引言數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)建模常用方法簡(jiǎn)介

1、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)軟件主講： 宋來忠 工作室：L1602 手 機(jī)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)計(jì)算機(jī)改變了數(shù)學(xué)計(jì)算甚至數(shù)學(xué)證明的貌。計(jì)算機(jī)改變了數(shù)學(xué)計(jì)算甚至數(shù)學(xué)證明的貌。 數(shù)學(xué)軟件四大家 目前在科技和工程界上比較流行和著名的數(shù)學(xué)軟件主要有四個(gè)，分別是 Maple MATLAB MathCAD Mathematica1、Maple V 系統(tǒng) Maple V是由Waterloo大學(xué)開發(fā)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)軟件，它不但具有精確的數(shù)值處理功能，而且具有無以倫比的符號(hào)計(jì)算功能。Maple V的符號(hào)計(jì)算能力還是MathCAD和MATLAB等軟件的符號(hào)處理的核心。Maple提供了2000余種數(shù)學(xué)函數(shù)，涉及范圍包

2、括：普通數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、圖形學(xué)。它還提供了一套內(nèi)置的編程語言，用戶可以開發(fā)自己的應(yīng)用程序，而且Maple自身的2000多種函數(shù)，基本上是用此語言開發(fā)的。 Maple采用字符行輸入方式，輸入時(shí)需要按照規(guī)定的格式輸入，雖然與一般常見的數(shù)學(xué)格式不同，但靈活方便，也很容易理解。輸出則可以選擇字符方式和圖形方式，產(chǎn)生的圖形結(jié)果可以很方便地剪貼到Windows應(yīng)用程序內(nèi)。2、MATLAB 系統(tǒng)MATLAB原是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）在70年代用來提供Linpack和Eispack軟件包的接口程序，采用C語言編寫。從80年代出現(xiàn)3.0的DOS版本，逐漸成為科

3、技計(jì)算、視圖交互系統(tǒng)和程序語言。MATLAB可以運(yùn)行在十幾個(gè)操作平臺(tái)上，比較常見的有基于Windows 9X/NT、OS/2、Macintosh、Sun、Unix、Linux等平臺(tái)的系統(tǒng)?，F(xiàn)流行2008a版本，基于Windows2000/Windows 9X/Nt等。MATLAB程序主要由主程序和各種工具包組成，其中主程序包含數(shù)百個(gè)內(nèi)部核心函數(shù)，工具包則包括復(fù)雜系統(tǒng)仿真、信號(hào)處理工具包、系統(tǒng)識(shí)別工具包、優(yōu)化工具包、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具包、控制系統(tǒng)工具包、分析和綜合工具包、樣條工具包、符號(hào)數(shù)學(xué)工具包、圖像處理工具包、統(tǒng)計(jì)工具包等。而且5.x及以上版本還包含一套幾十個(gè)的PDF文件，從MATLAB的使用入門

4、到其他專題應(yīng)用均有詳細(xì)的介紹。 MATLAB是數(shù)值計(jì)算的先鋒，它以矩陣作為基本數(shù)據(jù)單位，在應(yīng)用線性代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、自動(dòng)控制、數(shù)字信號(hào)處理、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真方面已經(jīng)成為首選工具，同時(shí)也是科研工作人員和大學(xué)生、研究生進(jìn)行科學(xué)研究的得力工具。MATLAB在輸入方面也很方便，可以使用內(nèi)部的Editor或者其他任何字符處理器，同時(shí)它還可以與Word6.0/7.0以及其他應(yīng)用軟件結(jié)合在一起，在Word的頁面里直接調(diào)用MATLAB的大部分功能，使Word具有特殊的計(jì)算能力。 3、MathCAD 系統(tǒng)MathCAD是美國Mathsoft公司推出的一個(gè)交互式的數(shù)學(xué)系統(tǒng)軟件。從早期的DOS下的1.0和Windows下

5、的4.0版本，到今日的8.0版本，功能也從簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算，直至引用Maple強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算能力，使得它發(fā)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍。MathCAD是集文本編輯、數(shù)學(xué)計(jì)算、程序編輯和仿真于一體的軟件。MathCAD7.0 Professional（專業(yè)版）運(yùn)行在Win9X/NT下，它的主要特點(diǎn)是輸入格式與人們習(xí)慣的數(shù)學(xué)書寫格式很近似，采用WYSWYG（所見所得）界面，特別適合一般無須進(jìn)行復(fù)雜編程或要求比較特殊的計(jì)算。MathCAD 7.0 Professional 還帶有一個(gè)程序編輯器，對(duì)于一般比較短小，或者要求計(jì)算速度比較低時(shí)，采用它也是可以的。這個(gè)程序編輯器的優(yōu)點(diǎn)是語法特別簡(jiǎn)單。 MathCAD可以看

