數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)及題型歸納含答案共15頁

1、數(shù)列一、等差數(shù)列題型一 、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù) 列就叫等差數(shù)列 ，這個 常數(shù)叫 做等差數(shù) 列的公差，公 差通常用 字母 d 表示。 用遞推 公式表示 為a a 1 d(n 2) 或 an 1 an d(n 1)。n n例：等差數(shù)列 a 2n 1 n ， an an 1題型二 、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a a1 (n 1)d ；n說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為 a p 數(shù)列）的單調(diào)性： d 0為遞增數(shù)列， d 0為常數(shù)列， d 0 為遞減數(shù)列。例： 1. 已知等差數(shù)列 an 中， a7 a9 16，a4 1，則 a12 等于（

2、 ）a15 b 30 c 31 d 642. a 是首項(xiàng) a1 1，公差 d 3的等差數(shù)列，如果 an 2005，則序號 n 等于n（a）667 （b）668 （c）669 （d）6703. 等差數(shù)列 a 2n 1,b 2n 1n ，則 an 為 bn 為 （填“遞增數(shù)列”或n“遞減數(shù)列” ）題型三 、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果 a ， a，b 成等差數(shù)列，那么 a叫做 a 與 b的等差中項(xiàng)。其中aa b2a ， a，b 成等差數(shù)列a ba 即： 2an 1 an an 2 （ 2an an m an m ）2例：1設(shè)a 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 a1 a2 a3 15， a1a2a3 80

3、 ，則 a11 a12 a13 （ ）na120 b 105 c90 d 752. 設(shè)數(shù)列 a 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為 12，前三項(xiàng)的積為 48，則它的首項(xiàng)是（ ）na1 b.2 c.4 d.8題型四 、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列a 中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；n（2）在等差數(shù)列a 中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；n（3）在等差數(shù)列a 中，對任意 m ，n n ， an am (n m)d ，nda an mn m(m n) ；（4）在等差數(shù)列a 中，若 m ， n， p ，q n 且 m n p q ，則 am an ap aq ；nn(a a

4、 ) n(n 1) 1 d題型五 、等差數(shù)列的前 n 和的求和公式： 1n 2s na d n a ）n（n 1 12 2 2 2。2 bn a b為常數(shù)( sn ( , ) an 是等差數(shù)列 )an遞推公式：sn(a1 a n (a a ( 1) )n)m n mn2 2例：1. 如果等差數(shù)列a 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 . a7n（a） 14 （b） 21 （c） 28 （d）352.設(shè)sn 是等差數(shù)列a 的前 n項(xiàng)和，已知 a2 3 ， a6 11，則s7 等于 ( )na13 b 35 c 49 d 633. 已知a 數(shù)列是等差數(shù)列， a10 10 ，其前 10

5、項(xiàng)的和 s10 70，則其公差 d 等于 ( )n2 1a b c.3 313d.234. 在等差數(shù)列 an 中， a1 a9 10 ，則a5 的值為（ ）（a）5 （b）6 （c） 8 （d）105. 若一個等差數(shù)列前 3項(xiàng)的和為34，最后 3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個數(shù)列有（ ）a.13項(xiàng)b.12項(xiàng)c.11項(xiàng)d.10 項(xiàng)6. 已知等差數(shù)列a 的前 n項(xiàng)和為s ，若n ns12 21，則a a a a2 5 8 117.設(shè)等差數(shù)列s9a 的前 n項(xiàng)和為sn ，若 a5 5a3 則ns58.設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為sn ，若 s9 72 ,則a2 a4 a9 =9.設(shè)

6、等差數(shù)列a 的前 n項(xiàng)和為sn , 若 a6 s3 12 ,則ann10已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列， b1=1，b1+b2+ +b10=100. ，則bn=11設(shè) an為等差數(shù)列， sn為數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和，已知 s77， s1575，tn為數(shù)列sn 的前 n 項(xiàng)n和，求 tn。12. 等差數(shù)列a 的前 n項(xiàng)和記為sn ，已知 a10 3 0， a20 50 求通項(xiàng)an ；若 sn =242，求 nn13. 在等差數(shù)列 a 中，（1）已知 s8 48, s12 168,求 a1和d ；（2）已知 a6 10, s5 5,求 a8和s8 ；n(3) 已知 a3 a15 40,求s17題型六 .

