概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第二版-劉建亞)習(xí)題解答

1、習(xí)題解答一一第一章1-1解：(1) ABC; (2) ABC ； (3) ABC; (4) ABCUABCljABC:(5) AUBUC； (6) CUBCUCUABCo1-2解：(1) Al B； (2) AE B : (3) Al BC ； (4) A 宜(B U C)。1-3解：1 + 1= 2點(diǎn)，6+6=12點(diǎn)，共11種； 樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)：n=6X6=12,和為 2, A= 1,1, n. = 1, P(=,i 丿n 36和為 6, A= h5;2,4;3,3;4,2;5,l, nA= 5, P(=,n 36和為(2+12)/2=7, A= 1,6; 2,5;3,4;4,3;5,2

2、; 6,1, nA= 6 P(舛=, n 366和為 8, A= 2,6; 3,5;4,4; 5,3; 6,2, nA = 5 » P(=>和為 12> A= 6,69 1】人=1，P(A) = -=,岀現(xiàn)7點(diǎn)的概率最大。1-4解：只有n = 13種取法，設(shè)事件A為取到3張不同的牌，則nA = ,(1) P(舛=1312 11 _ 1321P 169(2)P(恥 1-P(舛=3716911-5解：(1) P(應(yīng)C)=P(Q P(AB) P(AC)+P(ABC)= 0.45 0.10 0.08+ 0.03= 0.30(2) P(ABC)= P(AB)- P(ABC)= 0.

3、10 0.03=0.07(3) 應(yīng)C,忑C,忑C為互不相容事件，參照(1)有p(abcijabcuabc)=P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)=P(A) P(AB)- P(AC)+P(ABC)+P(B) P(AB) P(BC)+ P(ABC)+ P(C) P(AC)- P(BC)4- P(ABC)=P(A)+ P(B) + P(C)- 2P(AB) + P(BC) + F(AC)+3P(ABC)=0.45+0.35+0.30 2(0.10+ 0.08+ 0.05)+ 0.09=0.73(4) 辰為互不相容事件，參照(2)有P(ABCUABC|JABC)= P(ABC)+ P(AB

4、C)4- P(ABC)=P(AB)+ P(AC)+ P(BC)- 3P(ABC)= 0.10+0.08+0.05 3? 0.03=0.14(5)F(AUBUC)= P(馮+P(B)+P(C) P(AB)- P(AC)- F(BC)+3P(ABC)= 0.45+0.35 + 0.30 0.10 0.08 0.05+3? 0.030.90(6) P(A|JBUC)= 1 P(AUB|JC)= 1 090=010.1-6解：設(shè)A，4, A為（1）、（2）、（3）的事件，由題意知（1）p（a）=存（2）P（©=詁存（3） Pg）=警L 1-7解：5卷書任意排列的方法有n=5!種，設(shè)事件A=第

5、i卷書放在兩邊，i=h2,3,4,5。5!（1）A=第1卷書放在兩邊，叫=4+4!, P（A）=（2）p（AA） =2T 3!_ 1 5!10217（3）p（AUA）= p（A）+p（A） P（AA）=2?y -=-； 19（4）p（aUA）= p（AA）= - p（AA）= 1=o1-8解：這是一個幾何概率問題，設(shè)折斷點(diǎn)為x,y, （x< y）o由題意及三角形的特點(diǎn)知:（1）折斷點(diǎn)在棍內(nèi)：OVxVyVL;（2）折成三段后，每段小于棍的一半：x< -L, y- x< -L,Lyv丄L；2 2 2（3）任兩段之和大于棍的一半：y>丄L,Lx>L,Ly + x>

6、 -L；2 2 2整理?xiàng)l件：0< x< y< Ly> L2x< -L2y- x< L171 - 8171 - 22所包含的區(qū)域如圖，故P（舛1111-9解：設(shè) A= B= Aa,C= aa o（1）200P（刃=,P（B） =200+ 600+501760050=P（C） =200 + 600 +50 17 '200 + 600 + 50 17°=171-10541P（AUC）= P（厲+P（C） P（AC）= +-解:設(shè) A = 活到 20歲； 8=活到25歲, P(耳=0.8,P(B)= 0.4顯然A?B,AB AnB=B,由題意得P&

