáng)度e的分量為ex = ecos ey = 0 ez = esin （5）磁感應(yīng)強(qiáng)度b的分量為bx = 0 by = 0 bz = b （6）帶電粒子所受到的電場力的分量為fex = qex = qecos fey

30、 = 0 fez = qez = qesin （7）當(dāng)帶電粒子速度為v 時，帶電粒子所受到磁場力的分量為fbx = qvyb fby = qvx b fbz = 0 （8）（i）關(guān)于帶電粒子在oxy 平面內(nèi)的分運(yùn)動現(xiàn)設(shè)想起始時刻帶電粒子沿y 軸正方向的初速度v0用下式表示v0 = v0 + v1 v1= v2 v1式中v2 = v0 + v1 （9）現(xiàn)把v0看成沿y 軸負(fù)方向運(yùn)動的速度v1和沿y 軸正方向運(yùn)動的v2的合成這樣，與前者聯(lián)系的運(yùn)動使帶電粒子受到沿x 軸的負(fù)方向的磁場力作用，它與電場力的分量fex 的方向相反，當(dāng)v1取數(shù)值v1= = cos （10）時，與 v1相聯(lián)系的磁場力與fex

31、 的合力為零，其效果是帶電粒子沿y 軸負(fù)方向以速度v1做勻速運(yùn)動；與后者聯(lián)系的運(yùn)動使帶電粒子僅受到磁場力作用，此力的方向既垂直于磁場方向（z 軸方向），又垂直于速度v2 ，即位于oxy 平面內(nèi)，其大小為fx y = qv2b （11）粒子在此力作用下在平面內(nèi)做速度為v2的勻速圓周運(yùn)動，圓周的半徑r = （12）圖3yoxtv2其圓頻率 = b （13）由以上分析可知帶電粒子一方面在oxy 平面內(nèi)做上述勻速圓周運(yùn)動，另一方面圓心沿y 軸負(fù)方向以速度v1= cos做勻速直線運(yùn)動（ii）關(guān)于粒子沿z 軸的分運(yùn)動由（7）、（8）兩式可知，粒子在z 方向僅受電場力作用，其加速度az = = sin （1

32、4）即粒子沿著z 軸以加速度az 做勻加速直線運(yùn)動（iii）關(guān)于粒子在oxyz 坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程在只考慮圓周運(yùn)動的情況下，粒子的坐標(biāo)隨時間變的關(guān)系為x = r ( 1cost ) （15）y = r sint （16）z = 0 （17）考慮了圓心運(yùn)動及粒子沿z 軸的運(yùn)動并注意到（9）、（10）、（12）式，在oxyz 坐標(biāo)系中，粒子的運(yùn)動方程為x = ( 1cost ) = ( + ) ( 1cost ) （18）y = rsint v1t = ( + ) sint t （19）z = t2 （20）（iv）粒子在oxyz坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程利用坐標(biāo)變換x = xcos + zsiny =

33、y z = xsin + zcos并注意到（5）、（9）、（10）、（13）各式，可將（18）、（19）、（20）式轉(zhuǎn)換至oxyz坐標(biāo)系，得到粒子在oxyz坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程式為x = ( v0cos + ) ( 1cosbt ) + t2 （21）y = ( v0 + )sinbt t （22）z = ( v0sin + ) ( 1cosbt ) + t2 （23）根據(jù)題意，將x = d和t = t0 = = 代（21）式，解得v0 = （24）將 = ，t = t0 = = 和（24）式代入（21）、（22）、（23）各式，可得粒子到達(dá)極板q時粒子的坐標(biāo)為x = d （25）y = （26

34、）z = d + （27）解法二1與解法一相同2以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，順時針轉(zhuǎn)動角，建立新坐標(biāo)系oxyz ，設(shè)粒子速度在坐標(biāo)系oxyz 中分量分別為vx 、vy 、vz ，牛頓第二定律的三個分量形式為m = qex + qvy b （1）m = qvx b （2）m = qez （3）將（2）式表示為 = 兩邊積分后得vy = ( ) x + c1c1為待定常量，當(dāng)t = 0時，x = 0 ，vy = v0 ，故求得c1 = v0 ，上式應(yīng)表為vy = b x + v0 （4）將（4）式代入（1）式，得m = qex + q ( x + v0 ) b = ( )2 x + ( )2 ( + ) （5

35、）令r = ( + ) （6） = b （7）x = xr （8）（5）式可表為 = 2x （9）這是簡諧運(yùn)動方程，其解為x = acos ( t + ) （10）由（8）式得x = acos ( t + ) + r （11） = vx = asin ( t + ) （12）利用初始條件，由（11）與（12）式，得r = acos0 = asin解得 = 0 （13）a = r 再由（6）式，得a = ( + ) （14）代入（11）式x = ( + ) ( 1cost ) （15）將（12）式代入（2）式，整理后得 = 2asint對上式積分，考慮初始條件，得vy = = acost （16

36、）積分（16）式，考慮初始條件及（14）式，得y = ( + ) sint t （17）對（3）式積分可得z = t2 （18）（15）、（17）、（18）式分別與解法一中的（18）、（19）、（20）式相同，接下去的討論與解法一相同解法三設(shè)粒子速度在oxyz 坐標(biāo)中分量分別為vx 、vy 、vz ，牛頓第二定律的三個分量方程為m = qex + qvy bz （1）m = qvxbz + qvzbx （2）m = qbx vy （3）令 = （4）v1 = cos （5）方程變?yōu)槿缦滦问?= vy cos + （6） = vx cos + vz sin （7） = vy sin （8）對（6

37、）、（8）兩式積分，利用初始條件t = 0時，vx = 0 ，x = 0 ，y = 0 ，得vx = ycos + ( )t （9）vz = ysin （10）將（9）、（10）兩式代入（7）式，得 = 2y 2v1t = 2 ( y + v1t ) 令y = y + v1t （11）得 = 2y （12）其解為y = acos ( t + ) 由（11）式可得y = acos ( t + ) v1t （13）由（13）式得vy = asin ( t + ) v1 （14）由初始條件t = 0時，vy = v0 ，y = 0 ，得acos = 0 v0 = asinv1解得 = a = （15

38、）由（15）式，注意到（4）式、（5）式，得y = ( v0 + ) sinbt t （16）vy = ( v0 + ) cosbt （17）把（17）式代入（1）式，經(jīng)積分并利用初始條件，可得 x = ( v0cos + ) ( 1cosbt ) + t2 （18） 將（17）式代入（8）式，經(jīng)積分并利用初始條件，得z = ( v0sin + ) ( 1cosbt ) + t2 （19）（18）、（16）、（19）式分別與解法一中的（21）、（22）、（23）式相同，接下去的討論與解法一相同六、在討論本題之前，先看一下相對論能量和動量的普遍關(guān)系式，即( mc2)2 = c2p2 + m02c4 （1）式中c為光在真空中的速度，m為粒子的質(zhì)量，p為其動量，m0為靜止質(zhì)量【此關(guān)系式可由能量e = mc2 和動量p = mv = 導(dǎo)出，v為粒子的