自考線性代數(shù)串講講義

1、華夏大地教育網(wǎng) l http/:- 線性代數(shù)串講講義 線性代數(shù)串講各位同學(xué)，大家好！今天我們要對經(jīng)管類的線性代數(shù)進(jìn)行串講。對每章的主要知識點(diǎn)進(jìn)行梳理，選擇近年的真題作為例題進(jìn)行解析。通過講解，希望大家進(jìn)一步深刻理解考試大綱，準(zhǔn)確地把握考試的測試點(diǎn)，以更有針對性地復(fù)習(xí)應(yīng)考，取得滿意的考試成績.改版以后的線性代數(shù)試卷的結(jié)構(gòu)是：10個單選題，（占20分），10個填空題（占20分），6個計算題（占54分）和一個證明題（占6 分）.按大綱，各章在試卷中所占比例為第一章， 13分左右；第二章，26分左右； 第三章， 21分左右；第四章， 19分左右；第五章，16分左右；第六章，5分左右。但近

2、一年來，這個比例發(fā)生了較大變化，最突出的是第六章所占比例明顯加大，都占了15分。值得注意的是，線性代數(shù)課的特點(diǎn)是各章聯(lián)系十分緊密，很多題目不能獨(dú)立屬于某一章，而是具有一定的綜合性，另外，由于試題中有10個單選題，10個填空題，所以考的測試點(diǎn)非常全面，非常細(xì)致，隨機(jī)性也較大。縱觀改版后歷年的真題，可以看出經(jīng)管類線性代數(shù)試題的特點(diǎn)是十分基本，主要考核大家基本概念，基本公式，基本方法的掌握情況.從試題的難易程度來看，考試大綱規(guī)定，試題的難度分為：易，中等偏易，中等偏難，難；它們所占分?jǐn)?shù)依次大致為：20分，40分，30分，10分。實(shí)際執(zhí)行中，絕大部分試題都是屬于直接應(yīng)用基本概念和基本運(yùn)算就能得出結(jié)果的

3、，只有少數(shù)的試題比較靈活，綜合性較強(qiáng)，但其測試點(diǎn)也是我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)的。所以請大家不要緊張，要充滿信心，應(yīng)對考試.針對上述情況，為了使大家立于不敗之地，希望大家在復(fù)習(xí)中狠抓基本，全面復(fù)習(xí)，而且要把復(fù)習(xí)做細(xì).在復(fù)習(xí)方法上，建議大家首先對每章的主要知識點(diǎn)認(rèn)真復(fù)習(xí)，爭取把所涉及到的主要概念，主要定理和公式記住。在此基礎(chǔ)上再聽串講，聽例題解析時，聽了題目，不要急于聽如何作答，先想一想這個題的測試點(diǎn)是什么，你是否能做，試做一下，若能做，做完后對一下，若不能完全做對，再看問題出在哪，看看老師是如何做的，最后小結(jié)一下。我想，只要這樣認(rèn)真地做了，就一定能取得滿意的成績.近三次國考試題分布表09.409.709.1

4、0第一章行列式單選題212121填空題222121計算題919191證明題000第二章矩陣單選題232324填空題232323計算題919191證明題000第三章向量空間單選題222121填空題212122計算題919191證明題06161第四章線性方程組單選題212221填空題212221計算題919191證明題000第五章特征值和特征向量單選題212121填空題222222計算題919191證明題610第六章實(shí)二次型單選題222222填空題212121計算題919191證明題各章所占分?jǐn)?shù)與大綱比較考試大綱09.4試卷09.7試卷09.10試卷第一章13分左右151313第二章26分左右21

5、2123第三章21分左右151921第四章19分左右131713第五章16分左右211515第六章5分左右151515第一章 行列式一行列式的定義和性質(zhì)1. 余子式和代數(shù)余子式的定義例1行列式第二行第一列元素的代數(shù)余子式（）abcd測試點(diǎn) 余子式和代數(shù)余子式的概念解析 ,答案 b2行列式按一行或一列展開的公式1）2）例2 設(shè)某階行列式的第二行元素分別為對應(yīng)的余子式分別為則此行列式的值為 .測試點(diǎn) 行列式按行(列)展開的定理解 例3 已知行列式的第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x 問 .測試點(diǎn) 行列式的任意一行(列)與另一行(列)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解 因第一列的

