最新高中數(shù)學-高中數(shù)學2.5.1平面幾何中的向量方法教案新人教A版必修4

1、2.5 平面向量應(yīng)用舉例2.5.1 平面幾何中的向量方法整體設(shè)計教學分析1.本節(jié)的目的是讓學生加深對向量的認識,更好地體會向量這個工具的優(yōu)越性.對于向量方法,就思路而言,幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致,不同的只是用“向量和向量運算”來代替“數(shù)和數(shù)的運算”.這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量,對這些向量借助于它們之間的運算進行討論,然后把這些計算結(jié)果翻譯成關(guān)于點、線、面的相應(yīng)結(jié)果.代數(shù)方法的流程圖可以簡單地表述為:則向量方法的流程圖可以簡單地表述為:這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”,也是本節(jié)的重點.2.研究幾何可以采取不同的方法,這些方法包括:綜合方法不使用

2、其他工具,對幾何元素及其關(guān)系直接進行討論;解析方法以數(shù)(代數(shù)式)和數(shù)(代數(shù)式)的運算為工具,對幾何元素及其關(guān)系進行討論;向量方法以向量和向量的運算為工具,對幾何元素及其關(guān)系進行討論;分析方法以微積分為工具,對幾何元素及其關(guān)系進行討論,等等.前三種方法都是中學數(shù)學中出現(xiàn)的內(nèi)容.有些平面幾何問題,利用向量方法求解比較容易.使用向量方法要點在于用向量表示線段或點,根據(jù)點與線之間的關(guān)系,建立向量等式,再根據(jù)向量的線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì),得出向量的系數(shù)應(yīng)滿足的方程組,求出方程組的解,從而解決問題.使用向量方法時,要注意向量起點的選取,選取得當可使計算過程大大簡化.三維目標1.通過平行四邊形這個幾何模型,歸

3、納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2.明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示.3.通過本節(jié)學習,讓學生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性,活躍學生的思維,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識,激發(fā)學生的學習積極性,并體會向量在幾何和現(xiàn)實生活中的意義.教學中要求盡量引導學生使用信息技術(shù)這個現(xiàn)代化手段.重點難點教學重點:用向量方法解決實際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學難點:如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.課時安排1課時教學過程導入新課 思路1.(直接導入)向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景,當向量和

4、平面坐標系結(jié)合后,向量的運算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法. 思路2.(情境導入)由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來,因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.下面通過幾個具體實例,說明向量方法在平面幾何中的運用.推進新課新知探究提出問題圖1平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系嗎？你能利用所學知識證明你的猜想嗎？能利用所學的

5、向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法?你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？ 活動:教師引導學生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系.利用類比的思想方法,猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系.指導學生猜想出結(jié)論:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.教師引導學生探究證明方法,并點撥學生對各種方法分析比較,平行四邊形是學生熟悉的重要的幾何圖形,在平面幾何的學習中,學生得到了它的許多性質(zhì),有些性質(zhì)的得出比較麻煩,有些性質(zhì)的得出比較簡單.讓學生體會研究幾何可以采取不同的方法,這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法.圖2證明:方法一:如圖2.作ceab于e,dfab于

6、f,則rtadfrtbce.ad=bc,af=be.由于acae2+ce2=(ab+be)2+ce2=ab2+2ab·be+be2+ce2=ab2+2ab·be+bc2.bd2=bf2+df2=(ab-af)2+df2=ab2-2ab·af+af2+df2=ab2-2ab·af+ad2=ab2-2ab·be+bc2.ac2+bd2=2(ab2+bc2).圖3方法二:如圖3.以ab所在直線為x軸,a為坐標原點建立直角坐標系.設(shè)b(a,0),d(b,c),則c(a+b,c).|ac|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|bd|2=(a

7、-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.|ac|2+|bd|2=2a2+2(b2+c2)=2(|ab|2+|ad|2). 用向量方法推導了平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系.在用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時,常?？紤]用向量的數(shù)量積.通過以下推導學生可以發(fā)現(xiàn),由于向量能夠運算,因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性,它把一個思辨過程變成了一個算法過程,學生可按一定的程序進行運算操作,從而降低了思考問題的難度,同時也為計算機技術(shù)的運用提供了方便.教學時應(yīng)引導學生體會向量帶來的優(yōu)越性.因為平行四邊形對角線平行且相等,考慮到向量關(guān)系=-,=+,教師可點撥學生設(shè)=a,=b,其他線段對

8、應(yīng)向量用它們表示,涉及長度問題常?？紤]向量的數(shù)量積,為此,我們計算|2與|2.因此有了方法三.方法三:設(shè)=a,=b,則=a+b,=a-b,|2=|a|2,|2=|b|2.|2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2. 同理|2=|a|2-2a·b+|b|2. 觀察兩式的特點,我們發(fā)現(xiàn),+得|2+|2=2(|a|2+|b|2)=2(|2+|2),即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.至此,為解決重點問題所作的鋪墊已經(jīng)完成,向前發(fā)展可以說水到渠成.教師

9、充分讓學生對以上各種方法進行分析比較,討論認清向量方法的優(yōu)越性,適時引導學生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟.由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長度)、夾角問題,而平面向量的運算,特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角,因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.解決幾何問題時,先用向量表示相應(yīng)的點、線段、夾角等幾何元素.然后通過向量的運算,特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關(guān)系.最后再把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系,得到幾何問題的結(jié)論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)

