2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)華東師大二附中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)華東師大二附中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題每小題4分，滿(mǎn)分24分）1．（4分）下列圖形，一定相似的是A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形2．（4分）下列關(guān)于的函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的值增大而減小的是A． B． C． D．3．（4分）在中，，如果，，那么的長(zhǎng)是A． B． C． D．4．（4分）一個(gè)測(cè)量技術(shù)隊(duì)員在一個(gè)高為（忽略身高）的位置，觀測(cè)一根高出此建筑物的旗桿，測(cè)出與旗桿的頂端的仰角為，與地面的俯角為，那么該旗桿的高度是A． B． C． D．5．（4分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（4分）如圖，，，下列各式中正確的是A． B． C． D．二、填空題（本大題每小題4分，滿(mǎn)分48分）7．（4分）如果，那么．8．（4分）已知拋物線(xiàn)，那么這個(gè)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．9．（4分）已知點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，，如果，那么的長(zhǎng)是．10．（4分）如果在比例尺為000000的地圖上，、兩地的圖上距離是3.4厘米，那么、兩地的實(shí)際距離是千米．11．（4分）兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上中線(xiàn)之比為，周長(zhǎng)之和為，則較小的三角形的周長(zhǎng)為．12．（4分）將拋物線(xiàn)向右平移3個(gè)單位后，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式是．13．（4分）如圖，已知．如果，，，那么的長(zhǎng)是．14．（4分）已知傳送帶和地面所成斜坡的坡度，它把物體從地面送到離地面2.5米高的地方，那么物體在坡面上移動(dòng)了米．15．（4分）在中，，已知，，是的平分線(xiàn)，那么的長(zhǎng)是．16．（4分）如圖，點(diǎn)、分別在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊、上，、，正方形的四邊分別經(jīng)過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，已知，那么正方形的邊長(zhǎng)是．17．（4分）在中，，如果，，那么的長(zhǎng)是．18．（4分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，將正方形沿直線(xiàn)翻折后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交正方形的邊于點(diǎn)，如果，那么的長(zhǎng)是．三、解答題：（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）如圖，已知平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）；；（用向量、表示）（2）求作：分別在、方向上的分向量．（不要求寫(xiě)作法，但要寫(xiě)明結(jié)論）21．（10分）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，，垂足為，聯(lián)結(jié)．（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）求的正切值．22．（10分）嘉嘉使用桌上書(shū)架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)書(shū)架與桌面的夾角時(shí)，頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)為，此時(shí)舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書(shū)架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），舒適度較為理想．（1）書(shū)架在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求頂部邊緣點(diǎn)到走過(guò)的路徑長(zhǎng)．（2）如圖2這個(gè)平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在處，書(shū)上有一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，嘉嘉看點(diǎn)的俯角為，眼睛到桌面高度為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，求此時(shí)眼睛到點(diǎn)的距離，即的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，23．（10分）已知：如圖，在△中，點(diǎn)，分別在，上，，點(diǎn)在邊上，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：△△；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：．24．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（14分）如圖1，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，設(shè)為，四邊形的面積為．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的正弦值；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的取值范圍；（3）是邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題（本大題每小題4分，滿(mǎn)分24分）1．（4分）下列圖形，一定相似的是A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形解：．兩個(gè)直角三角形，對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故選項(xiàng)不符合題意；．兩個(gè)等腰三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故選項(xiàng)不符合題意；．兩個(gè)等邊三角形的對(duì)應(yīng)角一定相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，符合相似的定義，故選項(xiàng)符合題意；．兩個(gè)菱形，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．（4分）下列關(guān)于的函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的值增大而減小的是A． B． C． D．解：、二次函數(shù)的圖象，開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸，在軸右側(cè)時(shí)），隨的增大而增大；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、一次函數(shù)的圖象，隨的增大而增大；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、正比例函數(shù)的圖象在一、三象限內(nèi)，隨的增大而增大；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、反比例函數(shù)中，所以當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；故本選項(xiàng)正確；故選：．3．（4分）在中，，如果，，那么的長(zhǎng)是A． B． C． D．解：如圖：在中，．故選：．4．（4分）一個(gè)測(cè)量技術(shù)隊(duì)員在一個(gè)高為（忽略身高）的位置，觀測(cè)一根高出此建筑物的旗桿，測(cè)出與旗桿的頂端的仰角為，與地面的俯角為，那么該旗桿的高度是A． B． C． D．解：如圖，過(guò)作于，則．在△中，，，在△中，，，，即旗桿的高度為．故選：．5．（4分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：從圖象可知：，，，，，點(diǎn)在第二象限．故選：．6．（4分）如圖，，，下列各式中正確的是A． B． C． D．解：．