6、元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x,故所以3行列式的性質(zhì)1）2）用數(shù)乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的倍.推論3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù). 推論4）如果行列式中兩行（列）對應(yīng)元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.例4 已知，那么（ ）a.b.c.d. 測試點(diǎn) 行列式的性質(zhì)解析 答案 b例5設(shè)行列式=1，=2，則=（）abc1d測試點(diǎn) 行列式的性質(zhì)解 故應(yīng)選 d答案 d二行列式的計算1二階行列式和三角形行列式的計算.2.對一般數(shù)字行列式

7、，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計算.3對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開. 4行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.5.范德蒙行列式的計算公式例6求4階行列式的值.測試點(diǎn) 行列式的計算解 例7計算3階行列式 解 例8 計算行列式：測試點(diǎn) 各行元素之和為常數(shù)的行列式的計算技巧.解 例9計算行列式 測試點(diǎn) 行列式中有一行只有兩個元素不為零的行列式的計算和三角形行列式的計算解例10計算行列式解 例11設(shè)問（1）中，項(xiàng)的系數(shù)？（2）方程有幾個根？試寫出所有的根。測試點(diǎn) 1.范德蒙行列式的判別和計算公式;2.行列式按行(列)展開的定理.解（

8、1）項(xiàng)的系數(shù)(2)因?yàn)樗苑匠逃腥齻€根:第二章 矩陣一、矩陣的概念1.要弄清矩陣與行列式的區(qū)別2.兩個矩陣相等的概念3.幾種特殊矩陣（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運(yùn)算1 矩陣的加、減、乘有意義的充分必要條件例1設(shè)矩陣,， ，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（）abcd測試點(diǎn): 矩陣相乘有意義的充分必要條件答案: b例2設(shè)矩陣， ，則 =_.測試點(diǎn): 矩陣運(yùn)算的定義解 .例3設(shè)矩陣， ，則_.測試點(diǎn): 矩陣運(yùn)算的定義解 2矩陣運(yùn)算的性質(zhì)比較矩陣運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質(zhì)與數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)（加法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律；）重點(diǎn)是矩陣乘法沒有交換

9、律（由此產(chǎn)生了矩陣運(yùn)算公式與數(shù)的運(yùn)算的公式的不同點(diǎn). (如果，可能例如都不為零，但.3轉(zhuǎn)置 對稱陣和反對稱陣 1）轉(zhuǎn)置的性質(zhì)2）若，則稱為對稱（反對稱）陣?yán)?矩陣為同階方陣，則=（）abcd答案: b例5設(shè)令,試求.測試點(diǎn) 矩陣乘法的一個常用技巧解 因?yàn)?所以 答案 例6為任意階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）abcd解析 故為對稱陣. 故為反對稱陣. 故為對稱陣.同理也為對稱陣.答案 b例7已知矩陣,為2階單位矩陣,令求測試點(diǎn) 方陣多項(xiàng)式的概念;4. 方陣的行列式的性質(zhì)例7設(shè)為n階方陣，為實(shí)數(shù)，則=（）abcd答案: c例8矩陣，則行列式_.解析 答案 5.逆矩陣1）方陣可逆(也稱非異，

10、滿秩)的充分必要條件是.當(dāng)可逆時，.其中方陣的伴隨陣的定義。特別 當(dāng)時，重要公式； 與的關(guān)系2）重要結(jié)論：若n階方陣滿足，則都可逆，且.3）逆矩陣的性質(zhì)：;當(dāng)時，；;.4）消去律：設(shè)方陣可逆，且，則必有.（若不知可逆，僅知結(jié)論不一定成立。）6分快矩陣矩陣運(yùn)算時，分快的原則：保證運(yùn)算能順利進(jìn)行（包括分塊矩陣和子塊的運(yùn)算）如；分快矩陣的運(yùn)算規(guī)則；特別是分快矩陣的轉(zhuǎn)置準(zhǔn)對角陣的逆矩陣： 如果 都是可逆陣，則例9 二階矩陣，則（）abcd測試點(diǎn) 伴隨矩陣的定義,二階方陣的伴隨陣答案: a例10 三階陣，則= _.測試點(diǎn) 重要公式 .答案例11 ，則_.解 例12 設(shè)為2階可逆矩陣，且已知，則 =（）a