6、作是一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算器，沒有很復(fù)雜的規(guī)則；同時(shí)它也可以和Word、Lotus、WPS2000等字處理軟件很好地配合使用，可以把它當(dāng)作一個(gè)出色的全屏幕數(shù)學(xué)公式編輯器。 4、Mathematica 系統(tǒng)Mathematica是由美國物理學(xué)家Stephen Wolfram領(lǐng)導(dǎo)的Wolfram Research開發(fā)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)軟件。它擁有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算能力，在這一方面與Maple類似，但它的符號(hào)計(jì)算不是基于Maple上的，而是自己開發(fā)的。Mathematica的基本系統(tǒng)主要是用C語言開發(fā)的，因而可以比較容易地移植到各種平臺(tái)上，Mathematica是一個(gè)交互式的計(jì)算系統(tǒng)，計(jì)算是在用戶和Mat

7、hematica互相交換、傳遞信息數(shù)據(jù)的過程中完成的。Mathematica系統(tǒng)所接受的命令都被稱作表達(dá)式，系統(tǒng)在接受了一個(gè)表達(dá)式之后就對(duì)它進(jìn)行處理，然后再把計(jì)算結(jié)果返回。Mathematica對(duì)于輸入形式有比較嚴(yán)格的規(guī)定，用戶必須按照系統(tǒng)規(guī)定的數(shù)學(xué)格式輸入，系統(tǒng)才能正確地處理，不過由于3.0版本引入輸入面板，并且可以修改、重組輸入面板，因此以前版本輸入指令時(shí)需要不斷切換大小寫字符的繁瑣方式得到很好的改善。3.0版本可以用各種格式保存文件和剪貼內(nèi)容，包括RTF、HTML、BMP等格式。 5、四種軟件的比較 選用何種數(shù)學(xué)軟件?如果僅僅是要求一般的計(jì)算或者是普通用戶日常使用，首選的是MathCAD

8、，它在高等數(shù)學(xué)方面所具有的能力，足夠一般客戶的要求，而且它的輸入界面也特別友好。如果要求計(jì)算精度、符號(hào)計(jì)算和編程方面的話，最好同時(shí)使用Maple和Mathematica，它們?cè)诜?hào)處理方面各具特色，有些Maple不能處理的，Mathematica卻能處理，諸如某些積分、求極限等方面，這些都是比較特殊的。如果要求進(jìn)行矩陣方面或圖形方面的處理，則選擇MATLAB，它的矩陣計(jì)算和圖形處理方面則是它的強(qiáng)項(xiàng)，同時(shí)利用MATLAB的Note Book功能，結(jié)合Word6.0/7.0的編輯功能，可以很方便地處理科技文章.現(xiàn)在MATLAB可完全代替Maple.因?yàn)镸aple把技術(shù)全部賣給Matlab,自己不再

9、出新版本。 數(shù)學(xué)建模應(yīng)掌握的10種算法 蒙特卡羅算法。蒙特卡羅算法。 該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計(jì)算該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計(jì)算機(jī)仿真來解決問題的算法，同時(shí)可以通過模機(jī)仿真來解決問題的算法，同時(shí)可以通過模擬可以來檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)擬可以來檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法。必用的方法。數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法。數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法。 比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用用Matlab作為工具。作為工具。線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)

10、劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題等規(guī)劃類問題.建模競(jìng)賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)建模競(jìng)賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時(shí)候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃化問題，很多時(shí)候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)軟件實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)。圖論算法。這類算法可以分為很多種，包括圖論算法。這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備備 數(shù)學(xué)建模應(yīng)掌握的10種算法 動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界動(dòng)態(tài)

11、規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法。等計(jì)算機(jī)算法。 這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中。很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中。最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法。 這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對(duì)于有些問題非常有幫助，化問題的算法，對(duì)于有些問題非常有幫助，但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需慎重使用。但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需慎重使用。數(shù)學(xué)建模應(yīng)掌握的10種算法 網(wǎng)格算法和窮舉法。網(wǎng)格算法和窮舉法。 網(wǎng)格算法和窮