10、通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.討論結(jié)果:能.能想出至少三種證明方法.略.應(yīng)用示例圖4例1 如圖4, abcd中,點e、f分別是ad、dc邊的中點,be、bf分別與ac交于r、t兩點,你能發(fā)現(xiàn)ar、rt、tc之間的關(guān)系嗎? 活動:為了培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力,讓學生能動態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中ar、rt、tc之間的相等關(guān)系,教學中可以充分利用多媒體,作出上述圖形,測量ar、rt、tc的長度,讓學生發(fā)現(xiàn)ar=rt=tc,拖動平行四邊形的頂點,動態(tài)觀察發(fā)現(xiàn),ar=rt=tc這個規(guī)律不變,因此猜想ar=rt=tc.事實上,由于r、t是對角線a

11、c上的兩點,要判斷ar、rt、tc之間的關(guān)系,只需分別判斷ar、rt、tc與ac的關(guān)系即可.又因為ar、rt、tc、ac共線,所以只需判斷與之間的關(guān)系即可.探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得到結(jié)論.第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;第二步,通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系;第三步,把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:ar=rt=tc.解:如圖4,設(shè)=a,=b,=r,=t,則=a+b.由于與共線,所以我們設(shè)r=n(a+b),nr.又因為=-=a-b,與共線,所以我們設(shè)=m=m(a-b).因為,所以r=b+m(a-

12、b).因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0,必須解得n=m=.所以=,同理=.于是=.所以ar=rt=tc.點評:教材中本例重在說明是如何利用向量的辦法找出這個相等關(guān)系的,因此在書寫時可簡化一些程序.指導學生在今后的訓練中,不必列出三個步驟.變式訓練圖5 如圖5,ad、be、cf是abc的三條高.求證:ad、be、cf相交于一點. 證明:設(shè)be、cf相交于h,并設(shè)=b,=c,=h, 則=h-b,=h-c,=c-b.因為,所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,即(h-b)·c=(h-c)

13、3;b.化簡得h·(c-b)=0.所以.所以ah與ad共線,即ad、be、cf相交于一點h.圖6例2 如圖6,已知在等腰abc中,bb、cc是兩腰上的中線,且bbcc,求頂角a的余弦值. 活動:教師可引導學生思考探究,上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題.可否利用向量的坐標運算呢？這需要建立平面直角坐標系,找出所需點的坐標.如果能比較方便地建立起平面直角坐標系,如本例中圖形,很方便建立平面直角坐標系,且圖形中的各個點的坐標也容易寫出,是否利用向量的坐標運算能更快捷地解決問題呢？教師引導學生建系、找點的坐標,然后讓學生獨立完成.解:建立如圖6所示的平面直角坐標系,取a(0,a)

14、,c(c,0),則b(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).因為bb、cc都是中線,所以=(+)=(2c,0)+(c,a)=(),同理=().因為bbcc,所以=0,a2=9c2.所以cosa=. 點評:比較是最好的學習方法.本例利用的方法與例題1有所不同,但其本質(zhì)是一致的,教學中引導學生仔細體會這一點,比較兩例的異同,找出其內(nèi)在的聯(lián)系,以達融會貫通,靈活運用之功效.變式訓練圖7 (2004湖北高考) 如圖7,在rtabc中,已知bc=a.若長為2a的線段pq以點a為中點,問:的夾角取何值時,的值最大?并求出這個最大值.解:方法一,如圖7.,·=0.,

15、=-a2-+·=-a2+·(-)=-a2+·=-a2+a2cos.故當cos=1,即=0,與的方向相同時,最大,其最大值為0.圖8方法二:如圖8.以直角頂點a為坐標原點,兩直角邊所在的直線為坐標軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設(shè)|ab|=c,|ac|=b,則a(0,0),b(c,0),c(0,b),且|pq|=2a,|bc|=a.設(shè)點p的坐標為(x,y),則q(-x,-y).=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.cos=cx-by=a2cos.=-a2+a

16、2cos.故當cos=1,即=0,與的方向相同時, 最大,其最大值為0.知能訓練圖91.如圖9,已知ac為o的一條直徑,abc是圓周角.求證:abc=90°.證明:如圖9.設(shè)=a,=b,則=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因為·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以.由此,得abc=90°.點評:充分利用圓的特性,設(shè)出向量.2.d、e、f分別是abc的三條邊ab、bc、ca上的動點,且它們在初始時刻分別從a、b、c出發(fā),各以一定速度沿各邊向b、c、a移動.當t=1時,分別到達b、c、a.求證:在0t1的任一時刻t1,def的重心不

17、變.圖10證明:如圖10.建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)a、b、c坐標分別為(0,0),(a,0),(m,n).在任一時刻t1(0,1),因速度一定,其距離之比等于時間之比,有=,由定比分點的坐標公式可得d、e、f的坐標分別為(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐標公式可得def的重心坐標為().當t=0或t=1時,abc的重心也為(),故對任一t10,1,def的重心不變.點評:主要考查定比分點公式及建立平面直角坐標系,只要證abc的重心和時刻t1的def的重心相同即可.課堂小結(jié)1.由學生歸納總結(jié)本節(jié)學習的數(shù)學知識有哪些:平行四邊形向量加、減法的幾何模型,用向量方法解決平面幾何問題的步驟,即“三步曲”.特別是這“三步曲”,要提醒學生理解領(lǐng)悟它的實質(zhì),達到熟練掌握的程度.2.本節(jié)都學習了哪些數(shù)學方法:向量法,向量法與幾何法、解析法的比較,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸的思想方法,深切體會向量的工具性這一特點.作業(yè)課本習題2.5 a組2,b組3.設(shè)計感想1.本節(jié)是對研究平面幾何方法的探究與歸納,設(shè)計的指導思想是:充分使用多媒體這個現(xiàn)代化手段,引導學生展開觀察、歸納、猜想、論證等一系列思維活動.本節(jié)知識方法容量較大,思維含量較高,教師要把握好火候,恰時恰點地激發(fā)學生的智慧火花.2.由于本節(jié)知