7、#174;斫鬻=諜=。.51-11解：設(shè)A = 第i次取到次品，i= 1,2,3。由題意得 908910P(AAA)= P(A)P(AI A)P(AI A A)=而倉詹 =082561-12解：設(shè)A = 第i人譯出密碼，i= 1,2,3。由題意得P(AUAUA)=1 P(AUAUA) =1 p(A)p(瓦)p(A)=i纟倉E -= o.653 41-13解：設(shè)A = 第i道工序的合格品(i = 1,2,3,4),且A，A，A，A相互獨(dú)立。由題意得p(AAAA)= p(A)p(A)p(A)p(A)=1- P(A)1- P(A)1- P(A)1- P(瓦)=(卜 0.005)(1 0.002)(1

8、 0.001)(1 0.008)=0.9841-14解：這是貝努里概型：Pk)=C：pk(lp)“，(k=0丄,n),由題意匕(k? 1) 1匕(k= 0)= (1 pF 侈0.95 (1- p)n * 0.05 n? 991-15解：設(shè)A】、A?、As分別為從甲袋取到1個紅、白、黑球，設(shè)Bi、B?、B?分別為從乙袋取 到1個紅、白、黑球，由題意知P(AB1UAB2UAB3)=p(a.b2)+ p(a,b3)=P(A)P(B!)+ PPCB.)+ P(A)P(B3)03312±9±亠巴企22525252525251-16解：設(shè)分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，B表示為正品。

9、A，A構(gòu)成一個完備事件組,且有p（A）= o.5,p（A）= o.3,p（A）= o.2 ；P(B/ A) = 9/10, P(B/ A) = 14/15, P(B/ A,) = 19/20 （1）由全概率公式0.2? 0.9220c914P(B)= a P(A)P(B/A) = 0.5?憶 0.3? （2）由貝葉斯公式F(A/B)= P(A)P(B/A)_ 0.5' 0.9_ 45P(B)0.92921-18111-17解：設(shè)A,= 第一次取到i個新球, （i=0, 1, 2, 3）； B=第二次取到3個新球。則Ao，Ai, A?, A3構(gòu)成完備事件組，其中廣3廠1廣2廣2廣1p（4

10、）= #，p（A）=青,p（A）=青，p（A尸 p-5口2由全概率公式3c3 C?p(b)= a p(4)p(e/a)=汙？等27 c 56108 o? 9220 220k=0J_?_84_220 220Qc打 Vc；c； °c；Q廠3廠33廠3c355H:3584 c 20220 220220* 220卑昭電7056= 0.146220' 220由貝葉斯公式1680PWB)=駕黔2=愛"220 220解：設(shè)A，A分別表示甲、乙擊中目標(biāo)，由題意知A，相互獨(dú)立。(1) P(AA)= P(A)P(A)= 0.8? 0.9 0.72(2) p(aa.UAA)= p(aA)

11、+p(AA)=P(A)P(A)+ P(A)P(A)= 0.8? 0.1 0.9? 0.2 0.26(3) P(賓)=1 P(AA)=P(A)P(A)= 0.2? 0.1 0.98(4) P(AA)= P(A)P(A)= 0.2? 0.1 0.021-19解：與1-10題類似。P(B心鬻=衆(zhòng)=需"92391-20解法1：設(shè)Ai=3000小時未壞, (i = l, 2, 3), Ai，A2, A3相互獨(dú)立，所以Q)P(AAA)= P(A)P(4)P(A)= 0.83= 0.512(2) P(AAAUAAAUAAA)= 3P(A)P(4)P(A)= 3fi'D-82 0.2= 0.

12、384(3) P(AA4UAAAUAAAUAAA)= 0.512+0.384= 0.896解法2：這是n重貝努里概型，Pn(k)= Cpk(lp)*k, n = 3, p=0. 8(1) 人(k= 3)= C：pk(l p)i= C(0.8)3(l- 0.8)"= 0.512(2) 匕(k= 2)= C：pk(l p)*k= C；(0.8)2(l 0.8)a= 0.384(3) Pn(k ? 2) 匕(k= 2)+匕(k= 3)= 0.512+0.384= 0.8961-21解：這是貝努里概型，Pn(k)= Cpk(lp)*k, n=12, p=7事件設(shè)A = $9臺同時使用P(=