12、舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語言作為編種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語言作為編程工具。程工具。一些連續(xù)離散化方法一些連續(xù)離散化方法. 很多問題都是實(shí)際來的，數(shù)據(jù)可以是連很多問題都是實(shí)際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。積分等思想是非常

13、重要的。 數(shù)學(xué)建模應(yīng)掌握的10種算法 數(shù)值分析算法。數(shù)值分析算法。 如果在比賽中采用高級(jí)語言進(jìn)行編程的如果在比賽中采用高級(jí)語言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進(jìn)行調(diào)用。額外編寫庫函數(shù)進(jìn)行調(diào)用。圖象處理算法。圖象處理算法。 賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使

14、用的問題，通常使用Matlab進(jìn)行處理進(jìn)行處理 數(shù)學(xué)建模應(yīng)掌握的10種算法 教材：教材：宋來忠、覃太貴主編，數(shù)學(xué)建模常用方法與實(shí)驗(yàn)，北京，科學(xué)出版社，2015.3參考書：參考書： 【1】趙 靜、但 琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育 出版 社、Springer出版社，2000【2】劉金英、李明主編，數(shù)學(xué)模型與MATLAB應(yīng)用， 吉林大學(xué)校內(nèi)教材 2002【3】謝兆鴻等，數(shù)學(xué)建模技術(shù)，北京，中國水利水電 出版社，2003【4】蔡鎖章主編，數(shù)學(xué)建模，北京，中國林業(yè)出版 社，2003【5】宋來忠, 王志明主編. 數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)M. 北京: 科學(xué)出版社, 2005.8. 練習(xí)：用數(shù)學(xué)方法描述練習(xí)：用數(shù)學(xué)

15、方法描述貝勃定律貝勃定律 有人做過一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)人右手舉著有人做過一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)人右手舉著300克重的砝碼，這時(shí)在其左手上放克重的砝碼，這時(shí)在其左手上放305克的砝碼，克的砝碼，他并不會(huì)覺得有多少差別，直到左手砝碼的他并不會(huì)覺得有多少差別，直到左手砝碼的重量加至重量加至306克時(shí)才會(huì)覺得有些重。如果右手克時(shí)才會(huì)覺得有些重。如果右手舉著舉著600克，這時(shí)左手上的重量要達(dá)到克，這時(shí)左手上的重量要達(dá)到612克克才能感受到重了。也就是說，原來的砝碼越才能感受到重了。也就是說，原來的砝碼越重，后來就必須加更大的量才能感覺到差別。重，后來就必須加更大的量才能感覺到差別。 這種現(xiàn)象被稱為這種現(xiàn)象被稱為“貝勃

16、定律貝勃定律”?！柏惒韶惒伞痹谏钪械教幙梢?，比如在生活中到處可見，比如5毛錢一份的晚報(bào)毛錢一份的晚報(bào)突然漲了突然漲了50塊錢，那么你會(huì)覺得不可思議，無法接收。塊錢，那么你會(huì)覺得不可思議，無法接收。但是，如果原來但是，如果原來500萬的房產(chǎn)也漲了萬的房產(chǎn)也漲了50塊，甚至塊，甚至500塊，塊，你都會(huì)覺得價(jià)錢根本沒有變化一樣。你都會(huì)覺得價(jià)錢根本沒有變化一樣。 有頭腦的人會(huì)利用有頭腦的人會(huì)利用“貝勃定律貝勃定律”為自己減輕做為自己減輕做事的阻力。小至商家的產(chǎn)品價(jià)格調(diào)整，他們會(huì)先小幅事的阻力。小至商家的產(chǎn)品價(jià)格調(diào)整，他們會(huì)先小幅度上漲價(jià)格，在人們都接受了以后再加價(jià)更多。大至度上漲價(jià)格，在人們都接受了以后再加價(jià)更多。大至談判的技巧，一般有經(jīng)驗(yàn)的談判專家都會(huì)在談判臨近談判的技巧，一般有經(jīng)驗(yàn)的談判專家都會(huì)在談判臨近結(jié)束時(shí)才提出一些棘手的條件，而對(duì)方被一開始的優(yōu)結(jié)束時(shí)才提出一些棘手的條件，而對(duì)方被一開始的優(yōu)厚條件所誘惑，也就不怎么在意后來才知道的那些缺厚條件所