11、bcd測試點(diǎn) 逆矩陣的性質(zhì)解 由 ,所以 故答案 d例13設(shè)求.測試點(diǎn) 求逆矩陣的方法解 所以注意 一定要驗(yàn)算例14 已知則_。測試點(diǎn) 關(guān)于逆矩陣的重要推論若都是階矩陣，且滿足則都可逆，且解 由得，即，即 ，故 答案 例15設(shè)是n階方陣，且，證明可逆.測試點(diǎn) 若則都可逆,且證 因?yàn)?即,所以故可逆,且.例16設(shè)階方陣滿足，其中為正整數(shù)，證明可逆，且分析 只要檢查即可證 因?yàn)?.故 三、矩陣的初等變換和初等矩陣1初等變換的定義和性質(zhì)稱矩陣的下列三種變換為初等行變換：（1）兩行互換；（2）某一行乘一個非零的數(shù)；（3）某一行的倍加到另一行上。類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為初等變

12、換.方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中為矩陣的秩.如果矩陣經(jīng)過有限次的初等變換變成則稱矩陣與等價.等價矩陣有相等的秩，從而有相等的等價標(biāo)準(zhǔn)形.2.初等矩陣的定義和性質(zhì)1）初等矩陣的定義;初等陣都可逆，且其逆也是同類型的初等陣.2) 初等變換和矩陣乘法之間的關(guān)系3)對任意階矩陣，總存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得 4)矩陣階與等價的充分必要條件是存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得 例17 下列矩陣中，是初等矩陣的為（）abcd

13、 測試點(diǎn) 初等矩陣的定義和性質(zhì)解析c.是由單位矩陣經(jīng)第三行加第一行得到的，故是初等矩陣。答案 c例18設(shè)三階矩陣,若存在初等矩陣,使得則 【 】a. b. c. d.測試點(diǎn) 矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關(guān)系答案 b 四、矩陣的階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法1 矩陣的階子式的概念2 矩陣秩的概念 定義矩陣的秩為0，對于非零矩陣，如果有一個階子式不等于而所有的階子式（如果有的話）都等于則稱矩陣的秩為.顯然階可逆矩陣的秩等于，故可逆陣又稱是滿秩的.階梯形矩陣的秩等于其非零行的個數(shù).3. 等價矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）;從而矩陣左乘（右乘）可逆陣其秩不變.反之兩個同形矩陣只要秩相

14、等，則二者必等價.4.求矩陣秩的方法 例19設(shè)矩陣，則中（）a所有2階子式都不為零b所有2階子式都為零c所有3階子式都不為零d存在一個3階子式不為零測試點(diǎn) 矩陣的階子式的概念.答案 d例20設(shè)矩陣，矩陣，則矩陣的秩 =_.測試點(diǎn) 矩陣秩的概念解 答案 例21設(shè)矩陣，問a為何值時，（1）秩；（2）秩.測試點(diǎn) 求矩陣秩的方法解 所以 當(dāng)時, 秩;當(dāng)時, 秩例22設(shè)為m×n矩陣，是n階可逆矩陣，矩陣的秩為，則矩陣的秩為_.測試點(diǎn) 用可逆矩陣左(右)乘任意矩陣,則的秩不變.答案 例23設(shè)階方陣的秩為，則與等價的矩陣為（）abcd答案 b測試點(diǎn) 矩陣等價的概念；等價矩陣有相等的秩；反之同形的兩

15、個矩陣只要其秩相等，必等價.解 因?yàn)閍,c,d的矩陣的秩都為，b的矩陣的秩等于.故答案應(yīng)為b.五、矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形及解的公式例24設(shè)矩陣， ，求矩陣方程的解.測試點(diǎn) 解矩陣方程的方法解 驗(yàn)算!例25設(shè)均為3階矩陣,為3階單位矩陣,且滿足:.若已知求矩陣.測試點(diǎn) 解矩陣方程的方法解 因?yàn)椋蕪亩?，又顯然可逆，應(yīng)用消去律得 .驗(yàn)算 所以確有 例26已知矩陣滿足方程，求。測試點(diǎn) 求矩陣方程的解解 由 得故 其中所以 驗(yàn)算第三章 向量空間一、維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì);例1已知其中，則 _.測試點(diǎn) 維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì)解 因?yàn)?所以 故 (請驗(yàn)算)答案 .例2設(shè)向量則由線性表出的表示式為_.測

