安徽省皖南八校2013屆高三數(shù)學12月聯(lián)考試題理(含解析)新人教A版

1、安徽省皖南八校2013 屆高三（上） 12 月聯(lián)考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10 小題，每小題5 分，共 50 分 . 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1（ 5 分）等于（）A 1+iB 1+iC 1 iD 1i考點 ：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算專題 ：計算題分析：直接利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則，運算求得結果解答：解：= 2i=1+i 2i=1 i ，故選 C點評：本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，屬于基礎題2（ 5 分）已知集合A=1 ，2，3，4， 5 ， B=（x， y） |x A，y A，x y，x+y A ，則集合 B 中的元素

2、個數(shù)為（）A2B3C4D5考點 ：元素與集合關系的判斷專題 ：計算題分析：通過集合 B，利用 x A，y A，x y，x+y A，求出 x 的不同值， 對應 y 的值的個數(shù)，求出集合B 中元素的個數(shù)解答：解：因為集合A=1， 2， 3， 4， 5 ， B=（ x， y） |x A，y A， x y， x+y A ，當 x=1 時， y=2 或 y=3 或 y=4；當 x=2 時 y=3；所以集合B 中的元素個數(shù)為4故選 C點評：本題考查集合的元素與集合的關系，考查基本知識的應用3（ 5 分）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列a n 中， a2?a12 =49，則 a7 的最小值為（）A 7B 8C 9

3、D 10考點 ：等差數(shù)列的性質專題 ：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：由條件可得得 a 7=，再利用基本不等式a7 的最小值解答：解：由等差數(shù)列的性質可得a 7=，等差數(shù)列 a n 中，各項均為正數(shù)，a2?a12=49，1=7，當且僅當a 2 =a12 時，等號成立，故則 a7 的最小值為7 ，故選 A點評：本題主要考查等差數(shù)列的性質應用，基本不等式的應用，屬于中檔題4（ 5 分）已知某 8個數(shù)的平均數(shù)為5，方差為 2，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這 9 個數(shù)的平均數(shù)為，方差為2）S ，則（ABCD考點 ：極差、方差與標準差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)專題 ：計算題；概率與統(tǒng)計分析：由題設條件，利用平均數(shù)和方

4、差的計算公式進行求解解答：解：某 8 個數(shù)的平均數(shù)為5，方差為 2，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這 9 個數(shù)的平均數(shù)為，方差為 S2， =5，=，故選 A點評：本題考查平均數(shù)和方差的計算公式的應用，是基礎題 解題時要認真審題，仔細解答5（ 5 分）（2009?東城區(qū)一模）已知命題：“若xy，yz，則xz”成立，那么字母x，y， z 在空間所表示的幾何圖形不能（）A 都是直線B 都是平面C x， y 是直線， z 是平面D x， z 是平面， y 是直線考點 ：平面與平面之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系分析：本題考查的知識點是空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置判斷，我

5、們可根據(jù)空間中點、線、面之間的位置關系判定或性質定理對四個答案逐一進行分析，即可得到答案解答：解：若字母x， y，z 在空間所表示的幾何圖形都是直線，則由線線夾角的定義，我們易得兩條平行線與第三條直線所成夾角相等，故 A 不滿足題意若字母 x， y， z 在空間所表示的幾何圖形都是平面則由面面夾角的定義，我們易得兩個平行平面與第三個平面所成夾角相等，故 B 不滿足題意若字母 x， y， z 在空間所表示的幾何圖形x， y 是直線， z 是平面若 xy，yz，時， x 也可能與 z 平行，故 C 滿足題意若字母 x， y， z 在空間所表示的幾何圖形 x， z 是平面， y 是直線則由面面垂直的

6、判定定理易得結論正確2故 D 不滿足題意點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得， 直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關的性質定理；根據(jù)要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來6（ 5 分）“ 2012”含有數(shù)字0，1，2，且有兩個數(shù)字2，則含有數(shù)字0， 1，2，且有兩個相同數(shù)字 2 或 1 的四位數(shù)的個數(shù)為（）A 18B 24C 27D 36考點 ：排列、組合及簡單計數(shù)問題專題 ：計算題；概率與統(tǒng)計分析：分類討論，滿足題意的四位數(shù)，1、 2