7、對于一個等差數(shù)列：（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n項(xiàng)，則 s偶 s奇 nd ； s a奇ns a偶n1；（2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有 2n 1項(xiàng)，則 s奇 s偶 an a 中 ；中 ；s n奇s n偶1。題型七 . 對與一個等差數(shù)列，sn , s2 s ,s3 s2 仍成等差數(shù)列。n n n n例：1. 等差數(shù)列 an的前 m項(xiàng)和為 30，前 2m項(xiàng)和為 100，則它的前 3m項(xiàng)和為（ ）a.130 b.170 c.210 d.2602. 一個等差數(shù)列前 n 項(xiàng)的和為 48，前 2 n 項(xiàng)的和為 60，則前 3n 項(xiàng)的和為 。3已知等差數(shù)列a 的前 10 項(xiàng)和為 100，前 100 項(xiàng)和為 10

8、，則前 110 項(xiàng)和為n4. 設(shè)s 為等差數(shù)列na 的前 n項(xiàng)和， s4 1 4，s10 s7 30，則s9 =ns5設(shè) sn 是等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，若 3s613，則s6s12a310b13c 18d19題型八 判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法： an 1 a d(常數(shù)）（ n n ） an 是等差數(shù)列n中項(xiàng)法： 2 1 a a n n )an （ an 是等差數(shù)列n n 2通項(xiàng)公式法： a kn b (k,b為常數(shù) )n an 是等差數(shù)列2 bn a b為常數(shù) 前 n項(xiàng)和公式法： ( , )s ann an 是等差數(shù)列 例：1. 已知數(shù)列 a 滿足 an an 1 2

9、，則數(shù)列 an 為 （ ）na. 等差數(shù)列 b. 等比數(shù)列 c. 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 d. 無法判斷2. 已知數(shù)列 a 的通項(xiàng)為 an 2n 5 ，則數(shù)列 an 為 （ ）na. 等差數(shù)列 b. 等比數(shù)列 c. 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 d. 無法判斷23. 已知一個數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和 sn 2n 4 ，則數(shù)列 an 為（ ）na. 等差數(shù)列 b. 等比數(shù)列 c. 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 d. 無法判斷4. 已知一個數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和n2s 2nn ，則數(shù)列 an 為（ ）a. 等差數(shù)列 b. 等比數(shù)列 c. 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 d. 無法判斷5. 已

10、知一個數(shù)列 a 滿足 an 2 2an 1 an 0 ，則數(shù)列 an 為（ ）na. 等差數(shù)列 b. 等比數(shù)列 c. 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 d. 無法判斷26設(shè) sn 是數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，且 sn=n ，則 an 是（ ）a. 等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 b. 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列c.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 d. 既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列7. 數(shù)列a 滿足 a1 =8， a4 2，且 an 2 2an 1 an 0 （ n n ）n求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；n題型九 . 數(shù)列最值（1） a1 0， d 0 時， sn 有最大值； a1 0 ， d 0時， sn 有最小值；（

11、2） sn 最值的求法：若已知 sn ， sn 的最值可求二次函數(shù)2s an bn 的最值；n可用二次函數(shù)最值的求法（ n n ）；或者求出a 中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：n若已知a ，則sn 最值時n 的值（ n n ）可如下確定nanan100或anan100。1.設(shè) an（nn n 是其前 n項(xiàng)的和，且 s5s6，s6s7s8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）* ）是等差數(shù)列， sa. d0 b. a70 c. s9s5 d. s6 與 s7均為sn 的最大值2等差數(shù)列a 中， a1 0，s9 s12 ，則前項(xiàng)的和最大。nn3已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)n9899（ n n ），則數(shù)列 an 的前 30項(xiàng)中

12、最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是4設(shè)等差數(shù)列a 的前 n項(xiàng)和為sn ，已知 a3 12， s12 0， s13 0n求出公差 d 的范圍，指出s1，s ， ， s 中哪一個值最大，并說明理由。2 125. 已知 a 是等差數(shù)列，其中 a1 31，公差 d 8。n（ 1）數(shù)列 a 從哪一項(xiàng)開始小于 0？n（ 2）求數(shù)列 a 前 n項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng) n的值n6. 已知 a 是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中 a1 0 ，公差 d 0 ，若 s10 0, 求數(shù)列 an 前 n項(xiàng)和的最大值n7. 在等差數(shù)列 a 中， a1 25， s17 s9 ，求 sn 的最大值n題型十 . 利用ans (n 1)1s s