16、試點(diǎn) 向量由向量組線性表示;組合系數(shù)的求法解 考慮 該線性方程組的增廣矩陣所以 答案 (驗(yàn)算!)二、維向量組的線性相關(guān)性1向量組的線性相關(guān)性的定義和充分必要條件：1）定義: 設(shè)是一組維向量.如果存在個不全為零的數(shù)，使得,則稱向量組線性相關(guān)，否則，即如果，必有，則稱向量組線性無關(guān).2) 個維向量線性相關(guān)的充分必要條件是至少存在某個是其余向量的線性組合.即線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.例3設(shè)向量組線性相關(guān)，則必可推出（）a中至少有一個向量為零向量b中至少有兩個向量成比例c中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合d中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組

17、合測試點(diǎn) 向量組線性相關(guān)的概念答案 c例4向量組線性無關(guān)的充分條件是a. 都不是零向量b. 中任意兩個向量都不成比例c. 中任意一個向量都不能表為其余向量的線性組合d. 中任意個向量都線性無關(guān)測試點(diǎn) 向量組線性相關(guān)的概念; 充分條件;必要條件;充分必要條件.解 都不是零向量,但線性相關(guān). 中任意兩個向量都不成比例,且其中任意個向量都線性無關(guān),但線性相關(guān).故a,b,d都不正確.答案 c例5.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明向量組也線性無關(guān).測試點(diǎn) 向量組線性無關(guān)的定義; 證 設(shè) 因?yàn)?則 即 因?yàn)榫€性無關(guān),故,所以只能.這表明若,必有.據(jù)向量組線性無關(guān)的定義,知也線性無關(guān)例6.若向量組線性無關(guān),則可能的取

18、值應(yīng)滿足 .測試點(diǎn) 個維向量線性無關(guān)相應(yīng)的行列式;解所以 且.答案 且.2. 關(guān)于線性相關(guān)的幾個定理1) 如果向量組線性無關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一.2) 線性相關(guān)的向量組再增加向量所得的新向量組必線性相關(guān).(部分相關(guān),則整體相關(guān);或整體無關(guān),則部分無關(guān))3) 若向量組線性無關(guān),則接長向量組 必線性無關(guān).3判斷向量組線性相關(guān)性的方法1)一個向量線性相關(guān)； 2)含有零向量的向量組必線性相關(guān)；3)向量個數(shù)向量維數(shù)時，n維向量組線性相關(guān). 4)向量個數(shù)>向量維數(shù)時, 向量組必線性相關(guān)；5)部分相關(guān)，則整體必相關(guān)；（整體無關(guān)，則部分必?zé)o關(guān)）.6)若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組

19、必線性無關(guān)；7)向量組線性無關(guān)向量組的秩所含向量的個數(shù)，向量組線性相關(guān)向量組的秩<所含向量的個數(shù);8)向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組有（沒有）非零解.例7.設(shè)維向量組線性無關(guān),則a. 組中減少任意一個向量后仍線性無關(guān)b. 組中增加任意一個向量后仍線性無關(guān)c. 存在不全為零的數(shù),使d. 組中至少有一個向量可以由其余向量線性表出解析 因?yàn)槿粝蛄拷M線性相關(guān)，則增加任何一個向量后仍線性相關(guān)，其等價的定理是向量組相性無關(guān)，則組中減少任意一個向量后仍線性無關(guān)答案 a例8設(shè)向量，下列命題中正確的是（）a若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)b若線性無關(guān)，則必有線性無關(guān)c若線性相關(guān)，則必有線性無關(guān)

20、d若線性無關(guān)，則必有線性相關(guān)答案 b例9.設(shè)向量組線性無關(guān),而向量組線性相關(guān).證明:向量必可表為的線性組合.測試點(diǎn) 關(guān)于線性相關(guān)性的幾個定理證1因?yàn)榫€性相關(guān)，故線性相關(guān)，又因?yàn)榫€性無關(guān),所以必可表為的線性組合. 證畢.證2 因?yàn)榫€性無關(guān),故必線性無關(guān),又因?yàn)榫€性相關(guān)故必能由線性表示,當(dāng)然可表為的線性組合. 證畢. 三、向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩1極大無關(guān)組的定義：設(shè)是向量組的一個部分組.如果（1）線性無關(guān)；（2）任給，都有線性相關(guān)，則稱是向量組的一個極大無關(guān)組.2向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法例10的行向量組的秩 _.測試

