廣東省東華高級(jí)中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

廣東省東華高級(jí)中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知,則（）A. B.C. D.2．已知，，，是球的球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面，，，則該球的半徑為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)所在區(qū)間為A. B.C. D.4．從含有兩件正品和一件次品的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為（）A. B.C. D.5．集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個(gè)圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個(gè)數(shù)恰好為2的是（）A. B.C. D.6．若，分別是方程，的解，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是（）A B.C. D.7．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則下列函數(shù)必為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.9．若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，若函數(shù)的最小值與函數(shù)的最小值相等，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________12．已知函數(shù)，，則函數(shù)的最大值為______.13．實(shí)數(shù)271314．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P到兩條直線與的距離之和等于2，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為_________.15．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.16．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在的單調(diào)性并證明；（3）解關(guān)于的x不等式：18．已知為奇函數(shù)，且（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明19．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù).（2）若R＝45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(?。?.414)20．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的值.21．已知，，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的最小值，并求此時(shí)a，b的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】利用誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)條件及結(jié)論，再利用二倍角公式，即可求得結(jié)論【詳解】解：∵sin，∴sin，∵sinsincos（2α）＝1﹣2sin21故選B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】由題意，補(bǔ)全圖形，得到一個(gè)長(zhǎng)方體，則PD即為球O的直徑，根據(jù)條件，求出PD，即可得答案.【詳解】依題意，補(bǔ)全圖形，得到一個(gè)長(zhǎng)方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為此長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示：所以PD即為球O的直徑，因?yàn)槠矫?，，，所以AD=BC=3,所以，所以半徑，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球問題，對(duì)于有兩兩垂直的三條棱的三棱錐，可將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，可簡(jiǎn)化計(jì)算，方便理解，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可求【詳解】連續(xù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，熟記定理是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)試題4、B【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意，該抽樣是有放回的抽樣，所以每次抽到正品的概率是，抽到次品的概率是，所以取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為.故選：B.5、B【解析】首先求出集合，再結(jié)合韋恩圖及交集、并集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：∵，，∴，則，，選項(xiàng)A中陰影部分表示的集合為，即，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中陰影部分表示的集合由屬于A但不屬于B的元素構(gòu)成，即，故B正確；選項(xiàng)C中陰影部分表示的集合由屬于B但不屬于A的元素構(gòu)成，即，有1個(gè)元素，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中陰影部分表示的集合由屬于但不屬于的元素構(gòu)成，即，故D錯(cuò)誤故選：B6、B【解析】∵，分別是方程，的解，∴，，∴，，作函數(shù)與的圖象如下：結(jié)合圖象可以知道，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故，即分類討論：（）當(dāng)時(shí)，方程可化為，計(jì)算得出，（）當(dāng)時(shí)，方程可化，計(jì)算得出，；故關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是，本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍7、C【解析】根據(jù)奇偶性的定義判斷可得答案.【詳解】，由得是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；，由得是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；，由得是奇函數(shù)，故C正確；，由得是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C.8、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合0,1兩個(gè)中間量即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.9、D【解析】由分段函數(shù)可知必須每段有且只有1個(gè)零點(diǎn)，寫出零點(diǎn)建立不等式組即可求解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，單調(diào)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，而函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，所以需滿足有1個(gè)零點(diǎn)，有1個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選：D10、D【解析】由幾何體的正視圖和俯視圖可知，三棱錐的頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在底面棱上，則原幾何體如圖所示，從而側(cè)視圖為D．故選D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由二次函數(shù)的知識(shí)得，當(dāng)時(shí)有．令，則，．結(jié)合二次函數(shù)可得要滿足題意，只需，解不等式可得所求范圍【詳解】由已知可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且令，則，要使函數(shù)的最小值與函數(shù)的最小值相等，只需滿足，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)最值的問題，求解此類問題時(shí)要結(jié)合二次函數(shù)圖象，即拋物線的開口方向和對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行求解，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題12、##【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)后分別求每段上函數(shù)的最值，比較即可得出函數(shù)最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，即或，解得或，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，，故答案為：13、1【解析】直接根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：27故答案為：114、【解析】∵3x﹣y=0與x+3y=0的互相垂直，且交點(diǎn)為原點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P到兩條直線的距離分別為a，b，則a≥0，b≥0，則a+b=2，即b=2﹣a≥0，得0≤a≤2，由勾股定理可知===，∵0≤a≤2，∴當(dāng)a=1時(shí)，的距離，故答案為15、##a≤【解析】時(shí)，，原問題.【詳解】∵，，∴，∴，即對(duì)任意的，都存在，使恒成立，∴有.當(dāng)時(shí)，顯然不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立.綜上，.故答案為：.16、(1,2)【解析】令真數(shù)，求出的值和此時(shí)的值即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】令得：，此時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】（1）由奇函數(shù)的定義有，可求得的值，又由，可得的值，從而即可得函數(shù)的解析式；（2）任取，，且，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）由（2）知在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上也單調(diào)遞增，又，從而利用單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，所以；【小?詳解】解：在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，又，，且，所以，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】解：由（2）知在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上也單調(diào)遞增，令，解得或因?yàn)?，且，所以，所以，解得，又，所以原不等式的解集?18、（1）；（2）遞減，見解析【解析】(1)函數(shù)是奇函數(shù)，所以，得到，從而解得；(2)在區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù)，且，判斷的符號(hào)，得到，由此證明函數(shù)的單調(diào)性.詳解】(1)由題意知，則，解得；(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：在區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù)，且，因?yàn)?，所以即，，所以即，函?shù)在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD面積S最大，最大面積為838.35m2.【解析】（1）設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，用表示出，，，從而可得面積的表達(dá)式；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值【詳解】解：（1）由題意，可知點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因?yàn)棣取剩?θ＋∈，所以當(dāng)2θ＋，即θ＝時(shí)，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用表示出矩形的邊長(zhǎng)，從而得矩形面積．利用三角函數(shù)恒等變換公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最大值20、（1）或（2）【解析】（1）利用三角函