13、a Pn(k)? 0.4925k-91-22解:(1)為貝努里概型，設(shè)人匚=第：個人的血型為0型, (i = l, 2, 3, 4, 5),則恰有2人血型為0型的概率為此（k= 2）= C：pk（l- p）n k = C5P （1 - pr 2 = 10創(chuàng)）.46 （1- 0.46F = 0.3333（2）設(shè)吩=第i個人的血型為人型, （i = l, 2, 3, 4, 5）,因P（AAA耳Bj）= P（A）p（Aj）p（A）p（B4）p（B5）= 0 463? 0.402而5人中有3人為0型、2人為A型的排列有Cl = 10種，故所求概率為P= C0.463? 0.4020.1557（3）設(shè)6

14、 = 第i個人的血型為人8型, （i = l, 2, 3, 4, 5）,則沒有AB型的概率為P（C1UC2UC3UC4UC5）= p©dd©©）= P©）P（d）P（可）P©（瓦） =（1- 0.03尸=0.85871一23*解：設(shè)人匚=第i次摸到黑球, （i = l, 2,，a+b）,由題意知q bk=i p（A）=：，p（A）=：a + ba + bk= 2 P（A）= P（AUA）A）= P（AA）+P（AA）= P（A）P（Aj/A）+P（A）P（Aj/A）a + b a + b- 1 a + b a + b 1 a + b27k= 3

15、 pg= p（aa）+ p（aa）= p（AAA）+ P（AAA）+ p（AAA）+ p（AS）=p（a）p（4/A）P（4/AA）+ p（A）p（4/A）p（4/Aa）+ p（a）p（A/A）p（A/aA）+p（A）p（A/A）p（4/AA）a A. a - 1 a- 2 b A. aal=倉 I +倉 Ia + b a + b- 1 a + b- 2a + ba + b 1a + b-2+ 亠創(chuàng)+ 上倉I=a + b a + b- 1 a + b- 2a + ba + b 1a + b-2a + b依此類推可得P（A）=, （ink a+b）a + b1-24*解：設(shè)人匚=第丨次按對號碼,

16、 （i = l, 2, 3）,所求概率為 p（A UAAUAAA）= p（A）+ p（Aa）+ p（AA）=P（A）+ P（A）P（A）+ P（A）P（A）P（A）CQX91 - 9 丄103_10=1 - 8若己知最后一位數(shù)為偶數(shù)，則其概率為p(AUAAUAAA)= p(A)+p(AA)+p(AA 含)=p(a)+ p(A)p(A)+ p(A)p(A)p(4)55454 351-25*解：設(shè)A=從甲袋中取一白球, B=從乙袋中取一白球,由已知得N- MP(A)= , P(舛=M4- NM+ N由全概率公式得P(B)= P(AB)+ P(屈)=P(A)P(B/Q+ P(RP(B/A=N r n

17、+1 M Q nM + N 111+n+1 M+ N m+ n+ 1= Mn+ N(n+1)(M + N)(m+ n+1)1-26*證明：P(B)= P(AB)+ P(B)= P(刃P(B| Q+ P(AP(B| 石=P(刃P(B| 厲+ P(AP(B| 刃=P(B| A) P(AB)= P(刃P(B| 刃=P(A)P(B)故由定義知，AB相互獨(dú)立。1-27*解：設(shè)Ai=甲在第i次射中, Bi = 乙在第i次射中,由己知，P(Ai)=pbP(Bi)=P2o甲射中的概率為Pl1(1- )(1- P2)p(AUAAUAB1ab23U-)= P(A)+ P(A)P(Bi)P(A)+ p(a)p(b1

18、)p(a)p(b2)p(3)+ .=a PiQ Pi)k(i- p2)k =k=0同理，乙射中的概率為Pl)1- (1- P1)(1- P2)P(AB1 u A瓦 AB u )=P(A)P(珂)+ P(A)P(瓦)P(A)P(BJ+ =a (i- pJPzd- Pi)kQ p2)k =k=01- 28*解：Ai = 甲在第i次投中, Bi=乙在第i次投中, (i = l, 2, 3),由己知P(A)=Pi=07, P(BJ= p2=0.6o甲、乙投中都是貝努里概型甲：P3(k)=C(l pj" (k=0,l,2,3);乙：E(m)=C,pT(l 口)'“ (m= 0,1,2,