21、點(diǎn) 矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系;答案 例11設(shè)是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）a1b2c3d4測試點(diǎn) （1）向量組的秩的概念；（2）向量由向量組線性表示的概念 （3）向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念解 因?yàn)榭梢员頌榈木€性組合，且表示法惟一，必有線性無關(guān),因?yàn)樵O(shè)，由可以表為的線性組合，即故 由表示法惟一，有 于是有，故線性無關(guān)，又可以表為的線性組合，所以為向量組的一個極大無關(guān)組，故向量組的秩為3.答案 c例12設(shè)向量組（1）求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組；（2）將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合.測試點(diǎn) 求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由

22、該極大無關(guān)組線性表示的的方法解 所以 原向量組的秩為， 為所求的極大無關(guān)組.四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo) 1. 維向量空間的定義：維實(shí)向量的全體構(gòu)成的集合稱為維向量空間，記為.2. 子空間的定義：設(shè)是的一個非空子集，且滿足對加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算封閉，則稱是的一個子空間,簡稱為向量空間.3.生成子空間的定義：設(shè)則由它們的所有線性組合構(gòu)成的一個子空間，稱它為由生成的子空間.例13 設(shè)，說明哪個是子空間，那個不是.解析 在中，任取為任意數(shù)，都有所以是子空間.類似地，可以證明也是子空間.但對，取都屬于而這表明對加法運(yùn)算不封閉，故不是子空間. 4. 向量空間的基和維數(shù)的定義向量空間的一

23、個向量組線性無關(guān)，且中每個向量都能由它線性表示，則稱它為向量空間的一個基.零空間沒有基，定義它為0維，否則，稱向量空間的基所含向量個數(shù)為該空間的維數(shù).設(shè)稱為在這組基下的坐標(biāo).例14向量空間為實(shí)數(shù)的維數(shù)為_.測試點(diǎn) 向量空間維數(shù)的概念解 容易看出 是的一個基。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標(biāo)是_.測試點(diǎn) 向量在一組基下的坐標(biāo)解 因?yàn)楣示€性無關(guān)，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為 得 所以在這組基下的坐標(biāo)是（即）答案 .例16 求由向量組生成的子空間的一個基，并說明該生成子空間的維數(shù).解析 顯然是的一個極大無關(guān)組，故是由向量組生成的子空間的一個基，所以該子空間

24、的維數(shù)等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1. 2.，其中 .3 其中二、齊次線性方程組1齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣的列數(shù)）.2）n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)設(shè)是階矩陣.若，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1設(shè)為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（）a的列向量組線性相關(guān)b的列向量組線性無關(guān)c的行向量組線性相關(guān)d的行向量組線性無關(guān)測試點(diǎn) 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關(guān)的關(guān)系.答案 a例2. 設(shè)是4×3矩陣，若齊次線性方程組只有零解

25、，則矩陣的秩 _.測試點(diǎn) 1.齊次方程組只有零解的充分必要條件;2根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù),確定方程的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù).解析 線性方程組的系數(shù)矩陣的行數(shù)等于方程的個數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)因?yàn)槭?×3矩陣，故方程組的未知數(shù)的個數(shù)，故方程組只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩答案 例3.齊次線性方程組有非零解,則 .解析 有非零解而 故因?yàn)橛蟹橇憬?，則或答案 或 2. 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組解的性質(zhì)設(shè)都是的解，則也是的解(c1，c2為任意常數(shù))2）齊次方程組的基礎(chǔ)解系的概念設(shè)是齊次方程組的一組解.如果它滿足：（1）線性無關(guān)；（2）的任何一個解都可以表示為的線性組合，則稱為該齊次方程組

26、的基礎(chǔ)解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎(chǔ)解系.重要結(jié)論:齊次方程組的基礎(chǔ)解系含個線性無關(guān)的解；齊次方程組的任意個線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；3）齊次方程組的基礎(chǔ)解系的求法例4 3元齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為 .測試點(diǎn) 齊次方程組的基礎(chǔ)解系 (定義;含幾個解向量;求法)解 因?yàn)辇R次方程組的系數(shù)矩陣為的秩為,未知數(shù)的個數(shù)為,所以其基礎(chǔ)解系含個解.答案 例5已知是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系,則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以選用a. b.c.與等秩的向量組d. 與等價的向量組測試點(diǎn) 1.齊次方程組的基礎(chǔ)解系 特別是若齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系含4個解,則它的任意4個線性無關(guān)

