2021-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系第1節(jié)平面直角坐標(biāo)系教學(xué)案新人教A版選修4-4

1、預(yù)習(xí)導(dǎo)引區(qū)第1節(jié)平面直角坐標(biāo)系i複心轄知自嘍教材找關(guān)餐I問思考辨桁間聽岸樂惑fl I I白土學(xué)習(xí) MJ? i 干核心必知1 平面直角坐標(biāo)系(1) 平面直角坐標(biāo)系的作用通過直角坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì))、曲線與方程建立了聯(lián)系,從而實(shí)現(xiàn) 了數(shù)與形的結(jié)合.(2) 坐標(biāo)法解決幾何問題的“三部曲第一步：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論.2 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)Rx, y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),x'=入 x,入 >0,在變換0 :,y = 口 y

2、, 口 > 0的作用下，點(diǎn)P(x, y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P' (x' , y')，稱 止為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換， 簡(jiǎn)稱伸縮變換.問題思考1 用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí)，坐標(biāo)系的建立是否是唯一的？提示：對(duì)于同一個(gè)問題， 可建立不同的坐標(biāo)系解決， 但應(yīng)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多地 落在坐標(biāo)軸，以便使計(jì)算更簡(jiǎn)單、方便.2 伸縮變換中的系數(shù) 入，口有什么特點(diǎn)？在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系是否發(fā)生變 化?是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行伸縮變換.課堂互動(dòng)區(qū)突碓考點(diǎn)：I訴爭(zhēng)為標(biāo)考點(diǎn)1求軌跡方程Rt ABC |AB = 2a(a>0)，求直角頂點(diǎn) C的軌跡方程.精講詳析解答此題需要結(jié)合幾何圖

3、形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系， 然 后設(shè)出所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，尋找滿足幾何關(guān)系的等式，化簡(jiǎn)后即可得到所求的軌跡方程.CJ (A OBx以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，那么有A a, 0), B(a, 0)，設(shè)頂點(diǎn) C(x, y).法一：由厶 ABC是 直角三角形可知 |AB2=|AC2+ |BC2,即(2a)2= (x+ a)2 + y2+ (x a)2 + y2,化簡(jiǎn)得x2+ y2= a2.依題意可知，x± a.故所求直角頂點(diǎn) C的軌跡方程為x2+ y2= a2(x工土 a).法二：由厶ABC是直角三角形可知 ACLBC所以kAc- kB=

4、 1,那么土 =x 十 a x a1( x± a)，化簡(jiǎn)得直角頂點(diǎn) C的軌跡方程為x2十y2= a2( x± a).法三：由厶ABC是直角三角形可知|0C = |0B，且點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合，所以'x2+ y2 = a(x工± a)，化簡(jiǎn)得直角頂點(diǎn) C的軌跡方程為x2+ y2= a2(x工± a).古*扯神求軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)題設(shè)條件，把幾何關(guān)系通過“坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系，得 到對(duì)應(yīng)的方程.(1) 求軌跡方程的一般步驟是：建系t設(shè)點(diǎn)t列式t化簡(jiǎn)t檢驗(yàn).(2) 求軌跡方程時(shí)注意不要把范圍擴(kuò)大或縮小，也就是要檢驗(yàn)軌跡的純粹性和完備性.(3) 由于觀察

5、的角度不同，因此探求關(guān)系的方法也不同，解題時(shí)要善于從多角度思考問題.1 線段AB與CD互相垂直平分于點(diǎn) ABC中, AB= AC, BD CE分別為兩腰上的高求證:BD= CEO I AB = 8, I CD = 4,動(dòng)點(diǎn) M滿足 | MA 丨 MB=| MC 丨MD，求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程.解：以0為原點(diǎn)，分別以直線 AB CD為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，那么A 4, 0),04 , 0) , qo , 2) , Q0 , 2).設(shè)Mx, y)為軌跡上任一點(diǎn)，那么| MA = : (x + 4) 2+ y2, I MB = : (x 4) 2+ y2,|MC = ；x2+( y 2) 2, |

