概率論(僅供參考)

1、前言由于湯老師不給力，下面由劉老師來為你們劃重點內(nèi)部使用，僅供參考，不承當(dāng)任何后果。參考：課本課件第一章該章概型和公式比較多，每個都配上了一個例題便于理解第一節(jié)重點：德·摩根律公式交換律：AB=BA，AB=BA結(jié)合律(AB)C=A(BC）（AB)C=A(BC）分配律：A(BC) = (AB)( AC )A(BC) = (AB)(AC）德·摩根律第二節(jié)頻率性質(zhì)1. 樣本任意一事件概率不小于0（非負(fù)性）2. 樣本事件概率和為1（規(guī)范性）3. 如果AB互斥 4. 如果AB不排斥 5.第三節(jié) 古典概型性質(zhì)1. 樣本空間中樣本點有限，既事件有限2. 樣本點概率等可能發(fā)生3.例題排列組

2、合問題（要是考應(yīng)該不會太難）幾何概型求法：1. 求出狀態(tài)方程2. 根據(jù)定義域畫圖3. 求概率=陰影面積/總面積第四節(jié) 條件概型公式：條件概率滿足概率的一切性質(zhì)既非法性，規(guī)范性，可加性例題全概率公式例題 書 p25貝葉斯公式第五節(jié) 獨立性如果AB事件獨立若多事件相互獨立，理論仍然成立貝努利概型既服從二項分布模型抽取n次的組合次數(shù)第二章 重點章節(jié)，幾大分布都是后幾章的基礎(chǔ)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律1. 兩點分布、01分布既隨機(jī)變量 X 只可能取0或1兩個值，事件執(zhí)行一次只有兩種情況，例如拋硬幣記為 Xb（1，p） p表示事件的概率，樣本點個數(shù)為1, 并且1-p表示相反事件概率2. 二項分布（

3、應(yīng)用于上章的貝努利概型）與0-1分布類似，事件執(zhí)行n次，記為 Xb（n，p） p表示事件的概率樣本點個數(shù)為n3. 泊松分布記為 X()，如果出題，應(yīng)該會標(biāo)明是泊松分布，或者給出明確的二項分布Xb（n，p）當(dāng)n充分大，p充分小時，對于任意固定的非負(fù)整數(shù)k，與泊松分布概率近視相等，并且=nb（數(shù)學(xué)期望相等）4. 幾何分布既抽取問題中可放回情況，該分布具有無記憶性5. 超幾何分布既抽取問題不放回情況第三節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量分布（感覺這個知識點必考，雖然不知道會是什么題）求事件概率公式，p51 1. 已知分布函數(shù)求分布律，并求事件概率（習(xí)題2第一題）根據(jù)公式求出各個點的概率，并畫出分布表，求事

4、件概率可以不會套公式，可以直接看表。2. 已知分布律求發(fā)布函數(shù)（p52，例題）第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型分布函數(shù)幾何意義：為連續(xù)型概率密度函數(shù)的面積所以兩者轉(zhuǎn)化與積分有關(guān)題型：1. 已知概率密度函數(shù)，求常數(shù)c（p55 例題）根據(jù)公式2. 分布函數(shù)求密度函數(shù)（習(xí)題2 8題）對分布函數(shù)求導(dǎo)3. 已知密度函數(shù)求分布函數(shù)均勻分布密度函數(shù) 記為 XU（a，b）分布函數(shù) 指數(shù)分布密度函數(shù)： 記為 XE () 分布函數(shù) 經(jīng)常用來描述壽命問題正態(tài)分布（必考）（高斯分布）密度函數(shù)：記為XN (, 2).正態(tài)分布密度函數(shù)性質(zhì)書上p60也了解根據(jù)公式： 可進(jìn)行查表來求分布律根據(jù)事件概率公式可求：例如

5、正態(tài)分布可以看出許多分布的近似分布第五節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布1. 離散型2. 連續(xù)型公式: （p67 例題）例如：已知密度函數(shù)fx（x），求Y=X+1的密度函數(shù)1. 求Y=X+1 的反函數(shù)：h（y）=Y-12. 套用公式3. 的正負(fù)于Y=X+1單調(diào)性有關(guān)，嚴(yán)格單調(diào)遞增為+，嚴(yán)格單調(diào)遞減為-第三章 多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量二維變量的聯(lián)合發(fā)布函數(shù)性質(zhì)：對于固定的x，y公式：二維離散型隨機(jī)變量可以根據(jù)其分布規(guī)律，用表格表示二維連續(xù)型隨機(jī)變量性質(zhì)： 該性質(zhì)用于求函數(shù) （G為平面的一區(qū)域）二維均勻分布區(qū)域公式：第二節(jié) 邊緣分布既把x或者y邊緣化二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布書p84 例題