27、的解都是它的基礎(chǔ)解系;2.判斷向量組線性無關(guān)的方法;3.等價的向量組有相等的秩;等價與等秩的區(qū)別4,齊次方程組解的性質(zhì).解 因?yàn)槭驱R次方程組的一個基礎(chǔ)解系,故都是齊次方程組的解,因?yàn)榕c等價,故能由線性表示,故也都是的解.又因?yàn)榫€性無關(guān),所以該向量組的秩=4,又因?yàn)榈葍r的向量組有相等的秩,所以的秩也等于4,所以也線性無關(guān).故也是的基礎(chǔ)解系. 所以 d正確.答案 d例6.設(shè)m×n矩陣的秩，是齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為（）ab cd知識點(diǎn) 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念及所含解向量的個數(shù);向量組線性相關(guān)性的判別解 顯然a,b,c選項(xiàng)中的三個向量都是線性相關(guān)的,

28、而齊次方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)由線性無關(guān)的向量組組成.答案 d 3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎(chǔ)解系，則它的通解為 ，其中為任意數(shù).例6求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解.測試點(diǎn) 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法解 取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系,該齊次方程組的通解為 為任意數(shù))三非齊次方程組 1非齊次方程組解的性質(zhì)1）設(shè)都是的解，則是它的導(dǎo)出組的解.2）設(shè)都是的解，則當(dāng)時，也是的解.3）設(shè)是的一個解，是它的導(dǎo)出組的解,則是的解.例7已知是3元非齊次線性方程組的兩個解向量，則對應(yīng)齊次線性方程組有一個非零解向量_.測試點(diǎn) 線性非齊次方程組解的性質(zhì) 解 答案 例8設(shè)齊次線

29、性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_的解。測試點(diǎn) 線性方程組解的性質(zhì)答案 2關(guān)于非齊次方程組解的討論定理 個未知數(shù)，個方程的線性方程組中，（系數(shù)矩陣是階矩陣）是增廣矩陣.則1）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組有惟一解；2）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組有無窮多解；3）當(dāng)且僅當(dāng)時，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當(dāng)線性方程組，方程的個數(shù)未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式.例9已知某個3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為_.測試點(diǎn) 1.增廣矩陣經(jīng)初等行變換變成,則以為增廣矩陣的線性方程

30、組與原方程組通解; 2.非齊次方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩解 當(dāng)時,故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導(dǎo)出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)，而它恰是其導(dǎo)出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解. 3.非齊次方程組的通解的結(jié)構(gòu)其中是方程的一個特解，為系數(shù)矩陣的秩，為它的導(dǎo)出組（與它對應(yīng)的）齊次方程組的基礎(chǔ)解系.例10設(shè)3元非齊次線性方程組的兩個解為，且系數(shù)矩陣的秩，則對于任意常數(shù) 方程組的通解可表為（） 測試點(diǎn) 1.非齊次線性方程組的通解的公式;2.非齊次方程組解的性質(zhì)3.齊次方

31、程組的基礎(chǔ)解系的概念解 因?yàn)槎际欠驱R次方程組的解，故是它的導(dǎo)出組的解，又因?yàn)闉?元方程組，故它的基礎(chǔ)解系含一個解，即它的任何一個非零解都是它的基礎(chǔ)解系，故就是它的基礎(chǔ)解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 c例11設(shè)3元非齊次線性方程組(1) 試判定當(dāng)為何值時,方程組有無窮多個解?(2) 當(dāng)方程組有無窮多解時,求出其通解(要求用它的一個特解和它導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).測試點(diǎn) 線性方程組的討論解所以 當(dāng)即時,方程組無解;當(dāng) 即 時方程組有惟一解;當(dāng) 即時,方程組有無窮多解.這時取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為方程組的特解,為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.故方程組的通解為 .例12 設(shè)向量可以由

