復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除

1、 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法、乘方與法、乘方與除除法法運算運算已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實數(shù)）是實數(shù)） 即即: :兩個復(fù)數(shù)相加兩個復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實部與實部實部與實部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d) OZOZ1 1

2、+OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合向量加法符合向量加法的平行四邊形的平行四邊形法則法則.1.1.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)加法加法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z2z1向量向量Z1Z2符合向量減符合向量減法的三角形法的三角形法則法則.2.2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法減法運算的幾何意義運算的幾何意義? ? 1.1.復(fù)數(shù)的乘法法則：復(fù)數(shù)的乘法法則：2acadibcibdi)()acbdbcad i（說明說明:(1):(1)兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)；兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)； (2) (2)復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的，只是在，只是在運算

3、過程中把運算過程中把 換成換成1 1，然后實、虛部分別合并，然后實、虛部分別合并. .i2(3)(3)易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律即對于任何即對于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi例例1.1.計算計算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的. . 我們知道多項式的乘法用乘法公式可迅速展開運算我們知道多項式的乘法用乘法公式可迅速展開運算, ,類似地類

4、似地, ,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運用乘法公式來展開運算復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運用乘法公式來展開運算. .)(1biabia）（例例2 2：計算：計算222ibabiabia22ba 思考：思考：在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，你能將內(nèi)，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？22yx 2.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)：實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)：實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作, zzabi記思考：設(shè)思考：設(shè)z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么zzzzzzzzzz12121212, 另外不難證明另外不難證明:zz2

5、a2bizz22ab22 ()abi（ ）222babia222()() 2a biababi22 22aabib i3 (1 2 )(34 )( 2)iii （）(11 2 )( 2)20 15iii 222ababi3、復(fù)數(shù)的乘方、復(fù)數(shù)的乘方nmnmzzzmnnmzz)(mmmzzzz2121)(10i規(guī)定： 個nzzz ）（*Nnnz定義：把 類似于實數(shù)的乘方，記為.稱為復(fù)數(shù)z的n次冪21i 32ii ii 431ii ii i 1ii特殊情形：特殊情形：() i的周期性：設(shè)的周期性：設(shè)nN*，則，則 i4n _，i4n+1_， i4n+2 _，i4n+3_() = , = 2(1) i

6、2(1) i1i-1-i-2i2i一般地一般地,如果如果 ,有有*nN 例題講解例題講解4)21) 1 (i（432)2(iiii例3：計算：201021 ) 3(iii【練習(xí)【練習(xí)1】求值：求值：200632iiii10.212006200520042003200220018765432iiiiiiiiiiiiiiiii）（）（）（解：原式探究：類比實數(shù)的除法是乘法的逆運算，規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是探究：類比實數(shù)的除法是乘法的逆運算，規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算。試探究復(fù)數(shù)除法的法則。乘法的逆運算。試探究復(fù)數(shù)除法的法則。把滿足把滿足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)

7、x+yi 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) a+bi 除以復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)c+di的商的商,()()()()cdi xyicxdydxcy icxdyadxcyb2222acbdxcdbcadyicd解得4.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則4 4. .復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則 先把除式寫成分式的形式先把除式寫成分式的形式, ,再把分子與分母都再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)乘以分母的共軛復(fù)數(shù), ,化簡后寫成代數(shù)形式化簡后寫成代數(shù)形式( (分母分母實數(shù)化實數(shù)化).).即即分母實數(shù)化分母實數(shù)化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222ac

8、bdbcadicdcd例例4 4. .計算計算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先寫成分式形式先寫成分式形式 化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果. 然后然后分母實數(shù)化分母實數(shù)化即可運算即可運算.(一般分子分母同時乘一般分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)以分母的共軛復(fù)數(shù))1212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命題中正確的是如果是實數(shù)，則、互為共軛復(fù)數(shù)純虛數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是。兩個純虛數(shù)的差還是純虛數(shù)兩個虛數(shù)的差還是虛數(shù)。(2)(2)練習(xí)練習(xí)1 1：1212121212121