6、MD = ,'x2+( y+ 2) 2,由 I MA MB = I MC MD，可得：(x + 4) 2+ y2 (x 4) 2+ y2=;'x2+( y 2) 2 x2+( y+ 2) 2. 化簡(jiǎn)，得 y2 x2 + 6= 0.點(diǎn)M的軌跡方程為x2 y2= 6.用坐標(biāo)法解決幾何問題精講詳析 此題考查坐標(biāo)法在幾何中的應(yīng)用解答此題可通過建立平面直角坐標(biāo)系, 將幾何證明問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題.如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)氏a, 0) , C(a, 0) , A(0 , h).h那么直線AC的方程為y= ax + h,即：hx+ ay a

7、h = 0.h直線AB的方程為y = -x+ h,a即：hx ay+ ah= 0.由點(diǎn)到直線的距離公式：|2 ah|2 ah|BD ：a2+ h2, |CE - ;a2+ h2,-1 BD = | C耳,即 BD= CE(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，即“形轉(zhuǎn)化為“數(shù)，再回到“形中，此為坐標(biāo)法的根本思想，務(wù)必熟練掌握.建立坐標(biāo)系時(shí)，要充分利用圖形的幾何特征例如，中心對(duì)稱圖形，可利用它的對(duì) 稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)； 軸對(duì)稱圖形，可利用它的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；題設(shè)中有直角，可考慮以兩 直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸等.II理式訓(xùn)赫I2. ABC中, BD= CD 求證：AB + AC

8、= 2(AD+ bD).證明:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)OxOy,那么 A(0 , 0)，設(shè) B(a,0), Qb, c),小 a+ b c那么D(,刁，.aD+ bD=3)2+孕+宀)2441 2 .2 2 =2(a +b +c),AB+ AC = a2 + b2 + c2. AB+ AC= 2( aD + BD).直角坐標(biāo)系中的伸縮變換在平面直角坐標(biāo)系中，求以下方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換X'= 3x，后的圖形是什么形狀?2 2 2 y = 2x； 2 x + y = 1.精講詳析此題考查伸縮變換的應(yīng)用，解答此題需要先根據(jù)伸縮變換求出變換后的方程，然后再判斷圖形的形狀.X由伸縮變換y1=3X，

9、3x= 3x',可知,1y=2y'.=2y.x = 3x '1將o ,y=2y'代入 y2 = 2x，可得 4y ' 2= 6x ',2 3即 y' 2= 2X，.即伸縮變換之后的圖形還是拋物線.X= 3X2222將， 代入 X + y = 1,得3x' + 2y' = 1,y = 2y2-=19即伸縮變換之后的圖形為焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓.古燭粗神利用坐標(biāo)伸縮變換x，入>°，求變換后的曲線方程，其實(shí)質(zhì)是從中 y,口 >01 ,x=x ,求出然后將其代入的曲線方程求得關(guān)于x' , y '

10、的曲線方程.1 ,y= y ,aIII鯉疋iO廠3x = x,223將圓錐曲線C按伸縮變換公式2y'= y變換后得到雙曲線x，y- 1求曲線C的方程.解：設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)Px, y，通過伸縮變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'x', y',1由暑y，X' = 3x，,1y = 2y.2 2x .y .x y代入 x ' y '= 1 得32= 1,即=1 為所求.329 4本節(jié)熱點(diǎn)命題關(guān)注本課時(shí)考點(diǎn)常以解答題多出現(xiàn)在第1小問的形式考查軌跡方程的求法，湖北高考將圓錐曲線的類型討論同軌跡方程的求法相結(jié)合，以解答題的形式考查，是高考命題的一個(gè)新 執(zhí)占八、八、

11、考題印證湖北高考改編設(shè)A是單位圓x2 + y2= 1上的任意一點(diǎn)，I是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線I與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn) M在直線I上，且滿足|DM = mjDA mi>0,且1.當(dāng)點(diǎn) A 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn) M的軌跡為曲線 C.求曲線C的方程，判斷曲線 C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).命題立意此題考查圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)以及軌跡方程的求法.解如圖，設(shè) Mx, y, Axo, yo，那么由 | DM = m| DA n>0，且1，可得 x = xo, | y| =n|iyo|，所以 xo = x,11 ym = myL因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以xo + yo= 1.2將式代入式即