7、 開頭的四位數(shù)各6 個，即可得到結論解答：解：由題意， 1 開頭的四位數(shù)，其中2 個 1 有 6 個， 2 個 2 有 3 個； 2 開頭的四位數(shù)，其中 2 個 2 有 6 個， 2 個 1 有 3 個，故滿足題意的四位數(shù)的個數(shù)為9+9=18 個故選 A點評：本題考查計數(shù)原理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題7（ 5 分）（2012?武漢模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果是9，則判斷框內m的取值范圍是（）A （ 42，56B （ 56， 72C （ 72， 90D （ 42，90）考點 ：循環(huán)結構專題 ：閱讀型分析：由已知中該程序的功能是計算2+4+6+值，由循環(huán)變量的初值

8、為1，步長為1，最后一次進入循環(huán)的終值為9，即 S=72，由此易給出判斷框內m的取值范圍解答：解：該程序的功能是計算2+4+6+值，由循環(huán)變量的初值為1，步長為1，最后一次進入循環(huán)的終值為9，第 1次循環(huán)： S=0+2=2k=1+1=2第 2次循環(huán)： S=2+4=6k=2+1=3第 3次循環(huán)： S=6+6=12k=3+1=43第 4次循環(huán)： S=12+8=20k=4+1=5第 7次循環(huán)： S=42+14=56k=7+1=8第 8次循環(huán)： S=56+16=72k=8+1=9退出循環(huán)此時 S=72，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出 k=9 則判斷框內 m的取值范圍是 m（ 56，72 故選 B點評：本題

9、主要考查了循環(huán)結構，是算法中重要的一種題型，同時考查了分析問題的能力，屬于基礎題8（ 5 分）設命題p：（x， y， k R，且 k 0）命題 q：（ x 3） 2+y225（x， y R），若 P 是 q 的充分不必要條件，則k 的取值范圍是（）A（0，3B（0，6C（0， 5D 1，6考點 ：簡單線性規(guī)劃；必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題 ：計算題分析：已知命題 p：22命題 q：（x 3） +y 25（ x，yR），p 是 q 的充分不必要條件可得p? q，說明 p 所表示的區(qū)域在q 所表示的區(qū)域內部，畫出 p 和 q 的可行域，利用數(shù)形結合的方法進行求解；解答：解：由題意可得，p

10、 是 q 的充分不必要條件，可得p? q，說明 p 所表示的區(qū)域在q 所表示的區(qū)域內部，數(shù)形結合，畫出p 和 q 的區(qū)域范圍，如下圖：4B（ k， 4），可知只需滿足條件：，解得 0k6；故選 B；點評：此題主要考查線性規(guī)劃問題，解題的過程中用到了數(shù)形結合的方法，解決此題的關鍵是能夠正確畫出可行域，此題是一道中檔題；9（ 5 分）過雙曲線的左焦點F 作直線交雙曲線的兩條漸近線與 A， B 兩點，若，則雙曲線的離心率為（）ABC2D考點 ：雙曲線的簡單性質專題 ：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：利用向量的線性運算及數(shù)量積運算， 可得 BOF=AOB=AOx=60°， 由此可求雙

11、曲線的離心率解答：，解：，B為 FA 的中點 BOF=AOB=AOx=60°雙曲線的離心率為 e=2故選 C點評：本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識的運用， 考查學生的計算能力， 屬于基礎題10（ 5 分）已知函數(shù)f （x） =1+x，設 F（x） =f （ x+4），且函數(shù)F（ x）的零點均在區(qū)間a ，b（ a b，a，b Z）內，圓 x2+y2=b a 的面積的最小值是（）A B 2C 3D 4考點 ：圓的標準方程；函數(shù)的零點專題 ：計算題；導數(shù)的概念及應用；直線與圓分析：利用導數(shù)研究函數(shù) f （ x）的單調性，得函數(shù) f （ x）是 R 上的增函數(shù)再用零點存在性定理，得 f

12、（ x）在 R 上有唯一零點 x0（ 1， 0），結合函數(shù)圖象的平移知識可得5數(shù) F（ x）的零點必在區(qū)間（ 5， 4）由此不難得到 b a 的最小值，進而得到所求圓面積的最小值解答：解： f （ x） =1+x，當 x 1 或 x 1 時， f' （ x） =1 x+x2 x3+x2012 = 0而當 x=1 時， f' （ x） =2013 0f' （ x） 0 對任意 x R 恒成立，得函數(shù)f （x）是（， +）上的增函數(shù)f （ 1） =（ 11） +（）+（） 0， f （ 0） =1 0函數(shù) f （ x）在 R上有唯一零點x0（ 1， 0） F（ x）=f （