19、3)二人進(jìn)球數(shù)相等的概率為P(k= 0,m= 0|Jk= l,m= l(Jk= 2,m= 2(Jk= 3,m= 3)=P(k= 0,m= 0)P(k= l,m= l)P(k= 2,m= 2)P(k= 3,m= 3)=P(k= 0)P(m= 0)+ P(k= l)P(m= 1)+ P(k= 2)P(m= 2)+ P(k= 3)P(m= 3)=ft)3(l- p$+C；Pi(l R)2Cp2(l- p2)2+C；pf(l- pJC；pj(l pj+pp；=0.027? 0.0640.189? 0.2880.441? 0.4320.343? 0.216=0.32076概率論與數(shù)理統(tǒng)計（劉建亞）習(xí)題解

20、答一一第二章2-1 解：不能。因?yàn)?P（% = l）=05<0; （2）a P（兀=%）=0.85? 0。2-2 解:X345P1/103/106/1023 解:取法：ii= X的取值：0, 1, 2, 3o所以X0123P33/9144/9166/4554/455（k= 0丄2,3）,分布列為24 解：由概率的規(guī)范性性質(zhì) 豈P（X=爐，得:邂P(X=k)=a= 1; k=ik=i N邇P(X=k)=a = 1; k=lk=l 22-5 解:(k 1,2,)(n 1,2,)P(X=偶數(shù))=Hp(x =k»l12-6 解:X23456789101112p1/362/363/364

21、/365/366/365/364/363/362/361/36P(X? 4)-P(7#X10) = -o6 22-7解：n重貝努利試驗(yàn)，XE(20, 0.1)解法一：(1) P(X= 3)= Cp3(l- p)17= 0.1901；(2) P(X? 3)1 P(X? 2)1 P(X= 0) P(X=1) P(X= 2)= 03231；(3) 最可能值：k= (n+l)? 0.12： P(X= 2)= 0.2852 «解法二：利用泊松定理，P(X= k)蛔二e(k= 0,1,),1= np= 20? 0.12k!(1) P(X= 3)= e 2 = 0.1804 ；3!(2) P(X?

22、 3)1- P(X? 2)1- P(X=0) P(X=1)- P(X= 2)= 0.3233(3) 最可能值:k= (n+1)? 0.12; P(X= 2)= 0.270728 解：X B (1 , p ) 41=7>3 0 lp0=, <,令 1 = np= 23651 k由泊松定理知 P(X=制IN花 (* O/1-y- k!P(X? 2)1 P QC? 1) 1 3 = 0o29 解：X E(20, 0.2), P(X=k)=C11J)pk(l p)3(k=0,l, )P(X? 4)1- P(X? 3)0.12092-10 解:XB(100, 0.01), /n= 100&g

23、t; 10, p= 0.01< 0.1 1 = lip = 1近似看作 XP【，設(shè)同時出現(xiàn)故障的設(shè)備數(shù)為X, N為需要的維修工數(shù)，由題意P(X> N)= 1- P(X； N)* 1 Ke 1 < 0.01 k» k!査泊松分布表得N+l=5,即N=4。2-11 解:X B(50000, 0.0001) 1 = np= 51 x泊松定理知 R(X= k)蛔一 e二一佐" K 0,L,5°P(X = 0)蛔一 e 5 = 6.738? 10'30! ¥ 1 kP(X< 5)= 1- P(XttK5) 1- a e 1 = 1-

24、 0.5595 k=5 k!212 解:XPQ ) 1 = 4(1) P(X= 8)= P(X? 8) P(X? 9) 逋!e 】e 1 = 0.0297k-s k! k-9 k!¥ 1 k(2) P(X> 10)= a e 1 = 0.00284“k!cx=di ,得 c=2：213 解:(1)由概率的規(guī)范性l=(jf(x)d叢07P(0.3< X< 0.7)= q 2xdx= 0.4 :(3)由題意知 對o片a 1有 蟒|2xdx =2xdx得 a2=l- aa= l/>/2F(x)= 1x< 00? x 1x3 1xl 0,1X? 3,6other

25、(4) 分布函數(shù)定義式：F(x)= AX f(t)dt -?當(dāng) x< 0 時，F(xiàn)(x)= 0 ；當(dāng) 0? x 1 時，F(xiàn)(x)= 0+&X2tdt= x2；當(dāng)燈1時，1°:.F(x)=Ix2b2- 14設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為若k使得P(X? k) 3,則k的取值范圍是多少?2 ?解：由題意知 s=p(x? 2 Q當(dāng) x<l 時，P(X? k)當(dāng) x>3 時，P(X? k)財斗 f(x)dx = 算f(x)dx =116 7212-dx+ 0+ 7 dx 十 0=+(1 k)> ； k 3-3 93 336 722dx+ 0= (6 k)< -o

