數(shù)列求和的四種方法演示課件

1、常見數(shù)列求和的 四種方法數(shù)列求和介紹求一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的幾種方法：1、運(yùn) 用 公 式 法2、錯(cuò) 位 相 減 法3、裂 項(xiàng) 相 消 法4、通 項(xiàng) 分 析 法數(shù)列求和一、 運(yùn)用公式法 運(yùn)用公式法主要是使用已經(jīng)證明，并承認(rèn)其在解決其他問題時(shí)可以使用的公式來進(jìn)行數(shù)列求和。如：等差數(shù)列的求和公式：dnasnnaannn2)1(12)(1等比數(shù)列的求和公式：ns1naqqan1)1(1)1(q)1(q還有一些常用公式：6) 12)(1(2222321nnnn請(qǐng)看下面例子：數(shù)例1 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和，32116181412197531分析：由這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)可看出該數(shù)列是由一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為2的等差

2、數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為 、公比為 的等比數(shù)列的和數(shù)列。所以它的前n項(xiàng)和可看作一個(gè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和與一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的和。212111414133818155解：)12(53121814121nnsnnn21814121) 12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211 歸納出：奇數(shù)列的前n項(xiàng)和2) 12531nn（2121列求和1二、錯(cuò) 位 相 減 法 錯(cuò)位相減法在等比數(shù)列求前 n項(xiàng)和時(shí)用過；它主要用于由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積數(shù)列。求法步驟如下：1、在 的兩邊同時(shí)乘于公比qnnaaas212、兩式相減 ；左邊為 ，右邊q的同次式相減nsq)1（3、右邊去掉最后一項(xiàng)（

3、有時(shí)還得去掉第一項(xiàng)）剩下的 各項(xiàng)組成等比數(shù)列，可用公式求和?？匆韵吕訑?shù)列求和例2 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 nn212167854321，分析：該數(shù)列可看作等差數(shù)列 等比數(shù)列 的積數(shù)列12 nn21這里等比數(shù)列的公比 q =21解：nnns212272523214321432212232252321nnnnns21兩式相減：1432212222222222121)1 (nnnns所以：ns212121121211)1n（1212nn運(yùn)算整理得：nnns2323數(shù)列求和2例3 設(shè) 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 0annaaaaa,4 ,3 ,2 ,432ns分析： 這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都含有a，而a等于1或不等于

4、1，對(duì)數(shù)列求和有本質(zhì)上的不同，所以解題時(shí)需討論進(jìn)行 解：1a若nsn3212) 1( nn1a若nnnaaaas3232aqaaaann的積數(shù)列，且等比數(shù)列與，差數(shù)列此時(shí)，該數(shù)列可看作等,32132兩邊同乘a:nas132) 1(2nnnaanaa兩式相減：132)1 (nnnnaaaaasa所以：nsa)1 (aaan1)1 (1nna運(yùn)算并整理得：anaaaannns11)1(1212)1()1(aaannann數(shù)列求和2三、裂 項(xiàng) 相 消 法 顧名思義，“裂項(xiàng)相消法”就是把數(shù)列的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，然后，前后交叉相消為0達(dá)到求和目的的一種求和方法。求 法 步 驟1、先分析數(shù)列的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，把通項(xiàng)式

5、“裂”成幾項(xiàng)。（注意：裂開后的通項(xiàng)式當(dāng)n=k和n=k+d時(shí)有相消為0的情況出現(xiàn)才行）2、解題時(shí)；對(duì)裂開后的通項(xiàng)式令n取1，2，3，,n然后相加得ns3、把和式中每一對(duì)相消為0的式子除去，整理剩下的 式子即為和式。請(qǐng) 看 下 面 例 子數(shù)列求和例4 求數(shù)列 的前n 項(xiàng)和。)13)(23(11071741411nn，分析： 該數(shù)列的特征是：分子都是1，分母是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的乘積。只要分子變?yōu)楣?，就可以裂項(xiàng)了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn（解：) 13)(23(1107174

6、1411nnns)13)(23(3107374341331nn)13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1 (1312311017171414131nn)1 (13131n13 nn數(shù)列求和3例5 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和)12)(12()2(7565343122222nnn，ns分析： 該數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積；從例4的經(jīng)驗(yàn)看：該數(shù)列求和使用“裂項(xiàng)相消法”的可能性較大，那就看分子能否化為常數(shù)。注意到該數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征：分子、分母同次且沒有一次項(xiàng)；所以使用處理分式函數(shù)的常用手段：“分離常數(shù)法”即可把分子化為常數(shù)。變化如下：)12)(12

7、(1)12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn數(shù)列求和3)(112112121nnna由解：)12)(12()2(7565343122222nnnns)(1)1112112121513121311121nn（）（共 n 項(xiàng))()()1(12112151313121nnn)1 (12121nn12)1(2nnn數(shù)列求和3例6 已知 求 s! 33! 22! 1nns分析：由階乘的性質(zhì)可知： )!1() 1( !kkk所以：!)!1(!kkkk于是該和式求值可用“裂項(xiàng)