32、向量組線性表示,則數(shù)應(yīng)滿足的條件是a. b. c. d.解析 考察方程,其增廣矩陣為 故方程組有解時,必有答案 c第五章 特征值與特征向量一、特征值與特征向量 1特征值與特征向量的定義要點(diǎn)：是n階方陣的特征值，是指存在非零列向量，使得.這時，稱為矩陣屬于特征值的特征向量.由此知，是n階方陣的特征值，這時，齊次方程組的非零解都是矩陣屬于特征值的特征向量.例1 設(shè)為3階矩陣,為3階單位陣,若行列式,則的一個特征值為 【 】a. b. c. d. 測試點(diǎn) 為的特征值的充分必要條件是.解 因?yàn)?故所以必有一個特征值為.答案 b例2 已知矩陣的一個特征值為，則 _.測試點(diǎn) 為的特征值的充分必要條件是.解

33、 為矩陣的一個特征值故.答案 例3 設(shè)3階矩陣的每行元素之和均為2,則必有一個特征值為 .測試點(diǎn)1.特征值的定義 2. 解 因?yàn)?階矩陣的每行元素之和均為2, 所以必有一個特征值為.答案 例4設(shè)矩陣，則的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是（）abcd解 的特征值為，當(dāng)時，所以，故的基礎(chǔ)解系只含一個解，這表明只有一個屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，故的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是.答案 c 2關(guān)于特征值、特征向量的性質(zhì)1）與有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設(shè)都是矩陣屬于特征值的特征向量，是數(shù)，只要，則也是矩陣屬于特征值的特征向量；3) 設(shè)階方陣的個特征值為,則(2).4）矩陣屬于不同特征值的

34、特征向量線性無關(guān);5）設(shè)是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)設(shè)是可逆矩陣的特征值.則，且是矩陣的特征值.3特征值、特征向量的求法例5設(shè)階矩陣有一個特征值為,對于階單位矩陣,矩陣必有一個特征值為 .解 ,則,因?yàn)橛幸粋€特征值為,故必有一個特征值為例6設(shè)為n階可逆矩陣，已知有一個特征值為，則必有一個特征值為_.測試點(diǎn) 若 為可逆矩陣的一個特征值，則為矩陣的特征值.解 因?yàn)橛幸粋€特征值為，故有一個特征值為,所以必有一個特征值為.答案 .例7 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測試點(diǎn) 設(shè)為的特征值，則為矩陣的特征值.矩陣的所有特征值均為0.證 設(shè)為的特征

35、值，則必為的特征值，又因?yàn)?，故，故必有?證畢二、相似矩陣 1.相似矩陣的定義 設(shè)都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質(zhì)1)反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進(jìn)而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；例如有相同的特征值，但與不相似.例8 設(shè)3階矩陣與相似,且已知的特征值為則矩陣的跡 【 】a. 3 b. 2 c.1 d.0測試點(diǎn)1. 相似矩陣的特征值相同;從而其跡和行列式也相同；2.矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系.解 由已知的特征值也為故的跡答案 a

36、例9 設(shè)3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（）abc7d12測試點(diǎn) (1) 相似矩陣的特征值相同;(2)設(shè)為矩陣的一個特征值,則為矩陣的特征值;為矩陣的特征值.(3)矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系.解 因?yàn)?階矩陣與相似,所以與有相同的特征值,所以的特征值為,故的特征值為從而答案 a例10若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（ ）a bcd測試點(diǎn) 相似矩陣的概念；相似矩陣的性質(zhì)（若與相似，則與相似；相似矩陣有相同的特征值等）；三角形矩陣的特征值解1 ，故的特征值為.因?yàn)榕c相似，故與相似，所以，凡與矩陣相似的矩陣的特征值都是，故在a,b,c,d四個選項(xiàng)中，正確

37、的只能是c.解2因?yàn)槎A方陣有兩個不同的特征值，故與對角陣相似，同理也與對角陣相似，故與相似.答案 c 3.方陣的對角化問題1)n階方陣能與對角陣相似的充分必要條件是有n個線性無關(guān)的特征向量；設(shè)是方陣的n個特征值，依次是方陣的屬于特征值的n個線性無關(guān)的特征向量.若令，則.2）若方陣有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則必能與對角陣相似.（這是能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）例11 階矩陣與對角陣相似的充分必要條件是（ ）a 矩陣有個特征值 b 矩陣有個線性無關(guān)的特征向量c d 矩陣的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根答案 b例12 判斷能否與對角陣相似.解析 故的基礎(chǔ)解系只含一個解，即只有一個線性