26、所以，當(dāng)1 #x 3時，P(X? k)蝌 f(x)dx= 0 +6 72-dx+0=-3 93k 9932- 15解：由概率的規(guī)范性"姐 f(x)dx=:耐 2P vl- X*P(|x|? j)Cp/2dxx= sint 9 cdt= cp* P/21C=P2-16 解：(1)當(dāng)x< 0時，f (x)= F r(x) = 0 :當(dāng)x> 0時，f(x)= F(x)= ex；當(dāng)x= 0時，F(xiàn)，(x)存在，HF'(0)=0, f(0)= 0f(x) =ifx> 0tox£ 0(2) P(X? 4)F(4)=l- e 4,P(X>1)=1- P(X?

27、 1)1- F(l)= e 12 172182192-20 解：X e(l ) 1 = 0.1(1) P(X ? 10) A* O.le 01xdx= e1- 0= 0.3678820(2) P(10 #X 20)= A O.le 01xdx= e 1 - e 2 = 0.2325io221 解:X N(160, 0.062) (0.05 ? 0.12) m? 2sP(|X- 0.05|> 0.12)= 1 P(|X-叫？ 2s)=P(m- 2s #X m+ 2s)=1- 0.9545=0.04552-22 解：XN (160, s；)P(120 #X200)=F(2°

28、6;外-F (叱糾soso404040=F(一卜 F(- )= 2F() 1= 08 sososo4040F()= 0.9,査表得 » 1.28 soso得 s0» 3 1.22232-24設(shè)隨機(jī)變量XN(3,2)o(1) 求P(2< X? 5), PQX| 2)；(2) 確定 c,使得P(X> c)= P(X? c):(3) 設(shè)d滿足P(X> d)? 0.9，問d至多為多少？解：(1)(2)由條件 P(X> c)= P(X? c)得P(X? c) P(X> c)= P(X c), P(X ? c) 0.5已知XN(3, 22),圖形關(guān)于x=

29、n<= 3)軸對稱，即P(X? ni)0.5x= m= 3(3)2252 26*證明:T X 服從兒何分布，P(X= k)= qk *(q=P，k = 1,2,)P(X= n+k)P(X=n+R|X?n) P(X?n)q"ipqUpi苗 q“p' p(】+q+ q") k-10#x1其它y= - 21nx, (0 #x 1) ? xg1(y)= e【，(0< y< +?),qklp= P(X= k)嚴(yán)91- q°P-5-1- a2-27* 略。228 解：(1)Y=2X+1-3135P (Y=yi)1/101/51/41/41/5(2)Y

30、=X2014P (Y=yi)1/49/203/102-29 解：fl f(x)=Ly> 0y£ 0230 解：I- 0 #x 6 f(x)= j6|o 其它當(dāng) 0#y 3時，x- 3=腳 gd(y)二阮1 j (y)=丄(1+1)=-63當(dāng)y為其它時，j (y)= 0,綜合得0 #y 3其它1°2-31 解:y=2”+l?(y 1)心)=?耳心)?習(xí)牯當(dāng) y> 1時 j (y) =i2jp(y 1)當(dāng)y£l時j (y)=0, 綜上得i i上丄Ie 4 y> 1j (y) = 2jp(y 1)|oy£i(2) y=|x| 鑑(y 0) g

31、1(y)= ? y, g y)1 ? 11 上：當(dāng) y>0 時 j (y)=-=e 2(1+1)= V2p當(dāng)y£0時j (y)= 0, 綜上得j (y) =2y> 00y£ 0另一解法：16FY(y)=P(Y? y) P(|x|? y)jP( y#X I。y) y? o y< 0而 P(- y #X y)二嗚&(x)dx二亠 ye ydx =V2p y29Poy e - dx(y> Fy t0£2y> 0y£ 0392 32* 解:當(dāng) k= 4n- 1 時，Y = l：當(dāng)*= 4n- 2或1<= 411 時,Y