6、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布第三節(jié) 條件分布P89 例題離散型隨機(jī)變量的條件分布律既 聯(lián)合分布律的固定樣本點/邊緣分布的固定樣本點P90 例題連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布密度求法;1. 求出X，Y的邊緣密度函數(shù)2. 根據(jù)條件分布公式，求出條件密度函數(shù)3. 求分布密度P92頁例題第四節(jié) 相互獨立的隨機(jī)分布若 X , Y 相互獨立，由定義知，既邊緣分布之積求法：書p95例題第五節(jié) 兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布求法：1. 列表2. 對應(yīng)概率值合并P97頁例題連續(xù)型二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布沒懂P99第四章 隨機(jī)變量的數(shù)組特征第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望（必考）既 樣本的平均值離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期

7、望 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 考試真題樣本滿足概率密度分布函數(shù)f（x）=cx3 0<x<11. 求c2. E（x）解 ： 第一問 = = 1/4 *c = 1解得 c = 4第二問 E（x）= =4/5隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例如 E（3x+1）的數(shù)學(xué)期望離散型 ：連續(xù)型：數(shù)學(xué)期望性質(zhì)：.1. EC=0（c為常數(shù)）2.3.4.常見數(shù)學(xué)期望：1. 二項分布Xb（n，p） 數(shù)學(xué)期望為 np2. 幾何分布 數(shù)學(xué)期望為1/p3. 指數(shù)分布 XE () 數(shù)學(xué)期望為1/4. 正太分布XN (, 2). 數(shù)學(xué)期望為5. 泊松分布X() 數(shù)學(xué)期望為第二節(jié) 方差對數(shù)學(xué)期望的偏差值求法:DX = E(X

8、 EX)2 為標(biāo)準(zhǔn)差或者叫均方差常用公式：真題樣本滿足概率密度分布函數(shù)f（x）=4x3 0<x<13. 求D（x）解：D（x）=2/75常用方差泊松分布 X (l) 方差：正態(tài)分布 X N ( m, s 2) 方差 均勻分布XU(a, b) 方差 指數(shù)分布 XE () 方差 二項分布X b( n , p) 方差方差性質(zhì)：D(aX+b ) = a2DXD(c)=0第三節(jié) 協(xié)方差與關(guān)系系數(shù)協(xié)方差 對于二維隨機(jī)變量（x,y）,當(dāng)x，y不相互獨立時，xy之間用協(xié)方差來描述其中關(guān)系協(xié)方差公式 ： 協(xié)方差性質(zhì)：1. 2.3.4.5.相關(guān)系數(shù)X，y的相關(guān)系數(shù)公式：若其為0表示 xy不相關(guān)離散型求

9、相關(guān)系數(shù)：連續(xù)型求相關(guān)系數(shù)： P137頁例題第四節(jié) 矩與協(xié)方差矩陣矩：對于隨機(jī)變量x 存在， 稱 k 為 X 的 k 階原點矩存在, 稱 mk 為 X 的 k 階中心矩下一章要用到第五章 大數(shù)定理與中心極限定理第一節(jié) 大數(shù)定理切比雪夫不等式或者： 不太懂，記下公式，例題p145大數(shù)定理書上一籮筐看不懂的大數(shù)定理證明就是說明了一個東西，在n（樣本基數(shù)）足夠大的時候，算術(shù)平方根幾乎是一個常數(shù)，無限趨近于數(shù)學(xué)期望書上和ppt上都沒例題，基本上不要考第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理多個獨立隨機(jī)變量滿足同一分布，并且具有相同的方差和數(shù)學(xué)期望，其極限近似與正態(tài)分布公式： 例題德莫佛-拉普拉斯定理該定理表明

10、, 正態(tài)分布是二項分布的極限分布對于充分大的n 近似有 n的狀態(tài)分布 既數(shù)學(xué)期望和與方差和第六章 樣本及抽樣分布第一節(jié)簡單隨機(jī)抽樣（代表性與獨立性）若總體的分布密度函數(shù)為 f (x) , 則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為 （表示累乘）經(jīng)驗分布函數(shù)P161 例題第二節(jié) 抽樣分布這節(jié)課逃了，沒聽，好煩，根本看不懂第七章 參數(shù)估計第一節(jié) 矩估計參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.例如，X N (m ,s 2), 若m, s 2未知, 通過構(gòu)造樣本的函數(shù), 給出它們的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計的內(nèi)容點估計，估計未知參數(shù)的值區(qū)間估計，范圍設(shè)總體的 r 階矩存在，記為 樣本 X1, X2, Xn 的 r 階矩為經(jīng)