38、無關(guān)的特征向量，故不能與對角陣相似.例13為三階矩陣，為它的三個特征值, 其對應(yīng)的特征向量為。設(shè)，則下列等式錯誤的是（ ）a. b.c. d.解析 因?yàn)橐来问蔷仃噷儆谔卣髦档奶卣飨蛄?，?,所以答案 c例14設(shè)矩陣，求可逆矩陣及對角矩陣，使得.解 (1)求的特征值和線性無關(guān)的特征向量 .所以的特征值為 .(2) 當(dāng)時取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得為齊次方程組 的基礎(chǔ)解系.故為屬于特征值的特征向量.當(dāng)時取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得當(dāng)時取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得取,則有.驗(yàn)算 只要檢查 所以 ，從而 例15設(shè)3階矩陣的特征值為:且已知屬于特征值的特征向量為屬于特征值的特征向量為.

39、求矩陣.測試點(diǎn) 關(guān)于階方陣與對角陣相似的公式:設(shè)為三階方陣的三個特征值,依次為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量,則令 有故 解 令為求,需先求. 所以故 例16 已知2階矩陣的特征值為與，對應(yīng)的特征向量分別為求：（1）；（2）知識點(diǎn) 利用矩陣與對角陣形似將計算轉(zhuǎn)化為計算 解 因?yàn)?階矩陣的特征值為與，對應(yīng)的特征向量分別為取，則,所以.例17設(shè)矩陣，存在，使得；存在使得.試求可逆矩陣，使得.測試點(diǎn) 方陣的特征值和特征向量的定義；方陣能與對角陣相似的充分必要條件及其相應(yīng)的等式解 因?yàn)?，?有 同理，取，有，故故取 ，則.三.向量的內(nèi)積和正交矩陣 1.向量內(nèi)積的定義:設(shè)2向量的長度3單位化向量4正交向

40、量組的定義及其性質(zhì)定義 如果一個向量組不含零向量，且其中任意兩個向量都正交（簡稱兩兩正交），則稱該向量組為正交向量組.主要性質(zhì) 正交向量組必線性無關(guān)5施密特正交化手續(xù)例18已知3維向量則內(nèi)積_.測試點(diǎn) 內(nèi)積的定義解 答案 例19 求一個單位向量使得與都正交.解 設(shè)與都正交,則 可取,單位化得即為所求.例20利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組:， .測試點(diǎn) 施密特正交化手續(xù) 解 取則為所求的單位正交向量組.驗(yàn)算 6. 正交矩陣1）正交矩陣的定義；如果階方陣滿足，則稱它為正交陣2）正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)方陣為正交陣，則必可逆，且；如果都是階正交陣，則也是正交陣；是正交陣的充分必要條

41、件是的列（行）向量組構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.四實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 1實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)；2實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；3實(shí)對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣，使得為對角形.4任給實(shí)對稱陣，如何求出正交陣，使得為對角形.例21設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的特征值為，則秩=（）abcd測試點(diǎn) 1.相似矩陣與等價矩陣的概念;2.等價矩陣有相等的秩;3.階梯形矩陣的秩解 因?yàn)?階實(shí)對稱矩陣的特征值為,故矩陣必與對角陣相似,所以必與對角陣等價,所以秩.答案 b例22設(shè)矩陣，求正交矩陣，使為對角矩陣.解 (1) 所以的所有特征值為.(2)當(dāng)時,取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),為齊次方程組的基礎(chǔ)

42、解系.故為屬于特征值的特征向量.當(dāng)時,取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),為齊次方程組的基礎(chǔ)解系.故為屬于特征值的特征向量.(3), ,則正交陣,且 (請驗(yàn)算!)第六章 實(shí)二次型 一. 二次型及其矩陣表示 ,稱矩陣的秩為該二次型的秩例1二次型的矩陣為（）abcd測試點(diǎn) 二次型的矩陣答案 c例2已知二次型的矩陣為,則以它為矩陣的二次型為 . 測試點(diǎn) 二次型的矩陣以及實(shí)對稱矩陣的二次型解 所求二次型為二矩陣的合同 設(shè)與都是階方陣.如果存在可逆矩陣使得，則稱與合同.對于二次型，做非退化的線性變換變換（其中為可逆陣）則,可見經(jīng)非退化的線性變換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣合同。 三用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1定理 對任意實(shí)二次型，總存在正交變換，使得該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，其中