8、相消法” !)!1() ! 3! 4() ! 2! 3 () ! 1! 2(nn! 33! 22! 1nns解：1)!1( n數(shù) 列求和3四、通 項(xiàng) 分 析 法 通項(xiàng)分析法就是根據(jù)前面學(xué)過的運(yùn)用公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法為基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行分析，從而決定使用那種方法求和。求 法 步 驟1、確定所求和數(shù)列的通項(xiàng)公式，必要時(shí)，注意使用由已 知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求這數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式的方法2、分析通項(xiàng)公式時(shí)，在確定首項(xiàng)、末項(xiàng)、及項(xiàng)數(shù)的同時(shí) 還要分析清楚是那些數(shù)列的和、差、積、商數(shù)列。 請(qǐng) 看 下 面 例 子數(shù)列求和例7 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和1222221221211n，分析：由數(shù)列的結(jié)構(gòu)來分析

9、，該數(shù)列的第k項(xiàng)應(yīng)該是：12222121)21(112kkkka通過分析可知：該數(shù)列是以 為首項(xiàng)，以 為末項(xiàng)，共有n項(xiàng)的數(shù)列。12112n從通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)來分析，該數(shù)列是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)列的差數(shù)列。所以它的前n項(xiàng)和是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與一個(gè)常數(shù)為1的常數(shù)列的前 n項(xiàng)和的差。通過這樣分析，確定解題方向就方便了解：) 12() 12() 12(21nns) 111 ()222(2nnn21)21(2221nn數(shù)列求和4例8 求和 1)2(3) 1(21nnnns分析： 這個(gè)數(shù)列是數(shù)列1，2，3. . . n與它的倒序數(shù)列的積數(shù)列，共有n項(xiàng)，在這里把n看成常數(shù)來分析

10、它的通項(xiàng)就容易了。kknkknkak2) 1(k取從1到n的自然數(shù)）所以，該數(shù)列可以看作通項(xiàng)為 的三個(gè)數(shù)列的差、和數(shù)列kknk,2解：naaaas321)21 ()21 ()21 (222nnnnnnn2) 1(6)12)(1(nnn2)1(nn)2)(1(61nnn數(shù)列求和4例9 求數(shù)列 前n項(xiàng)和, 165434322aaaaaaaaa)0( asn分析： 由 所求數(shù)列的每一項(xiàng)都是一個(gè)等比數(shù)列的和，其第k項(xiàng) 2211kkkkkaaaaa0akaak 時(shí)，當(dāng)1011kaa時(shí)，當(dāng))(為偶數(shù)為奇數(shù)）kk時(shí)，當(dāng)1|aaaakkka1121通項(xiàng)公式理解清楚后，現(xiàn)在可以就以上三種情況考慮求和了時(shí)當(dāng)1a該

11、數(shù)列是自然數(shù)列，求和容易。時(shí)，當(dāng)1a2nnsn為偶數(shù)時(shí)n為奇數(shù)時(shí)21nns1|a當(dāng))()()()1(12152311nnanaaaaaaas,0, 1 ,0, 1 ,0, 1此時(shí)的和式，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：時(shí)；當(dāng)1akak)1(21nnsn時(shí)；當(dāng)1a01ka)()(為偶數(shù)為奇數(shù)nn2)1(121nsnn時(shí)；當(dāng)1|a)(12111kkakaaa)()()()1(12152311nnanaaaaaaas)()1(12531211nnaaaaaaaa1)1(11112aaaaaann)1)(1(1)1()1(12nnaaaa數(shù)列求和4)2)(1(54343232110nnnsn求和例分析：)2

12、)(1(kkkak326kc( k 取1，2，3、n)所以：323534336666nnccccs)(632353433ncccc1114433knknknccccc由436nc!4)1)(2)(3(6nnnn)3)(2)(1(41nnnn44c45c46c數(shù)列求和4)2)(1(54343232110nnnsn求和例分析：)2)(1(kkkak)2)(1() 1() 3)(2)(1(41kkkkkkkk所以：)43215432()4321 (4141osn)2)(1() 1()3)(2)(1(41kkkkkkkk)3)(2)(1(41nnnn每一項(xiàng)由三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積組成，前后兩項(xiàng)有兩個(gè)因子相

13、同，很自然聯(lián)想使用裂項(xiàng)相消求和。對(duì)例10的兩種解法進(jìn)行歸納可以清楚看到平時(shí)練習(xí)時(shí)有意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)積累，在關(guān)鍵時(shí)產(chǎn)生聯(lián)想是很有幫助的。 數(shù)列求和4例11 設(shè)等差數(shù)列 的前n項(xiàng)為 ，且 ， 若 ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 nans)()(221nnsnannnnsb) 1(nbnt分析： 由已知該數(shù)列是等差數(shù)列且已知 ，所以必能求出通項(xiàng)和前n項(xiàng)和 這樣確定 就沒問題了。 221)(nansnsnbnnntbs,現(xiàn)在分析怎樣求1、111asn時(shí)，11221,)(aasnan解出的方程就構(gòu)成關(guān)于2、 nnaaannaannnsaasannn再求出解出通項(xiàng)的方程所以構(gòu)成關(guān)于是等差數(shù)列由,)(,2212)(2)(113、nnnnnntbssb再研究就解決了求出由.,) 1(現(xiàn)在來邊解題邊研究解：22111)(11asan時(shí)，當(dāng)11a解得：2)1(nannnsa為等差數(shù)列，2212)1(221)(,)(nnnaanans得代入121naann或解得：21, 1211nsnaaannn矛盾，與但2) 1() 1(nsbnnnn于是，22222) 1(4321ntnn數(shù)列求和422222) 1(4321ntnn分析：0; 0) 1(2nnnntn