11、典例題例題第二節(jié) 極大似然估計求法設(shè)P（x）為概率函數(shù)似然函數(shù)：對數(shù)似然函數(shù)：既在其左右加對數(shù)然后令其為0，求極大值 例題：第三節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)設(shè)總體服從任意分布， Ex=, Dx= 2既得樣本平均值：x， 方差為S2既x為的無偏估計量，S2為2的無偏估計量根據(jù)性質(zhì)：Ex（平均值）=E S2 =2Dx（平均值）=Dx / n第四節(jié) 區(qū)間估計置信度： 置信區(qū)間求法求出，根據(jù)置信度查正態(tài)分布表求出u計算公式：如果 未知，用方差S來代替，然后查t表 第八章 假設(shè)檢驗看書考點（必考）P111 7題 X 0 1 2 3 Y 0 0.84 0.03 0.02 0.011 0.06 0.01 0.008

12、 0.0022 0.01 0.005 0.004 0.001求1.在Y=1的情況下，X的分布律 2.X=2的條件下，Y的分布規(guī)律P143 21題 X -2 -1 1 2Y1 0 0.25 0.25 04 0.25 0 0 0.25證明 XY不相關(guān) 也不獨立求出邊緣分布規(guī)律X邊緣分布：X -2 -1 1 2Px 0.25 0.25 0.25 0.25求得Ex = -2*0.25+（-1）*0.25 + 0.25 +0.5=0Y的邊緣分布Y 1 4Py 0.5 0.5Ey = 0.5+4*0.5 = 2.5有E（yx） = -0.25+0.25 -2 +2 = 0有根據(jù)相關(guān)系數(shù) cov（x,y）=

13、E（xy）-E(x)*E（y）=0既可以證明，XY不相關(guān)又 可以怎么XY不獨立P153 3題每袋茶的期望值為100g，標(biāo)準(zhǔn)差為10g，一盒有200袋茶，求一盒茶重20.5kg的概率以(1,2,200)表示一袋茶葉的凈重, 由已知,.記為一盒茶葉的凈重, 則,因各袋茶葉的凈重可以認(rèn)為相互獨立, 即隨機(jī)變量(1,2,200)相互獨立, 從而有,由獨立同分布中心極限定理知,近似服從正態(tài)分布, 由此知.P171 2題 給出一組樣本，求平均值，和方差平均值 ：全部相加/樣本個數(shù)方差： （所有的（樣本個體-平均值）的平方）/樣本個數(shù)P208 2題一批零件抽取8個 長度如下53.001 53.003 53.

14、001 53.005 53.000 52.998 53.002 53.006服從正態(tài)分布，求平均值和方差的矩估計值，然后求其小于53.004的概率由矩法估計知：， . 從而和的矩估計值分別是：=0.000006由此知零件長度服從的分布為：. 故.P214 例題每袋大米標(biāo)準(zhǔn)重量為100kg，重量服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為0.9kg，隨機(jī)取9袋大米為100.5 98.6 105.0 98.4 102.5 101.2 99.5 98.9 99.3問大米機(jī)是否正常解： 首先標(biāo)準(zhǔn)差已經(jīng)知道，并且由題可知，服從標(biāo)準(zhǔn)重量，大米機(jī)就工作正常所以，提出兩個對立的假設(shè)H0： u=u0 H1： u！=u0根據(jù)公式 解出 |u| = 2.2 >1.96(查表得到)，既拒絕H0，大米機(jī)工作不正常P237 2題正常人脈搏72/min，鉛中毒的患者中有10個人脈搏如下54 67 68 78 70 66 67 70 65 69為正態(tài)分布，在a=0.05下，鉛中毒與正?；颊叩拿}搏有沒有顯著的區(qū)別本題是在未知方差的條件下，檢驗總體均值=72, 取檢驗統(tǒng)計量為檢驗假設(shè)可設(shè)為, .在為真時, 檢驗統(tǒng)計量, 由已知數(shù)據(jù)計算可得：, , 代入檢驗統(tǒng)計量, 得統(tǒng)計量的觀測值為,又, 查分布表得, 由此