，，，故本選項(xiàng)符合題意；．，，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，，即，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，，，，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．二、填空題（本大題每小題4分，滿(mǎn)分48分）7．（4分）如果，那么．解：，，設(shè)，，．故答案為．8．（4分）已知拋物線(xiàn)，那么這個(gè)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．解：在中，令可得，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．9．（4分）已知點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，，如果，那么的長(zhǎng)是．解：點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，，，，故答案為：．10．（4分）如果在比例尺為000000的地圖上，、兩地的圖上距離是3.4厘米，那么、兩地的實(shí)際距離是34千米．解：根據(jù)題意，（厘米）（千米）．即實(shí)際距離是34千米．故答案為：34．11．（4分）兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上中線(xiàn)之比為，周長(zhǎng)之和為，則較小的三角形的周長(zhǎng)為．解：因?yàn)樵撓嗨票葹?，而周長(zhǎng)比也等于相似比，則較小的三角形周長(zhǎng)為，故答案為：12．（4分）將拋物線(xiàn)向右平移3個(gè)單位后，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式是．解：，將拋物線(xiàn)向右平移3個(gè)單位后，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式是，即．故答案為：．13．（4分）如圖，已知．如果，，，那么的長(zhǎng)是6.4．解：，，，，，，解得，．故答案為：6.4．14．（4分）已知傳送帶和地面所成斜坡的坡度，它把物體從地面送到離地面2.5米高的地方，那么物體在坡面上移動(dòng)了6.5米．解：如圖所示，已知，，，，故答案為：6.5．15．（4分）在中，，已知，，是的平分線(xiàn)，那么的長(zhǎng)是．解：過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，，是的平分線(xiàn)，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，故答案為：．16．（4分）如圖，點(diǎn)、分別在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊、上，、，正方形的四邊分別經(jīng)過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，已知，那么正方形的邊長(zhǎng)是．解：、，，，，，，又，△△，，，同理可求：，，正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．17．（4分）在中，，如果，，那么的長(zhǎng)是6．解：解法一：過(guò)作，垂足為，在上取點(diǎn)，連接，使，，，，，，，，，即，故答案為：6．解法二：作平分交于，，，，平分，，設(shè)，，，，，，，即，解得，．故答案為：6．18．（4分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，將正方形沿直線(xiàn)翻折后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交正方形的邊于點(diǎn)，如果，那么的長(zhǎng)是．解：如圖：連接，由翻折得，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，過(guò)作于，，，，，，，，或（不合題意舍去），，故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】19．（10分）計(jì)算：．解：．20．（10分）如圖，已知平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）；；（用向量、表示）（2）求作：分別在、方向上的分向量．（不要求寫(xiě)作法，但要寫(xiě)明結(jié)論）解：（1）四邊形中，與相交于點(diǎn)，，，，．，，，，，是邊的中點(diǎn)，，，，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，即為向量分別在、方向上的分向量．21．（10分）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，，垂足為，聯(lián)結(jié)．（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）求的正切值．解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，在中，，，（2），，，又，22．（10分）嘉嘉使用桌上書(shū)架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)書(shū)架與桌面的夾角時(shí)，頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)為，此時(shí)舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書(shū)架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），舒適度較為理想．（1）書(shū)架在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求頂部邊緣點(diǎn)到走過(guò)的路徑長(zhǎng)．（2）如圖2這個(gè)平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在處，書(shū)上有一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，嘉嘉看點(diǎn)的俯角為，眼睛到桌面高度為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，求此時(shí)眼睛到點(diǎn)的距離，即的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，解：（1），，在△中，，，則，，，，點(diǎn)到走過(guò)的路徑長(zhǎng)為：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，于，則四邊形為矩形，，在△中，，，則，，，在△中，，，則，答：眼睛到點(diǎn)的距離約為．23．（10分）已知：如圖，在△中，點(diǎn)，分別在，上，，點(diǎn)在邊上，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：△△；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：．【解答】證明：（1），，而，△△，，△△，△△．（2）作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，如圖，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，△△，，．24．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）拋二次函數(shù)經(jīng)過(guò)，，，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得，解得：，，，二次函數(shù)的解析式為：；直線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)解析式為：，將、兩點(diǎn)代入得，解得：，，直線(xiàn)解析式為：，點(diǎn)是直線(xiàn)與軸交點(diǎn)，令，則，．（2）①點(diǎn)在直線(xiàn)上方，，由題知，，，當(dāng)時(shí)，是最大值．②存在，理由如下：，，，是直角三角形，要使與相似，只有保證是直角三角形就可以．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)軸，、關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，；（Ⅱ）法一：當(dāng)時(shí)，，，，為等腰直角三角形，，由①知，，，，，，解得，（舍，．法二：當(dāng)時(shí)，，過(guò)作軸，作，作，則易證，，，，，，，解得，（舍，．法三：當(dāng)時(shí)，，，，，直線(xiàn)的解析式為：，聯(lián)立方程組得，解得：或，綜上，存在點(diǎn)使與相似，此時(shí)的坐標(biāo)為或．2