13、 x+4），得函數(shù) F（ x）的零點是 x0 4（ 5， 4）a 5 且 b 4，得 b a 的最小值為 4（ 5）=1圓 x2+y2=b a 的圓心為原點，半徑r=圓 x2+y2=b a 的面積為 r 2=（ b a） ，可得面積的最小值為 故選： A點評：本題給出關于x 的多項式函數(shù)， 求函數(shù)零點所在的區(qū)間長度的最小值著重考查了函數(shù)的零點、圓的標準方程和利用導數(shù)研究函數(shù)的性質等知識點，屬于中檔題二、填空題：本大題共5 小題，每小題5 分，共 25 分. 把答案填在答題卷中的橫線上.11（ 5 分）展開式中不含x3 項的系數(shù)的和為0考點 ：二項式系數(shù)的性質專題 ：計算題分析：把 x=1 代入

14、可得所有項的系數(shù)的和，由二項式定理可得含X3 項的系數(shù)為1，兩個系數(shù)的差即為所求解答：解：把 x=1 代入可得展開式中所有項的系數(shù)的和為（1 2） 6=1，而含 X3 項為：=x3，即 x3系數(shù)為 1，故展開式中不含X3 項的系數(shù)的和為：1 1=0，故答案為： 0點評：本題考查二項式系數(shù)的性質，賦值是解決問題的關鍵，屬基礎題12（ 5 分）（2013?東莞二模）已知某個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是6 6考點 ：由三視圖求面積、體積專題 ：計算題分析：由已知中的三視圖，我們可分析出幾何體的形狀及底面邊長高等信息，代入棱錐體積公式，可得答案解答：解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一

15、個以俯視圖為底面，以 2 為高的四棱錐故這個幾何體的體積V= Sh= ?3×3×2=6故答案為： 6點評：本題考查的知識點是由三視圖求體積， 其中根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的形狀是解答的關鍵13（ 5 分）設非零向量、，滿足 |=|=| ，+ =，則 sin ， =考點 ：平面向量數(shù)量積的運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角專題 ：平面向量及應用分析：由向量式可得=，而 cos=，代入可得其值，進而可得要求的值解答：解：+=，平方可得=，cos=，sin=，故答案為：點評：本題考查向量的夾角公式，涉及向量的簡單運算，屬基礎題14（ 5 分）已知函數(shù)f （ x）=sin x+ac

16、os x（a 0， 0）的圖象關于直線x=對稱，點（）是函數(shù)圖象的一個對稱中心，則a+ 的最小值是考點 ：正弦函數(shù)的對稱性；y=Asin （ x+）中參數(shù)的物理意義專題 ：三角函數(shù)的圖像與性質7分析：由 f（ x）=sin x+acos x（ a 0， 0）的圖象關于直線 x=對稱，可得 f（）=f （） =0，進而得到 =k ，再由 a 0， 0，可得 =3n+1， n N，此時 a 為定值，故當 取最小值時， a+ 取最小值解答：解： f（ x） =sin x+acos x（ a0， 0）的圖象關于直線x= 對稱，f （） =f （） =0 sin+acos=sin+acos=0；a=ta

17、n=tan=tan （）=+k ， kZ即 =ka 0， 0 =3n+1， n N此時 a=tan （ n+） =故當 =1 時， a+ 的最小值是+1故答案為：+1點評：本題考查三角函數(shù)的性質，求得 a 是關鍵，考查正弦函數(shù)的對稱性，考查分析、轉化與運用三角知識解決問題的能力，屬于難題15（ 5 分）若函數(shù)y=f （ x）對定義域的每一個值x1，都存在唯一的x2，使 y=f （ x1） f （ x2）=1 成立，則稱此函數(shù)為“濱湖函數(shù)”下列命題正確的是（把你認為正確的序號都填上）y=是“濱湖函數(shù)”；y=+sinx （ x ） I 是“濱湖函數(shù)”； y=2x 是“濱湖函數(shù)”；y=lnx 是“濱