32、=0；當(dāng)*= 411+3時，Y = -lo P(Y= 1)= 1Mp(X= 4n- 1)=-=丄去+n=l Ln=ln=l L丄P(Y= O)=邇P(X= 4n- 2)+ P(X= 4n) =IP 1P(Y= 1)= JiP(X= 411. 3)=-3=籌11 /丄 5Y的分布列:Y101P2/151/38/15233* 略。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第二版劉建亞)習(xí)題解答一一第三章3- 1 解：P(l< X? 2 , 3Y? 5p (2F5) pl,5)+F(2,書占32 解:1.501/41/821/8003- 3 解:1234P(X=兀)=P111/40001/421/81/8001/43

33、1/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p(y 二 yj二 pj25/4813/487/481/1613 4 解:X的取值：3, 4： Y的取值：1, 2o所以P(X= 4-35 解：(1)由歸一性痢 ，f(x,y lxdy=蝌 ° Ae (i* 仏dy=列料 e xcfc e' yd= +.e. A = 12(2)當(dāng) x> 0, y> 0 時F(x,y)=蜩 :f(u,v)dudv= 12蟒|(4+ '4dlidv= (1- e x)(l- e' y)當(dāng) x,y為其它時，F(xiàn)(x,y)= 0F(“雷e 3x)(l-

34、e4y)x> 0, y> 0其它(3)P(0< X? 1,0 Y? 2)12 o'e(3x*4y)dxdy= (1 e=)(l嚴(yán))3 6解：由分布函數(shù)的性質(zhì)f(耳 y)=于F（兀y）_ 抹y+ 6A9X+ 0(4 lpyF什？,?)liiAB%a m tG-h)(a=i AtBi-ti JC+辛廣)(X? ? y? ?23Z2F(- ?，y）,li AB4(a t(31i)(yeACBh】匕)C+ (-)fX7?2323F(x,?), y?li 1AB4(xa fc tQ-ft )(2y5a=r AtBi-ti )護(hù)+屮三式聯(lián)立解得a=4,B=E, c =pp223_

35、7解：P(X+Y? 1) 蝌 f x(y,dly=靖/ e' ydxdy= + e JC* y7138 解:(x2 + ¥)dy= 2，+ |x(1) 當(dāng) 0v xvi時fx(x)=痢 f(x,y)dy=當(dāng)x30或x1 時，V f(x,y)= 0 ： & (x) = 0I .2I2X-+ -x 0< x< : fx(x)=!3|o其它+ ?1vv11(2) 當(dāng)0<y<2 時，百(y)=蝌 f(兀y)dx= Q (x-+ )dx= -y+ -當(dāng)y為其它時,I f(x,y)=O ©(y)=02V y<1 一 3+y1 - 6 o3-

36、9解：所包含的面積為*=端 Jldxdy?l(x- x2)dy=右6,yt) I0其它<1)當(dāng)0#x 1時，&(x)=娟 f(x,y)dy= 6dy= 6(x- x2)當(dāng)x為其它時，fx(x)= 06(x x2)00 #x 1其它(2)當(dāng)0#y 1 時，©(y)=痢 f(x,y)dx=仃6dx= 6(斤 y)當(dāng)y為其它值時，E(y)=o： q(y)=6(® y)00 #y 1其它3-10 解:(1)當(dāng)0v xv 1 時,G(x)=嬌 f(x,y)dy =ldy= 2x當(dāng)x為其它時,&(x)= 0 fx (x)=2x00< x< 1其它(2)

37、當(dāng)|y|v x< 1時,fy(y)=姐 f(xy)dx=當(dāng)y為其它值時,切(y)= o"I:lyl|y|< x<i其它(3)fXIY(xly)=f (耳 y) 以y)|y|< x<i其它対x(y|x)=fgy)& (x)I?0< x< 1其它311 略。3-12 略。3-13解：由歸一性 A= 6f (x,y)dxdy= |. ° Axy?dxdy= £= 1當(dāng)0V xv I時，&(x)=嬌 f(x,y)dy= °6xy?dy=2x當(dāng)x為其它時，fx(x)= 0 & (x)=|：0<

38、 x< 1 其它同理，&(y)=pyt。0< y< 1 其它fx)?&(y)驚0< x,y v 1其它即y ) f x(y» A X, Y 相互獨(dú)立。314X12311/61/91/1821/31/a1/b解：X, Y的邊緣分布分別為Y123Pj1/21/9+1/a1/18+1/b若 X, Y 相互獨(dú)立，則 P(X=i, Y=j)=P(X=i) P(Y=j)Pl1/31/3+1/a+l/bP(X = 1, Y=2)=P(X = 1)P(Y=2)今 l/9=l/3(l/9+l/a) => a=9/2；P(X = 1, Y=3)=P(X =