12、得所求曲線C的方程為X2+ m= 1m>0，且1 因?yàn)?m 0 , 1 U 1 ,+s，所以當(dāng)0 V RK 1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為-寸1 -m, o,屮-m, o；當(dāng)m> 1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為0, pm_ 1, 0, pm 1欄目功能IIt速提SL讓學(xué)生赴卻打鐵請(qǐng)出所學(xué) 眈録嚏理工揀沖足.專":為莒擊去竝fniL/hm、uMum 護(hù)拉址打 同帝戰(zhàn)£：、選擇題1 y = cos x經(jīng)過伸縮變換x '= 2x,后，曲線方程變?yōu)閒xb. y '=3cos 2 x 'A. y' =

13、 3cos"2-， 1x 'D1 y1c，C. y = - cos32=-cos 2 x31x '=2x,x = ?X '解析：選A I由，得y '=3y1 ,y=3yy'= 3y又T y= cos x,=cos2，即 y'x=3cos 2.直線2x + 3y= 0經(jīng)伸縮變換后變?yōu)?x'+ y'= 0,那么該伸縮變換為B.y'= 3yy' = 3yx '= 2x,C.1D.y 3y1x，= 2X，,1y = 3y解析：選B設(shè)變換為X,八'X，(入>0) y，= y，(口 >o)

14、將其代入方程X，+ y，= 0，得,入 x+ (iy = 0.又T2X+ 3y= 0,. = 2, (1 = 3.即3.A.C.x， = 2x,y，= 3y.將一個(gè)圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是()橢圓B比原來大的圓比原來小的圓D 雙曲線解析：選D由伸縮變換的意義可得.4. 兩定點(diǎn) A 2, 0) , B(1 , 0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA = 2|PE|，那么點(diǎn)圍成的圖形的面積等于()A.n B . 4 nC. 8 n D . 9 n解析：選B設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),|PA = 2| PB ,- (x + 2)2+ y2 = 4( x 1)2 + y2.即(x 2)2+ y2 = 4

15、.故P點(diǎn)的軌跡是以(2 , 0)為圓心，以2為半徑的圓，它的面積為4n .二、填空題5. 將點(diǎn)F(2 , 3)變換為點(diǎn)P' (1 , 1)的一個(gè)伸縮變換公式為 .P的軌跡所x'= hx ( h>0)解析：設(shè)伸縮變換為丫' = kx( k>0)1 = 2h1 h= ,xx' = 2由，解得1 = 3k1 ., yk = 3y = 3.xx=2答案：'yy=36將對(duì)數(shù)曲線y = log 3X的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到的曲線方程為 變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P'(xy'),解析：設(shè)P(x, y)為對(duì)數(shù)曲線y = log 3X上任意一點(diǎn),由

16、題意知伸縮變換為x' = 2x，y = y1x = qx', 1 ,代入 y = log 3X 得 y '= log ',y=y'. 即 y = log 3x.答案：y = logx327.把圓x2+ y2= 16沿x軸方向均勻壓縮為橢圓22+葺6 = 1,那么坐標(biāo)變換公式是x' = X解析：設(shè)0：,y = 口-x入0,-y口0,/x x= 那么fy .y=.口216 入=1 ,'2 ' 2代入 /+/ =16 得 16T2 + 計(jì)=1.16匯=16.入=4,fx答案：Iyx' 故Iyx=4,=y.&A2 ,1),

17、 B( 1,1) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，其x = 2m- n, 解析：設(shè) M(x, y),那么(x, y) = m2 , 1) + n( 1, 1) = (2 m- n, n-m，二y = n m222X 2又 2m n=2,消去 m n得-y = 1.2 答案：扌y2= 1三、解答題9. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線x2 36y2 8x + 12= 0變成曲線x' 2 y' 2 4x' + 3 =0，求滿足條件的伸縮變換.2 2解：x 36y 8x+ 12= 0 可化為x 4 2 ()9y = 1.x' 2 y' 2 4x'+ 3=

18、0 可化為(x' 2)2 y' 2 = 1.,x 4x 2 =,比擬，可得2y' = 3y,x x = 了，即2y' = 3y.1 所以將曲線x2 36y2 8x + 12= 0上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?q，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，就可得到曲線 x ' 2 y ' 2 4x ' + 3= 0的圖象.10. 在正三角形 ABC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,P到三頂點(diǎn)的距離分別為|PA , |PB , |PC,且滿足|PA2=|PB2+ i pc2,求點(diǎn)p的軌跡方程.解：以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)F(x,y),B( a, 0) ,C(a,0),A(0 ,叮3a),(y>