9、212( )0,( )0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命題中的真命題為：若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。D D練習(xí)練習(xí)2 2：（1 1）已知已知求求iziz41,232111212122,zzzzzzzz練練 習(xí)習(xí)3：（2 2）已知）已知 求求iziz2,1214211122, ()zzzzz（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i例例4.)11(8ii計算解828)1 (-11)11(iiiii）（）（822）（i18i練習(xí)練習(xí)2ii23212321，設(shè)。，）（，）（，）計算（)4(32

10、1322解2223211）（）（2)23(2341ii i23212223212）（）（i23212)23(2341ii解解233）（）（）（232123212123212321）（解解22）（，1133），（小結(jié)：ii232123214）（）（）（iiii2321232123212321ii232123212）（ 附附1：共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 2222221212111212221.,02 ,2 ;3.;4.;5.;6.;7.nnzabi a bRzabibzazbizabzzzzzRzzzzzzzzzzzzzzzz與互為共軛復(fù)數(shù)； 當時，互為共軛虛數(shù)。2.z+z-z 附附2：復(fù)數(shù)

11、的模的性質(zhì)：復(fù)數(shù)的模的性質(zhì) 2222222212121222221212121111112221.,2.;3.;4.22;5.;6.,;nnnnzabi a bRzabzabzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事實上可以把它推廣到事實上可以把它推廣到nZ.）設(shè)設(shè) ,則有則有:i2321 . 01 ; 12_23 事實上事實上, 與與 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為1的立方虛根的立方虛根,而且對于而且對于 ,也也有類似于上面的三個等式有類似于上面的三個等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiii

12、iii 附附3、一些常用的計算結(jié)果一些常用的計算結(jié)果拓拓 展展求滿足下列條件的復(fù)數(shù)求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z:z:(1)z+(3(1)z+(34i)=1;4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i(2)(3+i)z=4+2i另外另外, ,本題還可用幾何知識來分析本題還可用幾何知識來分析. .例題：例題：求求復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)a a的的值值。, ,4 4i i4 42 2a ai i1 1a a已已知知（2 2）b b的的值值。求求實實數(shù)數(shù)a a, ,i i1 1b ba az z若若z z, ,i i2 2i i) )3 3( (1 1i i) )( (1 1z z例例1 1. .（1 1）已已知知2 22

13、2求求集集合合A A。, ,N Nn n, ,i i) )( (i iz zz z例例2 2. .已已知知集集合合A A* *n nn n；）（）（）（；（）（）（的模練一練：計算下列復(fù)數(shù)2624i-3i73i32i6i 3-21的模求已知復(fù)數(shù)z,)2i1 () i3(3i)(1z)4(23求證：求證：2222121212|2(| )zzzzzz證法一：向量法證法一：向量法利用利用2|z zz證法三：證法三：證法二：設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式證法二：設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z1z2xOyZOz1z2Oz2z1( ,)zabi a bR設(shè)221ab則2211abiabiabiabiabzz2222()()abab

14、iabab221ab12zaRz 證法：證法：證法：證法：| 1z 2|1z zz 1zz | 1z 1zz若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)z滿足滿足 ,求證是實數(shù)求證是實數(shù)zz zzzzR 證法：證法：11()zzzz()zzzzz z1()(1)zzz z| 1z 2|1z zz 11()()0zzzz11()()zzzz即1zRz 11()()zzzz| 1z 1zz若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)z滿足滿足 ,求證是實數(shù)求證是實數(shù)利用充要條件： 是實數(shù)| 1z 1zz若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)z滿足滿足 ,求證是實數(shù)求證是實數(shù)| z122zz 若若z為復(fù)數(shù)，且為復(fù)數(shù)，且 , 求求1|1 zzRz結(jié)論：結(jié)論：1zRz1zz分析：能與實數(shù)比大小，所以分析：能與實數(shù)比大小，所以已知已知z為虛數(shù)，為虛數(shù)，1,12,zz 且(1)求求|z|的值以及的值以及z的實部的取值范圍的實部的取值范圍(2)設(shè)，求證設(shè)，求證u為純虛數(shù)為純虛數(shù)11zuz（年上海高考題）（年上海高考題）z=x+yi(