39、1)P(Y=3)刁 l/18=l/3(l/18+l/b)b二9。X, Y的邊緣分布分別為：X12Pi1/32/3Y123Pj1/21/31/6因 X, Y 相互獨(dú)立，則 P(X=i|Y = l)=P(X=i)所以P(X = l|Y = l) = P(X = l) = l/3： P(X=2|Y=l)=P(X=2)=2/3o315 解：r e- d) x> 0 V、(1) X, Y相互獨(dú)立，f(x,y)=If 0其匕(2) VX, Y相互獨(dú)立，P(X?1|Y 0)= P(X? 1) 嬌 fx(x)dx= e Xdx =le 】316 略。317 略。318 解：TX, Y相互獨(dú)立，易(z)=

40、6, & (x)好(zx)dxz i 壬.5蘭蘭當(dāng)疋0 時，&=Q，e2?e 3 dx e 了 (1 e右當(dāng)zvO時,為=0)z? 0z< 03-19 解：以 Z)= 左 G Yf( 9 由已知條件當(dāng) 0? z y? 1 時，即 z 1 #y z時，&(z y) ? 0 ；當(dāng) y>0 時，F(xiàn)y(y)1 0(1)當(dāng) zvo 時，由 0? z y? lWy? z 0(z)= 0(2) 當(dāng)0? z 1 時，由0? z y? 1 及y> 0 得Ov y? z")= Q e ydy= 1- e z(3) 當(dāng) z? 1.時，由 0? z y? 1 得 z

41、 1< y? z(z)= qZ e ydy= e(2>n- e z7r 1綜上得0z< 0f(z)= 1 - e' x0 ? z 1e-("). ezz? 1320 解：略。3-21 解:當(dāng) xv 0 時，F(xiàn)x(x)= 0：當(dāng)X3 0時，F(xiàn)x(x)= £x(t)dt= QXae atdt= 1 e "45Fx(x)=|o'ex? 0x< 0同理,y? 0y< 0(1)串聯(lián)，壽命取決于最短的，Z= niin(X.Y)當(dāng) zvo 時，F(xiàn) . (z)= 0 nun x <當(dāng)P o時，F(xiàn)lxw(z)= 1- 1- Fx(

42、z)Jl Iv(z)= 1- e (a+b)z|1- e (a+b)z z? 0 f 0z< 0i)皿噌皿fz? 0z< 0(2)并聯(lián)，壽命取決于最長的，Z= max(X,Y),同理得(1- e a2)(l- e b2)0z? 0z< 0£w(z)= F_(z)=|ae az+be bz(a + b)e7" z? 0|oz< 0概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第二版劉建亞)習(xí)題解答第四4 1 解：E(X)= 1? 0.252? 0.4 3? 0.24? 0.1 5? 0.052.34- 2 解： 由 D(X)= E(X2)- E(X)f 得E(X)E(X2)D(X

43、)X15025011X：5025022D(X1)<D(X2)，用甲法測定的精度高。X0123p0.750.20450.04090.0045E(X)=C3003, E(X2)=0.4086, D(X)=0.3184, D(X)1/2=0.5643o4 4 解:E(x> 已儲=WEIX'E(x)1= WE(X)-E(X)1= 0D(父)=E(XY- E(X-)f= E(XY= e|鬧=命EX- E(X)f=藹D(X)= 14-5 解:E(X)= 艙.xf(x)dx= dx= 0ip/ x-E(X2)= 醴I x2f(x)dx= dx= ? dx 'x2 *°

44、X2x= sint 11 |1ntfet2sintdx= - (1- cost)dx=p 7p o2D(X)= E(X3)- E(X)3= I 46 解：E(X)= xf (x)dx= , x?-e_ dx 0x2e Xdx ； oQ Xdx= 2oD(X)= EX E(X)'=第 (x- O)2?-e Wdxo +22 蟀.xe" Xdx= 2xC X|Q 4- 24一7解：令p=寸'則E(X)=邇kP(X= k)=k=0k?+ a逾<?(1 p)pk= p(l- k=0=p(i- p)j-(pk)= p(i- p)Pkj= pQ P)：宜dp褊dp=pQ-嗚