18、湖函數(shù)”；y=f （ x），y=g（ x）都是“濱湖函數(shù)”，且定義域相同，則 y=f （ x）g（ x）是“濱湖函數(shù)”考點 ：抽象函數(shù)及其應用；函數(shù)的值專題 ：新定義；函數(shù)的性質及應用分析：利用“濱湖函數(shù)”的定義，逐個分析五個函數(shù)，能夠得到結果解答：解：對于，對應的x1， x2 不唯一，不一定是“濱湖函數(shù)”；對于，函數(shù)y=是 上的單調增函數(shù)，8對，內的每一個值，在 ， 內存在唯一的x2，使=成立，是“濱湖函數(shù)”；對于， y=2 x， 2x?2 x=1，是“濱湖函數(shù)”；對于， y=lnx有零點，一定不是y=lnx “濱湖函數(shù)”；對于， y=f （ x）， y=g（x）都是“濱湖函數(shù)”，且定義域相

19、同，對于定義域中每一個 x1，都存在唯一的 x2，使 y=f （ x1） f （x2） =1 和 y=g（ x1） g（ x2） =1 成立，兩個 x2 不一定相等，y=f （ x1） g（ x1）?f （ x2） g（ x2）=1 不一定成立，不是“濱湖函數(shù)”故答案為：點評：本題考查函數(shù)的性質的基本應用，解題時要認真審題， 注意理解“濱湖函數(shù)”的概念三、解答題：本大題共6 小題，共75 分 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 解答寫在答題卷上的指定區(qū)域內.16（ 12 分）（2012?資陽二模） ABC 中，角 A、 B、 C 對邊分別是a、b、 c，滿足（）求角A 的大小；（）求

20、的最大值，并求取得最大值時角B、 C的大小考點 ：余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算；正弦函數(shù)的定義域和值域專題 ：計算題分析：（ ）通過化簡向量的表達式，利用余弦定理求出 A 的余弦值，然后求角 A的大??；（）通過 A 利用 2012 年 6 月 7 日 17 ： 54： 00 想的內角和，化簡為 C的三角函數(shù)，通過 C 的范圍求出表達式的最大值，即可求出最大值時角 B、 C 的大小解答：，解 （）由已知化為 2bccosA=a2 b2c2 2bc，（2 分）由余弦定理a2=b2+c2 2bccosA 得 4bccosA= 2bc ，（4 分）0 A ，（6 分）9（），=（8 分），當C+=，

21、取最大值，解得 B=C=（ 12 分）點評：本題借助向量的數(shù)量積考查余弦定理以及三角函數(shù)的最值，考查計算能力17（ 12 分）如圖，已知平行四邊形ABCD中， AD=2， CD=， ADC=45°， AEBC，垂足為 E，沿直線 AE將 BAE 翻折成 BAE，使得平面 BAE平面 AECD連接 BD，P 是 BD 上的點（）當BP=PD時，求證： CP平面ABD；（）當BP=2PD時，求二面角P AC D 的余弦值考點 ：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定專題 ：綜合題分析：? =0，? =0（） 由已知，得出 EEEC，建立空間直角坐標系通過得出 CPAB， CPAD

22、，證出CP平面 ABD；（）設 P（ x，y，z），則=（ x，y，z 1），=（ 2 x，1 y， z），由=2得出 P（，），分別求出面PAC 的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夾角求出二面角P AC D 的大小解答：解：（） AEBC，平面BAE平面AECD， EEEC如圖建立空間直角坐標系，（2 分）則 A（ 0，1， 0），B（ 0， 0， 1）， C（1， 0， 0），D（ 2， 1，0）， E（0， 0， 0）， P（ 1，）=（0， 1，1），=（ 2， 0， 0），=（ 0，）（ 4 分） ? =0， CPAB10? =0， CPAD又 AB AD=A，CP平面ABD；

23、（ 7 分）（）設P（ x， y， z），則=（ x， y， z1），=（ 2 x，1 y， z），由=2得解得 x=y=， z=，P（，）=（，），=（ 1， 1， 0）（ 10 分）設面 PAC 的法向量為=（ x， y， z），則取 x=y=1， z= 3，則 =（ 1， 1， 3），（ 12 分）又平面 DAC的法向量為 =（ 0，0， 1），設二面角P AC D的大小為 ，則 cos =（ 14 分）點評：本題考查空間直線和平面垂直的判定，二面角大小求解考查空間想象、推理論證能力利用空間向量的方法，能降低思維難度，思路相對固定，是人們研究解決幾何體問題又一有力工具18（ 12 分）某