13、(n 2)n n 1求通項(xiàng)1.設(shè)數(shù)列 a 的前 n項(xiàng)和n2s n ，則a8 的值為（ ）n（a） 15 (b) 16 (c) 49 （d） 642已知數(shù)列2 na 的前 n項(xiàng)和 sn 4 1，則nn3. 數(shù)列 a 的前 n項(xiàng)和n2 1s n （1）試寫出數(shù)列的前 5 項(xiàng)；（2）數(shù)列 an 是等差數(shù)列嗎？（ 3）你能寫出數(shù)n列 a 的通項(xiàng)公式嗎？n14. 已知數(shù)列 an 中， a1 3，前n和 ( 1)( 1) 1sn n an2求證：數(shù)列a 是等差數(shù)列n求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式n等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地， 如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起 ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列

14、，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q表示 (q 0) ，即： an 1： an q(q 0) 。一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式n 1 n m遞推關(guān)系： 通項(xiàng)公式： 推廣：a 1 a q a a1 q a a qn n n n m1. 等比數(shù)列 an 中，a28，a164，則公比 q 為（ ）（a）2 （b）3 （c）4 （d）82. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 a 中，首項(xiàng) a1 3，前三項(xiàng)和為 21，則 a3 a4 a5 （ ）na 33 b 72 c 84 d 1893. 在等比數(shù)列a 中, a1 4, q 2，則 ann4. 在等比數(shù)列 an 中,3a7 12,q 2 , 則a19 _

15、.5.在等比數(shù)列 an 中， a2 2 ，a5 54 ，則 a8 =2 二、等比中項(xiàng)：若三個數(shù) a, b,c 成等比數(shù)列，則稱 b 為a與c的等比中項(xiàng)，且為 b ac b ac，注： 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件 .1. 2 3 和2 3 的等比中項(xiàng)為 ( )( a)1 (b) 1 (c) 1 (d)22. 設(shè)a 是公差不為 0 的等差數(shù)列， a1 2 且 a1,a3,a6 成等比數(shù)列，則 an 的前 n 項(xiàng)和 sn =（ ）na2 7n n4 4b2 5n n3 3c2 3n n2 4d2n n三、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1. （1）若m n p q，則am an ap aq (其中m, n,

16、 p, q n )a2 a a n n n ，m n（2） ( )q an n m n mam（3） an 為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列 .（4）a 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 an 是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列 .n1在等比數(shù)列a 中, a1和 a10 是方程n22x 5x 1 0 的兩個根 , 則 a4 a7 ( )(a)52(b)22(c)12(d)122. 等比數(shù)列 a 的各項(xiàng)為正數(shù)，且 a5a6 a4a7 18,則log3 a1 log 3 a2 l log3 a10 （ ）na 12 b 10 c 8 d 2+ log3 53. 已知等比數(shù)列 a 滿足 an 0,n 1,2

17、,l ，且n2na5 a2 5 2 (n 3)，則當(dāng) n 1時，nlog a log a l log a n （ ）2 1 2 3 2 2 1a. n (2n 1) b.2(n 1) c.2n d.2(n 1)4. 在等比數(shù)列a ，已知 a1 5， a9 a10 100 ，則 a18 =n5. 在等比數(shù)列 an 中，a1 a 33，a a 32，an an6 3 41求a 若ntn lg a1 lg a2 lg a ,求tn n四、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，na (q 1)1ns a (1 q ) a anq1n 11 q 1 q(q 1)例：1設(shè)4 7 10 3n 10f (n) 2 2 2

18、2 l 2 (n n) ，則 f (n) 等于（ ）a 2 (8n 1) b 2 (8n 1 1) c 2 (8n 3 1) d 2(8 4 1)n7 7 7 72. 已知等比數(shù)列 a 的首相 a1 5 ，公比 q 2 ，則其前 n 項(xiàng)和 snn3. 已知等比數(shù)列 a 的首相 a1 5 ，公比n1q ，當(dāng)項(xiàng)數(shù) n 趨近與無窮大時，其前 n 項(xiàng)和 sn24設(shè)等比數(shù)列 a 的公比為 q，前 n 項(xiàng)和為 sn，若 sn+1,sn，sn+2 成等差數(shù)列，則 q 的值為 . n5. 設(shè)等比數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 sn ，已 a2 6, 6a1 a3 30 ，求 an 和 snn6設(shè)等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 sn，若 s3s62s9，求數(shù)列的公比 q；五. 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列a 是等比數(shù)列， sn 是其前 n 項(xiàng)的和，n*k n ，那么 sk ， s2k sk ，s3k s2k 成等比數(shù)列 .1 設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn ，若s6s3=3 ，則s9s6=( )7 8a. 2 b. c. d.33 32. 一個等比數(shù)列前 n 項(xiàng)的和為 48，前 2 n 項(xiàng)的和為 60，則前 3 n 項(xiàng)的和為（ ）a83 b 108 c 75 d 633. 已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列，且 sm