45、軌-堂p(1'嗚冷很p(1'吹越k=0P) *<Pkk=iPI" PE(X2)=逋k'P(X= k)=p(i p)? k(k- l)+kpk l=P(l- P)®ik(k- l)pk l4-49D(X)= E(X2)E(X)'= 2a3+ a a2= a2+ a4-8證明：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x)o(1) E(aX+ b)= (ax+b)f(x)dx= a xf(x)dx+ bQ f(x)dx= aE(X)+b(2) D(cX) = E(c2X3) E(cX)f = c2E(X2) c2E(X)2 = c2D(X)

46、o49證明：D(X)= E(X E(X)f = E(X C)- E(X)- C2=E(X C)2- 2E(X C)E(X)- C+EE(X) C2=E(X C)- 2E(X)- Cf + E(X)- C2=E(X C)' E(X) C2? E(X C)24-10 解：XN(ms2),已知：m= 143.10,s2= 5.672,貝ljU = 壬_少7(0,1),由雙側(cè)分位點(diǎn)知：-ua/2,ua/3內(nèi)的概率為1- a = 0.95, a = 0.05,1- ua/2 = 0.975 ,查表得 ua/2 = 1.96, in? sua 2143.005.67 .I 95%正常范圍為131.

47、99, 154.22。4-11證明：t= X cE(X)- c= E(X- c)=蝌(x- c)f(x)dx tf(c+t)dt=堿比(c+t)dt+ tf(c+t)dtu = - I o+7uf (c+ u)diitf(c+t)dtiif(c- u)chi =-曙uf(c- u)dii= °代入上式得 E(X)- c=蟒uf(c+u)du+ o?tf(c+ t)dt = 0E(X)= c4-12 解:(1) E(Y)= E(2X)= 2E(X) =xf(x)dx= 2xe' Xdx= 2 ； o(2) E(Y)= E(e2X)= e2xf(x)dx=。e 3xdx=4-13

48、 略414 解：E(X)= 姐xf(x,刃dxdy= 蝌x ° (x+y)dydx= £ x(x+*)dx=右；由對稱性，得E(Y)= I；E(XY)= 娟 xyf(x,y)dxdy= Q y(x+y)dydx= ?° 討)血=扌。4-15解：I X,Y相互獨(dú)立,E(XY)= E J2=蝌iFdx? § yC 卜辿-?KEY(=)鳩 xfx x©0 ； yiy y ctj()?y(時)=z9 5416解：記 q=lp,則E(X)=邇kP(X= k)=k?pqk 1k=ld 腮1 1O p1?dq橄qpW1= Pk=ldp dq2心)= k=i

49、dq1 1P(l- q)3= PE(X2)=邇kP(X= k)=k=lk(k- l)+kqk lkSpq" p?k=l飆(k 1)曠 2 +kqk-1 = p 礎(chǔ)畚&)+kqk'12 p _ 1+ qA P_=P；k=lk»l腰:d-淅1 二 121=± _= pq += dq-駆 q p (1- q) pJ_= A= - P*>P" P"D(X)= E(X3)- E(X)f =與P4-17設(shè)隨機(jī)變最X服從瑞利分布，其概率密度為f(x) =0x> 0x£ 0其中s>0為常數(shù),求E(X), D(X) o

50、解:?oE(X"乞敢竺£2s20 S -or4 D D(X)= E(X-)E(X)= -ys-421 略51X N (1H ) o4-19解：設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤為a < X ? 3010 #X apOOaOOCX- a),|500X- 100(a- X),300X+200a), a< X? 30600X- 100a,10 #X a期望利潤為E(Y(X)=闞齊(x)dx=命*(600x- 100a)dx+ Q3°(300x4- 200a)dx= 7.5“+350a+ 52502依題意有 75+350a+ 5250 侈9280 7.5a2- 350a + 4030 八020- #a 26故得利潤期望不少于9280元的最少進(jìn)貨量為21單位。4-20 略。-IHXPJXiXIOd HXPXPXXZXIO 窘 hxpxp(ax)jkx < 萼 H 艮w9 ETH(rlAH n8« w叵I Hxp(xiJc-.Hxpxpxzx奪hxpxp(a«)JlMXPXP(A2)JXA#0I x#0whqxw <lxw01XA2)J錄賴最£ “養(yǎng)芻寸CVX>O0Z 8q +(xqh (J<A3t xl+-003t x=(xwXK 0 J(X)NX=MU