24、電視臺舉辦的闖關節(jié)目共有五關，只有通過五關才能獲得獎金，規(guī)定前三關若有失敗即結束， 后兩關若有失敗再給一次從失敗的關開始繼續(xù)向前闖的機會已知某人前三關每關通過的概率都是，后兩關每關通過的概率都是（ 1）求該人獲得獎金的概率；（ 2）設該人通過的關數(shù)為 ，求隨機變量 的分布列及數(shù)學期望考點 ：離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差專題 ：計算題；概率與統(tǒng)計11分析：（ 1）設 An（ n=1， 2， 3， 4，5）表示該人通過第n 關，則該人獲得獎金的概率為P=P（ A1A2A3A4A5） +P（） +P（），即可求得結論；（ 2）確定變量的取值，求出相應的概率，即可求隨機變量 的

25、分布列及數(shù)學期望解答：解：（ 1）設 An（ n=1， 2， 3，4， 5）表示該人通過第n 關，則 An（ n=1， 2， 3， 4， 5）相互獨立，且P（ An） =（ n=1， 2， 3）， P（ A4） =P（ A5） =該人獲得獎金的概率為P=P（ A1A2A3A4A5） +P（） +P（）=+2×=；（ 2） 的可能取值為0，1， 2， 3，4， 5，則P（ =0）= ； P（ =1） = ； P（ =2） =； P（ =3）=；P（ =4）=； P（ =5） =， 的分布列為012345PE =1×+2×+3×+4×+5×

26、;=點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題19（ 13 分）已知拋物線 P 的方程是 x2=4y，過直線 l ：y= 1 上任意一點 A 作拋物線的切線，設切點分別為 B、 C（ 1）證明： ABC 是直角三角形；（ 2）證明：直線 BC過定點，并求出定點坐標考點 ：恒過定點的直線；直線的一般式方程與直線的垂直關系專題 ：直線與圓分析：（ 1）設 A（ m， 1），B（ x1，y1），C（ x2，y2），利用導數(shù)的幾何意義可得= x1，化簡得 2mx1 4=0同理可得 2mx2 4=0，故有 x 1+x2=2m，x1?x2= 4計算 AB

27、和 AC的斜率之積等于1，從而得到ABAC，即 ABC 是直角三角形12（ 2）求得 BC所在的直線方程為y y1 =（ x x1），化簡為y=mx+1，顯然過定點（ 0， 1）解答：解：（ 1）證明：設A（ m， 1）， B（ x1， y1）， C（ x2， y2）拋物線P 的方程是x2=4y， y=x1，+1=mx1， 2mx1 4=0同理可得， 2mx2 4=0，x1+x2=2m， x1?x2= 4KAB?KAC=x1?x2= 1，ABAC，即 ABC 是直角三角形（ 2）證明： BC所在的直線方程為y y1=（ x x1），化簡可得y =（ x1+x2）（ x1 x2），即 y=mx+

28、1，顯然，當x=0 時， y=1，故直線BC過定點（ 0，1）點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，判斷兩條直線垂直的方法，直線過定點問題，屬于中檔題20（ 13 分）已知函數(shù)f （ x）=，其中 a0（1）求 f （ x）的單調區(qū)間；（2）是否存在實數(shù) a 使 f （ x） 1 在 x R+上恒成立？若存在求出 a 的取值范圍； 若不存在說明理由考點 ：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用專題 ：導數(shù)的綜合應用分析：（ 1）在定義域內解不等式f （ x） 0，f （ x） 0 即得到函數(shù)的單調區(qū)間；（ 2）若 f （ x） 1 在 xR+上恒成立，即ln （1+x）

29、ax 在 R+上恒成立構造函數(shù) h+的 a 值即可（ x） =ln （ 1+x） ax（ xR ），只需找滿足不等式 h（ x） 0解答：解：（ 1）f （ x）=，設 g（ x） =1 ln（ 1+x），則 g（ x） =（ 1+x） 2=可知 g（x）在（ 1， 0）上遞增，在（ 0，+）上遞減，所以 f （x）在（ 1， 0），（ 0，+）上是減函數(shù)，13即 f （ x）的單調遞減區(qū)間為（1， 0），（ 0，+）（ 2）若 f （ x） 1 在 xR+上恒成立，即ln （1+x） ax 在 R+上恒成立設 h（ x）=ln （ 1+x） ax（ x R+），則 h（ x） = a，若 a1，則 xR+時， h（ x） 0 恒成立，所以h（x） h（0） =0 符合題意；